2.1 认识实数 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

2.1 认识实数 第二章 实数 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 生活中存在不是有理数的数 无理数的概念 实数的相关概念和性质 实数与数轴的关系 知1-讲 感悟新知 知识点 生活中存在不是有理数的数 1 在七年级上学期,我们学习了有理数。随着研究的深入,人们发现了不是有理数的数,现实生活中存在大量不是有理数的数。如图2-1-1,用剪拼的方法将两个边长为1 的小正方形拼成如图2-1-2 边长为a 的 大正方形,由拼法可知a2=2. 感悟新知 拼成的面积为 2 的大 正方形的面积在面积为 1 和面积为4 的两个正方形的面积之间,则它的边长也必然在 1 和 2 之间,既不是整数,也不是分数 . 知1-讲 感悟新知 知1-讲 特别提醒 若 x2=a,当 a 不能写成一个整数或一个分数的平方的形式时,x 不是有理数 . 知1-练 [新考法 数形结合法] 图2-1-3 是由五个边长为1的小正方形组成的图案,如果把它们剪拼成一个正方形 例1 考向:利用拼图解释无理数的产生 解题秘方:根据剪拼没有改变图形的面积,确定正方形的面积及边长,结合拼出的图形解释无理数的产生。 (1)所拼成的正方形的面积是多少? (2)设拼成的正方形的边长为a,a应满足什么条件? (3)a是整数吗?是分数吗?是有理数吗? (4)请你讨论一下 a 在哪两个相邻整数之间 . 知1-练 解:所拼成的正方形的面积是5. a应满足a2=5. a不是整数,不是分数,不是有理数. a 在 2 和 3 之间. (5)画出你所拼的正方形. 知1-练 所拼成的正方形如图2-1-3. 知1-练 1-1. 以下各正方形的边长不是有理数的是( ) A. 面积为25 的正方形 B. 面积为的正方形 C. 面积为8 的正方形 D. 面积为1.44 的正方形 C 变式训练 感悟新知 知2-讲 知识点 无理数的概念 2 1. 无理数的概念  无限不循环小数称为无理数 . ①小数;②位数无限; ③不循环,三者缺一不可 知2-讲 2.无理数的常见形式 (1)圆周率 及一些含 的数,如 , , -3 等; (2)具有特定结构的数,如0 .989 889 888 988 8 8 9 …(相邻两个9 之间8 的个数逐次加1); (3)无理数与有理数的和、差,结果都是无理数,如 +2; 不是分数,是一个无理数 知2-讲 (4)无理数乘或除以一个不为0 的有理数,结果是无理数,如2 , 等; (5)开方开不尽的数的方根(下节会学到)。 知2-讲 感悟新知 特别提醒 有理数和无理数的区别: 1.无理数是无限不循环小数,有理数是有限小数或无限循环小数; 2.有理数可化为分数,无理数不能化为分数 . 知2-练 [母题 教材P27例题]下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理数? 3.14,- ,0,-,2.3,7.141 441 444 1…(相邻两个1之间4的个数逐次加1). . 例2 考向:利用无理数的概念识别无理数 知2-练 感悟新知 解题秘方:识别无理数,不能只看形式,关键看它是不是无限不循环小数。 知2-练 解:有理数有:3.14,0,-,2.3; 无理数有: - ,7.141 441 444 1…(相邻两个1之间4的个数逐次加1). . 知2-练 感悟新知 2-1. [中考 长沙]下列各数中,是无理数的是( ) A. B. C. -1 D. 0 B 变式训练 知2-练 感悟新知 2-1.下列说法正确的是(     ) A.有理数只是有限小数 B. 是分数 C.无限小数是无理数 D.无理数是无限小数 D 知3-讲 感悟新知 知识点 实数的相关概念和性质 3 1. 实数: 有理数和无理数统称为实数. 在实数范围内,一个数 不是有理数就是无理数 感悟新知 2. 实数的分类 (1)按概念分类 (2)按正负性分类 知3-讲 感悟新知 特别解读 1. 0既不是正实数,也不是负实数 . 2. 引入无理数后,数的范围由原来的有理数扩大到实数,今后我们研究问题时,若没有特殊说明,就应在实数范围内进行。 知3-讲 感悟新知 3. 在实数范围内,相反数、绝对值、倒数的意义与有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样. 知3-讲 感悟新知 表示 性质 相反数 实数 a 的相反数是 -a. a , b 互为相反数 a+b=0 绝对值 实数 a 的绝对值表示为 |a|. (1) |a|= (2) |a| ≥ 0. (3)互为相反数的两个数的绝对值相等,即 |a|=|-a| 倒数 实数 a 与 互 为 倒数(其 中a ≠ 0) . (1)a , b 互为倒数 ab=1 (2)正数的倒数是正数,负数的倒数是负数,0 没有倒数 知3-讲 感悟新知 特别提醒 一个数的相反数是与其本身只有符号不同的数;正数和零的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数;一个数的倒数与它本身的正负一致。 知3-讲 感悟新知 4. 实数和有理数一样,可以进行加、减、乘、除、乘方运算,而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。 知3-讲 求下列各数的相反数、倒数和绝对值: (1) ; (2) - 2 025; (3) 3.14 - 。 例3 考向:利用实数的性质求一个实数的相反数、倒数和绝对值 解题秘方:利用实数的性质求相反数、倒数和绝对值。 知3-练 (1) ; (2) - 2 025; 解: 的相反数是- ,倒数是,绝对值是 . -2 025 的相反数是2 025,倒数是 - ,绝对值 是2 025。 知3-练 (3) 3.14 - 。 解: 3.14- 的相反数是 - 3.14,倒数是,绝对值是 -3.14。 3.14< ,故3.14- <0 知3-练 感悟新知 3-1. [ 模拟 上海]绝对值最小的实数是 _ 。 3-2. - 的相反数是_ ,|- |= _。 0 变式训练 知3-练 感悟新知 知4-讲 知识点 实数与数轴的关系 4 1. 实数与数轴的关系:实数和数轴上的点是一一对应的. “一一对应”包含两层含义:(1)每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;(2)数轴上的每一个点都表示一个实数 . 知4-讲 例如:如图 2-1-4,直径为 1 个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周,圆上一点 O 从原点到达 O′点,数轴上O′点对应的数是 . 知4-讲 特别提醒 1. 在数轴上表示无理数时 ,一般只能通过估算标出其大致位置 . 2. 借助数轴上的点可以把实数直观地表示出来,数轴上的任意一点表示的数,不是有理数就是无理数 . 知4-讲 2.实数的大小比较 (1)在数轴上,右边的点表示的数比左边的点表示的数大。 (2)正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数;两 个负数比较大小,绝对值大的反而小。 知4-练 已知实数a 在数轴上的对应点的位置如图2-1-5 所示, 则a, - a, ,a2 的大小关系是( ) A. a< - a< <a2 B. <a<a2< - a C. - a< <a<a2 D. <a2<a< - a 例 4 考向:实数的大小比较 知4-练 解题秘方:由实数a 在数轴上的对应点的位置可知- 1<a<0 , 故可采用特殊值法进行求解。 解:不妨取a= - ,则- a= - (- )= , =- 2, a2= ,所以<a<a2< - a。 答案:B 知4-练 4-1.在数 - 3 , - ,0,5 中,最小的数是( ) A. - 3 B. - C. 0 D. 5 变式训练 A 知4-练 4-2. [ 中考 淮安]实数a,b 在数轴上的对应点的位置如图所示,下列结论正确的是( ) (第4-2 题) A. a< - 2 B. b<2 C. a>b D. - a<b D 认识无理数 实数 分类 性质 与数轴的关系 有理数 无理数 $$