江西省南昌市第二中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

南昌二中 2024-2025学年度下学期 5月份月考 高一数学 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1．向量 (1,2), (2, )a b    ，且 / /a b  ，则实数 （ ） A．1 B．-1 C．-4 D．4 2．已知 tan 2  ， 3ππ 2   ，则 cos sin  （ ） A． 5 5 B． 5 5  C． 3 5 5 D． 3 5 5  3．给出下列四个说法：①若 | | 0a   ，则 0a   ；②若 | | | |a b   ，则 a b   或 a b  r r ；③若 / /a b   ，则 a 与 b 的方向相同或 相反；④ 若 / /a b   ， / /b c   ，则 / /   a c . 其中错误的说法有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 4.在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝2 3 3 ，则 tan Atan B的值为( ) A. 1 4 B. 1 3 C. 1 2 D. 5 3 5．在三角形 ABC中，已知 AB AC AB AC       ， 2AB   ，点G满足 0GA GB GC       ，则向量 BG  在向量 BA  方 向上的投影为（ ） A． 2 3 B． 4 3 C．- 2 3 D．- 4 3 6．已知函数   sin cosf x x a x  的图象的一条对称轴是 5 3 x  则函数   sin cosg x a x x  的最大值是( ) A． 4 3 B． 2 2 3 C． 2 3 3 D． 2 6 3 7．如图所示，有一圆形图案，小红准备在扇形环面区域（由扇形OBC去掉扇形OAD构成）涂上颜色，已知 20OB  厘米，OA x 厘米，扇形环面区域面积为 100平方厘米，圆心角为弧度．记扇环 ABCD的周长为 y厘米， y的最 小值为（ ） A． y最小值为 20厘米 B． y最小值为 40厘米 C． y最小值为 60厘米 D． y最小值为 80厘米 8．函数     πcos π 0 2 f x x          的部分图像如图所示，若方程  f x a 在  00, x 上有两个不同的实数解 1 2,x x ， 则    1 1 2 2x f x x f x 的取值范围是（ ） A． 0 B． 31, 2        C． 5 5 3, 3 6        D． 10 5 3, 3 3        二、多项选择题：本小题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．已知  3, 1a    ， (1, 2)b    ，则正确的有（ ） A． 5a b    B．与 a  方向相反的单位向量是 3 10 10, 10 10        C． a  与b  的夹角为 π 4 D．a  与b  平行 10．下列式子化简正确的是（ ） A． 1cos17 cos13 sin17 cos77 2      B． 1cos15 cos60 cos75 8    C． 3cos15 sin15 2   D．1 tan15 3 1 tan15      11．已知函数 π( ) sin( ) 0, 2 f x x           ， π 4 x   为 ( )f x 的零点， π 4 x  为 ( )y f x 图象的对称轴，且 ( )f x 在 区间 π π, 8 4       上单调，下列结论正确的是（ ） A． π π π 4 2 k    ，其中 k Z B． π 4   C．当函数 ( )y f x 在区间 π π, 8 4       上单调递增时，则 6  D．的最大值为 7 三、填空题:(本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．) 12．已知  2, 3,1a b  ，且 a b  ，则 2a b   ． 13．函数 2 2 1lg sin 3 2 y x x x        的定义域是 ． 14．已知OPQ是半径为 1，圆心角为 π 6 的扇形，C是扇形弧上的动点， ABCD是扇形的内接矩形，则 2AB AD 的 最大值为 ． 四、解答题：（本题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．如图，在平行四边形 ABCD中，点M 为 AB中点，点 ,N P在线段 BD上，满足 ,DP PN NB     设 ,AB a AD b     . (1)用向量 ,a b  表示向量MP  ； (2)若 π3, 1, 6 AB AD DAB     ，求 MN  . 16．已知向量  2cos ,2cosa x x ，  2 3,sinb x ，函数  f x a b   ． (1)求  f x 的单调递减区间； (2)将函数  f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 12 ，再向右平移 π 12 个单位得到  g x 的图象，求  g x 在 π π, 12 6     上的值域． 17．已知单位向量 1e  ， 2e  ，夹角为 π 2 ， 1a e    ， 1 2b me e     ，且 a  与b  的夹角为 4  ． (1)若a b  与 2a b  所成的角为锐角，求实数 的取值范围； (2)若向量 c为 a在b  上的投影向量，求 a c   ． 18．已知设函数   21 3 3cos sin cos 3 cos 2 2 4 f x x x x x            ， Rx ． (1)求函数  f x 的最小正周期． (2)当 , 6 3 x       时，方程 12 1 4 2 f x m       有两个不等的实根，求m的取值范围； (3)若方程   1 3 f x  在  0, 上的解为 1x ， 2x ，求  1 2cos x x ． 19.如图,设 ,Ox Oy是平面内相交成 (0 )    的两条射线, 1 2,e e   分别为 ,Ox Oy同向的单位向量,定义平面坐标系 xOy为 仿射坐标系.在 仿射坐标系中,若 1 2OP xe ye     ,则记 ( , )OP x y  . (1)在 π 3 仿射坐标系中，若 (1,1)m   ,求 | |m  ; (2)在 仿射坐标系中，若 ( 1,3), ( 3,1)a b     ,且 a与b  的夹角为 3  ,求cos ； (3)如图所示,在 π 3 仿射坐标系中,B,C分别在 x轴, y轴正半轴上, 7| | 1, , , 19 BC OD OC E F     分别为 BD， BC中 点,求OE OF   的最大值.