7.2 平行线的证明 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

7.2 平行线的证明 第七章 命题与证明 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 平行线判定的基本事实 平行线的判定定理 1 平行线的判定定理 2 平行线的性质定理 平行线的判定与性质 知1－讲 感悟新知 知识点 平行线判定的基本事实 1 语言叙述 几何语言 图示 两条直线被第三条直线所截， 如果同位角相等，那么这两条直线平行。简述为：同位角相等， 两直线平行 因为∠ 1= ∠ 2 (已知)，所以a ∥ b (同位角相等，两直线平行) 位置关系，∠1和∠2是同位角 数量关系∠1=∠2 感悟新知 知1－讲 特别提醒 应用平行线判定的基本事实判定两条直线平行时，其关键是判断哪两个角是同位角，因此一定要抓住同位角的特征：形如字母“F”、在两条直线的同侧且在截线的同旁。 感悟新知 特别解读： (1)构成同位角的两条直线不一定平行，只有构成的一对同位角相等，这两条直线才平行 . (2)“同位角相等，两直线平行”是通过两个同位角的大小关系(相等)推导出两直线的位置关系(平行) .它是联系角的大小关系与直线的位置关系的桥梁. 知1－讲 知1－练 如图7-2-1，已知直线AB，CD 被直线EF 所截，∠ 1+ ∠ 2=180°，AB 与CD 平行吗？请说明理由。 例1 考向：利用平行线判定的基本事实判定两直线平行 知1－练 感悟新知 思路导引： 知1－练 解：AB∥CD. 理由如下： ∵∠1＋∠2＝180°(已知)， ∠2＋∠3＝180°(邻补角的定义)， ∴∠ 1＝∠ 3(同角的补角相等). ∴ AB∥CD(同位角相等，两直线平行). 知1－练 感悟新知 1-1. 如图，已知直线AB，CD 被直线EF 所截，H 为CD 与EF 的交点，GH⊥CD于点H，∠2=30°，∠ 1=60°。求证：AB ∥ CD。 变式训练 知1－练 感悟新知 证明：∵GH⊥CD(已知)， ∴∠CHG＝90°(垂直的定义)。 ∵∠2＝30°(已知)， ∴∠3＝60°， ∴∠4＝60°(对顶角相等)。 ∵∠1＝60°(已知)， ∴∠1＝∠4(等量代换)。 ∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)。 感悟新知 知2－讲 知识点 平行线的判定定理 1 2 语言叙述 几何语言 图示 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，简述为：内错角相等，两直线平行 因为∠ 1= ∠ 2 (已知)，所以 a ∥ b (内错角相等，两直线平行) 位置关系，1和∠2是内错角 数量关系，∠1=∠2 感悟新知 知2－讲 特别解读 利用“内错角相等”确定“两直线平行”的关键是弄清这对内错角是哪两条直线被第三条直线所截得到的，再说明这两条直线平行 . 知2－讲 感悟新知 特别提醒 应用该定理判定两条直线平行时，其关键是判断哪两个角是内错角，因此一定要抓住内错角的特征：形如字母 “Z”、在两条直线的内部且在截线的两旁 . 知2－练 [母题 教材P194习题T2]如图7-2-2，已知∠ADE＝60°，DF平分∠ADE，∠1＝30°，试说明DF∥BE. 例2 考向：利用平行线的判定定理1 判定两直线平行 知2－练 感悟新知 思路导引： 知2－练 证明：∵ DF平分∠ADE(已知)， ∴∠EDF＝∠ADE(角平分线的定义). 又∵∠ADE＝60°(已知)，∴∠EDF＝30°. 又∵∠1＝30°(已知)，∴∠EDF＝∠1， ∴ DF∥BE(内错角相等，两直线平行). 知2－练 2-1. 如图，已知∠1＝∠2，AC平分∠DAB，求证: DC∥AB. 证明：∵AC平分∠DAB(已知)， ∴∠1＝∠CAB(角平分线的定义)． 又∵∠1＝∠2(已知)， ∴∠2＝∠CAB(等量代换)． ∴DC∥AB(内错角相等，两直线平行)． 变式训练 感悟新知 知3－讲 知识点 平行线的判定定理 2 3 语言叙述 几何语言 图示 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，简述为：同旁内角互补，两直线平行 ∵∠ 1+ ∠ 2 = 180°(已知)，∴ a ∥ b(同旁内角互补，两直线平行) 位置关系，∠1和∠2是同旁内角 数量关系，∠1+∠2=180° 感悟新知 知3－讲 特别解读：利用同旁内角证明两直线平行时，同旁内角之间的关系是互补，不是相等。 知3－讲 感悟新知 特别提醒 应用该定理判定两条直线平行时，其关键是判断哪两个角是同旁内角，因此一定要抓住同旁内角的特征：形如字母“U”、在两条直线的内部且在截线的同旁。 知3－练 已知：如图7-2-3，直线AE，CD 相交于点O， ∠ A=110°，∠ 1=70°。求证：AB ∥CD。 例3 考向：利用平行线的判定定理 2 判定两直线平行 知3－练 思路导引： 知3－练 证明： ∵∠1＝∠AOD(对顶角相等)，∠1＝70°(已知)， ∴∠AOD＝70° (等量代换). 又∵∠A＝110° (已知) ， ∴∠A＋∠AOD＝180°(等式的性质). ∴ AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行). 知3－练 感悟新知 3-1. 如图，这是一个由4 条 线 构 成 的“鱼”形图案，其中∠ 1=62 °，∠ 2=62°，∠ 3=118°，找出图中的平行线，并说明理由． 变式训练 知3－练 解：AB∥CD，AC∥BD. 理由：∵∠1＝62°，∠2＝62°， ∴∠1＝∠2， ∴AB∥CD. ∵∠1＝62°，∠3＝118°， ∴∠1＋∠3＝180°， ∴AC∥BD. 知识点 平行线的性质定理 知4－讲 4 性质 文字语言 符号语言 图示 定理1 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 简述为：两直线平行，同位角相等 ∵ a∥b， ∴∠1＝∠5， ∠2＝∠8， ∠4＝∠6，∠3＝∠7 续表 性质 文字语言 符号语言 图示 定理2 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 简述为：两直线平行，内错角相等 ∵ a∥b， ∴∠3＝∠5， ∠4＝∠8 知4－讲 续表 性质 文字语言 符号语言 图示 定理3 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简述为：两直线平行，同旁内角互补 ∵ a∥b， ∴∠3＋∠8＝180°， ∠4＋∠5＝180° 知4－讲 续表 性质 文字语言 符号语言 图示 定理4 平行于同一条直线的两条直线平行 ∵ a∥b，b∥c， ∴ a∥c 知4－讲 特别提醒 1. 根据平行线的性质，可以确定两个角之间的相等或互补关系，进而得到其他角之间的关系. 2. 同位角相等、内错角相等和同旁内角互补是由平行线的性质所得的结论，所以它们成立的前提是“两直线平行”. 知4－讲 如图7-2-4，已知AE∥BC，∠ B= ∠C，AE是∠DAC 的平分线吗？若是，请写出证明过程；若不是，请说明理由。 解题秘方：紧扣平行线的性质定理得出角的数量关系，进而证明角相等。 例1 考向：利用平行线的性质证明角相等 知4－练 解：AE是∠DAC的平分线. 证明如下： ∵ AE∥BC(已知)， ∴∠DAE＝∠B(两直线平行，同位角相等)， ∠CAE＝∠C(两直线平行，内错角相等). 又∵∠B＝∠C(已知)， ∴∠DAE＝∠CAE(等量代换)， ∴ AE是∠DAC的平分线(角平分线的定义). 知4－练 4-1. 如图，DE∥GF∥BC，且AB ∥ EF ∥DC。 (1)判断∠ B 与∠ E的数量关系，并证明； (2)判断∠ B 与∠ F的数量关系，并证明。 变式训练 知4－练 解：∠E＋∠B＝180°。证明如下： ∵DE∥BC，EF∥DC(已知)， ∴∠D＋∠C＝180°，∠D＋∠E＝180°(两直线平行，同旁内角互补)， ∴∠C＝∠E(同角的补角相等)。 ∵AB∥DC(已知)， ∴∠C＋∠B＝180°(两直线平行，同旁内角互补)， ∴∠E＋∠B＝180°(等量代换)。 (1)判断∠ B 与∠ E的数量关系，并证明； 知4－练 解： ∠F＝∠B。证明如下： ∵DE∥GF(已知)， ∴∠E＋∠F＝180°(两直线平行， 同旁内角互补)。 ∵∠E＋∠B＝180°(已证)， ∴∠F＝∠B (同角的补角相等)。 (2)判断∠ B 与∠ F的数量关系，并证明。 知4－练 感悟新知 知5－讲 知识点 平行线的判定与性质 5 平行线的判定 图示 平行线的性质 ∵ ∠ 1= ∠ 2，∴ l1 ∥ l2 (同位角 相 等 ，两直线平行) ∵ l1 ∥ l2，∴∠ 1 =∠ 2(两直线平行 ， 同位角相等) ∵∠ 2= ∠ 3， ∴l 1 ∥ l2(内错 角相等 ，两直线平行) ∵ l1 ∥ l2，∴ ∠ 2 =∠ 3(两直线平行 ，内错角相等) 感悟新知 平行线的判定与性质 平行线的判定 图示 平行线的性质 ∵∠ 3+ ∠ 4 = 180° ，∴ l1 ∥ l2(同旁内角互补，两直线平行) ∵ l1 ∥ l2，∵∠ 3+ ∠ 4= 180°(两直线平行 ，同旁内角互补) 续表 知5－讲 特别提醒 平行线的判定与平行线的性质的区别： 平行线的判定是根据两角的数量关系得到两条直线的位置关系，而平行线的性质是根据两条直线的位置关系得到两角的数量关系. 知5－讲 感悟新知 如图7-2-5，在△ ABC 中，已知 AD ⊥ BC 于点 D， EF ⊥ BC 于点 F，∠ 1= ∠ 2，试判断 DG 和 BA 的位置关系，并证明你的结论 . 例2 考向：利用平行线的判定与性质证明两直 线的位置关系 知5－练 感悟新知 解题秘方：通过 观察图形猜测这两条直线平行，然后利用已知条件、平行线的性质定理和判定定理进行证明 . 知5－练 解：DG∥BA. 证明如下： ∵ AD⊥BC，EF⊥BC(已知)， ∴ AD∥EF(在同一平面内，垂直于 同一条直线的两条直线平行). ∴∠1＝∠BAD(两直线平行，同位角相等). ∵∠1＝∠2(已知)，∴∠2＝∠BAD(等量代换). ∴ DG∥BA(内错角相等，两直线平行). 知5－练 感悟新知 5-1. 如图， 在四边形 ABCD 中， 已知AD ∥ BC， BE 平分∠ ABC，∠ A=80 °，∠ D=50 ° . 求证：BE ∥ CD． 变式训练 知5－练 知5－练 ∴∠AEB＝∠CBE＝50°(两直线平行，内错角相等)， 又∵∠D＝50°(已知)， ∴∠AEB＝∠D(等量代换)， ∴BE∥CD(同位角相等，两直线平行)． 知5－练 平行线的证明 平行线 的证明 判定定理 性质定理 证明的一 般步骤 互 逆 证明：∵AD∥BC(已知)， ∴∠A＋∠ABC＝180°(两直线平行，同旁内角互补)， 又∵∠A＝80°，∴∠ABC＝180°－80°＝100°. ∵BE平分∠ABC(已知)， ∴∠CBE＝∠ABC＝50°(角平分线的定义)， ∵AD∥BC(已知)， $$