精品解析：广东省佛山市顺德区镇街学校等2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题

高一数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第五章，必修第二册第六、七章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求解即可. 【详解】. 故选：C. 2. 已知向量，若，则（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】由向量， 因为，可得，解得. 故选：B. 3. 已知扇形的周长为12，面积为9，则扇形的圆心角为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】设扇形的圆心角为，所在圆的半径为，根据扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组，即可求解. 【详解】设扇形的圆心角为，所在圆的半径为， 因为扇形的周长为，面积为，可得且， 解得. 故选：B. 4. 已知是关于的方程的一个根，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次方程的根为共轭复数，再由韦达定理求解. 【详解】因为是关于的方程的一个根，所以为方程的另一个根， 所以由韦达定理可得，解得. 故选：B 5. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由，求得，结合两角和与差的正弦公式，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由，可得，所以， 若，可得， 联立方程组，可得， 则，即充分性成立； 若，可得， 联立方程组，可得， 则，即必要性成立， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 6. 在中，角的对边分别是，且，，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 不确定的 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用余弦定理，得到，再由，代入整理得，进而得到，即可得到答案. 【详解】在中，由余弦定理得， 因为，可得， 代入上式，整理得，即，所以， 所以，所以为等腰三角形. 故选：A. 7. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 在上单调递减 C. D. 的图象关于直线对称 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角恒等变换的公式，化简函数为，结合三角函数的图象与性质，逐项求解，即可得到答案. 【详解】由函数， 对于A中，由，令， 则， 所以不是奇函数，所以A不正确； 对于B中，由，可得， 由正弦函数在为单调递减函数， 可得函数在上为单调递减函数，所以B正确； 对于C中，若，可得， 即函数关于点中心对称， 因为，所以不是函数的对称中心， 结合函数不满足，所以C错误； 对于D中，由不是的最值， 所以函数的图象不关于直线对称，所以D错误. 故选：B. 8. 如图，在同一个平面内，向量，，满足，向量，的夹角为，向量，的夹角为，且.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，结合正弦定理可得解. 【详解】 如图，过点作，交于点，作，交于点， 则. 因为， 所以，，，，. 因为，且， 所以由正弦定理得， 得， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知角的终边经过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，求得，结合诱导公式和倍角公式，逐项计算，即可求解. 【详解】由角的终边经过点，可得， 对于A中，由，所以A错误； 对于B中，由，所以B正确； 对于C中，由，所以C正确； 对于D中，由，所以D错误. 故选：BC. 10. 已知，是复数，则下列命题错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数相等的定义，以及复数模的计算公式，可得判定A正确；根据特例法，可判定B、C、D均错误，即可得到答案. 【详解】对于A中，设复数， 若，即，可得，即且， 由，所以，所以A正确； 对于B中，若，此时， 但复数和不能比较大小，所以B错误； 对于C中，如，可得，此时，所以C错误； 对于D中，若，可得，此时满足， 但且，所以D错误. 故选：BCD. 11. 在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，且，则（ ） A. 角的取值范围是 B. 的取值范围是 C. 周长的取值范围是 D. 的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A，先利用正弦定理转化，得出，然后利用锐角三角形的三个内角均为锐角建立关于角A的不等式组，解不等式组即可判断；对于选项B，利用正弦定理得到，再结合A选项的角A的范围求得的取值范围；对于C选项，利用已知条件和选项B的结论，得出，再结合A选项的角A的范围，然后求得的范围，从而求得周长的范围；对于选项D，利用已知条件和选项B的结论，得出再结合A选项的角A的范围即可求得的取值范围. 【详解】因为，且，所以，所以， 所以.因为是锐角三角形，，所以， 则， 则解得，所以，A正确. 因为， 所以. 因为，所以，所以， 所以，即的取值范围是，B正确. .设， 则在上单调递增，所以， 即.因为， 所以周长的取值范围是，C错误. 因为，所以. 因为在单调递增，所以， 所以，即，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数图象的对称中心的坐标是________． 【答案】. 【解析】 【分析】根据题意，利用正切型函数的图象与性质，即可求解. 【详解】由函数，令，解得 所以函数图象的对称中心的坐标是. 故答案为：. 13. 某数学兴趣小组成员为测量，两地之间的距离，测得在的北偏东方向上，在的北偏西方向上，在的北偏东方向上，在的北偏东方向上，在的正东方向上，且，相距20千米，则，两地之间的距离是______千米. 【答案】 【解析】 【分析】画出图分析，在与中分别由正弦定理求出，，然后在等边中，求解即可. 【详解】如图： 在中，由题意可知，，千米， 由正弦定理可得，则千米. 在中，由题意可知，，千米， 由正弦定理可得，则千米. 在中，，千米，则千米. 故答案为： 14. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，求得，再由，结合余弦型函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数在上单调递增， 可得，可得，即，可得， 又由，可得， 则满足，解得， 当时，可得，当时，可得， 当时，不合题意； 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数． （1）若是纯虚数，求的值； （2）若在复平面内所对应的点在第四象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简复数，根据复数是纯虚数，列出方程组，即可求解； （2）由复数在复平面内所对应的点在第四象限，根据复数的几何意义，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 由复数， 因为复数是纯虚数，则满足，解得或（舍去）， 所以实数的值为. 【小问2详解】 由复数， 若在复平面内所对应的点在第四象限，则满足，解得， 所以实数的取值范围为. 16. 已知向量，满足，，且． （1）求向量，的夹角； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据，求得，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）根据，利用向量模的计算公式，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 解：由向量，满足，，且． 可得，可得， 设向量与的夹角为，可得， 因为，所以，即向量与的夹角为. 【小问2详解】 解：因为，可得， 即，解得或. 17. 在中，是线段的中点，点在线段上，线段与线段交于点． （1）已知，，，． ①用向量，表示向量，； ②求的值． （2）若，求的值． 【答案】（1）①，；② （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形中线向量得，再利用向量的线性运算得，然后利用平面向量数量积的运算性质可求出； （2）设，则，由得，再利用三点共线，利用向量线性运算得，利用平面向量的基本定理可求出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 因为是线段的中点，所以， 因为，则， 因为，，，所以， 所以. 【小问2详解】 设，则，所以，又，所以， 由（1）知，所以， 因为三点共线，可设（）， 所以，所以， 又，所以，解得， 所以. 18. 如图，某社区有一块空白区域，其中射线，是该空白区域的两条边界，点在射线上，千米，且.该社区工作人员计划在射线上选择一点，修建一条道路，将区域改造成儿童娱乐场地. （1）已知. ①求道路的长度； ②求的面积. （2）某工程队通过竞标，获得该社区改造项目的资格，已知改造儿童娱乐场地的利润为4万元每平方千米，修建道路的利润为2万元每千米，且要求不能大于，求该工程队完成这项改造项目获得的利润的最小值. 【答案】（1）①千米；②平方千米. （2）万元. 【解析】 【分析】（1）①利用正弦定理计算可得结果；②利用两角和的正弦公式求出的正弦值，再由面积公式计算可得结果； （2）设，利用正弦定理求出的面积关于的表达式，再结合三角函数值域问题即可得出结果. 【小问1详解】 ①由正弦定理可得， 则千米. ②因为，，所以， 所以 则的面积平方千米. 【小问2详解】 设， 由正弦定理可得， 则，， 故的面积平方千米. 该工程队完成这项改造项目获得的利润万元. 因为，所以，所以， 所以，所以， 即该工程队完成这项改造项目获得的利润的最小值为万元. 19. 已知函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是，且，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． （1）求的解析式； （2）求不等式的解集； （3）设函数，若对任意的，，都有，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，求得，即，再由，得到，求得，得到，结合三角函数的图象变换，即可求得的解析式； （2）由，得到，结合正弦型函数的性质，即可求得不等式的解集； （3）当，求得，根据题意，转化为恒成立，进而转化为恒成立，设，令，结合二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是， 可得，解得，所以，即， 又由，可得， 因为，所以，所以， 将的向右平移个单位长度，可得函数， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 解：由（1）知：，不等式，即为， 可得，解得， 所以不等式的解集为. 【小问3详解】 解：由（1）知：， 当，可得，当时，， 因为对任意的 ，，都有， 即当时，恒成立，即恒成立， 即当时，恒成立， 设，可得恒成立， 令， 当时，即时，即时，， 所以，即，即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第五章，必修第二册第六、七章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则（ ） A. 6 B. C. D. 3. 已知扇形的周长为12，面积为9，则扇形的圆心角为（ ） A. B. 2 C. D. 3 4. 已知是关于的方程的一个根，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 5. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在中，角的对边分别是，且，，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 不确定的 7. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 在上单调递减 C. D. 的图象关于直线对称 8. 如图，在同一个平面内，向量，，满足，向量，的夹角为，向量，的夹角为，且.若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知角的终边经过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，是复数，则下列命题错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，且，则（ ） A. 角的取值范围是 B. 的取值范围是 C. 周长的取值范围是 D. 的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数图象的对称中心的坐标是________． 13. 某数学兴趣小组成员为测量，两地之间的距离，测得在的北偏东方向上，在的北偏西方向上，在的北偏东方向上，在的北偏东方向上，在的正东方向上，且，相距20千米，则，两地之间的距离是______千米. 14. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数． （1）若是纯虚数，求的值； （2）若在复平面内所对应的点在第四象限，求的取值范围． 16. 已知向量，满足，，且． （1）求向量，的夹角； （2）若，求的值． 17. 在中，是线段的中点，点在线段上，线段与线段交于点． （1）已知，，，． ①用向量，表示向量，； ②求的值． （2）若，求的值． 18. 如图，某社区有一块空白区域，其中射线，是该空白区域的两条边界，点在射线上，千米，且.该社区工作人员计划在射线上选择一点，修建一条道路，将区域改造成儿童娱乐场地. （1）已知. ①求道路的长度； ②求的面积. （2）某工程队通过竞标，获得该社区改造项目的资格，已知改造儿童娱乐场地的利润为4万元每平方千米，修建道路的利润为2万元每千米，且要求不能大于，求该工程队完成这项改造项目获得的利润的最小值. 19. 已知函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是，且，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． （1）求的解析式； （2）求不等式的解集； （3）设函数，若对任意的，，都有，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $