2025年山东省泰安市宁阳县九年级中考二模数学试题

null数学答案 第 页 （共6页） 九年级第二学期 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题： 二、填空题： 11. 3或4或7等 12. 25° 13. -3 14. ①②③ 15. 2 6 三、解答题： 16.（10分） 解：（1）2 sin 60° + ( 12 )-2 - || 3 - 2 = 2 × 32 + 4 - 2 + 3 ………………………………………………… 3分 = 2 3 + 2 ………………………………………………………………… 5分 （2） x - 2 x2 - 2x + 1 ÷ (1 - 1 x - 1 ) = x - 2( x - 1 )2 ÷ x - 1 - 1 x - 1 ……………………………………………………… 6分 = x - 2( x - 1 )2 × x - 1 x - 2 = 1 x - 1 ……………………………………………………………………… 9分 ∵ x - 1 ≠ 0，1 - 1 x - 1 ≠ 0 ∴ x ≠ 1 , x ≠ 2 当 x = 3时，原式= 13 - 1 = 1 2 ……………………………………………… 10分 题 号 答 案 1 D 2 C 3 A 4 A 5 C 6 B 7 B 8 A 9 D 10 B 1 数学答案 第 页 （共6页） 17.（11分） （1）证明：由作图步骤得： ∠ABC = ∠ACD ∠BAF = ∠CAF …………………………………………………………………… 2分 ∵ ∠AFC是△ABF的外角 ∴ ∠AFC = ∠ABC + ∠BAF ∵ ∠CEF是△AEC的外角 ∴ ∠CEF = ∠ACD + ∠EAC ∴ ∠AFC = ∠CEF ∴ CE = CF ……………………………………………………………………… 5分 （2）∵ ∠ABC = ∠ACD ∠BAF = ∠CAF ∴△ABF ∽ △ACE ……………………………………………………………… 7分 ∴ AB AC = BF CE ∵ CE = CF ∴ AB AC = BF CF ……………………………………………………………………… 9分 ∵ AB = 9, AC = 6 ∴ BF CF = 32 ……………………………………………………………………… 11分 18.（10分） （1）①∵点A( -1,3 )，点B (m,1 )在反比例函数 y = k1 x (k1 ≠ 0 )上， ∴ k1 = -1 × 3 = m × 1 = -3， ∴ k1 = -3,m = -3 ∴反比例函数的关系式为：y = - 3 x ……………………………………………… 2分 将点A( -1,3 ),B ( -3,1 )代入 y = k2 x + b (k2 ≠ 0 ) 得 ì í î -k2 + b = 3 -3k2 + b = 1，解得{k2 = 1b = 4 ， ∴一次函数的关系式为：y = x + 4；……………………………………………… 4分 ②-3 < x < -1或 x > 0， …………………………………………………………… 6分 （2）设E点坐标为 (a,a + 4 )由题意知OC = 4，s = 12 ·OC· || a = 2 || a ∵2 ≤ s ≤ 4 ∴2 ≤ 2 || a ≤ 4 ，1 ≤ || a ≤ 2 ∵a < 0 ∴-2 ≤ a ≤ -1 ……………………………………………………………… 8分 当a = -2时，a + 4 = 2, k3 = a·(a + 4 ) = -4； 当a = -1时，a + 4 = 3, k3 = a·(a + 4 ) = -3； 因此，-4 ≤ k3 ≤ -3…………………………………………………………………… 10分 2 数学答案 第 页 （共6页） 19.（10分） 解: 任务一：①补全条形统计图，如图所示： ②“70分”所在扇形的圆心角的度数为： （1﹣15%﹣15%﹣20%﹣30%）×360°＝72°； ……………………………………… 4分 ③八年级学生成绩的中位数a = 80 + 902 = 85；…………………………………… 6分 故答案为：85； 任务二：1500×20 - 1 - 420 ＝1125（人）， 答：估计成绩不低于80分的人数为1125人；……………………………………… 8分 任务三：我认为七年级成绩更好； 理由：由分析表可知两个年级的平均数相同，但七年级的方差小于八年级，所以七年 级的成绩更稳定。……………………………………………………………………… 10分 （学生作答八年级成绩更好也可以，理由合理即可） 20.（11分） （1）解：设AC = xcm，则AD = ( x + 10 )cm 由题意得：x2 + ( x + 10 )2 = 502 ………………………………………………… 2分 解得：x = 30, x = -40（不合题意，舍去） 因此，AC = 30cm ………………………………………………………………… 5分 （2）解：过点A作AE ⊥ BC于E 在Rt△ACE中，sin ∠ACE = AE AC , cos ∠ACE = CE AC ∴sin 74° = AE30 , cos74° = CE 30 ∴AE = 30 × 0.96 = 28.8(cm ), …………… 8分 CE = 30 × 0.27 = 8.1(cm ) ………………… 9分 ∵AE ⊥ BC, ∠B = 45° ∴∠B = ∠BAE = 45° ∴BE = AE = 28.8(cm ) 因此，BC = BE + CE = 28.8 + 8.1 = 36.9 ≈ 37(cm ) …………………………… 11分 …………………………………………… 2分 3 数学答案 第 页 （共6页） 21.（12分） （1）证明：连接CE , ∵ AC为⊙O直径，∴∠AEC = ∠BEC = 90° ∵F为BC中点，∴EF = CF , ∴∠FEC = ∠FCE………………………… 2分 ∵OE = OC，∴∠OEC = ∠OCE ∴∠OEC + ∠FEC = ∠OCE + ∠FCE = ∠ACB = 90° ∴OE ⊥ EF 因此，EF为⊙O的切线 …………………………………………………………… 6分 （2）解：∵OA = AE = OE = 3 ∴∠COD = ∠AOE = 60° , ∵∠ACD = 90°, ∴ tan ∠COD = CD OC , tan 60° = CD3 ∴CD = 3 3 , …………………………………………………………………… 9分 ∴S阴影 = S△OCD - S扇形OCG = 12 ·CD·OC - 60·π·OC2 360 = 12 × 3 3 × 3 - 60 × π × 32 360 = 9 3 2 - 3π 2 …………………………… 12分 22.（12分） 【验证猜想】 思路一证明： 如图2.过点A作BC垂线交BC的延长线于点E,过点A作BD的垂线,垂足为F. 证明：由题意得 ∵在四边形ABCD中, ∠CAD + ∠CBD = 180° ∴ ∠ACB + ∠ADB = 180° ∵ ∠ACB + ∠ACE = 180° ∴ ∠ACE = ∠ADB …………………………………………………………………… 3分 又∵ AC = AD , AE ⊥ BE , AF ⊥ BD ∴△AEC ≌ △AFD ∴ AE = AF ∴ AB平分∠DBC …………………………………………………………………… 5分 （思路二证明： 如图3.延长BD到点E,使得DE = BC,连接AE ∵在四边形ABCD中,∠CAD + ∠CBD = 180° ∴ ∠ACB + ∠ADB = 180° ∵ ∠ADB + ∠ADE = 180° ∴ ∠ACB = ∠ADE …………………………………………………………………… 3分 又∵ AC = AD ,DE = BC 4 数学答案 第 页 （共6页） ∴△ACB ≌ △ADE ∴ AB = AE ∠ABC = ∠E ∵ AB = AE ∴ ∠ABE = ∠E ∴ ∠ABC = ∠ABE ∴ AB平分∠DBC …………………………………………………………………… 5分） 【拓展应用】 （1）直接写出∠ABD = 45° …………………………………………………………… 7分 （2）经测量BD = 30cm，求四边形ABCD的面积． 解：如图：过点D作AB垂线,垂足为E. 过点D作BC的垂线交BC的延长线于点F ∵在四边形ABCD中,∠ABC + ∠ADC = 180°,AD = DC 由猜想可知：BD平分∠ABC ∵ DE ⊥ AB DF ⊥ BF ∴ DE = DF ∴△ADE ≌ △DFC ∴ S四边形ABCD = S四边形EBFD 又∵ DE ⊥ AB DF ⊥ BF ∠ABC = 90° ∴四边形EBFD是矩形, ∵ DE = DF ∴四边形EBFD是正方形, …………………………………………………… 10分 S四边形ABCD = S四边形EBFD = 12 BD2 ∵ BD = 30 cm ∴ S四边形ABCD = 450 cm2 ………………………………………………………… 12分 备注：运用思路一、思路二证明该问题也可以。 5 数学答案 第 页 （共6页） 23.（14分） （1）①∵ a = 1,x = - b2a = 1 ∴ b = -2 …………………………………………… 1分 ②∵抛物线与y轴交于点(0, - 3 ) ∴ c = -3 ∴抛物线关系式为:y = x2 - 2x - 3 当y = 0时, x2 - 2x - 3 = 0 解得：x1 = -1, x2 = 3 ∴ AB = 3 - ( -1 ) = 4 …………………………………………………………… 4分 （2）当a > 0时， ∵对称轴为直线x = 1, - 1 ≤ x ≤ 4 ∴ 4 - 1> 1 - ( -1 ) ∴当 x = 4时函数有最大值为16a - 8a + c = 8a + c， 当 x = 1时函数有最小值为a - 2a + c = c - a 由题意得8a + c - (c - a ) = 9a = 3，∴ a = 13 ………………………………… 7分 当a < 0时， ∵对称轴为直线x = 1, - 1 ≤ x ≤ 4 ∴ 4 - 1> 1 - ( -1 ) ∴当 x = 4时函数有最小值为16a - 8a + c = 8a + c， 当 x = 1时函数有最大值为a - 2a + c = c - a 由题意得 c - a - (8a + c ) = -9a = 3，∴ a = - 13 因此，a = ± 13 …………………………………………………………………… 10分 （3）当a = -1时，抛物线为 y = -x2 + 2x + c，直线MN为：y = 3 ①当-x2 + 2x + c = 3有两个相等实根时，抛物线与线段有一个公共点 ∴△= 4 - 4 × ( -1 ) × (c - 3 ) = 0， ∴ c = 2 ………………………………………………………………………… 12分 ②当-x2 + 2x + c = 3有两个不相等实根时，由题意得 {-( -2 )2 + 2 × ( -2 ) + c ≤ 3-32 + 2 × 3 + c > 3 解得6 < c ≤ 11 因此，当 c = 2或6 < c ≤ 11时抛物线与线段有一个公共点。 ………………… 14分 6