精品解析：2025年海南海淀外国语实验学校中考一模数学试题

海南海淀外国语实验学校 2024-2025学年第二学期九年级校内 第一次模拟数学试卷 （时间：100分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题满分36分，每小题3分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2. 若x的相反数是，则代数式的值是（ ） A. B. C. 5 D. 7 3. 如图是由6个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 2024年春节期间，海南旅游市场呈现出强劲的复苏势头．据移动大数据监测，2月10日至17日，全省举办的各类赛事活动接待游客41.83万人次，带动旅游消费992000000元．数据“992000000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 7. 2023年12月，年度十大最“清新”城市出炉．这十个城市的全年空气质量优级日数分别为：337，329，317，314，292，290，287，284，279，277，则这组数据的中位数是（ ） A. 290 B. 291 C. 292 D. 300.6 8. 如图，含角的三角板的直角顶点C在直尺的边上，斜边与直尺的两边分别交于点D，E，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，反比例函数的图象经过矩形的顶点B，若点A的坐标是，点C的坐标是，则k的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 10. 如图，在中，．按以下步骤作图： ①以点C为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P； ③画射线，交于点D． 若，，则的长为（ ） A. B. 4 C. 2 D. 3 11. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点的坐标为，，对角线，交于点，将点绕点逆时针旋转得到点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在正方形中，点分别是上的点，相交于点．点是的中点，若，，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 二、填空题（本大题满分12分每小题3分） 13. 因式分解：______ 14. 设n为正整数，若的整数部分是1，则n的值可以是______．（写出一个即可） 15. 如图，是的弦，点是圆外一点，与相切于点，．若，，则的长为______． 16. 如图，四边形是矩形，点是边上一动点，将沿直线折叠，点落在点处，连接并延长，交边于点，则______；若，的面积是，则的长为______． 三、解答题（本大题满分72分） 17. （）计算： （）解不等式组： 18. 随着人们生活水平的不断提高，花卉市场迎来快速发展．已知在某花卉市场中购买3盆三角梅和2盆红掌共需46元，一盆三角梅比一盆红掌贵2元．一盆三角梅和一盆红掌的价格各是多少元？ 19. 为提高中小学学生的交通安全意识，有效预防和减少交通事故的发生，某市交管部门组织交警深入各中小学校开展“知危险·会避险”的交通安全主题宣传教育活动．某中学为检验学生的学习效果，从全校随机抽取了若干名学生进行问卷测试（满分100分），并根据测试结果绘制出如下不完整的统计图： 请根据图表中提供的信息，解答下面的问题： （1）在问卷测试时，该中学采取的调查方式是______（填写“普查”或“抽样调查”）． （2）在这次问卷测试中，抽取的学生一共有______名，扇形统计图中的值是______． （3）已知组的10名学生中有6名男生和4名女生，若从这10名学生中随机抽取一名担任学校的安全宣传员，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是______． （4）若该中学共有1000名学生参与了此次主题宣传教育活动，估计本次活动中，学习效果不达标（成绩低于60分）的学生有______名． 20. 木栏头灯塔是矗立在海南岛文昌市的一座航标灯塔（如图），被称为“亚洲第一灯塔”．如图，虎威岛位于木栏头灯塔的南偏西方向上．一 艘轮船在处测得灯塔位于它的北偏西方向上，轮船沿着正北方向航行后，到达位于灯塔正东方向上的处，该船继续向北航行至直线上的点处． （1）填空：______度，______度． （2）求点到灯塔的距离． （3）若轮船的航行速度为，求轮船在段航行了多少小时． （参考数据：，，，．结果精确到小数点后一位） 21. 如图1，在矩形中，点是的中点，点是边上一动点，连接，并延长交射线于点，过点作的垂线交射线于，连接和． （1）求证： ①； ②； （2）在点E的运动过程中，探究： ①若矩形是正方形，则的值是否发生变化？若不变，求出这个值； ②如图2，若，，，当为等边三角形时，求的值． 22. 抛物线与x轴交于点和点，与y轴交点A． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，连接，在y轴的负半轴是否存在点Q，使得？若存在，求Q点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点P是抛物线上的一个动点，且点P在第三象限内． ①如图2，连接与直线交于点D，求的最大值； ②如图3，过点P作y轴的垂线，交y轴于点M，若与相似，求此时点P的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南海淀外国语实验学校 2024-2025学年第二学期九年级校内 第一次模拟数学试卷 （时间：100分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题满分36分，每小题3分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是，有理数的绝对值的求法． 一个负数的绝对值等于它的相反数. 【详解】∵一个负数的绝对值等于它的相反数， ∴的绝对值是． 故选A． 2. 若x的相反数是，则代数式的值是（ ） A. B. C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义以及已知字母的值求代数式的值，掌握会求实数的相反数以及会把具体数代入代数式进行计算是解题的关键． 【详解】解：∵x的相反数是， ∴． ∴． 故选C． 3. 如图是由6个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查判断简单物体的三视图．根据俯视图的特点判断即可． 【详解】解：从上面向下看，得到图B是这个几何体的俯视图． 故选B． 4. 2024年春节期间，海南旅游市场呈现出强劲的复苏势头．据移动大数据监测，2月10日至17日，全省举办的各类赛事活动接待游客41.83万人次，带动旅游消费992000000元．数据“992000000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：∴． 故选B． 5. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据整式混合运算及二次根式除法运算法则逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、，计算正确，符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、若，，则，故不一定正确，不符合题意； D、由于和不是同类项，无法合并，计算错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查整式混合运算及二次根式除法运算，涉及幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算、二次根式除法运算及整式减法运算等知识，能根据整数指数幂的基本性质进行幂的运算，掌握合并同类项的法则是解决问题的关键． 6. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先把分式方程为一元一次方程，解出，注意要验根，即可作答． 【详解】考查目标 能解可化为一元一次方程的分式方程． 解：去分母，得； 移项，合并同类项，得； 系数化为1，得； 经检验，是原分式方程的解． 故选B． 7. 2023年12月，年度十大最“清新”城市出炉．这十个城市的全年空气质量优级日数分别为：337，329，317，314，292，290，287，284，279，277，则这组数据的中位数是（ ） A. 290 B. 291 C. 292 D. 300.6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求中位数．根据中位数的求法，即可求解． 【详解】解：这组数据按照从大到小的顺序排列为：337，329，317，314，292，290，287，284，279，277， ∴中位数是． 故选：B． 8. 如图，含角的三角板的直角顶点C在直尺的边上，斜边与直尺的两边分别交于点D，E，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，利用平行线的性质和三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 9. 如图，反比例函数的图象经过矩形的顶点B，若点A的坐标是，点C的坐标是，则k的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数以及矩形的性质，能根据已知条件确定点B的坐标为，再代入反比例函数的表达式进行运算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴ ∵点A的坐标是，点C的坐标是，且点位于第二象限 ∴点B的坐标为 则把代入 ∴． 故选D． 10. 如图，在中，．按以下步骤作图： ①以点C为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P； ③画射线，交于点D． 若，，则的长为（ ） A. B. 4 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，再利用基本作图得平分，所以，然后证明和即可．本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质． 【详解】解：， ， 由作法得平分， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 11. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点的坐标为，，对角线，交于点，将点绕点逆时针旋转得到点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过判作轴于，过作于，由菱形的性质推出，平分，求出，，由含30度角的直角三角形的性质推出，得到，求出，由，推出，，即可得到的坐标． 【详解】解：过P作轴于，过作于， 四边形是菱形， ，平分， ， ， ， ， ， ， ， 的坐标为， ， ， 由旋转的性质得到：，， ， ， ，， ， ，， 的坐标是， 故选：C 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，含30度角的直角三角形，关键是由含30度角的直角三角形的性质求出、长，由，得到，． 12. 如图，在正方形中，点分别是上的点，相交于点．点是的中点，若，，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正方形性质，在中，由勾股定理得到，再由三角形全等的判定得到，从而由全等性质确定，根据互余定义等量代换确定，在，运用直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴正方形的边长为3， 在中，由勾股定理得， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点，即为斜边上的中线， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查求线段长，涉及正方形性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、垂直判定、直角三角形斜边中线等于斜边的一半等知识，灵活利用正方形的性质、勾股定理、全等三角形和直角三角形斜边中线定理是解决问题的关键． 二、填空题（本大题满分12分每小题3分） 13. 因式分解：______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了了因式分解，直接提取公因式x即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 14. 设n为正整数，若的整数部分是1，则n的值可以是______．（写出一个即可） 【答案】1或2或3（任写一个即可） 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据题意可得，再由n为正整数，即可得到n的值可以是1或2或3． 【详解】解：∵，，的整数部分是1， ∴， ∵n为正整数， ∴n的值可以是1或2或3， 故答案为：1或2或3（任写一个即可）． 15. 如图，是的弦，点是圆外一点，与相切于点，．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，作于点，如图所示，由圆的性质、等腰三角形性质、平行线及切线性质证得，得到相似比代值求解即可得到答案． 【详解】解：连接，作于点，如图所示： ∵， ∴点是的中点， ∴， ∵， ∴， 与相切于点， ， ∴， ∴， ∴，即，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆中求线段长，涉及圆的性质、等腰三角形性质、中点定义、平行线的性质、垂径定理、切线性质、相似三角形的判定与性质等知识，灵活利用等腰三角形的性质、平行线的性质、垂径定理、切线的性质和相似三角形是解决问题的关键． 16. 如图，四边形是矩形，点是边上一动点，将沿直线折叠，点落在点处，连接并延长，交边于点，则______；若，的面积是，则的长为______． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、三角形面积公式，①由矩形的性质结合轴对称的性质得出，推出，即可得解；②由轴对称的性质，得，，．设，则，求出，再由三角形面积公式计算即可得出答案，灵活利用矩形的性质、轴对称的性质和直角三角形的性质解决问题是解此题的关键． 【详解】解：①如图， ， ∵四边形是矩形， ∴． ∴． 由轴对称的性质，得， ∴． ∴． ∴； ②由轴对称的性质，得，，． 设，则． 由①，得， ∴． 由勾股定理，得． ∵的面积是， ∴，即， 解得． ∴． 故答案为：，． 三、解答题（本大题满分72分） 17. （）计算： （）解不等式组： 【答案】（）；（） 【解析】 【分析】（）根据二次根式的性质、乘方的定义、负整数指数幂及二次根式的运算法则计算即可； （）分别求出每个不等式的解集，再取解集的公共部分即可求解； 本题考查了二次根式的混合运算，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键． 【详解】解：（）原式 ； （）， 由①得，， 又②得，， ∴不等式组的解集为． 18. 随着人们生活水平的不断提高，花卉市场迎来快速发展．已知在某花卉市场中购买3盆三角梅和2盆红掌共需46元，一盆三角梅比一盆红掌贵2元．一盆三角梅和一盆红掌的价格各是多少元？ 【答案】一盆三角梅的价格是10元，一盆红掌的价格是8元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，能针对具体问题列出方程；能解二元一次方程组是解题的关键．先设一盆三角梅的价格是x元，一盆红掌的价格是y元，依题意列出二元一次方程组，再进行作答即可． 【详解】解：设一盆三角梅的价格是x元，一盆红掌的价格是y元， 根据题意列方程组，得， 解得， 答：一盆三角梅的价格是10元，一盆红掌的价格是8元． 19. 为提高中小学学生的交通安全意识，有效预防和减少交通事故的发生，某市交管部门组织交警深入各中小学校开展“知危险·会避险”的交通安全主题宣传教育活动．某中学为检验学生的学习效果，从全校随机抽取了若干名学生进行问卷测试（满分100分），并根据测试结果绘制出如下不完整的统计图： 请根据图表中提供的信息，解答下面的问题： （1）在问卷测试时，该中学采取的调查方式是______（填写“普查”或“抽样调查”）． （2）在这次问卷测试中，抽取的学生一共有______名，扇形统计图中的值是______． （3）已知组的10名学生中有6名男生和4名女生，若从这10名学生中随机抽取一名担任学校的安全宣传员，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是______． （4）若该中学共有1000名学生参与了此次主题宣传教育活动，估计本次活动中，学习效果不达标（成绩低于60分）的学生有______名． 【答案】（1）抽样调查； （2）50 28； （3）； （4）60． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图、概率公式、全面调查与抽样调查、由样本估计总体． （1）根据全面调查与抽样调查的可靠性即可得出答案； （2）根据组的人数和所占的百分比，求出调查的总人数，再用整体减去其他组所占的百分比，即可得出的值； （3）根据概率公式直接求解即可； （4）用总人数乘以学习效果不达标（成绩低于分）的学生所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：在问卷测试时，该中学采取的调查方式是抽样调查； 【小问2详解】 解：共抽取的学生有：（名）， ， ； 【小问3详解】 解：组的10名学生中有6名男生和4名女生， 恰好抽到男生的概率是； 【小问4详解】 解：由题意得：（名）， 估计本次活动中，学习效果不达标（成绩低于60分）的学生有名． 20. 木栏头灯塔是矗立在海南岛文昌市的一座航标灯塔（如图），被称为“亚洲第一灯塔”．如图，虎威岛位于木栏头灯塔的南偏西方向上．一 艘轮船在处测得灯塔位于它的北偏西方向上，轮船沿着正北方向航行后，到达位于灯塔正东方向上的处，该船继续向北航行至直线上的点处． （1）填空：______度，______度． （2）求点到灯塔的距离． （3）若轮船的航行速度为，求轮船在段航行了多少小时． （参考数据：，，，．结果精确到小数点后一位） 【答案】（1） ； （2）点到灯塔的距离约为； （3）轮船在段的航行时间约为小时． 【解析】 【分析】（）根据方位角的定义及平行线的性质即可解答； （）根据锐角三角函数的定义可知； （）根据锐角三角函数的定义及路程与速度、时间的关系即可解答． 【小问1详解】 解：如图，∵点位于点的北偏西方向上， ∴， ∴， ∵点位于点的南偏西方向上， ∴， ∵点在同一条直线上， ∴． 【小问2详解】 解：由题意，得． ∵在中，， ∴, ∵在中，， ∴, ∴点到灯塔的距离约为． 【小问3详解】 解：在中，， ∴， ∴， ∴航行时间（小时）， 答：轮船在段的航行时间约为小时． 【点睛】本题考查了方位角的定义，锐角三角函数的定义，路程、速度、时间之间的数量关系，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 21. 如图1，在矩形中，点是的中点，点是边上一动点，连接，并延长交射线于点，过点作的垂线交射线于，连接和． （1）求证： ①； ②； （2）在点E的运动过程中，探究： ①若矩形是正方形，则的值是否发生变化？若不变，求出这个值； ②如图2，若，，，当为等边三角形时，求的值． 【答案】（1） 证明：①∵四边形是正方形， ∴． ∵是的中点， ∴． 又∵， ∴； ②由， ∴， ∵， ∴； （2）①不变，2；② 【解析】 【分析】（1）①判断出，即可得出结论；②先判断处，利用垂直平分线即可得出答案； （2）①先判断出，进而得出，再判断出，即可得出答案；②先判断出，借助①中的结论即可得出答案． 【小问1详解】 ①略 ②略 【小问2详解】 解：①的值不变，如图1， 过点作，垂足为点，则四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为定值不变； ②如图2，过点作，垂足为点， 则四边形是矩形． ∴， 若是等边三角形，则， 同①的方法得，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 22. 抛物线与x轴交于点和点，与y轴交点A． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，连接，在y轴的负半轴是否存在点Q，使得？若存在，求Q点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点P是抛物线上的一个动点，且点P在第三象限内． ①如图2，连接与直线交于点D，求的最大值； ②如图3，过点P作y轴的垂线，交y轴于点M，若与相似，求此时点P的横坐标． 【答案】（1） （2） （3）①有最大值为；②或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）设点Q坐标为，求出，得出，根据，得出，即可得出答案； （3）①过点P作轴垂线交直线于点E，求出直线的解析式为：，设点P的坐标为则E的坐标为，证明，，求出，根据二次函数的最值求出结果即可； ②设点则点，分四种情况进行讨论：当，点M在点A的上方时，当，点M在点A的下方时，当，点M在点A的下方时，当，点M在点A的上方时，分别求出结果即可． 【小问1详解】 解：将，两点代入得： ， 解得：， 抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：存在， ， 时， 即， 设点Q坐标为， 把代入得：， ∴， ∴， ∵， ， 解得：， 故Q点的坐标为； 【小问3详解】 解：①过点P作轴垂线交直线于点E，如图： 设直线的解析式为：， 将代入得， ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点P的坐标为则E的坐标为， ， ， ， ，， ， ， 当时，有最大值为； ②设点则点， 当，点M在点A的上方时， ，， ， 即， 解得：或（舍去）， 此时点P的横坐标； 当，点M在点A的下方时， ，， ， 即， 解得：或（舍去）， 此时点P的横坐标； 当，点M在点A的下方时， ，， ， 即， 解得：（舍去）或（舍去）； 当，点M在点A的上方时， ，， ， 即， 解得：（舍去）或（舍去）； 综上分析可知：点P的横坐标为：或． 【点睛】本题考查了二次函数—几何综合，三角形相似的判定及性质，一次函数，平行线的性质，勾股定理，三角形外角和定理等知识，题目综合性强、难度较大，解题关键的正确做出辅助线及数形结合思想．为中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $