2.2 平方根与立方根(课件)2025-2026学年北师大版八年级数学上册

2.2 平方根与立方根 第二章 实数 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 算术平方根 () 2 (a ≥ 0)与 的性质 平方根 立方根 估算 用计算器求算术平方根和立方根 知1－讲 感悟新知 知识点 算术平方根 1 算术平 方根 内容 示例 定义 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根 . 特别地，我们规定：0 的算术平方根是0. 因为32=9，所以9 的算术平方根是3。 感悟新知 算术平方根 内容 示例 表示方法 非负数a 的算术平方根记作 ，读作“根号a” 4，0 的算术平方根分别是2，0，即. =2, =0 性质 (1)正数的算术平方根是一个正数，0 的算术平方根是0 (0 =0)，负数没有算术平方根； (2) 的双重非负性 知1－讲 注意：“ ”的根指数为2，是“2 ” 的简写形式 非负数才有算术平方根 一个数的算术平方根是非负数 初中阶段三种形式的非负数：|a|，a2n (n 为正整数)， a (a ≥ 0) 感悟新知 知1－讲 特别解读 1. 负数没有算术平方根，所以当 有意义时，a一定是一个非负数，即a ≥ 0. 2. 如果一个负数的平方等于a，那么a 的算术平方根是这个负数的相反数. 3. 算术平方根等于它本身的数只有0，1。 知1－练 [母题 教材P31例1 ]求下列各数的算术平方根： (1)64；(2)2；(3)1.96；(4)；(5)7. 例1 考向：利用算术平方根的定义解决问题 题型1 求一个数的算术平方根 解题秘方：先根据平方运算找出平方等于这个数的非负数，然后根据算术平方根的定义求出算术平方根。 (1)64； (2)2； 知1－练 解：因为82＝64，所以64的算术平方根是8，即＝8. 因为()2＝＝2， 所以2的算术平方根是，即＝. (3)1.96； (4)； (5)7. 知1－练 解：因为1.42=1.96，所以1.96的算术平方根是1.4，即=1.4； 因为＝9，9的算术平方根是3， 所以的算术平方根是3； 7的算术平方根是. 不要误认为是求81 的算术平方根 知1－练 感悟新知 1-1. 下列说法中，正确的是( ) A. 4 的算术平方根是 B. 0 的算术平方根是0 C. = 5 D. 16 的算术平方根是4 B 变式训练 知1－练 感悟新知 1-2. [中考·滨州]一块面积为5 m2 的正方形桌布，其边长为 ________。 m 知1－练 已知a的算术平方根是3，b的算术平方根是4，求a＋b的算术平方根. 例2 题型2 已知算术平方根求值 解题秘方：先根据算术平方根的定义求出a，b 的值，再求出a+b 的值，最后根据算术平方根的定义得出结果。 知1－练 解：因为a的算术平方根是3，所以a＝32＝9. 因为b的算术平方根是4，所以b＝42＝16. 所以a＋b＝9＋16＝25， 因为52=25. 所以25 的算术平方根是5，即a＋b的算术平方根是5. 知1－练 2-1. 已知＝5，＝4，求 的值. 变式训练 感悟新知 知2－讲 知识点 () 2 (a ≥ 0)与 的性质 2 类别 性质 举例 ()2 (a ≥ 0) ()2 =a (a ≥ 0) ()2 =7 = |a| = = =5 , = =3, a 为任意数， 是先平方再开方 注意：将a 写成()2 时，a 必须是非负数。 知2－讲 感悟新知 特别提醒 因为a≥0， ()2 是先开方，再平方，所以 ()2 =a也可以逆用，如5= ()2 。 知2－练 考向：利用()2 (a ≥ 0)与 的性质解决问题 求下列各式的值： (1) ()2 ； (2) ()2； (3) ； (4) (x>2)。 例3 解题秘方：运用 =|a| 化简时，一定要先判断出a 的符号，再化简。 16 知2－练 (1) ()2 ； (2) ()2； 解：()2 ＝9; ()2 ＝()2 ＝5.6; 17 知2－练 (3) ； (4) (x>2)。 解： ＝|＝; 因为x>2，所以2 x<0， 故 =|2 x|= (2 x)=x-2。 18 3-1. 求下列各式的值： (1) ()2 ； (2) ； (3) ； (4) (a<4). 变式训练 知2－练 (1) ()2 ； (2) ； (3) ； (4) (a<4). 解：()2 ＝7； ＝ ＝5； ＝|－7|＝7； 因为a<4，所以a－4<0， 故＝|a－4|＝－(a－4)＝4－a. 知2－练 感悟新知 知3－讲 知识点 平方根 3 平方根 内容 示例 定义 一般地，如果一个数x 的平方等于a，即x2=a，那么这个数x 就叫作a 的平方根 (也叫作二次方根) 1. 平方根 平方根 内容 示例 表示方法 正数a 的平方根记作±，读作“正、负根号a”，其中 表示a 的算术平方根， 表示a 的负的平方根。0 的平方根为0 5的平方根记作± ；9 的平方根记作± =±3 性质 (1)一个正数有两个平方根； (2)0 只有一个平方根，是它本身； (3)负数没有平方根 知3－讲 感悟新知 感悟新知 方法点拨 求一个正数的平方根的方法： 先找出平方等于这个正数的数，这样的数有两个，它们互为相反数，因而这两个数均为这个正数的平方根。如果这个正数为带分数，一般先将其转化为假分数；如果这个正数为小数，一般先将其转化为分数。如果正整数a不能写成有理数的平方的形式，则可以将a 的平方根表示成± 的形式。 知3－讲 名称 关系 算术平方根 平方根 区别 定义不同 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x 就叫作a的算术平方根。0 的算术平方根是0 一般地，如果一个数x 的平方等于a, 即x2=a，那么这个数x 就叫作a 的平方根(也叫作二次方根) 个数不同 一个正数的算术平方根只有一个 一个正数有两个平方根，它们互为相反数 知3－讲 辨析：平方根与算术平方根的区别与联系 感悟新知 名称 关系 算术平方根 平方根 区别 表示方法不同 a 的算术平方根为，其中a ≥ 0 a 的平方根为± ，其中a ≥ 0 结果不同 正数的算术平方根一定是正数 一个正数的平方根有两个，一正一负，它们互为相反数 联系 具有包含关系 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的正的那个 存在条件相同 只有非负数才有平方根和算术平方根；0 的平方根与算术平方根都是0 感悟新知 感悟新知 知3－讲 2. 开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫作开平方，a 叫作被开方数。 注意：(1)开平方时，被开方数a 必须是非负数，即a ≥ 0； (2)开平方是求一个非负数的平方根，而不是算术平方根，应注意两者的区别，以免漏解。 感悟新知 知3－讲 示例 感悟新知 知3－讲 3. 开平方与平方根、平方的关系 (1)开平方是一种运算，是求平方根的过程，平方根是数，是开平方的结果。 (2)平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确。例如：因为(±) 2= ，所以±=± 。 感悟新知 知3－讲 注意：正数开平方的结果有两个，且互为相反数；0 开平方仍为0。 知3－练 求下列各式的值： (1)121； (2) 0.006 4；(3)2；(4)－(－4)3；(5). 例3 考向：利用平方根的定义和性质解决问题 题型1 求一个数的平方根 解题秘方：先根据平方运算找出平方等于这个数的数，然后根据平方根的定义确定。 30 (1)121； (2) 0.006 4； 解：因为(±11)2＝121， 所以121的平方根是±11，即± =±11. 因为(±0 .08)2= 0 .006 4，所以0.006 4 的平方根是±0 .0 8，即± =±0 .0 8； 知3－练 (3)2； 因为2＝， (±)2＝， 所以2的平方根是±，即± =±=±; 知3－练 (4)－(－4)3； (5). 解：因为－(－4)3=64， (±8)2=64， 所以－(－4)3的平方根是±8，即± =±8. ＝7， (±)2＝7， 所以的平方根是±. 知3－练 4-1. 下列说法中, 不正确的是( ) A. －11是121的一个平方根 B. 11是121的一个平方根 C. 121的平方根是11 D. 121的算术平方根是11 C 变式训练 知3－练 4-2. 求下列各数的平方根： (1)1； (2) 10－10 ； 解：因为(±1)2＝1，所以1的平方根是±1，即±＝±1； 因为(±10－5)2＝10－10，所以10－10的平方根是±10－5，即±＝±10－5 知3－练 (3)1； (4)(－3)2. 因为(－3)2＝9， (±3)2＝9， 所以(－3)2的平方根是±3，即±＝±3。 知3－练 感悟新知 [母题 教材P33例4] 求下列各式的值： (1) ；(2)±；(3) ； (4) － ；(5) . 例4 题型2 利用开平方与平方的互逆运算关系求值 知3－练 感悟新知 解题秘方：首先观察式子的结构特点，然后将被开方数化成 a 2，再利用 =|a| 求值 . 知3－练 (1) ； (2)±； ＝ ＝ 12； 知3－练 ± ＝± ＝±＝± ； (3) ； (4) － ； (5) . 解： ＝ | － 3 | ＝3； － ＝ － ＝0.9 －0.2 ＝ 0.7； ＝ ＝ ＝5. 被开方数42+32 是一个整体，先将 42+32 化简，再化为 a2 的形式 . 知3－练 5-1. 求下列各式的值. (1) = ________； (2)－ = ________； (3)±= ________； (4)= ________. 变式训练 知3－练 已知2a－1 与－a＋2 是m的平方根，求m的值. 例 6 题型3 利用平方根的性质求字母的值 解题秘方：根据平方根的性质，找出两个平方根之间的关系列方程求值。 知3－练 解：根据题意，分以下两种情况： 当2a－1＝－a＋2 时，a＝1， 所以m＝(2a－1)2＝(2×1－1)2＝1； 当(2a－1)＋(－a＋2)＝0 时，a＝－1， 所以m＝(2a－1)2＝［2×(－1)－1］2＝(－3)2＝9. 故m的值为1 或9. 知3－练 解法提醒：正数有两个 平方 根 , 它们互为相反数，列方程先求出 a，再根据平方根的定义求这个正数的值 . 已知 a，b 是m 的平方根，则有 a=b 或 a+b=0. 知3－练 6-1. 已知一个正数x的平方根是2a－3 与5－a，求a的值及的算术平方根. 变式训练 知3－练 知4－讲 感悟新知 知识点 立方根 4 立方根 内容 示例 定义 一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3=a，那么这个数 x 就叫做 a 的立方根(也叫做三次方根) . 2 是8 的立方根，－是－的立方根，0 是0 的立方根 1. 立方根的概念 感悟新知 立方根 内容 示例 表示方法 每个数a 都有一个立方根，记作，读作“三次根号a” 5 的立方根记作 ；－8 的立方根记作=－2 知4－讲 a可以是正数，负数或0 指数3不能省略 感悟新知 特别解读 知4－讲 感悟新知 2. 立方根的性质 (1) 正数的立方根是正数，0 的立方根是0，负数的立方根是负数。 (2) 三个重要公式 ①( ) 3=a； ② = a ； ③ = － . 因为a 的立方根为 ，所以( ) 3=a 因为a3 的立方根为a，所以= a 利用= 可以把求一个负数的立方根转化为求一个正数的立方根的相反数，如= 2 知4－讲 感悟新知 特别解读 1. 立方根是它本身的数只有0 和±1。 2 . 互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数。 知4－讲 感悟新知 (3)平方根与立方根的比较 名称 区别 平方根 立方根 被开方数的取值范围不同 在 中，a ≥ 0 在中， a 为任意数 性质不同 正数有两个平方根，它们互为相反数 只有非负数才有平方根 正数的立方根是正数 负数也有立方根 0 的平方根是0 0 的立方根是0 负数没有平方根 负数的立方根是负数 表示方法 非负数a 的平方根为± a 的立方根为 知4－讲 感悟新知 特别解读 1. 开立方时，被开方数可以是正数、负数、0。 2. 立方根与开立方的关系：立方根是一个数，是开立方的结果；而开立方是求一个数的立方根的运算。 知4－讲 感悟新知 3. 开立方：求一个数a 的立方根的运算，叫作开立方，a 叫作被开方数。 开平方与开立方的不同点与相同点 开平方 开立方 不 同 点 运算符号 二次根号“ ” 三次根号“ ” 被开方数 非负数 任意数 个数 0 的平方根只有一个；一个正数的平方根有两个；负数没有平方根 任意数的立方根都只有一个 相同点 开平方和开立方都与相应的乘方运算互为逆运算 知4－讲 [母题 教材P35例5] 求下列各数的立方根： (1)－125；(2)2；(3) 0.512； (4)－2. 例1 考向：利用立方根的定义和性质解决问题 题型1 求一个数的立方根 解题秘方：求一个数的立方根就是要找到某一个数，使它的立方等于这个数，再求立方根。 知4－练 (1)－125； (2)2； 解：因为(－5)3=－125， 所以－125 的立方根是－5，即3=－5. 因为2＝，而()3＝ ， 所以2的立方根是，即3＝. 先将带分数化为假分数，然后再求其立方根. 知4－练 (3) 0.512； (4)－2. 解：因为0.83=0.512，所以0.512 的立方根是0 .8，即= 0 .8； －2 的立方根是 . 知4－练 7-1. 求下列各数的立方根： (1)－343； (2)1.331； 解：因为(－7)3＝－343，所以－343的立方根是－7, 即 ＝－7； 因为1.13＝1.331，所以1.331的立方根是1.1，即 ＝1.1； 变式训练 知4－练 (3)109； (4)4. 解：因为(103)3＝109，所以109的立方根是103，即 ＝103； 知4－练 题型2 已知立方根和平方根求值 已知x－2的平方根是±2，2x＋y＋7的立方根是3，求x2＋y2的算术平方根. 解题秘方：根据立方根和平方根的定义求解即可 . 例8 知4－练 解：因为x－2的平方根是±2，所以x－2＝4. 所以x＝6. 因为2x＋y＋7的立方根是3，所以2x＋y＋7＝27. 把x＝6代入，解得y＝8，所以x2＋y2＝62＋82＝100. 所以x2＋y2的算术平方根为10. 知4－练 感悟新知 8-1.已知 7a+1 的立方根是 ，8a+b － 2 的平方根是 ±2. (1)求 a，b 的值 ； 变式训练 知4－练 知1－练 感悟新知 (2)求 － 8a+3b+3 的平方根 . 知4－练 感悟新知 给出下列说法：①正数的立方根有两个，它们互为相反数；②负数没有立方根；③ =a；④任何数都可以开立方，但只有非负数才能开平方；⑤一个数的立方根的相反数等于这个数的相反数的立方根 . 其中不正确的是( ) A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ①⑤ 例3 题型3 利用立方根的性质进行判断 知4－练 感悟新知 解题秘方：依据平方根和立方根的定义和性质求解即可。 知4－练 解：①正数的立方根有1 个，故原说法不正确；② 负数有立方根，故原说法不正确；③ =a, 故原说法正确；④ 任何数都可以开立方，但只有非负数才能开平方，故原说法正确；⑤一个数的立方根的相反数等于这个数的相反数的立方根，故原说法正确。 故本题不正确的说法有：① ②。 答案： A 感悟新知 知4－练 感悟新知 9-1. －a2 的立方根的值一定为( ) A. 非正数 B. 负数 C. 正数 D. 非负数 A 变式训练 知4－练 已知3和3互为相反数，且x≠0，y≠0，求的值. 例4 题型4 利用立方根的性质求值 解题秘方：根据立方根互为相反数，则被开方数互为相反数，建立x与y之间的等量关系求解. 知4－练 解：因为3和 3互为相反数， 所以3y－1和1－2x互为相反数， 即(3y－1)＋(1－2x)＝0. 所以3y＝2x. 又因为x ≠ 0，y ≠ 0，所以＝. 知4－练 10-1. 若3与3互为相反数, 求的值(y ≠ 0). 变式训练 知4－练 感悟新知 [母题 教材P35例6] 求下列各式的值： (1) ； (2) ；(3) ；(4) ；(5)() 3. 例5 题型5 开立方计算 知4－练 感悟新知 解题秘方：将被开方数写成三次方的形式，然后利用 =a 直接开方，带有负号的要注意符号；被开方数是带分数的，首先化为假分数，再把它写成三次方的形式，最后开立方 . 知4－练 (1) ； (2) 解： ＝ ＝3； ＝ ＝ 知4－练 (3) ； (4) ； (5)() 3. 解： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ － () 3 ＝ －8. 知4－练 感悟新知 11-1.求下列各式的值： (1)－ ； (2) ； (3) . 变式训练 知4－练 知识点 估算 5 1. 估算无理数的大小 对于带根号的无理数的近似值的估算，可以通过平方运算或立方运算采用“夹逼法”(即两边无限逼近的方法) 逐步夹逼，首先确定其整数部分，再确定十分位、百分位等小数部分。 感悟新知 知5－讲 “精确到”与“误差小于”的区别：如精确到1，是四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1，即答案与原数相差不超过1 的都符合题意，答案不唯一。 感悟新知 知5－讲 感悟新知 特别提醒 无理数的估算一般采用夹逼法，“夹”就是从两边确定取值范围； “逼”就是一点一点加强限制，使其所处范围越来越小，从而达到理想的精确度。 知5－讲 2. 用估算法比较两个数的大小 (1)用估算法比较两个数的大小，若其中有一个数是无理数， 一般先进行分析，估算出无理数的大致取值范围，再进行具体的比较。 (2)比较两个数的大小时常用的结论：① 若a>b ≥ 0，则 > ，a2>b2；② 若a>b, 则 > ；③ 若b<a ≤ 0， 则b2>a2。 感悟新知 知5－讲 感悟新知 拓展视野 比较两个无理数大小的常用方法 1. 估算法：先估算出所给无理数的近似值， 再比较。 2. 作差法：若 － >0，则 > ；若 － < 0,则 < 。 知5－讲 感悟新知 3. 乘方法：把含根号的两个无理数同时乘方(一般平方或立方)， 比较乘方后的数的大小，同时考虑符号确定大小即可。 4. 放缩法：将其中一个数(或两个数)放大或缩小，再比较。 5. 作商法等。 知5－讲 考向：利用估算解决问题 题型1 估算无理数的大小 [母题 教材P37随堂练习T1] 估算下列各数的大小： (1) (结果精确到 0.1)； (2)3(结果精确到 1). 解题秘方：先看估算的是算术平方根还是立方根，然后确定其整数部分，再按精确度的大小确定其小数部分。 例12 结果要精确到 0.1，要估 算到0.01，然后四舍五入到0.1. 知5－练 解：因为 3 2=9，4 2=16，所以 3 ＜ ＜ 4. 所以 12.5 的整数部分是 3. 因为 3.5 2=12.25，3.6 2=12.9 6， 所以 3.5 ＜ ＜ 3.6. 因为 3.53 2=12.460 9，3.54 2=12.531 6， 所以 3.53 ＜ ＜ 3.54. 所以 ≈ 3.5. (1) (结果精确到 0.1)； 知5－练 解：因为143＝2 744，153＝3 375， 所以14<3<15， 又因为 14.9 3 ≈ 3 308， 所以 14.9 ＜ 3＜ 15，所以 3≈ 15. (2)3(结果精确到 1). 知5－练 感悟新知 方法点拨：估算 (a ≥ 0)时，可以采用“夹逼法”，首先确定 的整数部分，根据算术平方根的定义，有 m 2< a <n 2，其中 m， n 是连续的非负整数，则 m< <n，则 的整数部分为 m，同理确定 的小数部分，如此进行下去，可得 的近似值 . 知5－练 感悟新知 12-1. 的值在( ) A.1与 2 之间 B.2 与 3 之间 C.3 与 4 之间 D.5 与 6 之间 C 变式训练 知5－练 感悟新知 12-2.根据表格估算≈ _________.(精确到0.1) 2.4 x x3 2.2 10.648 2.3 12.167 2.4 13.824 2.5 15.625 2.6 17.576 知5－练 题型2 利用估算法比较两个数的大小 [母题 教材P38习题T9]比较下列各组数的大小： (1)与4；(2)与；(3)与3－. 解题秘方：根据各小题不同的特征选择恰当的方法进行比较。 例2 知5－练 (1)与4； (2)与； 解：因为12<16，所以<4. 因为 <2，所以<1. 所以 < . 平方法 知5－练 解：因为－1.5<－ <－1.4， 所以3－1.5<3－<3－1.4，即1.5<3－<1.6. 因为1.7<<1.8，所以 >3－. (3)与3－. 估算法 知5－练 感悟新知 13-1. [ 石家庄·期中 ] 下列式子成立的是( ) A． ＞2.5 B. ＜ C. ＜ 3.85 D. －1＜ D 变式训练 知5－练 知识点 用计算器求算术平方根和立方根 6 1.求正数的算术平方根 大多数计算器都有 键，用它可以求一个正数的算术平方根，按键顺序为先按 键，然后按数字键，再按 键，计算器显示的结果就是该数的算术平方根. 知6－讲 感悟新知 特别提醒 用计算器求算术平方根或立方根时，计算器显示的数值，许多都是近似值，要根据题目要求的精确度确定结果. 开方运算按键方法 : (1)先按“开方键”; (2)后按“被开方数”; (3)再按“等号”键 . 知6－讲 感悟新知 2. 求一个数的立方根 (1)有 键的计算器，按键顺序为先按 键，再按数字键，最后按 键，显示结果； (2)有第二功能键的计算器，其按键顺序为先按 键，再按 键，然后按数字键，最后按 键，显示结果. 知6－讲 感悟新知 特别提醒 利用计算器进行较复杂的计算时，关键还是要弄清按键的顺序，尤其一些特殊情况下的输入, 根号下含有的运算部分必须加括号。 知6－讲 感悟新知 特别说明 不同型号的计算器按键的顺序可能不同， 使用计算器时，一定要按说明书操作。 知6－讲 [母题 教材P38习题T10]利用计算器求下列各式的值( (2)~(5)结果精确到0.0 01)： (1)； (2)；(3) ；(4) ； (5) - 。 例14 考向：利用计算器求算术平方根或立方根 解题秘方：紧扣用计算器开平方的按键顺序进行操作. 知6－练 (1)； (2)(结果精确到0.01). 解：依次按键 ， 显示99. 所以＝99. 依次按键 ， 显示3.316 624 79. 所以 ≈3.317. 知6－练 (3) ； (4) ； 解：依次按键 ， 显示4 .6 41 588 8 3 4，所以≈ 4.6 4 2； 依次按键 ， 显示3.316 624 79. 所以 ≈ 2.368； 知6－练 (5) - 。 解：依次按键 ， 显示0 .74 8 343 3 01，所以- ≈ 0 .748； 知6－练 感悟新知 14-1.用计算器进行计算，依次按键 ，其结果是 __________. 96 变式训练 知6－练 感悟新知 14-2.利用计算器计算 (结果精确到 0.01); (1) ＋ 1； (2) － 3. 知6－练 平方根与 立方根 平方根 定义 算术平方根 性质 估算 立方根 解：因为＝5，所以a＝25. 因为＝4，所以b＝16. 所以＝＝＝3. 解：因为1＝， ＝， 所以1的平方根是±，即±＝±＝±； 40 － ±2 0.06 解：因为一个正数x的平方根是2a－3与5－a， 所以2a－3＋5－a＝0，解得a＝－2， 所以x＝(2a－3)2＝[2×(－2)－3]2＝49， 所以＝＝＝9， 所以的算术平方根是=3. 因为4＝，而＝，所以4的立方根是，即＝ 解：因为7a＋1的立方根是，8a＋b－2 的平方根是±2. 所以7a＋1＝，8a＋b－2＝4， 解得a＝－，b＝7. 解：当 a＝－，b＝7 时， －8a＋3b＋3＝－8×＋3×7＋3＝25. 因为25的平方根是±5. 所以－8a＋3b＋3的平方根是±5. 解：因为与互为相反数， 所以1－2x与5y－2互为相反数. 所以(1－2x)＋(5y－2)＝0， 整理得2x＋1＝5y，所以＝＝5. 解：－＝－＝； ＝＝； ＝＝ ＝60. 解： ＋1≈3.24； －3≈3.48. $$