精品解析：黑龙江省大庆市龙凤区2025年中考二模数学试卷

初四数学练习题 考生注意： 1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考号填写清楚，将准考证号填写在相应区域并填涂． 2．答题时用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡相应位置作答，在试题卷上作答无效． 3．考试时间120分钟．全卷共三道大题，总分120分． 一、单选题(每题3分，共30分) 1. 用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的定义，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离．到原点距离最近的点，即绝对值最小的点，首先求出各个数的绝对值，即可作出判断． 【详解】解：∵，，，，， ∴与原点距离最近的是1， 故选：B． 2. 围棋被认为是世界上最复杂的棋盘游戏，中国古代称之为“弈”，蕴含着中华优秀的传统文化，下面四个围棋图案中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形的定义，即“如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两侧的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴”，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：根据轴对称的定义，A选项是轴对称图形， 故选：A． 3. “春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为，数据0.0000004用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：数据0.0000004用科学记数法表示为， 故选：A． 4. 如图摆放的正六棱柱的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．根据俯视图的图形的特征即可求解，注意看见的棱用实线表示，看不见的棱用虚线表示． 【详解】解：从上面看可得到左中右三个长方形相邻，这三个长方形中所有的棱都能看到，所以都为实线． 故选：D． 5. 某校八年级3班承担下周学校升旗任务，老师从备选的甲、乙、丙、丁四名同学中，选择两名担任升旗手，则甲、乙两名同学同时被选中的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查画树状图或列表法求概率，列表适用于两个因素的问题，三个或三个以上因素的问题只能用树状图．根据列表法或者树状图分析出所有可能的结果，然后根据概率公式求出结果即可． 【详解】解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 由列表可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两名同学同时被选中的情况有2种，则甲、乙两名同学同时被选中的概率是． 故选：A． 6. 已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围．找到当函数图象位于x轴的下方的图象即可． 【详解】解∶∵不等式的解集是， ∴当时，， 观察各个选项，只有选项B符合题意， 故选：B． 7. 下列叙述正确的是（ ） A. 顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等 D. 物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，垂径定理，中心投影，弧、弦与圆心角的关系，根据相关定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A． 顺次连接平行四边形各边中点不一定能得到一个矩形，故该选项不正确，不符合题意； B． 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故该选项不正确，不符合题意； C． 在同圆或等圆 中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等，故该选项不正确，不符合题意； D． 物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影，故该选项正确，符合题意． 故选D． 8. 现用甲、乙两种运输车将吨救灾物资运往灾区，甲种运输车的载质量为吨，乙种运输车的载质量为吨，安排总车辆不超过辆，则甲种运输车至少要安排（ ） A. 辆 B. 辆 C. 辆 D. 辆 【答案】C 【解析】 【分析】考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的不等关系．设甲种运输车安排辆，不等关系是：甲种车拉货数量乙种车拉货数量，依此列出不等式求解即可． 【详解】解：设甲种运输车安排辆，依题意可列不等式为： ， 解得． 所以甲种运输车至少安排6辆． 故选：C． 9. 如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，矩形的性质，轴对称的性质，熟练的掌握轴对称的性质结合方程思想解题是关键．先根据矩形的性质得，再根据折叠的性质得，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到x，进一步得到的长，再根据根据定理即可求出，即可得到结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵沿直线折叠，顶点D恰好落在边上的F处， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论一定正确的是（　　） A. B. =2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点，先证明．可得，．点、的横坐标分别为、，可得，．，，设，则，，，，，．再由，进而可以求解判断即可． 【详解】解：如图，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点， 四边形是正方形， 、互相平分，，， ，， ． ，， ． ，． 点、的横坐标分别为、， ，． ，， 设，则，， ，，，． 又，， ，． ． ． ． 点、在轴的同侧，且点在点的右侧， ． ，选项D正确，符合题意； A、B、C选项无法得出，故不符合题意． 故选：D． 二、填空题(每题3分，共24分) 11. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方运算，掌握同底数幂的乘法是解题的关键． 根据同底数幂的乘法及幂的乘方运算进行计算即可求解． 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 12. 扇形的半径为，弧长为，则该扇形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了与扇形面积、弧长相关的计算，掌握相关计算方法是解题关键．先根据半径与弧长求出扇形的圆心角，从而求出扇形面积．或者直接运用扇形面积面积也可以． 【详解】解：设扇形圆心角度数为，则， 解得， 扇形的面积为， 故答案为：． 13. 方程的两个根分别为，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系可得出m+n=-1，mn=-2，将其代入中即可求出结论． 【详解】解：∵方程x2+x﹣2＝0的两个根分别为m，n， ∴m+n＝﹣1，mn＝﹣2， ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于- ，两根之积等于”是解题的关键． 14. 不等式组的所有整数解的和为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集，后确定整数解求和即可．本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键． 【详解】∵ ∴解不等式①，得， 解不等式,②，得， ∴不等式组的解集为， 故其整数解有，且， 故答案为：． 15. 如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；作点P关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，根据对称的性质结合等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：作关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，连接， 关于对称， ∴， 同理，，， ，， 是等腰三角形． ， 故答案为：． 16. 如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，相似三角形的判定和性质，三线合一，根据平移的性质，推出，根据对应边上的中线比等于相似比，求出的长，三线合一求出的长，利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵等腰中，，， ∴， ∵为中线， ∴，， ∴，， ∴， ∵将沿其底边中线向下平移， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 17. 已知（且），，，，，则的值为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简，数字变化的规律，先分别表示出，即可得出数字变化的规律，进而得出答案． 【详解】∵， ∴； ； ； ； 可知三个数一个循环， ， ∴． 故答案为：． 18. 如图，在中，，，则的最大值为______． 【答案】10 【解析】 【分析】过点作，垂足为，如图所示，利用三角函数定义得到，延长到，使，连接，如图所示，从而确定，，再由辅助圆-定弦定角模型得到点在上运动，是的弦，求的最大值就是求弦的最大值，即是直径时，取到最大值，由圆周角定理及勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：过点作，垂足为，如图所示： ， 在中，设，则，由勾股定理可得， ，即， ， 延长到，使，连接，如图所示： ， ，， 是等腰直角三角形，则， 在中，，，由辅助圆-定弦定角模型，作的外接圆，如图所示： 由圆周角定理可知，点在上运动，是的弦，求的最大值就是求弦的最大值，根据圆的性质可知，当弦过圆心，即是直径时，弦最大，如图所示： 是的直径， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，则由勾股定理可得，即的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题，涉及解三角形、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、圆的性质、圆周角定理、动点最值问题-定弦定角模型等知识，熟练掌握动点最值问题-定弦定角模型的解法是解决问题的关键． 三、解答题（共66分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂的意义，特殊角的三角函值化简，再算加减即可． 【详解】解：原式 ． 20. 先化简，再从，1，2中选取一个适合的数代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据分式有意义的条件确定a的值并代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵分式要有意义， ∴， ∴且， ∴当时，原式． 21. 六一儿童节来临之际，某商店用元购进一批玩具，很快售完；第二次购进时，每件的进价提高了，同样用元购进的数量比第一次少了件．求第二次每件的进价为多少元？ 【答案】第二次每件的进价为60元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键； 设第一次每件的进价为x元，则第二次每件进价为，根据：同样用元购进的数量比第一次少了件，可列出关于x的分式方程，解方程并检验后可得答案． 【详解】解：设第一次每件的进价为x元，则第二次每件进价为， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是方程的解，， 答：第二次每件的进价为60元． 22. 某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高，坡面的坡度（注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点、A与河岸、在同一水平线上，从山顶处测得河岸和对岸的俯角分别为，．（参考数据：，， （1）求点A与点C的距离； （2）若在此处建桥，试求河宽的长度．（结果精确到） 【答案】（1）点A与点C的距离为 （2）河宽EF的长度约 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键； （1）根据题意易得，然后问题可求解； （2）由题意易得，根据三角函数可得，则有，然后问题可求解． 【小问1详解】 解：在中，， 的坡度， ， ， 答：点A与点C的距离为； 【小问2详解】 解：在中，，， ， ， ， 在中，，，， ∴， ∴， ， 答：河宽的长度约． 23. 为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：），随机调查了该校八年级名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为 ，图①中的值为 ，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的中位数为 ； （2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是9的人数约为多少？ 【答案】（1）50，34，8 （2）这组数据的平均数是8.36 （3）估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是9的人数约为150人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，用样本估计总体，中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据的人数和百分比可以求得本次接受调查的学生人数，再由总人数和的人数即可求出m； 根据条形统计图中的数据，可以得到这50个样本数据的中位数； （2）根据平均数的定义进行解答即可； （3）在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占，用八年级共有学生数乘以即可得到答案． 【小问1详解】 解：（人， ， ， 将这组数据从小到大依次排列，处于最中间的第25，26名学生的分数都是8， 中位数是， 故答案为：． 【小问2详解】 这组数据的平均数是8.36． 【小问3详解】 在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占， 根据样本数据，估计该校八年级学生500人中，每周参加科学教育的时间是的学生占，有． 估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为150． 24. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵在平行四边形中， ∴且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形性质得到且，由平行线的性质得到，根据三角形的判定可证得，由全等三角形的性质得到，，可得，根据矩形的判定即可得到结论； （2）由矩形的性质得到，进而求得，，由勾股定理可求得，，由平行四边形性质得，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知：四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴在中， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键． 25. 如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点． （1）求，的值； （2）点为反比例函数（，）图象上一动点（点在，之间运动，不与，重合），过点作，交轴于点，过点作轴，交于点，连接，当面积为时，求出此时点的坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数，等腰直角三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）先求出的坐标，然后利用待定系数法求出直线的函数表达式，把的坐标代入直线的函数表达式求出，再把的坐标代入反比例函数表达式求出即可； （2）延长交轴于点，交于点，利用等腰三角形的判定与性质可得出，设点的坐标为，则，， 根据，即可求解． 【小问1详解】 解：，， ， 又， ， ， 点， 设直线的函数表达式为， 将，代入得： ， 解得：， 直线的函数表达式为． 将点代入，得． ， 将代入得：， ，； 【小问2详解】 延长交轴于点，交于点． ，， ． 轴， ，． ， ， ， ， 设点的坐标为，，则，， ， ， 解得：或， ， ， ． 26. 某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品．经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式；并写出自变量的取值范围． （2）若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ （3）若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，求销售单价x的取值范围？ 【答案】（1） （2）当单价为50元时，取得最大利润为1560元 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、一元二次不等式的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识点，正确求得函数解析式和不等式是解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2） 题意可得，设利润为W元，再求得，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）由（2）得利润，，解得，然后再结合二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：设，由图可知，函数图象过点， 则，解得， 所以， 所以每天的销售量与销售单价之间的函数关系式是． 【小问2详解】 解：若单价不低于成本价24元，且不高于50元销售，设利润为W元 因为， 所以利润， 其开口向下，对称轴为． 所以当时，利润取得最大值为， 所以当单价为元时，取得最大利润为元． 【小问3详解】 解：由（2）得利润， ，整理得， 即，解得， 开口向下， ， ． 27. 如图，在菱形中，于，以为直径的⊙O分别交，于点，，连接． （1）求证： ①是⊙O的切线； ②B． （2）若，求． 【答案】（1） 证明：①四边形是菱形， ， ， 又为直径        是的切线； ②连接，   ∵ ∴ 为直径， ， = = ， ，      ， ；     （2） 【解析】 【分析】（1）①根据菱形的性质得出，根据，可得，进而即可得证； ②连接，根据等弧所对的圆周角相等得出，根据直径所对的圆周角是直角得出，进而可得，结合，即可证明，即可得出结论； （2）连接交于．根据菱形的性质以及勾股定理求得，进而根据等面积法求得，由得：，在中，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接交于． 菱形，， ∴，，，， 在中，8， ， ， ， 中，==， ， 由得：， ．     【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，菱形的性质，勾股定理，求角的正弦值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 28. 新定义 【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则 ， ． 【思考与探究】 （2）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值； ②如图（2），在①的条件下，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，P为抛物线上任意一点，当时，求点P的坐标 ③在①的条件下，若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）3，；（2）①；②P点坐标为或；③或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的综合应用及新定义理解，解直角三角形，熟练掌握二次函数的性质结合图象求解是解题关键． （1）根据题意确定点在的伴随抛物线上，代入求解即可； （2）①根据题意确定顶点坐标为：，然后代入解析式得出，即可求解；②先求出的坐标，设点，如图，过点P作于点H，则，根据，可得，求解即可；③根据题意得出顶点坐标在图象上滑动，然后分情况分析即可得出结果． 【详解】解：（1）二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线， ∴点在的伴随抛物线上， 代入得：，， 解得：，， 故答案为：2；； （2）①， ∴顶点坐标为：， ∵函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴， 整理得：， ∴； ②由①得：函数的图象为抛物线， 令， 解得：或， ∴， 将代入，则， ∴， 令， 解得：或， ∵轴， ∴， 设点， 如图，过点P作于点H， 则， ∵， ∴， ∴， 当时，即， 解得：（舍去）或； ∴， ∴； 当时，即， 解得：（舍去）或； ∴， ∴； 综上，当时，点P的坐标为或； ③∵与x轴有两个不同的交点，， 由①得：函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴顶点坐标在图象上滑动， 顶点为， 当时， 解得：或， 抛物线与x轴交两个点， 当顶点在下方时，抛物线有两个交点，， ∵若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． ∴在 上， 当顶点在下方时，； 综上可得：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四数学练习题 考生注意： 1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考号填写清楚，将准考证号填写在相应区域并填涂． 2．答题时用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡相应位置作答，在试题卷上作答无效． 3．考试时间120分钟．全卷共三道大题，总分120分． 一、单选题(每题3分，共30分) 1. 用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 2. 围棋被认为是世界上最复杂的棋盘游戏，中国古代称之为“弈”，蕴含着中华优秀的传统文化，下面四个围棋图案中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. “春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为，数据0.0000004用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图摆放的正六棱柱的俯视图是（　　） A. B. C. D. 5. 某校八年级3班承担下周学校升旗任务，老师从备选的甲、乙、丙、丁四名同学中，选择两名担任升旗手，则甲、乙两名同学同时被选中的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 下列叙述正确的是（ ） A. 顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等 D. 物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影 8. 现用甲、乙两种运输车将吨救灾物资运往灾区，甲种运输车的载质量为吨，乙种运输车的载质量为吨，安排总车辆不超过辆，则甲种运输车至少要安排（ ） A. 辆 B. 辆 C. 辆 D. 辆 9. 如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论一定正确的是（　　） A. B. =2 C. D. 二、填空题(每题3分，共24分) 11. 计算的结果是______． 12. 扇形的半径为，弧长为，则该扇形的面积为______． 13. 方程的两个根分别为，则的值为_________． 14. 不等式组的所有整数解的和为_________． 15. 如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则______． 16. 如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是______． 17. 已知（且），，，，，则的值为_______________． 18. 如图，在中，，，则的最大值为______． 三、解答题（共66分） 19. 计算：． 20. 先化简，再从，1，2中选取一个适合的数代入求值． 21. 六一儿童节来临之际，某商店用元购进一批玩具，很快售完；第二次购进时，每件的进价提高了，同样用元购进的数量比第一次少了件．求第二次每件的进价为多少元？ 22. 某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高，坡面的坡度（注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点、A与河岸、在同一水平线上，从山顶处测得河岸和对岸的俯角分别为，．（参考数据：，， （1）求点A与点C的距离； （2）若在此处建桥，试求河宽的长度．（结果精确到） 23. 为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：），随机调查了该校八年级名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为 ，图①中的值为 ，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的中位数为 ； （2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是9的人数约为多少？ 24. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，，求的长度． 25. 如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点． （1）求，的值； （2）点为反比例函数（，）图象上一动点（点在，之间运动，不与，重合），过点作，交轴于点，过点作轴，交于点，连接，当面积为时，求出此时点的坐标． 26. 某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品．经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式；并写出自变量的取值范围． （2）若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ （3）若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，求销售单价x的取值范围？ 27. 如图，在菱形中，于，以为直径的⊙O分别交，于点，，连接． （1）求证： ①是⊙O的切线； ②B． （2）若，求． 28. 新定义 【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则 ， ． 【思考与探究】 （2）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值； ②如图（2），在①的条件下，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，P为抛物线上任意一点，当时，求点P的坐标 ③在①的条件下，若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $