精品解析：福建省莆田市莆田第一中学2024-2025学年高一下学期第一学段考试数学试卷

莆田一中2024-2025学年度下学期第一学段考试试卷 高一数学必修二 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若，则　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数代数形式的除法法则计算可得． 【详解】解：， ， 则， 故选：． 2. 已知，向量与向量的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据投影向量的公式计算. 【详解】由题意，， 则向量在向量方向上的投影向量是：. 故选：C 3. 平面向量与的夹角为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量模的数量积公式，即可计算结果. 【详解】由题意可得 . 故选：D. 4. 已知a，b为两条直线，，为两个平面，且满足，，，，则“与异面”是“直线与l相交”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中线、面关系结合充分、必要条件分析判断. 【详解】当“与异面”，若直线与l不相交，由于，则， 又，则，这与和异面相矛盾，故直线与l相交， 故“与异面”是“直线与l相交”的充分条件； 当“直线与l相交”，若与不异面，则与平行或相交， 若与平行，又，则，这与直线和l相交相矛盾； 若与相交，设，则且，得， 即A为直线的公共点，这与 相矛盾； 综上所述：与异面，即“与异面”是“直线与l相交”的必要条件； 所以“与异面”是“直线与l相交”的充分必要条件. 故选：C. 5. 记的内角的对边分别为.若的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式和正弦定理求解. 【详解】由题知，，即， 由正弦定理，， 其中是外接圆半径， 由于，两边约分后可得. 故选：A 6. 如图，在长方体中，，若面对角线上存在一点，使得取得最小值，则此最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】将对角面绕旋转至与平面在同一平面内，可确定当三点共线时，所求距离之和最短，利用解三角形的知识可求得最小值. 【详解】将长方体对角面绕旋转至与平面在同一平面内，如下图所示： 则当三点共线时，取得最小值， 又，，，，， 在中，由余弦定理得：， ，即的最小值为. 故选：A. 7. 已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为8和6，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为，则该花盆的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】圆台的侧面展开图如图所示，设圆台的母线长为，即，由题意得，设，则根据题意可得，求出，再求出圆台的高，从而可求出圆台的体积 【详解】 圆台的侧面展开图如图所示，设圆台的母线长为，即，由题意得，设，则根据题意可得，解得， 所以圆台的高为， 所以圆台的体积为. 故选：A 8. 如图所示，福建莆田广化寺东侧的释迦文佛塔是一座古老的五层石塔.某数学兴趣小组成员为测量释迦文佛塔的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的三处进行测量，如图2已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则根据该测量方案可测得释迦文佛塔的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意先分析出图形中的具体角度，设，然后表示出其余所有边长，最后利用余弦定理求解. 【详解】在直角三角形中，，，可设； 在直角三角形中，，，可得； 在直角三角形中，，，可得. 在中，根据余弦定理，， 在中，根据余弦定理，， 又，则，即， 解得，即. 故选：B 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.选对但不全对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，若是纯虚数，则（ ） A. a=2 B. C. 的实部是 D. 的实部与虚部互为相反数 【答案】BCD 【解析】 【分析】由是纯虚数求出，结合复数的概念和运算逐一判断即可. 【详解】，因为是纯虚数，所以，解得，故A项错误； ，，故B项正确； ，故的实部是，故C项正确； ，故的实部与虚部互为相反数，故D项正确. 故选：BCD 10. 在中，内角、、的对边分别为、、，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若为锐角三角形，则 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，的三角形有两解，则的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用大角对大边、正弦定理可判断A选项；利用正弦函数的单调性与诱导公式可判断B选项；利用正弦函数的单调性与对称性可判断C选项；根据三角形解的个数，可得出关于的不等式，可得出的取值范围，可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A对； 对于B选项，若为锐角三角形，则，所以，， 因为正弦函数在上为增函数，则，B错； 对于C选项，因为、，则、， 因为，所以或或， 若，则；若，则； 若，则，这与的内角和定理矛盾. 综上所述，为等腰或直角三角形，C错； 对于D选项，如下图所示： 因为，的三角形有两解，则，即， 所以，的取值范围为，D对. 故选：AD. 11. 棱长为的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 三棱锥的外接球的表面积为 C. 若平面，则的最小值为 D. 若，则动点的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A，利用等体积法，求即可；B，将问题转化为求以为长宽高的长方体的外接球的表面积；C，取的中点，求证平面平面，即可找出点的轨迹，在等腰中计算的最小值即可；D，取线段的中点，求证平面，即可找出点的轨迹. 【详解】对于A，因，平面，平面， 则平面， 则点到平面的距离等于点到平面的距离， 则， 故A正确； 对于B，三棱锥的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同， 则外接球半径，则外接球表面积为，故B正确； 对于C，取的中点，连接， 所以，又易证，所以， 又平面，平面，所以平面， 又因为为棱的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以，， 又，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又为正方形内一个动点（包括边界），且平面， 所以为的轨迹， 又， ， 所以当为的中点，即为等腰三角形底边上的高时， 最小， 所以的最小值为，故C错误； 对于D，取线段的中点，连接， 在中，；在中，， 则， 又因，则，则， 因平面，平面，则， 又，平面，则平面， 又为正方形内一个动点（包括边界），且， 则点的轨迹为线段， 又，则动点的轨迹长度为，故D正确. 故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图所示，正方形为一个水平放置的平面图形用斜二测画法画出的直观图，且，则原平面图形的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用斜二测画法，可得原图形是平行四边形，求得一边长及这边上的高即可求面积. 【详解】因为正方形为一个平面图形的水平直观图， 所以可得原图形是一平行四边形，且，，， 所以平行四边形的面积为. 故答案为：. 13. 一个正六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，则该六棱锥的侧面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由底面边长得到底面积，结合体积公式算出棱锥的高，进而求出侧高得到一个侧面三角形的面积，即可得出侧面积. 【详解】如图，在正六棱锥中，是底面中心，则平面， 连接，取中点，连接. 根据正六边形性质，是等边三角形， 且底面积， 根据棱锥体积公式，，则， 又，在中，， 于是， 故棱锥的侧面积是. 故答案为： 14. 如图，在中，，D,E分别边AB,AC上的点,且，则______________，若P是线段DE上的一个动点，则的最小值为_________________. 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】 由利用数量积公式可求的值为1，设的长为，则，，利用平面向量的几何运算法则结合数量积的运算法则，可得，再利用配方法可得结果 【详解】，； 又因为且，为正三角形， ，，， 设的长为（），则，， 时取等号， 的最小值为. 故答案为：1，. 【点睛】向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，且//. （1）求和； （2）若，求向量与向量的夹角的大小. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直和平行的坐标关系求解； （2）结合（1）中结果，利用夹角公式求解. 【小问1详解】 由//可得，解得，则； 由可得，解得，则. 【小问2详解】 由（1），，， 根据夹角公式，， 又向量夹角的范围是，则向量与向量的夹角的大小是 16. 在直三棱柱中，，点为线段的中点. （1）证明：； （2）求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】（1） 由直三棱柱，可得平面，又平面， 所以，又，，平面， 所以平面，又，所以平面， 又平面，所以； （2） 【解析】 【分析】（1）由已知易证平面，进而可得平面，可得结论； （2）取中点，连接，，可得或其补角为直线与直线所成的角，据此计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接， 因为点为线段的中点，所以， 所以或其补角为直线与直线所成的角， 在中，可得， 在中，则， 在中，则，所以， 在中，则， 在中，由余弦定理可得， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 17. 如图，在平面四边形ABCD中，已知，，.在AB边上取点E，使得，连接EC，ED.若，. （1）求的值； （2）求CD的长. 【答案】（1）；（2）7. 【解析】 【分析】（1）在中，由正弦定理可得，代入已知条件即可求解； （2）由同角三角函数关系求出，进而求出，由余弦定理得，计算可得CD. 【详解】（1）在中，由正弦定理，知， 因为，，， 所以； （2）因为，所以， 所以， 因为，所以为直角三角形，又， 所以， 在中，， 所以. 【点睛】本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题. 18. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱上的动点. （1）若，求证：平面； （2）若平面，计算的值. （3）若，请在图中作出四棱锥过点及棱中点的截面，并求出截面周长. 【答案】（1） 设线段的中点，连接， 因为， 所以分别为线段的中点， 所以，且， 又，且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）； （3）截面如图所示： . 【解析】 【分析】（1）取线段的中点，连接，通过证明可得结论； （2）设为线段靠近点的三等分点，通过证明平面即可求解； （3）取线段的中点，连接，通过证明，得到四边形为截面，然后分别求出各边的长即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设为线段靠近点的三等分点，连接，设，连接， 因为底面为梯形，所以，所以，即, 因为，所以， 因为又平面，平面， 所以平面， 要使平面，则与重合，故； 【小问3详解】 设线段的中点，连接， 因为为棱的中点，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又分别为线段， 所以， 所以，则四边形为四棱锥过点及棱中点的截面，如图所示， 则，，，，， 在中，， 所以，则， 所以截面周长为. 19. 的内角的对边分别为.已知为线段上一点，为射线上一点. （1）求角的大小； （2）若，且，求. （3）为线段上一点，且，求面积的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式得到，再结合并利用正弦定理得到即可. （2）建立平面直角坐标系，利用中点坐标公式得到，利用两点间距离公式得到，再利用平面向量数量积的定义得到的余弦值，最后利用三角形内角的性质求出即可. （3）利用正弦定理得到，，，再利用锐角三角函数的定义求出，进而表示，再利用正弦函数有界性求其最小值，最后再利用三角形面积公式求解三角形面积的最小值即可. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得， 而在中，可得， 由两角和的正弦公式得， 即，因为，所以， 故，即，因为，所以， 因为，所以由正弦定理得， 解得，因为，所以. 【小问2详解】 如图，以为原点建立平面直角坐标系，连接， 因为，，所以，， 得到，因为，所以是的中点， 由中点坐标公式得，设， 因为，所以由两点间距离公式得， 解得（正根舍去），得到， 则，， 得到， 由题意得是的内角，则. 【小问3详解】 首先，我们作出符合题意的图形，如图所示， 设，易得，则，， 因为，所以，得到， 由已知得，则，且设， 在中，由正弦定理得，解得， 在中，由诱导公式得， 在中，由正弦定理得，解得， 因为，所以，而，则， 结合，故，解得， 故，其中， 由正弦函数性质得当时，最小，此时， 则，故面积的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田一中2024-2025学年度下学期第一学段考试试卷 高一数学必修二 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若，则　　 A. B. C. D. 2. 已知，向量与向量的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量等于（ ） A. B. C. D. 3. 平面向量与的夹角为，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知a，b为两条直线，，为两个平面，且满足，，，，则“与异面”是“直线与l相交”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 记的内角的对边分别为.若的面积为，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在长方体中，，若面对角线上存在一点，使得取得最小值，则此最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 7. 已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为8和6，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为，则该花盆的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，福建莆田广化寺东侧的释迦文佛塔是一座古老的五层石塔.某数学兴趣小组成员为测量释迦文佛塔的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的三处进行测量，如图2已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则根据该测量方案可测得释迦文佛塔的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.选对但不全对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，若是纯虚数，则（ ） A. a=2 B. C. 的实部是 D. 的实部与虚部互为相反数 10. 在中，内角、、的对边分别为、、，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若为锐角三角形，则 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，的三角形有两解，则的取值范围为 11. 棱长为的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 三棱锥的外接球的表面积为 C. 若平面，则的最小值为 D. 若，则动点的轨迹长度为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图所示，正方形为一个水平放置的平面图形用斜二测画法画出的直观图，且，则原平面图形的面积为__________. 13. 一个正六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，则该六棱锥的侧面积为__________. 14. 如图，在中，，D,E分别边AB,AC上的点,且，则______________，若P是线段DE上的一个动点，则的最小值为_________________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，且//. （1）求和； （2）若，求向量与向量的夹角的大小. 16. 在直三棱柱中，，点为线段的中点. （1）证明：； （2）求直线与直线所成角的余弦值. 17. 如图，在平面四边形ABCD中，已知，，.在AB边上取点E，使得，连接EC，ED.若，. （1）求的值； （2）求CD的长. 18. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱上的动点. （1）若，求证：平面； （2）若平面，计算的值. （3）若，请在图中作出四棱锥过点及棱中点的截面，并求出截面周长. 19. 的内角的对边分别为.已知为线段上一点，为射线上一点. （1）求角的大小； （2）若，且，求. （3）为线段上一点，且，求面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $