广西壮族自治区“贵百河”联考2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

2024级“贵百河”5月高一年级新高考月考测试 数学 参考答案 10 BD AD ACD 12.-3-4i 13.9) 14.恤 15.题目来源：2023新课标1卷模型正四棱柱，课本P170的第10题第(2)问解题方法 (1)连接MN,D1C 由于M,N分别是线段C1D,CG1的中点，所以MN/D1C1分 又正四棱柱中，AB11D,C… 2分 故A1B/MN.… 3分 所以A1Bc平面A1BC1,MN史平面A1BC14分 故直线MN/平面A1BC1 5分 (2)设M到平面A1C1B的距离为h,即三棱锥M-A1C1B的高为h.6分 由VM-GB=Vg-A1G1M可得号S6A1G10h=SaM1G1M:BB1…8分（体现等体积法给1分：锥 体公式给1分) 在R:ABA1中，A1B=,AB2+AA12=V22+37=V13 同理可得，A1G1=A1812+81G2=V2+2=2V2 C1B=BC2+CC2=V22+3=V139分（三边求对-边就给1分)1 取A1C1中点0，连接B0 因为A18=BC,所以AG110B10分》-时 B0=√Bc2-c02=V13-2=Vm 所以SaM1G0=×A1C1×B0=×2V2×V=V2Z;12分 所以h=Gr题=X2=3区 23)1产 SAACIB 22 3分 解法二：在△BA1C1中余弦定理可得 COSLBAC1=A2 28A1A1G1 2 10分 专4上 4 sinBAaC=得1分 5akG1=iA1B·A1C1 sinLBA1G1=V2Zl2分 所h- ,3一+沙 SAACB 22 13分) 高一数学第1页共6页 16.题目来源：课本P198练习的第1、2题改编（解题方法） (1)由(0.02+0.04+0.06+0.07+0.09+0.10+x)×2=1,1分 解得x=0.123分 (2)法一：依题意，设区间94,96)中应抽x个产品，区间100,102)中应抽y个产品，得 7 产品尺寸在[94,96)区间样本中的个数为：0.04×2×100=8…4分 产品尺寸在100,102)区间样本中的个数为：0.10×2×100=20…5分)3： 所以0=后=六解得x=2,y=5.m1分 所以区间94,96)中应抽2个，区间[100,102)冲应抽5个.8分 法二：产品尺寸在94.96)样本中的个数为：0.04×2×100=8 4分 产品尺寸在100,102)区间样本中的个数为：0.10×2×100=205分 所以两个区间内样本比为8：20=2：56分 所以在[94,96)内抽取的产品个数为7×号2（个），7分 说：为中 --35进，：13112y 在[100,102)内抽取的产品个数为7×-5（个）8分 法三：根据频率分布直方图得 [94,96)区间频率为0.04×2=0.08. …4分 a干-ā.平-以1 [10,102)区间频率为0.10×2=0.205分 所以在4,96内抽取的产品个数为7X。22(个行，7分…三 在到10,102)内抽取的产品个数为7X805(个)8分 (3)是需要对该工厂设备实施升级改造.（注：判断对给1分） 由题意可得，这批产品中A等品有2000×(0.18十0.20)=760（件）.9分 这批产品中不合格品有200×0.04=80（件）110分 这批产品中合格品有2000一760一80=1160（件）11分 1160×3+760×6-80×2=7880(元)13分 所以该工厂生产的产品一个月所获得的利润为7880元， 因为7880<10000小4分 所以需要对该工厂设备实施升级改造… 5分 17.题目来源：课本P171的第14题改编 法-：(I)解：证明：在正△PAD中，M为PD的中点，AM1PDl分 ·平面PAD1平面ABCD,平面PADn平面ABCD=AD.2分 且CD⊥AD.÷CD⊥平面PAD 3分 高一数学第2页共6页 又AMC平面PAD:CD⊥AM4分 又：AM⊥PD,且CDOPD=D,CD,PDc平面PCD 5分 AM⊥平面PCD:由PCC平面PCD即AM⊥PC….6分 (2)如图，取AD的中点为E,连接BB,在正△PAD中，PE⊥AD.7分 平面PAD⊥平面ABCD,平面PADn平面ABCD=AD,PE⊥平面ABCD,.8分 所以LP85为P8与底面A8CD所成角，即DtaiPE=器=四 9分 不妨取AD=2a,AB=2x,EB=Va+4x, tanLPBE=是=了 写x=al0分 再取BC的中点F,连接EF 依题意知AD⊥PE,AD⊥FE,且PE∩FE=E,所以AD⊥平面PEF…11分 又BC/∥AD,所以BC⊥平面PEF,因此BC⊥FE,BC⊥FP 所以LPFE就是二面角P一BC-A的平面角，12分 由(1)知PE⊥平面ABCD,EFc平面ABCD,从而EF⊥PE. 在直角三角形PEF中，由EF=2a,则PB=V3a,.所以PF=V7a,l3分 siLPFE=器=票= 14分 所以，二面角P-BC-A的正弦值为西 15分 解法二： (1)解：证明：分别取AD,CD的中点E,G,连接PE,MG,CB,AG1分、+ 不妨取AD=2a,AB=2x, 入 又：△PAD为正三角形，E为AD的中点，底面ABCD为矩形 PE=V3a AG=v4a2+;CE2=a2+4x2.................... ,平面PAD⊥平面ABCD,平面PADn平面ABCD=AD 3分 且PE⊥AD.PE⊥平面ABCD. 4分 又：CEC平面ABCD:PE⊥CE .PC2=PE2+CE2=4a2+4x2,即PC=2a2+x25分 又：M,G分别是PD,CD的中点 4M6=PC=Va2+x克，且MG1PC6分t 又：△PAD为正三角形，底面ABCD为矩形，M为PD中点 高一数学第3页共6页 AM=V3a:AG=4a+ AG2=AM2+MG2,即AM1MG.…7分 AM⊥PC8分 (2)由(1)知PE⊥平而ABCD 所以LP8E为P8与底面A8CD所R角，即an4PaE=芹=四 4449分 tan L PBE PE 3a :底面ABCD为正方形，则BE=CE 连接BE 由PE⊥平面ABCD,BE,CEc平面ABCD PE1BE,PE⊥CE:即PB=PC11分 故取BC的中点F,连接EF aBC⊥FP,易知EF⊥BC 所以LPFE就是二面角P一BC-A的平面角。.12分 由(1)知PE⊥平而ABCD,EFC平面ABCD,从而EF⊥PE. 在直角三角形PEF冲，由EF=2a,则PE=V3a,所以PF=万a,13分 muPF8-器=架=9 14分 7 所以，二面角P-BC-A的正弦值为四 15分 18.(1)若向量0丽=(3,1)的伴随函数”为f) 则f)=V5sinx+cosx=2sin(侣+x)…。 2分 所以f(r+)=2sn任+a)=京可得cosa=存3分 所以f(a-月=2stne=±2y-co5a=士 5分 (2)由于函数h(x)的源向量"为0M=(0,1), 所以h(x)=cosx,h(A)=cosA= .6分 所以A店.A元=bccosA=bc… 7分 丽+C=、俪+=+2a丽元+=，b2+2+Bc 8分 n 在△ABC中a=6,cosA=由余弦定理得：a2=b2+c2-2bcc0sA=36, 整理得，即+2=36+c… 9分 可得A正+AC-A忑.AC=V36+c-bc. 10分 4 高一数学第4页共6页 (3》由余弦定理得a2e+c2-2kcos小，则5=3+c2-2c×万，卢 6 9分 即c2-C-2=(c+1)(c-2)=0,所以解得c=2.10分 则co5B=4-==35 2W5×2兰104.1目分 设折痕为线段EF,其中E在BC上，F在AC上，设CE=DE=x,CF=DF=y, 则BE=5-x,AF=5-y,x0,5,ye0,5] 在△80E中，由杂效定理得5-4-25-小k治，解：=92分 在△ADF中，由余弦定理刹y-65-y+P-2x5-功怎，解得y=513分 重叠部分的雨积为△CEF的面积。=2y5ihC…4分 因为c0sC=+b2-c2.2 2ab …15分 所以sinc=-cosc= 5 】6分 所以=x5x35xm 17分 五7x55 70 根据6+c2=36+号bc≥2bc,解得bcs24(当且仅当b=c时取等号)， 结合bc>0,得bc∈(0,241…11分 设V36+be=6te(（6,2W1因，则bc=t2-36,l12分 可得丽+-丽·C=t-2-36)=-+t+9=-c-2y2+10, 相应的二次函数在区间(6,2W⑤上为减函数…14分 可知4丽+AC-A丽.A元的最大值小于-二×62+6+9=6l5分 丽+C-丽，C的最小值等于-×(2V⑤2+2W压+9=2W压-6…16分 即丽+AC-A丽.AC的取值范围是[2W压-6,6).17分 19.题目来源：第一问为课本P54的第18题改编 (1)证明：由正弦定理可得b=4a日 sinA 】分 则51=bstC=heac 25hA2分 又因为a=V5,所以S= 5sin BsinC 2sinA 3分有小 法二：证明：由正弦定理一Q=b =c 得b=asin B asinC sin A sin B sinC sin A sinA 1分 acsinB a2 sin CsinB.2分 2sinA 又：a=5 5 sinCsin B3分 S1= 2sinA 法三：证明：由正弦定理。三b=C。得b=as血 asin C ,C= sin A sin B sin C sin A sinA 1分 =Ibesinsin Csin B 2sin2A 2分 又：a=V5S= 5sinCsinB 2sinA 3分 (2)将S, 5 sin BsinC代入85s,sinA=105cos(B-C)+5, 2sinA 0sin Bsin C-10 cos(B-C)+5=10(cos B cosC+sin B sin C)+5......... 即105((sin Bsin C-cosB cosC)=5,所以-105cos(B+C)=56分 即10V5cosA=5,解得：cosA= 6 7分 又因为A∈0，，所以s血A=-eosA= 8分 6 高一数学第5页共6页高一数学 第 1 页 共 4 页 2024级“贵百河”5月高一年级新高考月考测试 数 学 （考试时间：120 分钟 满分：150 分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．设 1 + 2� � + � =− 2�，其中�, �为实数，则 A．� =− 1, � = 1 B．� = 1, � = 1 C．� =− 1, � =− 1 D．� = 1, � =− 1 2．已知数据 4�1 + 1,  4�2 + 1,  ⋯,  4�10 + 1的平均数为 4，那么数据�1,  �2,  ⋯,  �10的平均数为 A．−1 B．3 4 C．1 D．17 3．已知直线 a，b与平面α，β，γ，能使� ⊥ �的充分条件是 A．�//�，�//�，� ⊥ � B．� ⊥ �，� ⊥ � C．�//�，� ⊥ � D．� ∩ � = �，� ⊥ �，� ⊂ � 4．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识，为了解讲座效果，随机抽取 10位社区居 民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这 10位社区居民在讲座前和讲座 后问卷答题的正确率如右图，则 A．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率 的极差 B．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 70% C．讲座后问卷答题的正确率的 70百分位数是 90% D．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 85% 5．已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为 A． 2 3  B．2� C．� D． 2 6  6．气象台�在早上 8:00观测到一台风，台风中心在气象台�正西方向 300 2��处，它正向东北方 向移动，移动速度的大小为 40��/ℎ；距离台风中心 100 10��以内的地区都将受到影响．若 台风中心的这种移动趋势不变，该气象台受到台风影响的时段为 A．12: 00 − 17: 00 B．13: 00 − 18: 00 C．13: 00 − 17: 00 D．14: 00 − 18: 00 7．△ ���内角�，�，�的对边分别为�，�，�．若� ���� = 3� ��� �，� = 6，点�在边��上，并 且�� = 3��，�为△ ���的外心，则��之长为 A． 21 2 B． 21 C． 7 3 D． 21 3 高一数学 第 2 页 共 4 页 8．如右图，这是注入了一定量水的正方体密闭容器，现将该正方体容器的一个顶 点 A固定在地面上，再将容器倾斜，使得��，��，��1三条棱与水平面所成 角均相等，此时水平面恰好经过��1的中点，若�� = 2，则该水平面截正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 所得截面的面积为 A．4 2 B．4 C．3 3 D． 3 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合 题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9．已知复数�满足2−� � = 1 + �2023，则 A．� =− 3 2 + 1 2 � B．�的实部为3 2 C．� 在复平面内对应的点位于第二象限 D．�2 = 2 + 3 2 � 10．正方体 ABCD‐A1B1C1D1棱长为 2，直线 AC1与平面 A1BD交于点 P，Q为线段 BD上的动点， 则 A．当 Q为 BD中点时，A1，P，Q三点共线 B．存在点 Q，使 11CAAQ  C．直线 PQ与 AC1的夹角为 60° D．四面体 B1CD1Q的体积为定值 11．如右图，在△ ���中，已知�� = 4, �� = 10, ∠��� = 60°，��边上的中点为�，��边上的中点 为�，��、��相交于点�，则下列结论正确的是 A．�� = 2 19 B．△ ���的内切圆的半径为7− 19 3 C．�� 与�� 夹角的余弦值为4 91 91 D．过点�作直线交线段��和��分别于点�、�，则�� ⋅ ��的取值范围是 −2, − 16 9 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15分. 12．在复平面内，向量��对应的复数是 2 + �，向量��对应的复数是−1 − 3�，则向量�� 对应的复 数是__________． 13．已知向量� = (1, 3)，且� , � 的夹角为 � 3，(� + � ) ⋅ (2� − 3� ) = 4，则� 在� 方向上的投影向量为 __________．（结果用坐标表示） 14．如图，在多面体������中，已知����是边长为 2的正方形，且△ ���， △ ���均为正三角 形，��//��，�� = 3，则该多面体的体积为__________. 高一数学 第 3 页 共 4 页 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分） 如图，在正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中，�� = 2，��1 = 3，点�,�分别是线段�1�1, ��1的中点. （1）求证：直线�� ∕∕平面�1��1； （2）求�到平面�1�1�的距离. 16．（15分） 为了了解某工厂生产的产品情况，从该工厂生产的产品中随机抽取了一个容量为 100的样本， 测量它们的尺寸（单位：mm），并将数据分为 [92，94)，[94，96)，[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106]七组， 其频率分布直方图如图所示． （1）求图中的 x值； （2）根据频率分布直方图，用分层随机抽样的方法从[94,96)， [100,102)两个区间共抽取出 7个产品，则每个区间分别应 抽取多少个产品； （3）记产品尺寸在[98，102)内为 A等品，每件可获利 6元；产品尺寸在[92，94)内为不合格 品，每件亏损 2元；其余为合格品，每件可获利 3元．若该工厂一个月共生产 2000件产 品，以样本的频率代替总体在各组的频率，若单月利润未能达到 10000元，则需要对该 工厂设备实施升级改造．试判断是否需要对该工厂设备实施升级改造． 17．（15分） 如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD为矩形，侧面PAD是正三角形，平面��� ⊥平面ABCD， M是 PD的中点． （1）证明：�� ⊥PC； （2）若 PB与底面 ABCD所成角的正切值为 15 5 ，求二面角� − �� − �的 正弦值． 高一数学 第 4 页 共 4 页 18．（17分） 定义函数�(�) = ���� � + ���� �的“源向量”为�� = (�, �)，非零向量�� = (�, �)的“伴 随函数”为�(�) = ���� � + ���� �，其中�为坐标原点． （1）若向量�� = ( 3, 1)的“伴随函数”为 ( )f x ，且�(� + � 3 ) = 1 3 ，求� � − � 6 的值； （2）在△ ���中，角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c，若函数 ( )h x 的“源向量”为�� = (0,1)， 且已知 16, ( ) 4 a h A  ，求 �� + �� − �� ∙ �� 的取值范围. 19.（17分） 折纸是一项玩法多样的活动．通过折叠纸张，可以创造出各种各样的形状和模型，如动物、花 卉、船只等．折纸不仅是一种艺术形式，还蕴含了丰富的数学知识．在纸片△ ���中，�，�， �所对的边分别为�，�，�，△ ���的面积为�1，� = 5. （1）证明： 1 5sin sin 2sin B CS A  ； （2）若 8 3�1 ∙ ���� = 10 3 cos � − � + 5，求����的值； （3）在（2）的条件下，若� = 3，�是��的中点，现需要对纸片△ ���做一次折叠，使�点 与�点重合，求折叠后纸片重叠部分的面积�2.