2025年四川省广安中学 中考适应性考试数学试题

数学试卷 第 1 页 共 ( 4 ) 页 四川省广安中学 2025 年度中考适应性考试 数学试题 注意事项： 1．本试卷分为试题卷（ 1 －4页）和答题卡两部分。考试时间 120分钟，满分 150分（A卷 100分， B卷50 分）。 2．考生答题前，请先将姓名、准考证号等信息用黑色墨迹签字笔填写在答题卡上的指定位置， 待监考教师粘贴条形码后，认真核对条形码上的姓名、准考证号与自己准考证上的信息是否一致。 3．请将选择题答案用 2B 铅笔填涂在答题卡上的相应位置，非选择题用 0.5 毫米黑色字迹签字 笔答在答题卡上的相应位置。超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；作图 题应先用铅笔画，确定不修改后，再用黑色字迹签字笔描黑。 4．考试结束，监考人员必须将参考学生和缺考学生的答题卡、试题卷一并收回。 A 卷（共 100 分） 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分） 1.中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，2025的相反数是（ ） A．2025 B．±2025 C．−2025 D．− 1 2025 2.电影《哪吒之魔童闹海》（简称《哪吒 2》）上映后票房表现强劲，截至到 2025 年 3 月 24 日，票房累计 达 153.11亿元。将 153.11亿用科学计数法表示为（ ） A. 1.5311 × 1010 B. 15.311 × 109 C. 1.5311 × 1011 D. 1.5311 × 109 3.下列运算正确的是（ ） A． 2 4 8a a a  B． 4 4 8a a a  C． 3 3 3( )ab a b D． 222 baba  ）（ 4.如图，这是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其主视图为（ ） A． B． C． D． 5.如图，��//��，点 E在��上，过点 E作��的垂线与��相交于点 F， 连接��，若∠��� = 40°，则∠���的度数为（ ） A．40° B． 45° C．50° D．55° 6.下列说法正确的是（ ） A．任意画一个三角形，其内角和是360°是必然事件 B．对参加中考进入考场考生的安检用随机抽样抽查 C．一组数据 2，4，6，x，7，4，6，9 的众数是 4，则这组数据的中位数是 4 D．在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，两团女演员的身高平均数相同， 方差分别为 2 21.5, 2.5S S 甲 乙 ，则甲芭蕾舞团的女演员身高更整齐 数学试卷 第 2 页 共 ( 4 ) 页 7.中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（‘两’为我国古代 货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两，阀马、牛各价几何？”设马每匹 x两，牛每头 y两，根据题 意可列方程组为（ ） A． 4� + 6� = 38 2� + 5� = 48 B． 4� + 6� = 48 2� + 5� = 38 C． 4� + 6� = 48 5� + 2� = 38 D． 4� + 6� = 48 2� + 5� = 38 8.若 1＜x＜2，则 � − 3 + (� − 1)2的值为（ ） A．2 B．4-2x C．-2 D．2x-4 9.如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内 的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度 h与注水时间 t之间的函数关系图象可能是 ( ) A． B． C． D． 10.如图，抛物线� = ��2 + �� + �与 x轴交于点 A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与 y轴的交点在（0， 2）和（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：①当 x＞3 时，y＜0； ②3a+b＞0；③ −1 ≤ � ≤− 23；④ 8 3 ≤ � ≤ 4．其中正确的是（ ） A． ①② B． ③④ C． ①③ D． ①③④ 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分） 11.因式分解：��3 − �3� ． 12.函数 3xy x   中，自变量 x的取值范围是 ． 13.若 ,  是一元二次方程 2 3 8 0x x   的两个根，则 2 4    的值为 ． 14．如图，正方形����的边长为 12，点�在��上，且�� = 3，点�是��上一动点， 则�� +��的最小值为 ． 三、解答题（本大题共 5个小题共 44分） 15.（10 分）（1）计算： 1 3 −1 + 1− 3 − 2 ��� 30° + (� − 2025)0 − 8 ． （2）先化简代数式 2 2 2 1 11 4 2 a a a a         ，再从2, 2,1, 1  四个数中选择一个数代入求值． 16.（8 分）“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出 的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知 A、B、C、D、E五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地， 并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择 其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部 分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整 的条形统计图和扇形统计图． 数学试卷 第 3 页 共 ( 4 ) 页 （1）请将条形统计图补充完整； （2）在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为 ；若该市有1000名中学生参加本次活动， 则选择 A大学的大约有 人； （3）甲、乙两位同学计划从 A、B、C三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两 人恰好选取同一所大学的概率． 17.（8 分）为确保“广安不夜城”项目能在春节期间如期向市民开放，工人们加班 加点赶工建设。“安全重于泰山”，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端， 梯子与地面所成的角 一般要满足53 72   ．如图，现有一架长 4m的梯子 AB斜 靠在一竖直的墙 AO上． （1）当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端 A与地面距离的最大值； （2）当梯子底端 B距离墙面 1.64m时，计算∠���等于多少度？并判断此时人是否 能安全使用这架梯子？（参考数据：���53° ≈ 0.80，cos53° ≈ 0.60，tan53° ≈ 1.33，���72° ≈ 0.95，cos72° ≈ 0.31，tan72° ≈ 3.08，���66° ≈ 0.91，cos66° ≈ 0.41，tan66° ≈ 2.25） 18.(8分）如图，在直角坐标系中，一次函数�1 = �� + �的图象与反比例函数�2 = � � 的 图象交于第二、四象限内的 A、B两点，与 y轴交于点 C，过点 A作�� ⊥ �轴，垂足 为 M，AM =3，OM =1，点 B的纵坐标为 1 ． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）结合函数图象，直接写出�� + � − k � > 0 时 x的取值范围； （3）连接 OA、OB．若点 P为 y轴上一动点，且�∆��� = �∆���，求点 P的坐标． 19.（10 分）如图，在∆���中，�� = ��，��平分∠���，交��于点�，以��为直径 作 O ，交��于点�，交��于点�，连接��交��于点�，连接��交��于点�，连接��． （1）求证：��是 O 的切线； （2）若�� = 3，�� = 4，求：①tan∠���的值；②线段��的长． B卷（共 50 分） 四、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分） 20.如图，在扇形 AOB中，∠AOB＝90°，正方形 CDEF的顶点 C是弧 AB的中点，点 D在 OB上，点 E在 OB的延长线上，当正方形 CDEF的边长为 3 2 时，则阴影部分 的面积为 ． 21.关于 x的一元二次方程方程��2+ 2� − 1 � + � = 3有实数根，则 k的取值范围是 ． 22.一般地，n个相同的因数 a相乘�·�·�·�····�记作��，如 2 × 2 × 2 = 23 = 8.此时，3叫做以 2为底的 8的 “劳格数”，记为�2(8)，则�2(8) = 3.一般地，若�� = �(� > 0且� ≠ 1)，则 n叫做以 a为底的 b的“劳格 数”，记为��(b) = n，如34 = 81，则 4叫做以 3为底的 81的“劳格数”，记为�3(81) = 4．则�3(9)，�3(27)， �3(243)满足关系式 ． α 数学试卷 第 4 页 共 ( 4 ) 页 23.如图，在直角△ ���中， 3AO  ， 1AB  ，将∆���绕点O顺时针 旋转105至 A B O △ 的位置，点 E是OB的中点，且点 E在反比例函 数 ky x  的图象上，则 k的值为 ． 24. 如图，在平面直角坐标系中，�� ⊥ �轴，垂足为 B，将△���绕点 A顺时针旋转到△��1�1的位置，使 点 B的对应点�1落在直线� = 3 4 �上，再将△��1�1绕点�1顺时针旋转到△ �1�1�2的位置，使点�1的对应点�2也落在直线� = 3 4 �上，以此进行下去…， 若点 B的坐标为(0,3)，则点�87的纵坐标为 ． 五、解答题（本大题共 3 小题，共 30 分） 25.（8 分）为了庆祝中华人民共和国成立 76周年，广安永辉超市购进甲、乙两种装饰物对超市进行布置．已 知每件甲种装饰物的价格比每件乙种装饰物的价格贵 4元，用 400元购买甲种装饰物的件数恰好与用 240 元购买乙种装饰物的件数相同． （1）求该商场购进甲、乙两种装饰物的单价各是多少元； （2）当超市装饰完工后，发现还剩余甲种装饰物和乙种装饰物共 400件，且购入成本不超过 3000元．为 了降低装饰成本，超市决定将甲种装饰物以每件 13元，乙种装饰物以每件 8元的价格对外出售．如果将剩 余的这 400件装饰物全都售完，剩余甲、乙装饰物的数量分别为多少时，超市获得的利润最大？最大利润 是多少？ 26.（10 分）如图 1，矩形 ABCD中，AB=12，AD=18，点 E、 F是对角线 AC上的两个点，AE=CF，连接 DE、BF． （1）求证：DE=BF； （2）如图 2，点 M与 E关于 AD对称，点 N与 F关于 BC对 称，连接 BM、MD、ND、NB，当 BM=BN时，判断四边形 BMDN的形状，并说明理由. 27.（12 分）如图，已知抛物线� = ��2 + �� + �(� ≠ 0)与 �轴交于� 1，0 和� −5，0 两点，与 y轴交于 点 C．直线� =− 3� + 3过抛物线的顶点 P． （1）求抛物线的函数解析式； （2）若直线� = �( − 5 < � < 0)与抛物线交于点 E， 与直线 BC交于点 F． ①当 EF取得最大值时，求 m的值和 EF的最大值； ②当∆���是等腰三角形时，求点 E的坐标． 数学参考答案 第1页（共 8 页） 四川省广安中学 2025 年度中考适应性考试 数学试题 参考答案 A 卷（共 100 分） 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C B C D B A D D 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分） 11. ��(� + �)(� − �) 12. � ≥− 3且� ≠ 0 13. 5 14. 15 三、解答题（本大题共 5 个小题共 44 分） 15. 解：（1）原式=3 + 3 − 1 − 2 × 3 2 + 1 − 2 2 = 3 − 2 2 （2）原式= (�−1)2 (�+2)(�−2) ÷ �−2+1 �−2 = (�−1)2 (�+2)(�−2) ∙ �−2 �−1 = �−1 �+2 ∵� ≠ 2, − 2,1， ∴当� =− 1时，· 原式= −1−1 −1+2 =− 2． 16. 解：（1）补全统计图如图所示， （2） 14.4 200 （3）列表如下， 甲乙 � � � � �, � �, � �, � � �, � �, � �, � � �, � �, � �, � 数学参考答案 第2页（共 8 页） 共有 9 种等可能结果，其中两人恰好选取同一所大学的结果数有 3 种， ∴甲、乙两人恰好选取同一所大学的概率为 3 9 = 1 3 ． 17. 解：（1）∵ 53° ≤ α ≤ 72° 当α = 72°时，AO取最大值， 在��∆���中，���∠��� = �� �� ， ∴ �� = �����∠��� = 4���∠72° ≈ 4 × 0.95 = 3.8， 所以梯子顶端 A与地面的距离的最大值 3.8 米． （2）在��∆���中，���∠��� = �� �� ， ∴ ���∠��� = 1.64 ÷ 4 = 0.41， ∵ ���66° ≈ 0.41， ∴ ∠��� = 66°， ∵ 53° ≤ α ≤ 72°， ∴人能安全使用这架梯子． 18.（1）解：设�(��，��）， 0 3AAM y   ， 0 1AOM x   ， 1Ax   ， 3Ay  ，  1,3A  ， 点A在反比例函数图象上， 3 1 k    ， 1 3 3k      ， 反比例函数解析式为 2 3y x   ， 点 B在反比例函数图象上，且点 B的纵坐标为 1 ， 31 Bx    ， 3Bx  ，  3, 1B  ， 数学参考答案 第3页（共 8 页） A 、 B两点在一次函数 1y mx n  的图象上， 将  1,3A  ，  3, 1B  代入 1y mx n  ，得： 3 3 1 m n m n        ， 解得： 1 2 m n     ， 一次函数解析式为 1 2y x   ； （2）解：由（1）得：  1,3A  ，  3, 1B  ， 根据函数图象及交点坐标可知： 不等式 0 kmx n x    时 x的取值范围为： 1x   或0 3x  ； （3）解：由（1）知 1 2y x   令 x=0，y=2， �（0，2） �∆��� = �∆��� + �∆��� = 1 2 × 2 × −1 + 1 2 × 2 × 3 = 4 ABP ABOS S  ， �∆��� = 4 ∵ �为 y轴上的一个动点， 设�（0，�），则�� = �− 2 �∆��� = 1 2 × � − 2 × −1 = 1 2 × � − 2 ， 1 2 × � − 2 =4，则 �− 2 =8 �1 = 10，�2 =− 6 点 P的坐标为：（0，10）或（0， − 6）. 19. （1）证明：∵�� = ��，��平分∠���， ∴�� ⊥ ��， ∵��是⊙�的半径， ∴��是⊙�的切线； 数学参考答案 第4页（共 8 页） （2）解：①连接��，��， ∵��为⊙�的直径， ∴ 90AED AFD    ， ∵��平分∠���， ∴∠��� = ∠���， ∴∠��� = ∠���，�� = ��， ∴�� = ��，�� = ��， ∴�E = �F ∴��垂直平分�� ∴�� ⊥ ��， ∵�� = 3，�� = 4， ∴�� = 32 + 42 = 5， ∴�� = 8，�� = 10， ∴�� = 2， 由垂径定理可得�� = �� = 4， ∴tan∠��� = �� �� = 2 4 = 1 2 ；· ②∵�� ⊥ ��，�� ⊥ ��， ∴�� ∥ ��， ∴△ ��� ∽△ ���， ∴ �� �� = �� �� ， ∴ 8 10 = 4 �� ， ∴�� = 5， ∴�� = �� = 5， ∴△ ���是等腰直角三角形， ∴∠��� = 45°， ∵�� ∥ ��， ∴∠��� = ∠��� = 45°， ∴△ ���是等腰直角三角形， ∴�� = �� = �� − �� = 5 − 2 = 3． 数学参考答案 第5页（共 8 页） B 卷（50 分） 四、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分） 20. 9� 2 − 9 21. � ≥− 1 8 且� ≠ 0 22. �3(9)+�3(27) = �3(243) 23. 1 2 24. 315 五、解答题（本大题共 3 个小题共 30 分） 25.（1）解：设每件乙种装饰物的价格为 x 元，则每件甲种装饰物的价格为 � + 4 元， 依题意，得： 400 �+4 = 240 � ， 解得：� = 6， 经检验，� = 6是原方程的解，且符合题意， ∴� + 4 = 10． 答：每件甲种装饰物的价格为 10 元，每件乙种装饰物的价格为 6 元； （2）解：设剩余甲种装饰物 m 件，则剩余乙种装饰物 400 − � 件，商场获得的利润为�元， 根据题意得 10� + 6 400 − � ≤ 3000， 解得� ≤ 150， 则� = 13 − 10 � + 8 − 6 400 − � = �+ 800， ∵1 > 0， ∴�随 m 的增大而增大， ∴当� = 150时，�有最大值，最大值为 150 + 800 = 950， 此时 400 − � = 250， 答：剩余甲种装饰物 150 件，则剩余乙种装饰物 250 件，商场获得的利润最大，最大利润为 950 元． 26. （1）证明：四边形 ABCD是矩形， AD BC ∥ ， AD BC ， DAE BCF   ， 在∆���与∆���中， AD BC DAE BCF AE CF      ， ∴ ∆��� ≅ ∆���（SAS）， DE BF  ； 数学参考答案 第6页（共 8 页） （2）解：四边形 BMDN是菱形， 理由如下： 连接 BD交 AC于 O， 四边形 ABCD是矩形， AD BC ∥ ， ADB CBD  ， 点 M与 E关于 AD对称，点 N与 F关于 BC对称， ∴ ∠��� = ∠���，∠��� = ∠���，DM=DE，BN=BF， 由①知∆��� ≅ ∆���（SAS）， ADE CBF  ，DE BF ， ADM CBN  ， BDM DBN  ， DM BN ∥ ， 又DM=DE=BF=BN， 四边形 BMDN是平行四边形， BM=BN 四边形 BMDN是菱形. 27. （1）解：抛物线与轴交于 ( )1,0A 和  5,0B  两点， 抛物线对称轴为直线 5 1 2 2 x     ， 在 3 3y x   中，当 2x   时， 9y  ， 抛物线顶点 P的坐标为  2 9 ， ， 设抛物线解析式为  22 9y a x   ， 将 ( )1,0A 带入得  21 2 9 0a    ，  1a ， 抛物线解析式为  2 22 9 4 5y x x x        数学参考答案 第7页（共 8 页） （2）解：①∵抛物线解析式为 2 4 5y x x    ，点 C是抛物线与 y轴的交点，   05C ，， 设直线 BC的解析式为 1y kx b  ，  1 1 5 0 5 k b b      ，解得 1 5 k b    ， 直线 BC的解析式为 5y x  ， 直线  5 0x m m    与抛物线交于点 E，与直线 BC交于点 F     2 4 5 5E m m m F m m   ， ， ， ，   2 4 5 5EF m m m      2 5m m   ； 25 25 2 4 m        ，  1 0  ， 当 5 2 m   时， EF有最大值，最大值为 25 4 ； ②设直线� = �与 x轴交于 H， ∴ �� = � + 5，�� = � + 5， ∴ �� = ��， ∴ ∆���是等腰直角三角形， ∴ ∠��� = ∠��� = 45°； 如图 3-1所示，当�� = ��时， 过点 C作�� ⊥ ��于 G，则�（�，5）， ∴点 G为 EF的中点，由（2）得 E（�， −�2 − 4� + 5）, F（�,� + 5）， ∴ 2 4 5 5 5 2 m m m      ， ∴ �2 + 3� = 0，解得 m=-3或 m=0（舍去）， ∴ E(-3，8)； 数学参考答案 第8页（共 8 页） 如图 3-2 所示，当�� = ��时，则∆���是等腰直角三角形， ∴ ∠��� = 90°，即�� ⊥ ��， ∴点 E的纵坐标为 5， ∴− �2 − 4� + 5 = 5，解得 m=-4或 m=0（舍去）， ∴E(-4，5)； 如图 3-3 所示，当�� = ��时，过点 C作�� ⊥ ��于 G， 同理可证∆���是等腰直角三角形， ∴ �� = �� =−�， ∴ �� = 2�� =− 2�， ∴− �2 − 5� =− 2�， ∴ �2 +（5 − 2）� = 0， 解得� = 2 − 5或� = 0（舍去）， ∴ �� = �� =− 2 ×（ 2 − 5） = 5 2 − 2，�� = 2， ∴ �� = 6 2 − 2， ∴ �（ 2 − 5，6 2 − 2） 综上所述，点 E的坐标为(-3，8)或(-4，5)或（ 2 − 5，6 2 − 2）