精品解析：甘肃省武威市民勤县第四中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

民勤四中2024-2025学年度第二学期期中考试 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据求导公式求，再求即可. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：D. 2. 以下四个命题中，正确的是（ ） A. 向量与向量垂直 B. 为直角三角形的充要条件是 C. 若为空间的一个基底，则，，构成空间的另一基底 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用垂直的向量表示判断A；利用三角形中不一定为直角，结合充要条件概念判断B；利用共面向量基本定理及基底的概念判断C；根据数量积的运算律判断D. 【详解】A：因为，，所以，与不垂直，故A错误； B：由，知，即. 而为直角三角形只需一个角为直角即可，不一定是， 所以无法推出，故B错误； C：因为为空间的一个基底，设，即，无解， 所以不共面，则构成空间的另一基底，故C正确； D：，当时，，故D错误. 故选：C. 3. 若向量，，且与的夹角余弦值为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量夹角余弦公式及数量积公式计算求参. 【详解】由已知有：，解得，由已知得，所以． 故选：A. 4. 设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数与函数极值点的关系判断可得出合适的选项. 【详解】因为函数在处取得极小值， 在左侧附近，，此时，， 在右侧附近，即存在，使得当，使得， 此时，，C选项合乎题意. 故选：C. 5. 正四棱锥中，，则直线与平面所成角的正弦值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出和平面的法向量，直线与平面所成角的正弦值即为与的夹角的余弦值的绝对值，利用夹角公式求出即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系. 有图知， 由题得、、、. ，，. 设平面的一个法向量， 则，， 令，得，， . 设直线与平面所成的角为，则. 故选：C. 【点睛】本题考查线面角的求解，利用向量法可简化分析过程，直接用计算的方式解决问题，是基础题. 6. 已知是的极值点，则在上的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导根据极值点处导数为0，解出，分析导数正负，确定函数单调性，比较极大值和端点处的函数值，从而确定答案即可. 【详解】由题意, 且 则 , 当 时,单调递减; 当 或 时, 单调递增, 在上, 单调递增; 单调递减, 又因为， 所以， 所以， 在上最大值是, 故选： A. 7. 《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以基，其形露矣．”文中“阳马”是底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．在阳马中，侧棱底面，且，，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等体积法有，即可求到平面的距离. 【详解】 设到平面的距离为，则三棱锥PABD的体积为： ，即有， ∴． 故选：B． 8. 若，则正实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】不等式可化为，故考虑构造函数， 利用导数研究函数的单调性，结合单调性化简不等式可得，由已知 ，再利用导数求函数的最小值，可得的取值范围. 【详解】不等式，可化为， 设，则， 即在上单调递增，而， 因为，所以， 由已知恒成立， 令，则， 当时，即递减； 当时，即递增； ∴， 故只需，即．又， 所以的取值范围为. 故选：B 【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： (1)恒成立⇔； (2)恒成立⇔ 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 在每个题所给的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分． 9. [多选题]如图，已知平行六面体，点是的中点，下列结论中正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由向量的线性运算依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，四边形是平行四边形，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确． 故选：ACD． 10. 已知函数的定义域为，部分对应值如下表： x −1 0 4 5 f (x) 1 2 2 1 的导函数的图象如图所示，关于的命题正确的是（ ） A. 函数是周期函数 B. 函数在上是减函数 C. 函数的零点个数可能为0，1，2，3，4 D. 当时，函数有 4个零点 【答案】BC 【解析】 【分析】先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象，再借助与图象和导函数的图象，对五个命题，一一进行验证即可得到答案. 【详解】由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大致图象可由以下两种代表形式，如图： 由图得：A为假命题，函数不能断定为是周期函数； B为真命题，因为在上导函数为负，故原函数递减； C为真命题，动直线与图象交点个数可以为0、1、2、3、4个， 故函数的零点个数可能为0、1、2、3、4个； D为假命题，当离1非常接近时，对于第二个图，有2个零点，也可以是3个零点， 故选：BC. 【点睛】本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系，二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减，考查了通过函数图象研究零点的个数，属于中档题. 11. 如图甲，在正方形中，，分别是，的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点（如图乙），则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面平面 C. 平面与平面夹角的余弦值为 D. 点在平面上的投影是的外心 【答案】AB 【解析】 【分析】由线面垂直的判定定理证明线面垂直，从而得到线线垂直即可判断选项A；由面面垂直的判定定理即可证明面面垂直判断选项B；建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，由面面夹角的向量求法求解即可判断选项C；由于，所以点在平面上的投影不是的外心即可判断选项D. 【详解】对于A，如图，取的中点，连接，，由和为等腰三角形， 得，，又，⊂平面， 所以平面，又平面，所以，故A正确． 对于B，根据折起前后，可知，，，所以平面， 又平面，所以平面平面，故B正确． 对于C，将图乙翻转并建立如图所示的空间直角坐标系，设图甲中的， 则，，，，故，． 由于平面，所以为平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，， 则为平面的一个法向量， ， 所以平面与平面夹角的余弦值为．故C错误． 对于D，由于，故点在平面上的投影不是的外心，故D错误． 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】求得，所以，，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】由函数，可得，所以，， 所以曲线在处的切线方程为，即. 故答案为：. 13. 已知，，，点，若平面，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质，结合空间向量数量积的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为，，，点， 所以， 因为平面， 所以， 所以点的坐标为， 故答案为： 14. 已知函数则满足的取值范围是_________ 【答案】 【解析】 【分析】利用的单调性解不等式 【详解】， 而，，均在区间内单调递增， 故在区间内单调递增，则可化为，解得 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知空间中的三点，，，设，. （1）若与互相垂直，求的值； （2）求点到直线的距离. 【答案】(1) 或 （2） 【解析】 【分析】 (1）写出两个向量的坐标，利用向量的数量积为0，求解k即可． (2）求出直线PM的单位方向向量为，然后利用空间点到直线的距离公式求解即可. 【详解】因为，，， 所以 （1），， 因为， 所以， 整理得， 解得或， 所以的值为或. (2) 设直线的单位方向向量为， 则 由于， 所以， 所以点N到直线PM的距离 【点睛】关键点点睛：根据空间向量的坐标表示，利用向量垂直的数量积为0，向量表示的点到直线的距离公式是解决本题的关键,考查了运算能力，属于中档题. 16. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）求函数在上的最大值和最小值． 【答案】（1）极小值为，极大值为0 （2），. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，再列表得出函数单调性及函数的极值； （2）求出导函数，再列表得出函数单调性及函数的极值比较得出函数最值； 【小问1详解】 定义域，令，， 0 2 0 0 单调递减 极小值 单调递增 极大值0 单调递减 当时，有极小值，极小值为； 当时，有极大值，极大值为． 【小问2详解】 0 2 3 0 0 16 单调递减 极小值 单调递增 极大值0 单调递减 所以，.． 17. 如图所示在多面体中，平面，四边形是正方形，，，，. （1）求证：直线平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 证明：因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 设平面的法向量为，，，， 则，取，可得， 所以，，， 平面，所以，平面. （2） 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得直线平面； （2）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：设平面的法向量为，，， 则，取，可得， . 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 18. 某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著名品牌”系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研得知，发现系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格（元/千克）近似满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为6元/千克时，每日可售出系列15千克. （1）求函数的解析式； （2）若系列的成本为4元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大. 【答案】（1）；（2）当销售价格为5元/千克时，系列每日所获得的利润最大. 【解析】 【详解】分析：（1）根据题意已知销售价格为6元/千克时，每日可售出系列15千克.即可求出a得到解析式；（2）设该商场每日销售系列所获得的利润为，然后根据利润计算式得出具体表达式，然后根据导数求最值思维求解即可. 详解： （1）有题意可知，当时，，即， 解得， 所以. （2）设该商场每日销售系列所获得的利润为，则 ， ， 令，得或（舍去）， 所以当时，为增函数； 当时，为减函数， 故当时，函数在区间内有极大值点，也是最大值点， 即时函数取得最大值. 所以当销售价格为5元/千克时，系列每日所获得的利润最大. 点睛：考查函数的表示，导函数最值的应用，正确理解题意，写出具体表达式，然后借助导数分析思维求解是解题关键，做此类题要有耐心，认真审题，读懂题意，属于中档题. 19. 正三角形所在的平面与菱形所在的平面互相垂直，，，是的中点. （1）求证：； （2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） ∵，是的中点，∴， ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面，平面， ∴. （2）存在，，利用如下： 由（1）知平面，平面， ∴，菱形中，， 所以是正三角形，∴． ∴ 两两垂直．建立如图所示空间直角坐标系． 则，，，，， 因为轴垂直平面，所以设平面的法向量为 ，， 设，， 则， ∵直线与平面所成的角为， ， 由，解得，∴． 【解析】 【分析】（1）由面面垂直可得线面垂直，进而可得线线垂直. （2）在空间直角坐标系中，利用空间向量求解线面角，进而可知点的位置，进而可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 民勤四中2024-2025学年度第二学期期中考试 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 以下四个命题中，正确的是（ ） A. 向量与向量垂直 B. 为直角三角形的充要条件是 C. 若为空间的一个基底，则，，构成空间的另一基底 D. 3. 若向量，，且与的夹角余弦值为，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 正四棱锥中，，则直线与平面所成角的正弦值为 A. B. C. D. 6. 已知是的极值点，则在上的最大值是（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以基，其形露矣．”文中“阳马”是底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．在阳马中，侧棱底面，且，，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 若，则正实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 在每个题所给的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分． 9. [多选题]如图，已知平行六面体，点是的中点，下列结论中正确的是（ ）． A. B. C. D. 10. 已知函数的定义域为，部分对应值如下表： x −1 0 4 5 f (x) 1 2 2 1 的导函数的图象如图所示，关于的命题正确的是（ ） A. 函数是周期函数 B. 函数在上是减函数 C. 函数的零点个数可能为0，1，2，3，4 D. 当时，函数有 4个零点 11. 如图甲，在正方形中，，分别是，的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点（如图乙），则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面平面 C. 平面与平面夹角的余弦值为 D. 点在平面上的投影是的外心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在处的切线方程为______. 13. 已知，，，点，若平面，则点的坐标为________． 14. 已知函数则满足的取值范围是_________ 四、解答题：本题共5小题，共77分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知空间中的三点，，，设，. （1）若与互相垂直，求的值； （2）求点到直线的距离. 16. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）求函数在上的最大值和最小值． 17. 如图所示在多面体中，平面，四边形是正方形，，，，. （1）求证：直线平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著名品牌”系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研得知，发现系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格（元/千克）近似满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为6元/千克时，每日可售出系列15千克. （1）求函数的解析式； （2）若系列的成本为4元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大. 19. 正三角形所在的平面与菱形所在的平面互相垂直，，，是的中点. （1）求证：； （2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $