精品解析：四川省阆中北大博雅骏臣学校2024-2025学年高二下学期期中知识整理数学试题

阆中北大博雅骏臣学校2025年春季期中知识整理 高二年级数学试题 时间：120分钟 满分：150分 命题人：何长江 审题人：张世成 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 等比数列，，，中的值等于（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的定义求解. 【详解】解：由题意得，公比，故. 故选：C 2. 已知是等差数列的前项和，且，则（ ） A. 30 B. 60 C. 90 D. 180 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质结合已知条件可求得，再利用等差数列的求和公式可求得结果. 【详解】由，解得， 所以， 故选：C. 3. 下列计算结果是的是. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用排列数和组合数公式计算出各选项中代数式的值，可得出正确选项. 【详解】，，，. 故选：D. 【点睛】本题考查排列数与组合数的计算，解题的关键就是利用排列数和组合数的公式进行计算，考查计算能力，属于基础题. 4. 数列， ， ， ，……的通项公式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由分母构成等差数列即可求出. 【详解】数列的分母形成首项为5，公差为2的等差数列，则通项公式为， 所以. 故选：C. 5. 口袋中装有5个白球4个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球，至少有一个红球的取法种数是（ ） A. 20 B. 26 C. 32 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】由间接法以及组合数即可求解. 【详解】从个球中任取个球的取法共有种， 两个球都不是红球的取法有种， 所以取出2个球，至少有一个红球的取法种数为. 故选：B. 6. 若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数求得平行于直线与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由函数，可得， 令，可得， 因为，可得，则， 即平行于直线且与曲线相切的切点坐标为， 由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离为. 故选：B. 7. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：，∵函数在区间单调递增，∴在区间上恒成立．∴，而在区间上单调递减，∴．∴的取值范围是．故选D． 考点：利用导数研究函数的单调性. 8. 过原点的直线与曲线都相切，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出切点，利用导数的几何意义结合两点式斜率公式列式，即可求解. 【详解】由得，由得， 设过原点的直线分别与曲线相切于点， 则由导数的几何意义得，且，故，所以直线的斜率为， 所以，所以，所以，即， 代入得. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论中，正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据初等函数的导数逐一判断即可. 【详解】A：因为，所以，因此本选项不正确； B：由，所以，因此本选项正确； C：因为，所以本选项正确； D：因为，所以本选项正确， 故选：BCD 10. 如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于函数的判断正确的是（ ） A. 在区间内单调递减 B. 在区间内单调递增 C. 是极小值点 D. 是极大值点 【答案】BD 【解析】 【分析】 利用导函数的图象，判断导函数的符号，判断函数的单调区间以及函数的极值即可． 【详解】解：．函数在区间内，则函数单调递增；故不正确， ．函数在区间的导数为， 在区间上单调递增，正确； ．由图象知当时，函数取得极小值，但是函数没有取得极小值，故错误， ．时，， 当时，，为增函数，， 此时此时函数为减函数， 则函数内有极大值，是极大值点；故正确， 故选：． 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数单调性和导数，极值和导数之间的关系，考查学生的识图和用图的能力．属于中档题． 11. 在等差数列中，首项，公差，前项和为，则下列命题中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则是中的最小项 【答案】AC 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式和等差数列的性质逐个分析判断即可 【详解】对于A，因为，所以，得，所以A正确， 对于B，因为，所以，得，因为，所以，所以有可能大于零，也有可能小于零，所以与无法比较大小，所以B错误， 对于C，因为，所以，所以，所以，所以，所以C正确， 对于D，因为，可得，因为，所以，，所以是中的最大项，所以D错误， 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 等差数列的前项和记为，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列前项和公式，求得首项和公差，再求即可. 【详解】设数列的公差为， 根据题意可得，即， 解得：，，故. 故答案为：. 13. 若函数的导函数为，且满足，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】先求导，然后代入求出，进而可得，接着代入计算即可. 【详解】由得， 所以，得， 所以， 所以. 故答案为：. 14. 已知函数及其导函数的定义域均为，且，若，则不等式的解集为___________. 【答案】. 【解析】 【分析】令，根据题意，利用导数求得在上单调递减，把，转化为，得到，即可求解. 【详解】由函数及其导函数的定义域均为，且， 令，可得，且， 因为，可得，所以在上单调递减， 不等式，所以， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求的值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】(1)利用，求出公差，再结合，即可得出数列的通项公式； (2)利用等差数列的前项和公式，化简即可求解. 【详解】解：（1）设数列的公差为，∴，故. （2）， ∴ 解得或（舍去）， ∴ 【点睛】本题主要考查了等差数列的基本性质，求通项公式以及前项和公式的运用，考查学生的转化能力和计算能力，属于基础题. 16. 设 （1）求函数的单调递增、递减区间； （2）当时，恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为和，递减区间；（2）. 【解析】 【分析】 （1）求导，分别由和求解. （2）根据时，恒成立，则由求解即可. 【详解】（1）， 令，解得或， 当或时，，为增函数， 当时， ，为减函数 综上：函数的单调递增区间为和，递减区间为. （2）当时，恒成立， 只需使在上最大值小于m即可 由（1）知最大值为、端点值中的较大者. ∴在上的最大值为, ∴， 所以实数m的取值范围是 【点睛】方法点睛：恒成立问题的解法： 若在区间D上有最值，则；； 若能分离常数，即将问题转化为：（或），则；. 17. （1）一场班级元旦晚会有4个唱歌节目和2个舞蹈节目，要求排出一个节目单，第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？ （2）从4名男同学和5名女同学中选出4人参加一项义务劳动，要求至少有2名男同学和1名女同学参加，有多少种选法？ （3）若从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位偶数，则这样的三位数有多少个？ 【答案】288；80；52 【解析】 【分析】（1）先排第一个和最后一个节目，再排其他剩下的节目即可； （2）分为选两名男同学和两名女同学、三名男同学与一名女同学的情况分别求解； （3）分别以0，2，4作为个位数字分析三位数的个数情况求解，需要考虑0不为百位数数字的情况. 【详解】（1）先排第一个节目与最后一个节目，都是唱歌节目，共有种排法，再排剩下的节目，共有种排法，故一共有种. （2）若为2名男同学与2名女同学，则从4名男同学中取2名，再从5名女同学中取2名，共有种选法；若为3名男同学与1名女同学，则从4名男同学中取3名，再从5名女同学中取1名，共有种选法，故一共有种. （3）当个位数是0时，此时只需在百位、十位任取2个数字即可，共有种；当个位数是2时，百位不能为0，有4种取法，十位也有4种取法，共有种；当个位数时4 时，百位也不能为0，共4种取法，十位也是4种取法，共有种，故一共有种. 18. 已知函数. （1）若在上单调递增，求实数a的取值范围； （2）若，使得，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，将问题转化为，从而利用反比例函数的单调性即可得解； （2）将问题转化为能成立问题，构造函数研究得的最值，从而得解. 【小问1详解】 因为，所以， 因为在上单调递增，所以在上恒成立，即恒成立， 所以，易知在上单调递减，故， 所以. 【小问2详解】 因为，使得，所以能成立， 则能成立，又，故能成立， 令，则，， 令，则恒成立， 所以在上单调递减，注意到， 所以当时，，则在单调递增； 当时，，则在单调递减； 所以， 故，即实数a的取值范围为. 【点睛】结论点睛：“恒成立问题”与“有解问题”在等价转换上的区别： 恒成立问题： （1）恒成立；恒成立． （2）恒成立；恒成立． （3）恒成立；恒成立； （4），，． 有解问题： （1）有解；有解． （2）有解；有解． （3）有解；有解． 19. 已知等差数列的前项和满足，. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，由等差数列的求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式； （2）求得，，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和． （3）由错位相减法，结合等比数列求和公式即可求解. 【小问1详解】 ）设等差数列的公差为， 由，，可得，， 即，， 解得，， 则； 【小问2详解】 ， 则， 所以． 【小问3详解】 ， ①， ②， ①②得： ， 整理得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阆中北大博雅骏臣学校2025年春季期中知识整理 高二年级数学试题 时间：120分钟 满分：150分 命题人：何长江 审题人：张世成 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 等比数列，，，中的值等于（ ） A. 2 B. C. D. 3 2. 已知是等差数列的前项和，且，则（ ） A. 30 B. 60 C. 90 D. 180 3. 下列计算结果是的是. A. B. C. D. 4. 数列， ， ， ，……的通项公式可能是（ ） A. B. C. D. 5. 口袋中装有5个白球4个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球，至少有一个红球的取法种数是（ ） A. 20 B. 26 C. 32 D. 36 6. 若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 8. 过原点的直线与曲线都相切，则实数（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论中，正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 10. 如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于函数的判断正确的是（ ） A. 在区间内单调递减 B. 在区间内单调递增 C. 是极小值点 D. 是极大值点 11. 在等差数列中，首项，公差，前项和为，则下列命题中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则是中的最小项 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 等差数列的前项和记为，且，则______． 13. 若函数的导函数为，且满足，则__________． 14. 已知函数及其导函数的定义域均为，且，若，则不等式的解集为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求的值. 16. 设 （1）求函数的单调递增、递减区间； （2）当时，恒成立，求实数m的取值范围． 17. （1）一场班级元旦晚会有4个唱歌节目和2个舞蹈节目，要求排出一个节目单，第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？ （2）从4名男同学和5名女同学中选出4人参加一项义务劳动，要求至少有2名男同学和1名女同学参加，有多少种选法？ （3）若从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位偶数，则这样的三位数有多少个？ 18. 已知函数. （1）若在上单调递增，求实数a的取值范围； （2）若，使得，求实数a的取值范围. 19. 已知等差数列的前项和满足，. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）求数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $