精品解析：山西省2024-2025学年高二下学期4月份期中调研测试数学试题

山西20242025学年高二年级4月份期中调研测试 数学试题 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：选择性必修第二册占40%，选择性必修第三册第六、七章占60%． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 6位老师去3所不同的学校参观学习，每位老师可自由选择去其中的1所学校，则不同选择的种数为（ ） A. B. C. 18 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】根据题意，由分步乘法计数原理，可知每人的选择均有3种，故不同选择的种数为． 故选：A. 2. 设的导函数为，曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到曲线在点处的切线的斜率为，进而得到的值，得到答案. 【详解】曲线在点处的切线与直线垂直， 可得曲线在点处的切线的斜率为，所以． 故选：C. 3. 已知某种零件的尺寸（单位：mm）在内的为合格品．某企业生产的该种零件的尺寸服从正态分布，且，则估计该企业生产的1000个该种零件中合格品的个数为（ ） A. 910 B. 940 C. 960 D. 970 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求出合格品的概率，继而即可求解. 【详解】由零件的尺寸服从正态分布，且， 得， 所以该企业生产的1000个该种零件中合格品的个数估计为． 故选：. 4. 设各项均为正数的等比数列的前项和为，且，则（ ） A. 4 B. 5 C. 16 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】由已知根据等比数列的通项公式可得，再根据等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，所以， 因为等比数列各项均为正数，所以， 所以. 故选：. 5. 小明射击三次，每次射中的概率均为，且每次射击互不影响，射中一次得5分，没射中得0分，若射击三次后总得分为，则（ ） A. B. 12 C. 15 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】设小明射中的次数为，得到，求得，结合，结合方差的性质，即可求得的值，得到答案. 【详解】设小明射中的次数为， 因为每次射击互不影响，且每次射中的概率均为，所以随机变量， 则，， 又因为射中一次得5分，没射中得0分，所以，则． 故选：D. 6. 某高校就业指导小组计划安排甲、乙等6人去4家不同的公司进行实习工作，每家公司至少安排1人，每人只去一家公司，则甲、乙去同一家公司的不同安排方法总数为（ ） A. 180 B. 240 C. 360 D. 480 【答案】B 【解析】 【分析】分两种情况，成员人数分组为3，1，1，1和分组为2，2，1，1，利用排列组合知识将两种情况下的安排方法数求出，相加即可. 【详解】将这6名成员分成四组，再分配到不同的公司，若成员人数分组为3，1，1，1， 先从剩余的4人选择1人和甲，乙一组，其他人各自为一组，再进行分配， 则不同的安排方法种数为种； 若成员人数分组为2，2，1，1，甲，乙为一组，再从剩余4人中选择2人为一组，其他2人各自为1组， 则不同的安排方法种数为种， 故不同的安排方法共有种． 故选：B 7. 已知函数在上单调，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，求得，再令，求得，结合，求得函数的单调性，再由，结合函数在上单调递增，列出不等式组，即可求解. 【详解】令函数，可得， 令，可得， 所以函数在上单调递增，且， 所以当时，，即，函数单调递减； 当时，，即，函数单调递增，且． 要使得函数在上单调递增，则， 解得或，即实数的取值范围是. 故选：D. 8. 甲、乙两人进行乒乓球决赛，比赛采取七局四胜制（当一人赢得四局比赛时，该人获胜，比赛结束）．若甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获胜的条件下，比赛进行了七局的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得甲比赛四局、五局、六局和七局获胜的概率，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，若比赛四局，则甲赢的概率为； 若比赛五局，甲第五局赢，可得甲赢的概率为； 若比赛六局，甲第六局赢，可得甲赢的概率为； 若比赛七局，甲第七局赢，可得甲赢的概率为， 所以甲赢的概率为， 所以甲获胜的条件下，比赛进行了七局的概率为． 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 各项系数之和为1 B. 二项式系数的和为6 C. 常数项为60 D. 的系数为 【答案】ACD 【解析】 【分析】在二项式中令可得各系数之和判断A，展开式各二项式系数和为判断B， 根据二项展开式的通项公式判断CD. 【详解】令，则各项系数的和为，A说法正确； 二项式系数的和为，B说法错误； 展开式的通项为， 令解得，所以常数项为，C说法正确； 令解得，所以的系数为，D说法正确； 故选：ACD 10. 已知函数，其导函数为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 无最大值，有最小值 D. 若函数有两个零点，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到，可判定A正确；求得函数的单调区间，可得判定B错误；作出的大致图象，可判定C正确；由和，结合有两个零点，求得的取值范围，可得判定D错误． 【详解】由函数，可得，则.所以A正确； 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减.所以B错误； 作出的大致图象，如图所示，可得无最大值，有最小值.所以C正确； 又由，， 所以函数有两个零点，则或，所以D错误． 故选：AC. 11. 某校为了培养学生们的航天精神，特意举办了关于航天知识的知识竞赛，竞赛一共包含3题．规定答对一题得10分，答错不得分．若答对一题，则答对下一题的概率为；若答错一题，则答对下一题的概率为，若同学答对第1题的概率，则下列说法正确的是（ ） A. “同学答对第1题”和“同学答错第1题”是互斥事件 B. 若同学答错第1题，则同学得20分的概率为 C. 若同学答对第1题，则同学答对第3题的概率为 D. “同学答对第1题”与“同学答对第3题”相互独立 【答案】AC 【解析】 【分析】根据互斥事件的概念与判定，可判定A正确，根据概率的乘法公式，求得，可得判定B错误；根据全概率的计算公式，可得判定C正确；根据全概率公式，求得，结合，可判定D错误. 【详解】对于A中，事件“同学答对第1题”与“同学答错第1题”不可能同时发生， 所以是互斥事件，所以A正确； 对于B中，若同学答错第1题，设事件“第题答题正确”，， 则事件“同学得20分”即事件， 由概率乘法公式得，，所以B错误； 对于C中，若同学答对第1题， 设事件“第题答题正确”，“第题答题错误”，其中， 由全概率公式得， ，所以C正确； 对于D中，由C项知，若同学答对了第1题， 设事件“第题答题正确”，“第题答题错误”，其中， 由全概率公式可得， 即，所以， 即第1题回答是否正确对第3题答题正确的概率有影响，故“同学答对了第1题”与“同学答对第3题”不相互独立，所以D错误． 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若甲、乙等5人站成一排，则甲、乙不相邻的排法种数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先将除甲、乙外的3人排列，再将甲、乙两人插空，即可求解. 【详解】先将除甲、乙外的3人排列，有种排法，再将甲、乙两人插空，有种排法， 综上共有种不同排法． 故答案为：. 13. 设为首项不为0的等差数列的前项和，若，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，依题意由等差数列求和公式得到，即可得解. 【详解】设等差数列的公差为， 由得，所以， 所以． 故答案为： 14. 已知，则_____． 【答案】6075 【解析】 【分析】对给定等式两边求导，再利用赋值法求解. 【详解】对两边同时求导得： ， 取，得. 故答案为：6075 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的展开式中，只有第4项的二项式系数最大． （1）求展开式中第3项的系数； （2）求该展开式中系数最大的项． 【答案】（1）60 （2） 【解析】 【分析】（1）根据只有第4项的二项式系数最大，故，求出展开式的通项，得到第3项系数； （2）法一：设第项的系数最大，从而得到不等式组，得到，所以展开式中的系数最大的项为； 法二：在（1）基础上，分别求出从第1项到第7项系数，得到展开式中的系数最大的项为； 【小问1详解】 只有第4项的二项式系数最大，故的展开式共7项， 由题意， 故展开式的通项为， 令，则第3项的系数为； 【小问2详解】 法一：设第项的系数最大，展开式的通项为， 则 即解得． 因为，所以，所以展开式中的系数最大的项为． 法二：由（1）知展开式的通项为． 则从第1项到第7项系数分别为1，24，60，160，240，192，64， 所以展开式中系数最大的是第5项，即． 16. 袋中装有大小、形状、材质完全相同的小球，其中3个红球，4个黄球．现从袋子中一次性摸出3个球． （1）求摸出的红球个数多于黄球的概率； （2）记摸出黄球的个数为，求的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列为 期望为【解析】 【分析】（1）由已知可得从7个球中取3个球的基本事件总数为，设事件然后根据古典概型的计算方法求解即可； （2）由题意可得的所有可能取值，分别计算出概率可得分布列，由期望的公式即可求解. 【小问1详解】 由题意可知，从7个球中取3个球，基本事件总数， 设事件表示“取出的红球个数多于黄球”，表示“恰好取出3个红球”， 表示“恰好取出2个红球1个黄球”，则，彼此互斥， 且，，， 所以摸出的红球个数多于黄球的概率； 【小问2详解】 由题意知的所有可能取值为0，1，2，3， 则，， ，， 所以的分布列为 所以. 17. 已知数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前n项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据累加法求出数列的通项公式； （2）利用分组求和与错位相减法求出数列的前n项和. 【详解】（1）由已知，当时， ， 而，所以数列的通项公式为； （2）由， 知， 令——①， ——②， 由①-②得， 整理得， 又因为， 所以. 【点睛】本题主要考查了通过累加法求数列通项公式，错位相减法求数列前项和，属于一般题. 18. 暑假来临之际，某校组织学生去敬老院进行慰问演出，计划表演合唱和跳舞两个节目，据统计，该校的学生只表演合唱，另外的学生既表演合唱又表演跳舞，每位学生若只表演合唱，则记1分；若既表演合唱又表演跳舞，则记2分．假设每位学生是否表演跳舞相互独立，视频率为概率． （1）从该校学生中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望及方差； （2）从该校学生中随机抽取若干人，在总得分为4的条件下，求抽取了3人的概率； （3）从该校学生中随机抽取若干人逐个统计，记这些人的合计得分出现分的概率为，求数列的通项公式． 【答案】（1）的分布列如下表所示： 2 3 4 ， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先得到X的可能取值为2，3，4，再分别计算各自取值的概率列出的分布列，进而利用数学期望和方差公式计算即可； （2）由条件概率的计算公式可得结果； （3）由题意得，利用数列的构造法计算得到的通项公式. 【小问1详解】 X的可能取值为2，3，4， 可得，，． 所以的分布列如下表所示： 2 3 4 所以． ． 【小问2详解】 设“总得分为4”为事件，“抽取了3人”为事件， 则，， 所以在总得分为4的条件下，抽取了3人的概率为． 【小问3详解】 由题意可知， 其中， 所以， 又，所以是首项为1的常数列，故， 所以，又， 所以是以首项为，公比为的等比数列， 故，即． 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设， 是的两个极值点． ①求的取值范围； ②证明：． 【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减． （2）① ； ②证明：由①可得， 方程存在两个不相等的实数根为，由①不妨设， 令， 可得，由，当且仅当时取等号，则， 所以函数在上单调递增， 由，当时，可得， 由，且函数在上单调递减， 可得，即； 由当时，，则函数在上单调递减， 由，则，所以， 要证，只需证， 由，令， 可得，令，则， 所以函数在上单调递增， 当时，，即， 所以函数在上单调递增，当时，， 所以不等式在上恒成立，可得． 综上所述，． 【解析】 【分析】（1）求得，分和，结合的符号，即可求得函数的单调区间； （2）①由，求得，令，求得，求得函数的单调性，根据，得到，再由，令，求得，得到函数的单调性，得到，进而求得的取值范围；②由①得，根据方程存在两个不相等的实数根为，设，令，求得，得到，得到在上单调递增，进而得到在上单调递减，得到，得出在上递减，得到，再令，求得，令，得到，求得在上单调递增，进而得到在上递增，求得，即可得证. 【小问1详解】 解：由函数，可得， 若，则，函数在上单调递增； 若，令，可得；令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 解：①由，可得， 令，可得，函数存在两个零点， 令，可得；令，可得， 所以在上单调递减；在上单调递增， 所以，解得， 由，令，可得， 令，得；令，得， 所以在上单调递减；在上单调递增， 所以，则， 由，当时，函数存在两个零点， 所以的取值范围为． ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西20242025学年高二年级4月份期中调研测试 数学试题 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：选择性必修第二册占40%，选择性必修第三册第六、七章占60%． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 6位老师去3所不同的学校参观学习，每位老师可自由选择去其中的1所学校，则不同选择的种数为（ ） A. B. C. 18 D. 9 2. 设的导函数为，曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知某种零件的尺寸（单位：mm）在内的为合格品．某企业生产的该种零件的尺寸服从正态分布，且，则估计该企业生产的1000个该种零件中合格品的个数为（ ） A. 910 B. 940 C. 960 D. 970 4. 设各项均为正数的等比数列的前项和为，且，则（ ） A. 4 B. 5 C. 16 D. 17 5. 小明射击三次，每次射中的概率均为，且每次射击互不影响，射中一次得5分，没射中得0分，若射击三次后总得分为，则（ ） A. B. 12 C. 15 D. 18 6. 某高校就业指导小组计划安排甲、乙等6人去4家不同的公司进行实习工作，每家公司至少安排1人，每人只去一家公司，则甲、乙去同一家公司的不同安排方法总数为（ ） A. 180 B. 240 C. 360 D. 480 7. 已知函数在上单调，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙两人进行乒乓球决赛，比赛采取七局四胜制（当一人赢得四局比赛时，该人获胜，比赛结束）．若甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获胜的条件下，比赛进行了七局的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 各项系数之和为1 B. 二项式系数的和为6 C. 常数项为60 D. 的系数为 10. 已知函数，其导函数为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 无最大值，有最小值 D. 若函数有两个零点，则 11. 某校为了培养学生们的航天精神，特意举办了关于航天知识的知识竞赛，竞赛一共包含3题．规定答对一题得10分，答错不得分．若答对一题，则答对下一题的概率为；若答错一题，则答对下一题的概率为，若同学答对第1题的概率，则下列说法正确的是（ ） A. “同学答对第1题”和“同学答错第1题”是互斥事件 B. 若同学答错第1题，则同学得20分的概率为 C. 若同学答对第1题，则同学答对第3题的概率为 D. “同学答对第1题”与“同学答对第3题”相互独立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若甲、乙等5人站成一排，则甲、乙不相邻的排法种数为_____． 13. 设为首项不为0的等差数列的前项和，若，则_____． 14. 已知，则_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的展开式中，只有第4项的二项式系数最大． （1）求展开式中第3项的系数； （2）求该展开式中系数最大的项． 16. 袋中装有大小、形状、材质完全相同的小球，其中3个红球，4个黄球．现从袋子中一次性摸出3个球． （1）求摸出的红球个数多于黄球的概率； （2）记摸出黄球的个数为，求的分布列及数学期望． 17. 已知数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前n项和. 18. 暑假来临之际，某校组织学生去敬老院进行慰问演出，计划表演合唱和跳舞两个节目，据统计，该校的学生只表演合唱，另外的学生既表演合唱又表演跳舞，每位学生若只表演合唱，则记1分；若既表演合唱又表演跳舞，则记2分．假设每位学生是否表演跳舞相互独立，视频率为概率． （1）从该校学生中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望及方差； （2）从该校学生中随机抽取若干人，在总得分为4的条件下，求抽取了3人的概率； （3）从该校学生中随机抽取若干人逐个统计，记这些人的合计得分出现分的概率为，求数列的通项公式． 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设， 是的两个极值点． ①求的取值范围； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $