加练6 二次函数图象与性质的应用（解析版）-【一战成名新中考】2025安徽中考数学中考必考知识点专题特训

1.已知二次函数y＝﹣x2+mx+n．

（1）当m＝2，n＝1时，该函数图象的顶点坐标为 　（1，2）　；

（2）当x＜0时，y的最大值为7；当x≥0时，y的最大值为3，则m+n＝　﹣1　．

【解答】解：（1）当 m＝2，n＝1 时，y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x2﹣2x）+1＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）+1＝﹣（x﹣1）2+2，∴该函数图象的顶点坐标为（1，2）；（2）∵当x＜0时，y的最大值为7；当x≥0时，y的最大值为3，且a＝﹣1＜0，∴对称轴在y轴左侧，∴m＜0，n＝3，，∴m＝﹣4，∴m+n＝﹣1．

2.已知A，B是抛物线y＝x2上两点，M为线段AB的中点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点C，且MC＝2．设A，B两点的横坐标分别为t1，t2（t2＞t1）．

（1）若C是抛物线的顶点，则点A的坐标是 　（，2）　；

（2）t2﹣t1的值为 　2　．

【解析】（1）若C是抛物线的顶点，则点C的坐标为（0，0），∵M为线段AB的中点，则yA＝yC＝yB＝MC＝2＝x2，解得：x＝±，则点A（，2）；（2）由题意得，点A、B的坐标分别为：（t1，）、（t2，），则点C（，2），将点C的坐标代入抛物线表达式得：2＝（）2，解得：2t1t28，∵（t2﹣t1）22t1t2＝8，则t2﹣t1的值为2．

3.已知关于x的抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣4．

（1）此抛物线顶点的纵坐标是 　﹣4　；

（2）若a＞0，点M为该抛物线上一动点，其横坐标为m，过点M作MN∥y轴，交直线y＝﹣x﹣5于点N，当MN的长随m的增大而减小时，m的取值范围是 　m　．（用含a的代数式表示）

【解析】（1）∵y＝x2﹣2ax+a2﹣4＝（x﹣a）2﹣4，∴该抛物线的顶点坐标为（a，﹣4），∴抛物线顶点的纵坐标是﹣4；（2）联立抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣4与线y＝﹣x﹣5得x2﹣2ax+a2﹣4＝﹣x﹣5，整理得x2﹣（2a﹣1）x+a2+1＝0，∴Δ＝[﹣（2a﹣1）]2﹣4×1×（a2+1）＝﹣4a﹣3，∵a＞0，∴Δ＝﹣4a﹣3＜0，∴直线y＝﹣x﹣5与抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣4无交点，∵a＞0，∴抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣4开口向上，∴点M在点N上方，∵点M为该抛物线上一动点，其横坐标为m，∴M（m，m2﹣2ma+a2﹣4），N（m，﹣m﹣5），∴MN＝m2﹣2ma+a2﹣4﹣（﹣m﹣5）＝m2﹣（2a﹣1）m+a2+1，∴对称轴为m

，∴当MN的长随m的增大而减小时，m的取值范围是m．

4.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上有两点（x1，y1），（x2，y2），它的对称轴为直线x＝t．

（1）若该抛物线经过点（4，0），求t的值；

（2）当0＜x1＜1时，

①若t＞1，则y1　＜　0；（填“＞”“＝”或“＜”）

②若对于x1+x2＝2，都有y1y2＞0，求t的取值范围．

解：（1）∵抛物线经过点（4，0），

∴0＝16a+4b，∴b＝﹣4a，∴t2；

（2）∵a＞0，∴抛物线y＝ax2+bx（a＞0）开口向上，

∵x＝0时，y＝0，

∴抛物线y＝ax2+bx（a＞0）过原点，

①∵0＜x1＜1，t＞1，∴y1＜0；

②∵x1+x2＝2，∴x1＝2﹣x2，

∵0＜x1＜1，∴0＜2﹣x2＜1，∴1＜x2＜2，

∵y1y2＞0，∴点（x1，y1），（x2，y2）在x轴的同一侧，

∴t≥1或t≤0．

5.已知抛物线y＝αx2+bx+b2﹣b（α≠0）．

（1）若b＝2α，求抛物线的对称轴；

（2）若α＝1，且抛物线的对称轴在y轴右侧．

①当抛物线顶点的纵坐标为1时，求b的值；

②点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在抛物线上，若y1＞y3＞y2，请直接写出b的取值范围．

解：（1）抛物线的对称轴为直线x，

∵b＝2α，∴x＝﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1；

（2）①当a＝1时，抛物线y＝x2+bx+b2﹣b，∴抛物线的对称轴为直线x，

∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴0，∴b＜0，

∵抛物线顶点的纵坐标为1，

∴1，解得：b＝2或b，

∵b＜0，∴b；

②当a＝1时，抛物线y＝x2+bx+b2﹣b，

∴抛物线的对称轴为直线x，

∵点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在抛物线上，且y1＞y3＞y2，

∴，

∴﹣2＜b＜0．

6.在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣2，5）在二次函数y＝ax2+bx+5（a≠0）的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线x＝m．

（1）求m的值；

（2）若点Q（3m，2）在y＝ax2+bx﹣3的图象上，当0≤x≤3时，求该二次函数的最大值与最小值．

解：（1）由条件可得：4a﹣2b+5＝5，解得b＝2a，

∴二次函数的解析式为y＝ax2+2ax+5，

∴对称轴为直线，∴m＝﹣1；

（2）∵m＝﹣1，∴点Q（3m，2）即为点（﹣3，2），

∴9a﹣6a﹣3＝2，解得，∴，

∴抛物线的解析式为，

∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为x＝﹣1，当x＞﹣1时，y随着x的增大而增大，

∵0≤x≤3，

∴当x＝0时，函数有最小值，最小值为﹣3，

当x＝3时，函数有最大值，最大值为，

∴二次函数的最大值为22，最小值的为﹣3．

7.在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，3）在抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上．

（1）求该抛物线的对称轴．