甘肃省甘肃省兰州第一中学2023-2024学年下学期5月中考二模数学试卷

数学答题卡 姓名：______________ 班级：______________ 一．选择题（共 12小题）（请用 2B铅笔填涂） 1.[A] [B] [C] [D] 2.[A] [B] [C] [D] 3.[A] [B] [C] [D] 4.[A] [B] [C] [D] 5.[A] [B] [C] [D] 6.[A] [B] [C] [D] 7.[A] [B] [C] [D] 8.[A] [B] [C] [D] 9.[A] [B] [C] [D] 10.[A] [B] [C] [D] 11.[A] [B] [C] [D] 12.[A] [B] [C] [D] 二．填空题（共 4小题） 13. ；14. ； 15. ；16. ； 三．解答题（共 12小题） 17.    2013 230tan321327   18.          1 3 22 1325 xx xx 19. 22 32 1    xx x 20. 21.（1）__________；__________； 22. 23. 24. 准考证号 缺考标记 考生禁止填涂 缺考标记！只能 由监考老师负 责用黑色字迹 的签字笔填涂。 注意事项 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 3、选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的 签字笔填写，字体工整 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、 试卷上作答无效。 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸 刀。 6、填涂样例 正确 [■] 错误 [--][√] [×] 25. 26. （1）__________； 27. 28.（1）__________； 第 1页（共 8页） 5 月模拟考数学试卷 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一．选择题（共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） 1．﹣64的立方根是（ ） A．﹣4 B．4 C．±8 D．±2 2．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．小亮同学骑车上学，路上要经过平路、下坡、上坡和平路（如图），若小亮上坡、平路、下坡的速度分 别为 v1，v2，v3，v1＜v2＜v3，则小亮同学骑车上学时，离家的路程 s与所用时间 t的函数关系图象可能 是（ ） A． B． C． D． 4．2000年某区有 15000名学生参加高考，为调查他们的数学考试情况，评卷人抽取了 800名学生的数学 成绩进行统计，那么下列四个判断正确的是（ ） A．每一名学生的数学成绩是个体 B．15000名学生是总体 C．800名考生是总体的一个样本 D．上述调查是普查 5．如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝ ∠E．其中能使△ABC≌△AED成立的条件有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．下列因式分解最后结果正确的是（ ） 第 2页（共 8页） A．x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）（x+3） B．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）2 C．x3﹣x＝x（x2﹣1） D．﹣x2+6x﹣9＝（x﹣3）2 7．如图所示，将一张长方形纸片斜折过去，使顶点 A落在 A′处，BC为折痕，然后再把 BE折过去，使 之与 BA'重合，折痕为 BD，若∠ABC＝56°，则求∠E'BD的度数（ ） A．29° B．32° C．34° D．56° 8．已知点 P（x﹣1，﹣3）在第四象限，则 x的取值范围在数轴上可以表示为（ ） A． B． C． D． 9．在中国传统数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价．一马、 二牛价不满一万，如半牛之价，问牛、马价各几何？”译文：“今有 2 匹马、1头牛的总价超过 10000 钱，其超出的钱数相当于 2 1 匹马的价格.1匹马、2头牛的总价不足 10000钱，所差的钱数相当于 2 1 头牛 的价格．问每头牛、每匹马的价格各是多少？”设每匹马的价格为 x钱，每头牛的价格为 y钱，则依据 条件可列方程组为（ ） A．         yyx xyx 2 1100002 2 1100002 B．         yyx xyx 2 1100002 2 1100002 C．         xyx yyx 2 1100002 2 1100002 D．         xyx yyx 2 1100002 2 1100002 10．如图是一台圆形扫地机器人示意图，其两侧安装可以转动的毛边刷，毛边刷伸出 5cm，扫地机器人可 以在矩形场地内任意移动，为了将场地边角清扫干净，则该扫地机器人的最大直径（结果取整数）是 （ ） A．20cm B．22cm C．24cm D．26cm 第 3页（共 8页） 11．已知∠AOB为一锐角，如图，按下列步骤作图： ①在 OA边上取一点 D，以 O为圆心，OD长为半径画MN ，交 OB于 点 C，连接 CD． ②以 D为圆心，DO长为半径画GH ，交 OB于点 E，连接 DE，此时有 ∠CDE＝30°．则∠AOB的度数为（ ） A．20° B．30° C．40° D．50° 12．已知代数式 A＝a+b+c，B＝a﹣b﹣c，其中 a＞b＞c＞0，在代数式 A中任取两项相减后再求差的绝对 值，同时在 B中任取两项相减后再求差的绝对值，最后进行交换，交换后的结果分别记为 A′、B'，这 样的操作称为“换差绝对运算”．例如：在代数式 A中选取+b、+c，在代数式 B中选取 a、﹣b，进行“换 差绝对运算”，得到 A′＝a+|a﹣（﹣b）|＝2a+b，B′＝|b﹣c|﹣c＝b﹣2c．下列说法正确的个数是（ ） ①存在某种“换差绝对运算”，使得 A＝A′，B＝B'；②存在某种“换差绝对运算”，使得 A'＝B'； ③在“换差绝对运算”中，B'有 9种不同的结果． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二．填空题（共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分） 13．若关于 x的一元二次方程 x2+4x+k＝0有实数根，则 k的取值范围是 ． 14．已知闭合电路的电压为定值，电流 I（单位：A）与电路的电阻 R（单位：Ω）是反比例函数关系，根 据下表，则 a＝ ． 15．如图，⊙O的半径为 5，直径 AB⊥CD，以 B为圆心，BC长为半径作CED，则CED与CAD围成的 新月形 ACDE（阴影部分）的面积为 ． 16．如图，在正方形 ABCD中，AB＝6，点 E，F分别在边 CD，AD上，且 DE＝AF，连接 AE，BF交于 点 G，连接 CG并延长交 AD于点 H，则 DH的最小值为 . 三．解答题（共 12 小题，共 72 分） 17．（4分）计算：    2013 230tan321327   ． 第 4页（共 8页） 18．（4分）解不等式组：          1 3 22 1325 xx xx ． 19．（4分）解方程： 22 32 1    xx x ． 20．（5分）已知：如图，▱ABCD的对角线 AC，BD相交于点 O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点 E， F．求证：BE＝DF． 21．（6分）某校为了从甲、乙两位同学中选拔一人去参加亚运知识竞赛，举行了 6次选拔赛，根据两位同 学 6次选拔 赛的成绩，分别绘制了如图统计图： （1）根据统计图，得 a＝ ，b＝ ； （2）如果你是校方领导，从平均数、中位数、众数、方差的角度看，你会选择哪位同学参加知识竞赛？ 请说明理由． 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 甲 90 a 93 3 86 乙 90 87.5 b 3 100 第 5页（共 8页） 22．（6分）如图，一次函数 y＝mx+n（m≠0，m，n是常数）与反比例函数 y＝ x k （k≠0）在第二象限的 图象交于点 A（﹣1，a），B两点，与 x轴、y轴分别交于点 C、点 D，且 OC＝OD＝3． （1）求反比例函数的解析式； （2）连接 OA，求△AOC的面积． 23．（6分）随着移动互联网的普及，外卖已经成为了人们日常生活中不可或缺的一部分．某天，小惠在位 于点 A处的家中购买了位于点 K处某商家的外卖食品，外卖骑手收到商家派单后，立即赶往点 K处取 餐，然后进行配送．根据导航显示，点 K在点 A的南偏西 30°方向 2800 米处，点 A在点 B的北偏 东 75°方向，B、K两地相距 2400 米（∠ABK＜90°），点 C在点 K的正西方向，点 D分别在点 K、 点 A的正东方向和正南方向．（参考数据： 41.12  ， 24.25  ， 45.26  （1）求 AB的长度； （2）骑手在点 C处收到派单后立即赶往点 K处取餐并开始配送，由于道路 K﹣A正在维修，骑手有两 条送餐路线可选择：①K﹣B﹣A，速度为每分钟 320米；②K﹣D﹣A，速度为每分钟 240米．请通过 计算说明，骑手选择哪条送餐路线才能更快地将外卖送到小惠家？ 24．（6分）根据以下素材，探索解决下列问题． 素材 1：图①中有一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为 20m，宽为 1m的矩形， 其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面 5m．以矩形长的中点为原点 O，竖直 方向为 y轴，水平方向为 x轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，大棚顶部的最高点为 P． 素材 2：为了让苗木更好的生长需要在大棚内安装补光灯，补光灯采用吊装模式悬挂在顶部，已知补光 灯在距离地面 3.5m时补光效果最好． （1）求大棚上半部分形状所在抛物线的函数表达式； （2）若在距离 B处水平距离 7.5m的地方挂补光灯，为了使补光效果最好，求补光灯悬挂部分的长度．（灯 的大小忽略不计） 第 6页（共 8页） 25．（6分）如图，已知直线 PA交⊙O于 A、B两点，AE是⊙O的直径，点 C为⊙O上一点，且 AC平分 ∠PAE，过 C作 CD⊥PA，垂足为 D． （1）求证：CD为⊙O的切线； （2）若 DC+DA＝6，⊙O的直径为 10，求 AB的长度． 26．（7分）小王在学习中遇到了这样一个问题： 如图 1，在菱形 ABCD中，对角线 AC＝8cm，BD＝6cm，点 P是 AC上的动点，E是 AB的中点，连接 PE，PB，当△PBE是等腰三角形时，求线段 AP的长度． 小王分析发现，此问题可以用函数思想解决，于是尝试结合学习函数的经验探究此问题．请将下面的探 究过程补充完整： 根据点 P在 AC上的不同位置，画出相应的图形，测量线段 AP，PE，PB的长度，得到下表的几组对应 值． AP/cm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 PE/cm 2.5 1.8 1.5 1.8 m 3.4 4.3 5.2 6.2 PB/cm 5.0 4.2 3.6 3.2 3 3.2 3.6 4.2 5.0 （1）m的值是 ； 第 7页（共 8页） （2）将线段 AP的长度作为自变量 x，PE，PB的长度都是关于 x的函数，分别记为 y1，y2，并在平面 直角坐标系 xOy中画出了 y1的函数图象，如图 2所示，请在同一平面直角坐标系中描点，并画出 y2的 函数图象． （3）观察图象，可知函数 y1有最小值，请你利用学习过的几何知识，直接写出 y1的最小值．（写出准 确值） （4）根据图象，在点 P从 A移动到 C的过程中，当△PBE是等腰三角形时，直接写出 AP的长．（结 果精确到 0.1cm） 27．（9分）综合与实践 某数学兴趣小组在探索等腰直角三角形有关问题时，经历了如下过程： 如图 1，△ABC和△ADE是共顶点的等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°． 问题初探 （1）如图 2，当点 D在直线 BC上时， ①求证：AC⊥CE． ②推断：CE与 BD的比值． 问题深入 （2）当点 D不在直线 BC上时，（1）中的结论还成立吗？请结合图 1说明理由． 问题解决 （3）如图 3，点 O是正方形 ABCD的中心，点 E在直线 BC上运动，连接 OE，过点 E作 EF⊥OE，且 EF ＝OE，连接 OF，CF． ①正方形 ABCD的边 BC上是否存在一点 M，使 CFME 2 2  恒成立？若存在，直接写出点 M的位置； 若不存在，说明理由． ②连接 DF，若正方形 ABCD的边长为 4，设 EB＝x，DF＝y，当 x为何值时，y的值最小，最小值为多少？ 第 8页（共 8页） 28．（9分）将平面直角坐标系的纵轴绕原点顺时针旋转 30°得到斜坐标系．如图 1，在斜坐标系 xOy中， 对于该平面内的任意一点 P，过点 P分别作 y轴，x轴的平行线，与两轴交点所对应的数分别为 m与 n， 则称有序数对（m，n）为点 P的坐标．对于任意两点 P1（x1，y1），P2（x2，y2）和常数 k（k＞0），定 义 dk（P1，P2）＝|x1﹣x2|+k|y1﹣y2|为点 P1与 P2的“k﹣度量”． 如图 2，在斜坐标系 xOy中，已知点 A（1，2），B（3，2），回答下列问题： （1）点 A与点 O的“  2 1 度量”为 ； （2）已知点 C（0，c），过点 C作平行于 x轴的直线 l． ①当 c＝﹣2时，求出直线 l上与点 O的“  2 1 度量”为 2的点的坐标； ②若直线 l上存在与点 O的“  2 1 度量”为 2的点，求出 c的取值范围； （3）已知点        2 1, 2 1mM ，        2 1, 2 1mN ，若线段 AB上存在点 P，在线段 MN上存在点 Q，使得 d1（P，Q）＝5，直接写出 m的取值范围． 5月模拟考数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 1．A． 2．C． 3．C． 4．A． 5．B． 6．B． 7．C． 8．A． 9．B． 10．C． 11．C． 12．C． 二．填空题（共4小题） 13．k≤4． 14．12　． 15．25． 16．4.5． 三．解答题（共12小题） 17．． 18．x≤1． 19．x＝． 20．证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， ∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴∠OEB＝∠OFD＝90°， 在△BOE和△DOF中， ， ∴△BOE≌△DOF（AAS）， ∴BE＝DF． 21．（1）91，85； （2）我会选择甲同学参加知识竞赛，理由如下： 从平均分看，甲、乙的成绩相当；从中位数和众数看，甲的成绩比乙高；从方差看，甲成绩的方差比乙小，更稳定．因此我会选择甲同学参加知识竞赛． 22．（1）∵一次函数y＝mx+n的图象与x轴、y轴分别交于点C，点D，OC＝OD＝3， ∴C（﹣3，0），D（0，3）， 把C，D坐标代入y＝mx+n得：， 解得：， ∴一次函数解析式为y＝x+3， 当x＝﹣1时，y＝2， ∴A（﹣1，2）， ∵点A是一次函数y＝x+3的图象与反比例函数数y＝（k≠0）的图象的交点， ∴k＝xy＝﹣1×2＝﹣2， ∴反比例函数的解析式为y＝﹣； （2）∵A（﹣1，2）， ∴S△AOC＝OC×yA＝×3×2＝3． 23．（1）作KF⊥AB于点F． ∴∠BFK＝∠AFK＝90°． 由题意得：EB∥AD，∠EBA＝75°， ∴∠BAD＝75°． ∵∠KAD＝30°， ∴∠BAK＝45°． ∵AK＝800米， ∴AF＝FK＝800米． ∵BK＝400米， ∴BF＝＝400米． ∴AB＝AF+BF＝1200（米）． （2）由题意得：∠D＝90°． ∵∠KAD＝30°，AK＝800米， ∴KD＝400米，AD＝400米． ①K﹣B﹣A，需要的时间为：≈6.6（分）； ②K﹣D﹣A，需要的时间为：≈6.4（分）． ∵6.6＞6.4， ∴选择路线②才能更快地将外卖送到小惠家． 24．（1）根据图中的坐标系以及题意可得，点P的坐标为（0，5），点B的坐标为（10，1）， ∵抛物线的顶点坐标为点P（0，5）， ∴可设抛物线的函数表达式为y＝ax2+5， 把点B（10，1）代入，得100a+5＝1， 解得：． ∴抛物线的函数表达式为． （2）10﹣7.5＝2.5（m）， 当x＝2.5时，， ∵4.75﹣3.5＝1.25（m）， ∴补光灯悬挂部分的长度应是1.25m． 25．（1）证明：连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC， ∵AC平分∠PAE， ∴∠DAC＝∠CAO， ∴∠DAC＝∠OCA， ∴PB∥OC， ∵CD⊥PA， ∴CD⊥OC，CO为⊙O半径， ∴CD为⊙O的切线； （2）解：过O作OF⊥AB，垂足为F， ∴∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°， ∴四边形DCOF为矩形， ∴OC＝FD，OF＝CD． ∵DC+DA＝6， 设AD＝x，则OF＝CD＝6﹣x， ∵⊙O的直径为10， ∴DF＝OC＝5， ∴AF＝5﹣x， 在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2＝OA2． 即（5﹣x）2+（6﹣x）2＝25， 化简得x2﹣11x+18＝0， 解得x1＝2，x2＝9． ∵CD＝6﹣x大于0，故x＝9舍去， ∴x＝2， 从而AD＝2，AF＝5﹣2＝3， ∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点， ∴AB＝2AF＝6． 26．（1）设AC与BD交点为O， ∵在菱形ABCD中，对角线AC＝8cm，BD＝6cm， ∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝4，OB＝OD＝BD＝3， ∴． 当AP＝4时，点P与对角线AC和BD的交点O重合， ∴此时△APB为直角三角形． ∵E为AB的中点， ∴， 即m＝2.5； 故答案为2.5； （2） 画出的y2的函数图象如解图1所示． （3） 记AC，BD相交于点O，如解图2所示．由垂线段最短， 可知当PE⊥AC时，PE的值最小，即y1取得最小值． ∵OB⊥OA， ∴PE∥OB，． ∵E为AB的中点， ∴P为OA的中点， ∴， 即y1的最小值为1.5． （4） 由题意，可知当△PBE是等腰三角形时，需分以下两种情况进行讨论： ①当PE＝BE＝2.5cm时． 观察图象，可知AP＝4.0cm或AP＝0cm（舍去）． ②当PE＝PB时， 观察图象，可知AP的长约为4.6cm， 综上，线段AP的长度约为4.0cm或4.6cm． 27．（1）①证明：如图2，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°， ∴AB＝CB，AD＝ED， ∴AC＝＝AB，AE＝＝AD， ∴＝＝， ∵∠BAC＝∠BCA＝45°，∠DAE＝∠DEA＝45°， ∴∠CAE＝∠BAD＝45°﹣∠BAE， ∴△CAE∽△BAD， ∵点D在直线BC上， ∴∠ABD＝90°﹣∠ABC＝90°， ∴∠ACE＝∠ABD＝90°， ∴AC⊥CE． ②的值为， 理由：∵△CAE∽△BAD， ∴＝＝， ∴的值为． （2）（1）①中的结论不成立，（1）②中的结论成立， 理由：如图1，∵AB＝CB，AD＝ED，∠ABC＝∠ADE＝90°， ∴AC＝AB，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝45°， ∴＝＝，∠BAD＝∠CAE＝45°﹣∠CAD， ∴△CAE∽△BAD， ∴∠ACE＝∠ABD， ∵点D不在直线BC上， ∴∠ABD≠90°， ∴∠ACE≠90°， ∴AC与CE不垂直， ∴（1）①中的结论不成立； ∵△CAE∽△BAD， ∴＝＝， ∴的值为， ∴（1）②中的结论成立． （3）①存在，点M是BC的中点， 理由：如图3，连接OB、OC，作OM⊥BC于点M，则∠OME＝∠OMC＝90°， ∵点O是正方形ABCD的中心， ∴OB＝OC，∠BOC＝×360°＝90°， ∴CM＝BM， ∴OM＝CM＝BM＝BC， ∴OC＝＝OM，∠MOC＝∠MCO＝45°， ∵EF⊥OE，且EF＝OE， ∴∠OEF＝90°， ∴OF＝＝OE，∠EOF＝∠EFO＝45°， ∴＝＝，∠EOM＝∠FOC＝45°﹣∠FOM， ∴△EOM∽△FOC， ∴＝＝， ∴ME＝CF， ∴边BC上存在使ME＝CF恒成立的点M，点M为BC的中点． ②如图3，∵△EOM∽△FOC， ∴∠OME＝∠OCF＝90°， ∴点F在经过点C且与OC垂直的直线上运动， 作DP⊥FC交FC的延长线于点P，则∠P＝90°， ∵∠OCP＝∠BCD＝90°，BC＝CD＝4，EB＝x，DF＝y， ∴∠PCD＝∠OCB＝90°﹣∠OCD＝45°， ∴＝sin45°＝， ∴DP＝CD＝×4＝2， ∵DF≥DP， ∴DF≥2， ∴当点P与点F重合时，DF的值最小，此时y取得最小值2， 如图4，点P与点F重合，连接OB， ∵∠OCD＝90°﹣∠OCB＝45°，∠PCD＝45°， ∴∠OCP＝90°， ∵＝＝cos45°＝， ∴OC＝PC＝×4＝2， ∴点E与点C重合， ∴EB＝BC＝4，即x＝4， ∴当点E在点B的右侧，且x＝4时，y的值最小，最小值为2． 28．（1）由题意得： ＝2， 故答案为：2； （2）由题意得： C（0，﹣2）， ∵过点C作平行于x轴的直线l， ∴可设直线l上点的坐标为D（m，﹣2）， ∵直线l上与点O的“度量”为2， ∴， 整理得：|m|＝1， 解得：m＝±1， ∴直线l上与点O的“度量”为2的点的坐标为（1，﹣2）或（﹣1，﹣2）； 设直线l上存在与点O的“度量”为2的点为E（n，c）， ∴， 整理得：， ∵|n|≥0， ∴， 解得：﹣4≤c≤4， 故c的取值范围﹣4≤c≤4； （3）由题意得： ＝， 同理可求：， ， ， ∵d1（P，Q）＝5， ∴①， 解得：m＝﹣1或4≤m≤6， ②， 解得：m＝﹣1， ③ 解得：4≤m≤6， ④ 解得：﹣3≤m≤1， 综上所述：﹣3≤m≤1或4≤m≤6． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$