精品解析：湖南省娄底市2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题

2025年上学期高一期中考试试卷 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 命题人：娄底四中 彭志良 审题人：娄底金海 周琪 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A B. C. D. 2. 若复数（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 3. 在中，为线段的靠近点的一个三分点，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. 2 C. 2023 D. 2025 5. 在中，角的对边分别为，则的外接圆面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角的对边分别为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则三角形为锐角三角形 8. 已知单位向量、、满足，则的值为（ ） A B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组向量中，不能作为基底的是（ ） A. B. C D. 10. 已知函数，则下列命题正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 将函数的图象向右平移个单位长度后所得的图象与函数的图象重合 11. 已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意a，都满足，则下述正确的是（ ） A. B. C. 奇函数 D. 若，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③菱形的直观图一定是菱形.以上结论正确的是__________. 13. 已知向量，则在上的投影向量为__________. 14. 已知，且，则的最小值是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 娄底四中校内有块空地，为美化校园环境，学校决定将空地建成一个小花园，市园林公司中标该项目后须购买一批机器投入施工，据分析，这批机器可获得的利润（单位：万元）与运转的时间（单位：年）的函数关系为. （1）当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润是多少？ （2）当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？ 16. 已知. （1）若，求的坐标； （2）若，求与的夹角的余弦值. 17. 在中，角对边分别为. （1）求. （2）若，求的面积的最大值. 18. 在中，已知分别为上的点，且. （1）求； （2）求证：； （3）若是线段上的动点，满足均为正常数，求的最大值. 19. 已知函数. （1）解方程； （2）判断函数的奇偶性，并说明理由； （3）若函数在上只有一个零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上学期高一期中考试试卷 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 命题人：娄底四中 彭志良 审题人：娄底金海 周琪 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集含义即可得到答案. 【详解】由题意知. 故选：C. 2. 若复数（为虚数单位），则的虚部为（ ） A B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出可得答案. 【详解】，则的虚部为. 故选：A. 3. 在中，为线段的靠近点的一个三分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为为线段的靠近点的一个三分点，所以， 所以. 故选：B 4. 若，则（ ） A. B. 2 C. 2023 D. 2025 【答案】A 【解析】 【分析】根据同角三角函数的商式关系，可得答案. 【详解】. 故选：A. 5. 在中，角的对边分别为，则的外接圆面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用余弦定理求得，由正弦定理求外接圆半径，进而求圆的面积. 【详解】由题设，则， 所以外接圆半径，故圆的面积为. 故选：D 6. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，可得出，结合求出的值，再利用对数和指数的互化可求得的值. 【详解】因为， 由于，则，令，则，于是有， 整理可得，因为，解得，即，解得. 故选：B. 7. 在中，角的对边分别为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则三角形为锐角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】应用三角形内角和及诱导公式判断A；由正弦定理判断B；注意以钝角三角形作反例判断C；由正弦边角关系及余弦定理判断D. 【详解】A：由，错； B：由，则，又，则，对； C：对于钝角三角形，若，此时，错； D：由，则，故， 所以为锐角，但不能说明三角形为锐角三角形，错. 故选：B 8. 已知单位向量、、满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知等式变形得出，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值，同理可得出、的值，再由结合平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】因为单位向量、、满足， 则，所以， 所以，，解得，同理可得， 因为 . 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组向量中，不能作为基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据平行向量的坐标表示，建立方程组，集合基底的定义，可得答案. 【详解】对于A，令，则，显然无解，则向量不共线，故A不合题意； 对于B，令，则，显然无解，则向量不共线，故B不合题意； 对于C，令，则，解得，则向量共线，故C符合题意； 对于D，令，则，解得，则向量共线，故D符合题意. 故选：CD. 10. 已知函数，则下列命题正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 将函数的图象向右平移个单位长度后所得的图象与函数的图象重合 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断B选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项；利用三角函数图象变换可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，A对； 对于B选项，因为，故函数的图象关于直线对称，B对； 对于C选项，当时，， 所以，函数在区间上不单调，C错； 对于D选项，将函数的图象向右平移个单位长度后， 得到函数的图象，D对. 故选：ABD. 11. 已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意a，都满足，则下述正确的是（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 分析】对取特殊值代入已知表达式即可求解 【详解】令，则，故A正确； 令，则，则，故B错误； 令，则，所以， 又令，则， 所以奇函数，故C正确； 令，则， 所以，故D正确； 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③菱形的直观图一定是菱形.以上结论正确的是__________. 【答案】① 【解析】 【分析】利用斜二测画法规则，对各结论逐一判断，即可得到结果. 【详解】由斜二测画法规则知，斜二测画法保持平行性不变，因此原相交直线，利用斜二测画法得到的仍是相交直线， 三角形的直观图一定是三角形，①正确； 斜二测画法中只有平行于轴或在轴上的线段，长度保持不变， 因此正方形、菱形的相邻两边，利用斜二测画法得到的线段不等，②③错误. 故答案为：① 13. 已知向量，则在上的投影向量为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的计算，结合数量积以及模长的计算，可得答案. 【详解】在上的投影向量为. 故答案为：. 14. 已知，且，则的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，且， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 娄底四中校内有块空地，为美化校园环境，学校决定将空地建成一个小花园，市园林公司中标该项目后须购买一批机器投入施工，据分析，这批机器可获得的利润（单位：万元）与运转的时间（单位：年）的函数关系为. （1）当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润是多少？ （2）当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？ 【答案】（1）第7年时，可获得最大利润45万元 （2） 【解析】 【分析】（1）对已知的二次函数配方可求得结果； （2）设这批机器的年平均利润为，则且然后利用基本不等式可得其最大值. 【小问1详解】 故当时，取得最大值，最大值为45，所以这批机器运转第7年时，可获得最大利润45万元； 【小问2详解】 记年平均利润为，则14 当且仅当，即时，等号成立. 16. 已知. （1）若，求的坐标； （2）若，求与的夹角的余弦值. 【答案】（1）的坐标为或 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行向量的坐标表示，建立方程组，可得答案； （2）根据数量积的运算律，求得数量积的值，结合数量积的定义式，可得答案. 【小问1详解】 设，由题意有，解得或. 故的坐标为或； 【小问2详解】 由化简整理得， 则，解得， =. 17. 在中，角的对边分别为. （1）求. （2）若，求的面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理结合辅助角公式计算求解； （2）应用余弦定理结合基本不等式计算求值. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得，因为0， 所以，，又，所以. 【小问2详解】 因为， 由余弦定理可得，所以4， ， 当且仅当时，取的面积的最大值. 18. 在中，已知分别为上的点，且. （1）求； （2）求证：； （3）若是线段上的动点，满足均为正常数，求的最大值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据数量积运算律及数量积定义，转化法计算得出模长； （2）根据数量积运算律及数量积定义，得出，即可证明； （3）应用平面向量基本定理结合共线得出结合基本不等式计算求出最大值. 【小问1详解】 ，-，， 所以，； 【小问2详解】 ，所以，所以； 【小问3详解】 因为，由三点共线可得，， 所以，所以，当且仅当时取最大值. 19. 已知函数. （1）解方程； （2）判断函数的奇偶性，并说明理由； （3）若函数在上只有一个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2）偶函数，理由见解析 （3）2或 【解析】 【分析】（1）证明即可求解； （2）求出定义域，根据奇偶性的定义判断即可； （3）把函数零点问题转化为方程根的问题，结合换元法和判别式进行求解. 【小问1详解】 由得， 所以，所以， 令，解得，所以； 【小问2详解】 定义域为，关于原点对称， ， 所以函数为偶函数； 【小问3详解】 函数有唯一零点等价于方程有唯一解， 即方程有唯一解， 整理得， 令，即方程有唯一正数根， ①若，此时符合题意； ②若，则 当时，符合题意， 当时，不合题意，舍去， 当时，，方程有两相异实根，符合题意， 当且时，则， 只需， 所以(舍去)， 综上，实数的取值范围是2或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$