精品解析：河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题

新蔡县第一高级中学2024-2025学年高二下学期5月份月考数学试题 一、单选题 1. 如图是函数及其导函数在同一坐标系中的图象，则图象正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据原函数的增减性及其导函数的正负之间的关系，对选项逐一判断即可得出结果. 【详解】对于A，若递减的曲线为函数图象，则其导函数的图象应恒为负值，且从左往右是呈现先增后减的趋势，导函数图象不符合题意； 若递减的曲线为导函数图象，则函数的图象应呈现先增后减的趋势，此时原函数图象不符合题意，可得A错误； 对于B，若先增后减的曲线为函数图象，则其导函数的图象应呈现先为正后为负的趋势，导函数图象不符合题意； 若先增后减的曲线为导函数图象，则函数的图象应呈现先增后减的趋势，此时原函数图象不符合题意，可得B错误； 对于C，过原点的曲线为导函数的图象时，另一条曲线符合的图象，即C正确； 对于D，若先减后增图像为导函数的图象时，则另一条曲线应呈现先增后减再增的趋势，显然的图象不符合； 若先减后增为原函数的图象时，则另一条曲线应呈现先为正后为负的变化规律，显然的图象不符合，即D错误. 故选：C 2. 已知函数在区间上单调递减，则实数的最大值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到在时恒成立，再利用分离参数法即可求得实数a的取值范围. 【详解】因为函数在区间上单调递减， 所以当时，， 所以在时恒成立， 即， 记，由，则， 故在上单调递增，故， 故，所以实数的最大值是． 故选：C 3. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的四则运算与复合运算求得导函数，从而可得切线斜率，确定切点纵坐标，结合直线方程即可得所求； 【详解】由得， 则斜率，又， 所以曲线在处的切线方程为，即. 故选：C 4. 已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，结合题意得出，即可求得实数的取值范围. 【详解】对函数求导得， 因为函数在上无极值，则，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 5. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题可设，，由其导数可知在上为增函数，又由可得则，分析可得的符号，进而分析在上的符号规律，结合函数的奇偶性即可解出. 【详解】设，，则其导数， 而当时，所以，即在上为减函数， 又由，为定义在上的奇函数，则， 则， 所以区间上，，在区间上，， 则在区间上，，在区间上，， 又由是定义在上的奇函数，则， 且在区间上，，在区间上，， 综合可得：不等式的解集为． 故选：B. 6. 已知函数在处取得极大值，则实数的取值为（ ） A. 或1 B. 2或 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得，由是函数上的极值，得到，求得或，分类讨论，结合函数的单调性和极值点的概念，进行判断，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为是函数的极值点，可得， 即，解得或， 当时，， 令，解得或；令，解得， 所以在区间上单调递增，在区间单调递减， 此时，在处函数取得极小值，不符合题意，舍去； 当时，， 令，解得；令，解得或， 所以在区间上单调递减，在区间单调递增， 此时，在处函数取得极大值，符合题意， 综上可得，实数的值为. 故选：C. 7. 若函数有三个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用导数研究其图象性质，再将问题转化交点有3个，列式即可得解. 【详解】令，得，即， 记，求导得， 因为当时，，函数在单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 且当时，且，当时，且， 则函数的大致图象如图， 交点有3个，所以， 所以的取值范围为. 故选：A. 8. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过导函数判断其单调性，再利用单调性解不等式即可. 【详解】因为，所以， 所以函数在R上单调递增， 所以，等价于，解得， 故实数的取值范围是. 故选：A 二、多选题 9. 我们常用以下方法求形如的函数的导数：先两边同取自然对数得：，再两边同时求导得，即，运用此方法可求得函数在下列哪些区间单调递增（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由题意可计算得到函数的导数，令导数大于0即可得到函数的单调递增区间，从而结合选项得到结果. 【详解】由题意得，两边同时求导得， 即，令，即，解得：， 即函数的单调递增区间为. 故选：BD. 10. 对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的极大值为 B. 有且仅有2个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，求出导函数，由极大值的定义即可判断；对于B，求出极大值和极小值，分析函数在无穷远处的性态，由此可判断零点个数；对于C，由题设条件求出二阶导数的零点即可判断正误；对于D，由C可知是函数的对称中心，故，利用倒序相加法即可算出答案判断正误. 【详解】由题意得，， 令，解得或；令，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 所以当时，取得极大值，极大值为，故A正确； 当时，取得极小值，极小值为， 且当时，当时，， 极大值，极小值，所以函数有3个零点，故B错误； 由，得，令，得， 又， 所以点是曲线的对称中心，故C错误； 因为是函数的对称中心，所以， 令， 得 所以， 所以，即，故D正确. 故选：AD. 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. D. 若在上恒成立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用导数求得极值即可判断；对于B，画出函数的图象即可判断；对于C，利用反证法，可判断；对于D，由题意可得，令，利用导数求得的最小值，可得的范围，即可判断. 【详解】对于A，由题知，，， 则当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取得极大值，且为，故A正确； 对于B，因为，，且当时，， 且时，， 所以可得草图如下， 有1个零点，则B错误； 对于C，假设，则， 所以，则， 又时，，单调递减，， 所以成立，故C正确； 对于D，若在上恒成立， 则，令，则， 令，则， 故在上单调递增，又， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故，故，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题 12. 已知为常数，函数有两个极值点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得到有两根，转换成函数与函数的图象有两个交点，进而可求解. 【详解】，函数有两个极值点，则有两个零点， 即函数与函数的图象有两个交点， 当两函数图象相切时，设切点为，对函数求导， 则有解得 所以要使函数图象有两个交点，则即. 故答案为： 13. 若函数恰有三个单调区间，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为存在两个不同的零点，利用即可. 【详解】函数定义域为R， 因函数恰有三个单调区间，则函数有两个极值点， 即在上存在两个不同的零点， 则判别式，解得或， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 14. 若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数几何意义，分别设出两条曲线的切线方程，将问题转化为一条直线与一条曲线交点个数问题，即可求出的取值范围. 【详解】设公切线为是与的切点，由，得， 设是与的切点，由，得， 所以的方程为，因为，整理得， 同理，因为，整理得， 依题意两条直线重合，可得， 消去，得， 由题意此方程有三个不等实根，设， 即直线与曲线有三个不同的交点， 因为，令，则， 当或时，；当时，， 所以有极小值为，有极大值为， 因为，，，所以， 当趋近于时，趋近于0；当趋近于时，趋近于， 故的图象简单表示为下图： 所以当，即时，直线与曲线有三个交点， 故答案为： 四、解答题 15. 已知函数. （1）若，求函数的最小值； （2）若函数的单调递增区间为，求实数的值. 【答案】（1）0； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意将代入函数解析式，通过求导分析函数单调性，从而求出最小值； （2）利用导函数，分类讨论和时函数的单调性，从而求出实数的值. 【小问1详解】 由题意，函数的定义域为， 当时，，则，由得， 由得；由得. 所以单调递减区间为，单调递增区间为. 所以函数的最小值为. 【小问2详解】 由题意，， ①当时，在上恒成立，在上单调递增，不合题意； ②当时，由即得， 的单调递增区间为 ， 由已知得， 所以. 16. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若，且函数的极大值和极小值之和为18，求在区间上的最大值. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，对进行讨论即可求解， （2）根据函数的单调性可得极值，即可求解，计算极值以及端点处的函数值，比较即可作答. 【小问1详解】 由题意得, 当时，此时恒成立，故在上单调递增， 当时，令，解得或， 令，得， 故在和单调递增，在单调递减， 综上可得时，的单调递增区间为， 当时，的递增区间为，，递减区间为 【小问2详解】 由（1）知，时，函数才有极值， ， ， 因此，解得， 因此， ，， ， 因此. 17. 已知函数，. （1）证明：方程有唯一解； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，结合特殊点函数值即可证明. （2）将问题转化为恒成立，参变分离，记，利用导数求出的最大值，即可求解. （3）将函数有两个零点转化为有两个解，进而与函数有两个交点，利用导数研究函数的单调性，求其最值，作出图象数形结合即可求得参数范围. 【小问1详解】 由得， 因为，所以，所以在上单调递减， 又，所以函数只有一个零点， 即方程有唯一解，且为1； 【小问2详解】 ， 则恒成立等价于恒成立，所以在上恒成立， 记，则，， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 所以，故得， 即实数的取值范围为； 【小问3详解】 若有两个零点，等价于有两个解， 也等价于直线与函数有两个交点. 则，记，， 由反比例函数和对数函数的单调性易知在上单调递减，又， 所以当时，，，则在上单调递减； 当时，，，则在上单调递增， 当时，，当时，，则， 作出函数的图象如下： 由图可知：直线与函数有两个交点等价于， 故实数的取值范围为. 18. 已知函数． （1）求在点处的切线方程； （2），若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，直线的点斜式方程，即可求解； （2）根据导数的几何意义，直线的点斜式方程，建立方程，即可求解． 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 所以所求切线方程为； 【小问2详解】 因为，所以， 设过原点的切线切于点， 则切线方程为：，又其过原点， 所以，所以， 所以切线l的方程为，即为． 19. 定义在区间上的函数满足：若对任意，且，都有，则称是上的“好函数”． （1）若是上的“好函数”，求的取值范围． （2）（i）证明：是上的“好函数”． （ii）设，证明：． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用给定定义得到，再结合求解参数范围即可. （2）（i）利用给定定义结合换元法并构造函数，利用导数判断其单调性，进而得到，最后再证明结论即可. （ii）利用已知得到，再利用裂项相消法证明结论即可. 【小问1详解】 由题可知任意， 且，，即，解得， 因为，所以解得，即的取值范围为． 【小问2详解】 （i）设， 则． 令，且， 则，则在上单调递增， 得到，即， 故是上的“好函数”. （ii）由（i）可知，当时，， 令，则， 即， 故， 化简可得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新蔡县第一高级中学2024-2025学年高二下学期5月份月考数学试题 一、单选题 1. 如图是函数及其导函数在同一坐标系中的图象，则图象正确的为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数在区间上单调递减，则实数的最大值是（ ） A. 1 B. C. D. 3. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在处取得极大值，则实数的取值为（ ） A. 或1 B. 2或 C. D. 1 7. 若函数有三个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 我们常用以下方法求形如的函数的导数：先两边同取自然对数得：，再两边同时求导得，即，运用此方法可求得函数在下列哪些区间单调递增（ ） A. B. C. D. 10. 对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的极大值为 B. 有且仅有2个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. D. 若在上恒成立，则 三、填空题 12. 已知为常数，函数有两个极值点，则实数的取值范围为__________. 13. 若函数恰有三个单调区间，则实数的取值范围为__________． 14. 若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是__________. 四、解答题 15. 已知函数. （1）若，求函数的最小值； （2）若函数的单调递增区间为，求实数的值. 16. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若，且函数的极大值和极小值之和为18，求在区间上的最大值. 17. 已知函数，. （1）证明：方程有唯一解； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数有两个零点，求实数的取值范围. 18. 已知函数． （1）求在点处的切线方程； （2），若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程． 19. 定义在区间上的函数满足：若对任意，且，都有，则称是上的“好函数”． （1）若是上的“好函数”，求的取值范围． （2）（i）证明：是上的“好函数”． （ii）设，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $