精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市 克东县第三中学2024-2025学年八年级下学期5月期中数学试题

克东三中2024--2025学年度期中质量测查八年级数学试题 （满分120分，时间120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 代数式有意义时，应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，点，，，为平面直角坐标系中的四个点，一次函数的图象不可能经过（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 3. 如图，四边形是正方形，它的四个顶点都在坐标轴上，且正方形边长为8，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，菱形中，分别是的中点，若，则菱形的周长为（ ） A. 24 B. 18 C. 12 D. 9 6. 在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象经过点（﹣1，0），则函数图象可能是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积依次为，，，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，D是的中点，，交的延长线于点E．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示． 则下列结论： ①A，B两城相距300千米； ②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时； ③乙车出发后2.5小时追上甲车； ④当甲、乙两车相距50千米时，或． 其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点是x轴上一点，点E，F分别为直线和y轴上的两个动点，当周长最小时，点E，F的坐标分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、填空题（每小题3分，共21分） 11. 已知x，y为正数．且，如果以x，y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为_______． 12. 在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），直线l1对应的函数解析式为y＝2x，平移直线l1使其经过点A，则应向下平移__个单位． 13. 若a，b都是实数，，则的值为___． 14. 如图，一个工人拿一个米长的梯子，底端放在距离墙根点米处，另一头点靠墙，如果梯子的顶部下滑米，那么梯子的底部向外滑________米． 15. 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，以点B为圆心、长为半径画弧，与y轴正半轴交于点C，则点C的坐标为______. 16. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，方程x+5＝ax+b的解是_________． 17. 如图所示，正方形的边长为，是上一点，且，是对角线上一动点，则的最小值是______． 三、解答题（共69分） 18. 计算∶ （1）（）-（） （2）（3-）2+ 19. 如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求AB的长. 20. 如图所示，有人在岸上点的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长，且，拉动绳子将船从点沿方向行驶到点后，绳长． （1）试判定的形状，并说明理由； （2）求船体移动距离的长度． 21. 如图所示，在平行四边形中，对角线与相交于点O，且，，． （1）求证：； （2）E，F分别是和的中点，连接，，求证：四边形是菱形． 22. 如图，是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线方向运动，点F沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y． （1）请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值． 23. 为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金购买、两种电动车．若购买种电动车辆、种电动车辆，需投入资金万元；若购买种电动车辆、种电动车辆，需投入资金万元．已知这两种电动车的单价不变．       （1）求、两种电动车的单价分别是多少元． （2）为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买、两种电动车辆，其中种电动车的数量不多于种电动车数量的一半．当购买种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少元？ （3）该公司将购买的、两种电动车投放到出行市场后，发现消费者支付费用元与骑行时间之间的对应关系如图．其中种电动车支付费用对应的函数为；种电动车支付费用是之内，起步价元，对应的函数为．请根据函数图象信息直接写出两种电动车支付费用相差元时，的值为 ． 24. 综合与实践 问题情境：数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，在正方形中，点是线段上的动点，连接，过点作（点在直线的下方），且，连接． （1）【动手操作】 在图①中画出线段，；与的数量关系是：______； （2）【问题解决】 利用（1）题画出的图形，在图②中试说明，，三点在一条直线上 （注：当时，，，三点在一条直线上）； （3）【问题探究】 取的中点，连接，利用图③试求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 克东三中2024--2025学年度期中质量测查八年级数学试题 （满分120分，时间120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 代数式有意义时，应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， ， 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型． 2. 如图，点，，，为平面直角坐标系中的四个点，一次函数的图象不可能经过（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象．由条件可以判断一次函数图象一定经过第一、二、四象限，即可得出答案． 【详解】解：∵在中，一次函数图象一定经过第一、二、四象限，即不经过第三象限， ∴其图象不可能经过C点， 故选：C． 3. 如图，四边形是正方形，它的四个顶点都在坐标轴上，且正方形边长为8，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理及正方形的性质即可得出OA的值，从而得出答案． 【详解】解：四边形是正方形， ， 正方形边长为8， 点A的坐标为 故选C． 【点睛】本题考查了坐标与图形、勾股定理、正方形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 4. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则即可逐一判断． 【详解】解：A、3和不能合并，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握基本的运算法则． 5. 如图，菱形中，分别是的中点，若，则菱形的周长为（ ） A. 24 B. 18 C. 12 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，由三角形的中位线定理可得，然后根据菱形的性质即可求解． 【详解】解：∵E、F分别是的中点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的周长， 故选：A． 6. 在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象经过点（﹣1，0），则函数图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由函数y＝kx+b（k＞0）的图象过点（﹣1，0），可判断经过x轴的负半轴，由k＞0可判断图象经过第一、二、三象限，综合分析即可． 【详解】∵一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象经过点（﹣1，0）， ∴一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象经过x轴的负半轴． ∵k＞0， ∴y随x的增大而增大． ∴一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象经过第一、二、三象限． ∴函数图象可能是：A． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和图象上点的坐标特征，属于基础题型，熟练掌握一次函数的基本知识是解题的关键 7. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积依次为，，，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理，分别得出同一直角三角形的两直角边上的两个正方形面积和都是，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 根据勾股定理，得， ∴， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是发现两个直角三角形的斜边是公共边． 8. 如图，在中，，D是的中点，，交的延长线于点E．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意将BD,BC算出来,再利用勾股定理列出方程组解出即可． 【详解】∵AC=2,BC=, ∴, ∵D是AB的中点, ∴AD=CD=BD=． 由题意可得: 两式相减得: , 解得DE=,BE=, 故选A． 【点睛】本题考查直角三角形中点性质和勾股定理,关键在于找出等式列出方程组． 9. 甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示． 则下列结论： ①A，B两城相距300千米； ②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时； ③乙车出发后2.5小时追上甲车； ④当甲、乙两车相距50千米时，或． 其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】当不动时，距离300千米，就是A，B两地的距离；甲匀速运动，走完全程用时5小时，乙走完全程用时3小时，确定甲，乙的函数解析式，求交点坐标；分甲出发，乙未动，距离为50千米，甲出发，乙出发，且甲在前50距离50千米，甲在后距离50千米，乙到大时距离为50千米四种情形计算即可． 【详解】∵（0，300）表示不动时，距离300千米，就是A，B两地的距离， ∴①正确； ∵甲匀速运动，走完全程用时5小时，乙走完全程用时3小时， ∴乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时； ∴②正确； 设， ∴300=5m， 解得m=60， ∴； 设， ∴ 解得， ∴； ∴ 解得t=2.5， ∴2.5-1=1.5， ∴乙车出发后1.5小时追上甲车； ∴③错误； 当乙未出发时，， 解得t=； 当乙出发，且在甲后面时，， 解得t=； 当乙出发，且在甲前面时，， 解得t=； 当乙到大目的地，甲自己行走时，， 解得t=； ∴④错误； 故选B． 【点睛】本题考查了函数的图像，一次函数的解析式确定，交点的意义，熟练掌握待定系数法，准确捕获图像信息是解题的关键． 10. 如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点是x轴上一点，点E，F分别为直线和y轴上的两个动点，当周长最小时，点E，F的坐标分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】作C（2，0）关于y轴的对称点G（2，0），作C（2，0）关于直线y=x+4的对称点D，连接AD，连接DG交AB于E，交y轴于F，此时△CEF周长最小，由y=x+4得A（-4，0），B（0，4），∠BAC=45°，根据C、D关于AB对称，可得D（-4，2），直线DG解析式为，即可得，由，得． 【详解】解：作关于轴的对称点，作关于直线的对称点D，连接AD，连接DG交AB于E，交轴于F，如图： ∴，， ∴，此时周长最小， 由得，， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵C、D关于AB对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由，可得直线DG解析式为， 在中，令得， ∴， 由，得， ∴， ∴的坐标为，的坐标为， 故选：C． 【点睛】本题考查与一次函数相关的最短路径问题，解题的关键是掌握用对称的方法确定△CEF周长最小时，E、F的位置． 二、填空题（每小题3分，共21分） 11. 已知x，y为正数．且，如果以x，y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为_______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题可根据“两个非负数相加和为0，则这两个非负数的值均为0”解出x、y的值，然后运用勾股定理求出斜边的长，斜边长的平方即为正方形的面积． 【详解】解：， ，， ∵边长均为正数， ∴ 根据勾股定理知，斜边长为： ， 以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为， 故答案为：7． 【点睛】本题综合考查了勾股定理与非负数的性质，解题关键是利用直角三角形，用勾股定理来寻求未知系数的等量关系． 12. 在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），直线l1对应的函数解析式为y＝2x，平移直线l1使其经过点A，则应向下平移__个单位． 【答案】4 【解析】 【分析】表示出平移后的解析式，然后根据待定系数法即可求得． 【详解】解：设直线l1向下平移b个单位经过点A，则平移后的解析式为y＝2x﹣b， 把点A（2，0）代入得，4﹣b＝0，解得b＝4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握平移的规律是解题的关键． 13. 若a，b都是实数，，则的值为___． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出a的值，进而求出b的值，最后代值计算即可． 【详解】解：∵要有意义， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键． 14. 如图，一个工人拿一个米长的梯子，底端放在距离墙根点米处，另一头点靠墙，如果梯子的顶部下滑米，那么梯子的底部向外滑________米． 【答案】 【解析】 【分析】首先在直角中用勾股定理计算出长，再由题意可得长，再次在中用勾股定理计算出长，从而可得的长度． 【详解】米，米， 米， 梯子的顶部下滑米， 米， 米， 米， 梯子的底部向外滑出， 米． 故答案是：． 【点睛】此题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，关键是掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 15. 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，以点B为圆心、长为半径画弧，与y轴正半轴交于点C，则点C的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】把代入直线解析式求出点坐标，把代入直线解析式求出点坐标，通过勾股定理求出长度，进而求解． 【详解】解：把代入得， 点坐标为，， 把代入得， 点坐标为，， 在中，由勾股定理得， ， ， 点坐标为； 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点、勾股定理，解题关键是掌握一次函数与方程的关系． 16. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，方程x+5＝ax+b的解是_________． 【答案】x＝20 【解析】 【分析】根据一次函数图象的交点即为两直线解析式所组成的方程组的解，即可得出答案． 【详解】根据图象可知两直线的交点坐标为， ∴方程的解是． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程的关系．掌握该一元次一方程的解即为两直线交点的横坐标是解答本题的关键． 17. 如图所示，正方形的边长为，是上一点，且，是对角线上一动点，则的最小值是______． 【答案】##厘米 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，三角形的三边关系，勾股定理，连接，交于点，连接，由正方形的性质可得关于对称，得到，进而得到，即得点和点重合时，最小，最小值等于的长，利用勾股定理求出的长即可求解，掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：连接，交于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴关于对称， ∴， ∴， 即点和点重合时，最小，最小值等于的长， ∵正方形的边长为， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共69分） 18. 计算∶ （1）（）-（） （2）（3-）2+ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先去掉括号，同时根据二次根式的性质化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先根据完全平方公式和二次根式的除法进行计算，再算加减即可． 【小问1详解】 解：（）-（） =2--- =-； 【小问2详解】 解：（3-）2+ =9-6+2+ =11-6+2 =11-4． 【点睛】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质，二次根式的混合运算等知识点，能灵活运用二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键． 19. 如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求AB的长. 【答案】2+2 【解析】 【详解】试题分析：本题注意考查的就是利用三角函数解直角三角形，过点C作CD⊥AB于D点，然后分别根据Rt△ADC中∠A的正弦、余弦值和Rt△CDB中∠B的正切值得出AD和BD的长度，从而得出AB的长度. 试题解析：过点C作CD⊥AB于D点， 在Rt△ADC中，∠A=30°，AC=4， ∴CD=AC=×4=2， ∴AD=， 在Rt△CDB中，∠B=45°，CD=2， ∴CD=DB=2， ∴AB=AD+DB=2+2． 20. 如图所示，有人在岸上点的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长，且，拉动绳子将船从点沿方向行驶到点后，绳长． （1）试判定的形状，并说明理由； （2）求船体移动距离的长度． 【答案】（1）等腰直角三角形， 理由如下： 由题意可得，，， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用． （1）直接利用勾股定理得出的长，进而得出的形状； （2）利用勾股定理得出的长，进而得出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴， 故船体移动距离的长度为． 21. 如图所示，在平行四边形中，对角线与相交于点O，且，，． （1）求证：； （2）E，F分别是和的中点，连接，，求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 证明：在平行四边形中，对角线与相交于点O，，， ，． ， ，即， 为直角三角形，， ． （2） 证明：由（1）知为直角三角形． E，F分别是和的中点， ，． 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是平行四边形． 又∵， 平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形性质得到，，再利用勾股定理逆定理得到为直角三角形，即可证明； （2）利用直角三角形性质和线段中点的特点，得到，，结合平行四边形性质得到，进而证明四边形是平行四边形，再根据，即可证明平行四边形是菱形． 本题考查平行四边形性质和判定，勾股定理逆定理，直角三角形性质，线段中点的特点，菱形的判定，熟练掌握运用这些判定和性质是解题关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线方向运动，点F沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y． （1）请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值． 【答案】（1）当时，；当时，； （2） 函数图象如图： 当时，y随t的增大而增大； （3）t的值为3或 【解析】 【分析】（1）分两种情况：当时，根据等边三角形的性质解答；当时，利用周长减去即可； （2）在直角坐标系中描点连线即可； （3）利用分别求解即可． 【小问1详解】 解：当时， 连接， 由题意得，， ∴是等边三角形， ∴； 当时，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，即； 当时，即，解得， 故t的值为3或． 【点睛】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，解一元一次方程，正确理解动点问题是解题的关键． 23. 为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金购买、两种电动车．若购买种电动车辆、种电动车辆，需投入资金万元；若购买种电动车辆、种电动车辆，需投入资金万元．已知这两种电动车的单价不变．       （1）求、两种电动车的单价分别是多少元． （2）为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买、两种电动车辆，其中种电动车的数量不多于种电动车数量的一半．当购买种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少元？ （3）该公司将购买的、两种电动车投放到出行市场后，发现消费者支付费用元与骑行时间之间的对应关系如图．其中种电动车支付费用对应的函数为；种电动车支付费用是之内，起步价元，对应的函数为．请根据函数图象信息直接写出两种电动车支付费用相差元时，的值为 ． 【答案】（1）、两种电动车的单价分别为元、元 （2）当购买种电动车辆时所需的总费用最少，最少费用为元 （3）或 【解析】 【分析】（1）设A，B两种电动车的单价分别为a元、b元，根据“若购买种电动车辆、种电动车辆，需投入资金万元”、“若购买种电动车辆、种电动车辆，需投入资金万元”列出方程组求解； （2）设购买A种电动车m辆，先用m表示出B种电动车的辆数，再根据“种电动车的数量不多于种电动车数量的一半”列出不等式求出m，再设所需购买总费用为w元，根据A、B两种电动车的单价列出w关于m的函数关系式，利用一次函数增性求出最小值即可； （3）设，将代入求出函数表达式，设，将，代入求出函数表达式，分“”、“”两种情形，分别求出的值即可． 【小问1详解】 解：设A，B两种电动车的单价分别为a元、b元， 由题意得，，解得， 答：A、B两种电动车的单价分别为元、元． 【小问2详解】 设购买A种电动车m辆，则购买B种电动车辆，， 解得， 设所需购买总费用为w元， 则， ∵， ∴w随着m的增大而减小， ∵m取正整数， ∴时，w最少， ∴， 答：当购买A种电动车辆时所需的总费用最少，最少费用为元． 【小问3详解】 设，将代入得，， 解得， ∴， 当时，， 当时，设， 将，代入得，， 解得， ∴， 依题意，当时，， 即，解得， 当时，， 即， 解得（舍去）或． 故答案为：5或． 【点睛】本题考查了利用二元一次方程组解决销售问题，利用一元一次不等式解决销售问题，利用一次函数解决销售问题，两个一次函数的交点问题，利用待定系数法求一次函数解析式，解题关键是利用待定系数法求出一次函数解析式． 24. 综合与实践 问题情境：数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，在正方形中，点是线段上的动点，连接，过点作（点在直线的下方），且，连接． （1）【动手操作】 在图①中画出线段，；与的数量关系是：______； （2）【问题解决】 利用（1）题画出的图形，在图②中试说明，，三点在一条直线上 （注：当时，，，三点在一条直线上）； （3）【问题探究】 取的中点，连接，利用图③试求的值． 【答案】（1）； （2）如图②，连接． ∵四边形是正方形， ∴，， 由（1）可知， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，，三点在一条直线上； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意补全图形，结合正方形的性质可得，进而可得结论； （2）如图，连接，先证明，可得，可知，进而可证明结论； （3）连接，，由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可知，再证，得，取的中点，连接，则，，再证是等腰直角三角形，即，设，则，，即可求解． 【详解】解：（1）如图，在正方形中，， ∵， ∴，则， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）连接，， 在和中， ∵P是斜边的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴ 取的中点，连接，则，， ∴， ∴是等腰直角三角形，即， 设，则，， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $