7.1 认识证明(课件)2025-2026学年北师大版八年级数学上册

7.1 认识证明 第七章 命题与证明 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 推理证明的必要性 定义、命题 命题的结构 命题的分类 公理、证明、定理 知1－讲 感悟新知 知识点 推理证明的必要性 1 1. 通过实验、观察、归纳得到的数学结论不一定都是正确的，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，还必须进行有根有据的证明。 感悟新知 知1－讲 特别解读 证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”。这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实。 知1－讲 感悟新知 示例 比较两条线段的长短 从视觉上来看，第一条线段较长一些，经过测量可知，两条线段的长度一样 知1－讲 感悟新知 2. 检验数学结论的常用方法与具体过程： 常用方法 实验验证法 实验验证是最基本的方法，它反映了由具体到抽象、由特殊到一般的逻辑思维方法 推理 论证 任何推理都包含前提和结论两部分，前提是推理的依据部分，可以是一个，也可以是几个，结论是根据前提所推出的判断，在“前提”下，严格推理论证“结论”的正确与否，是最可靠、最科学的方法 知1－讲 感悟新知 检验数学结论的具体过程 观察、度量、实验→猜想归纳→结论→推理→正确结论 感悟新知 知1－讲 特别解读 1. 实验验证法常用于检验一些比较直观、简单的结论。 2. 推理论证主要用来进行严格的推理证明，既可以验证某结论是正确的，也可以验证某结论是不正确的。 知1－练 一个两位数，它的十位数字为a，个位数字为b，若把它 的十位数字与个位数字对调，将得到一个新的两位数，这两个数的和能被11 整除吗？我们可以验证一下：比如23，把它的十位数字与个位数字对调后得到新的两位数32，而23+32=55，因此我们断定，这两个数的和能被11 整除。上述验证过程严谨吗？ 例1 考向1： 利用推理证明判断结论的正确性 知1－练 解题秘方：紧扣结论要证明的必要性，利用整式的运算证明猜想的结论。 知1－练 解：不严谨.上述验证过程只是一个特例，为了验证结论的正确性，可作如下推理： 因为原两位数为10a＋b，得到的新两位数为10b＋a， 所以(10a＋b)＋(10b＋a)＝11a＋11b， 因为(11a+11b)÷ 11=a+b，所以11a＋11b是11 的整数倍， 所以这两个数的和能被11 整除. 知1－练 感悟新知 1-1.当 n 为正整数时，代数式 (n2 － 5n ＋ 5)2的值都等于 1 吗？ 解：不一定等于1。理由如下 当n＝1时，(n2－5n＋5)2＝12＝1； 当n＝2时，(n2－5n＋5)2＝(－1)2＝1； 当 n＝3 时，(n2－5n＋5)2＝(－1)2＝1； 当 n＝4 时，(n2－5n＋5)2＝12＝1； 当 n＝5 时，(n2－5n＋5)2＝52＝25 ≠ 1. 所以当n为正整数时，(n2－5n＋5)2 不一定等于1. 变式训练 知1－练 先观察再验证： (1)图7-1-1 (1)中的三角形各边是直的还是弯曲的？ (2)图7-1-1 (2)中两条线段a 与b 的长度相等吗？ 例2 考向2： 利用实验验证法验证结论 知1－练 解题秘方：先观察得出结论，再实验验证。观察事物不能依靠直觉，依靠直觉认识事物，可能正确，也可能不正确，关键是参照物会给人错觉，只需动手利用刻度尺、三角板等测量工具实际测量验证即可。 知1－练 (1)图7-1-1 (1)中的三角形各边是直的还是弯曲的？ (2)图7-1-1 (2)中两条线段a 与b 的长度相等吗？ 解：观察后可能得出的结论是：(1)各边是弯曲的；(2)线段b 更长一些。 用科学的方法验证可发现：(1)各边是直的；(2)两条线段a与b 一样长。 利用刻度尺、三角板等工具即可验证 知2－练 感悟新知 2-1. 如图，位于中心的两个圆一样大吗？ 解：位于中心的两个圆一样大． 变式训练 知2－讲 感悟新知 知识点 定义、命题 2 1. 定义： 对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义 定义必须是明确的，避免使用含糊不清的词语，如“一些”“大概” “差不多”等词语。 能把被定义的事物或名词与其他事物或名词区别开来 感悟新知 知2－讲 示例 定义 两条直线相交成四个角，如果一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直。 判断词“是”并没有下定义 判断词“称” “对两条直线互相垂直”下定义 定义对象 感悟新知 2. 命题：判断一件事情的句子，叫作命题。 命题包含两层含义 ①命题必须是一个完整的句子，常为陈述句；②这个句子必须对某件事情作出肯定或否定的判断，二者缺一不可。 定义都是命题。 知2－讲 下列语句属于定义的是( ) A. 两点确定一条直线 B. 两直线平行，同位角相等 C. 作一条线段等于已知线段 D. 三条边都相等的三角形叫作等边三角形 例3 考向1： 利用定义的属性进行识别 知2－练 解题秘方：定义的形式通常是“XX 是XX” “XX 称为XX” 或“XX 叫作XX”，并且定义是对名称和术语的含义加以描述，而不是对其性质的判断。 答案：D 解：选项A 是基本事实，不是定义；选项B 是平行线的性质，不是定义；选项C 是作图语言，不是定义；只有选项D 符合定义的概念。 知2－练 21 感悟新知 3-1.下列语 句中，属于定义的是(     ) A．直线 a 和 b 垂直吗 B．延长 AB 到点 C，使BC=2 AB C．无限不循环小数是无理数 D．两直线平行，内错角相等 C 变式训练 知2－练 下列句子中哪些是命题？ (1)直角三角形中的两个锐角互余。 (2)正数都小于0。 (3)如果∠ 1+∠ 2=180°，那么∠ 1 与∠ 2 互补。 (4)太阳不是行星。 (5)对顶角相等吗？ (6)作一个角等于已知角。 例4 考向2： 利用命题的定义进行识别 虽然判断错误，但仍是命题 知2－练 解题秘方：判断一个语句是不是命题应抓住以下几点：①命题是叙述某件事情的句子；②必须对该件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系；③通常不完整的句子、祈使句、疑问句、感叹句等均不是命题。 知2－练 24 解： (1) (2) (3)是命题，它们都对事情作出了肯定的判断； (4)是命题，它对事情作出了否定的判断； (5)不是命题，只表示疑问，并未作出判断； (6) 不是命题，只是描述了一个作图的过程，不含有判断的意思。 所以(1) (2) (3) (4)是命题，(5) (6)不是命题。 知2－练 25 感悟新知 4-1. [ 期末• 西安雁塔区] 下列语句： ①钝角大于90°；②两点之间，线段最短；③希望明天下雨； ④作AD⊥ BC；⑤同旁内角不互补，两直线不平行。其中是命题的是( ) A．①②③ B．①②⑤ C．①②④⑤ D．①②④ B 变式训练 知2－练 感悟新知 知3－讲 知识点 命题的结构 3 1.命题的结构 一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成。条件是已知的事项，一般位于命题语句的前半部分，结论是由已知事项推断出的事项，位于语句的后半部分。 感悟新知 知3－讲 2. 命题常见形式 命题通常可以写成“ 如果… … ，那么… … ”的形式，其中，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论。 有些命题的条件和结论不够明显，这时要认真分析，先把命题改写成“如果……，那么……”的形式，再找条件和结论。 感悟新知 特别解读 在改写时，应适当地加一些语句(补充原来省略的部分或调换语序)以使语言通畅，但命题原意要保持不变。 知3－讲 感悟新知 将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并指出它们的条件和结论。 (1)同位角相等，两直线平行； (2)平方后等于1 的数是1。 例5 考向：利用命题的结构形式改写命题 知3－练 感悟新知 解题秘方：将命题写成“如果……，那么……”的形式，就是要明确命题的条件和结论，“如果”后面写条件，“那么”后面写结论。 知3－练 (1)同位角相等，两直线平行； 感悟新知 解：如果两条直线被第三条直线所截，同位角相等，那么这两条直线平行。 条件：两条直线被第三条直线所截，同位角相等，结论：这两条直线平行。 知3－练 (2)平方后等于1 的数是1。 感悟新知 解：如果一个数的平方等于1，那么这个数是1。 条件：一个数的平方等于1，结论：这个数是1。 知3－练 5-1. 下列命题的条件是什么？结论是什么？ (1)若∠A＝∠B，∠B＝∠C， 则∠A＝∠C. 解：条件为∠A＝∠B，∠B＝∠C， 结论为∠A＝∠C. 变式训练 知3－练 (2)三边分别相等的两个三角形全等. 原命题改写为：如果两个三角形的三边分别相等，那么这两个三角形全等。条件为两个三角形的三边分别相等，结论为这两个三角形全等。 知3－练 感悟新知 知4－讲 知识点 命题的分类 4 1. 命题的分类：命题分为真命题和假命题，正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。 2. 反例：要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例。 感悟新知 示例 假命题 如果a2=b2，那么a=b 条件 已知(－3)2=32 符合 结论 但－ 3 ≠ 3 不符合 命题是假命题 知4－讲 感悟新知 特别解读 识别命题真假的一般思路： 识别命题的真假，关键是在条件成立的前提下，看结论是否一定正确，可先举“特例”验证，“特例”成立，还不能说明其为真命题，要将特殊形式转化为一般形式，再用推理的方法说明结论正确，若“特例”不成立，则原命题一定是假命题。 知4－讲 判断下列命题是真命题还是假命题。若是假命题， 请举出反例. (1)互为补角的两个角相等； (2)若a＝b，则a＋c＝b＋c； (3)如果两个长方形的周长相等，那么这两个长方形的面积相等. 例6 考向：判断命题的真假 知4－练 感悟新知 解题秘方：紧扣命题的分类进行判断。举反例时，要保证“满足条件而不满足结论。” 知4－练 解：(1)是假命题。例如：设∠ 1=100°，∠ 2=80°，则∠ 1 与∠ 2 互为补角，但是∠ 1 ≠∠ 2。 (2)是真命题。 (3)是假命题。例如：假设两个长方形的长和宽分别为5, 3和6，2，则它们的周长分 别为2×(5+3)=16，2× (6+2)=16，周长相等，但是面积分别为5×3=15，6×2=12，面积不相等。 知4－练 6-1. 判断下列命题的真假，若是假命题，请举出反例。 (1)若|a|=|b|，则a=b； (2)两个锐角之和一定是钝角； (3)实数与数轴上的点一一对应。 解：假命题。反例：如|2|＝|－2|, 但2≠－2。 假命题。反例：如两个锐角分别为20°，30°，它们的和是50°，是锐角。 变式训练 真命题 知4－练 感悟新知 知识点 公理、证明、定理 5 1. 公理：公认的真命题称为公理。除了公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断。 2. 定理：经过证明的真命题称为定理，每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明。 并不是所有的真命题都是 定理，但定理一定是真命题 知5－讲 感悟新知 知5－讲 3. 证明：演绎推理的过程称为证明。 (1) 证明的依据：证明命题时，需要一些基本事实、定理、定义等作为推理论证的依据。 (2)证明的基本格式：“因为……，所以……”或“∵……，∴……” 读作“因为” 读作“所以” 感悟新知 知5－讲 (3)证明的书写格式：根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证，经过分析找出由已知推出结论的途径，写出证明过程，并注明依据。 感悟新知 特别解读 公理与定理的异同： 1. 相同点： ①都是真命题； ②都可以作为证明其他命题的依据 . 2. 不同点：公理的真实性是通过长期实践被证实的，不需要推理证明；定理是经过证明的真命题。 知5－讲 知5－练 如图7-1-2，点C 是直线AB 上的一点，作射线CD， CE，CF，CE，CF 分别是∠ ACD，∠ BCD 的平分线。求证：CE⊥CF。 例7 考向：利用已学过的公理或定理进行证明 解题秘方：对于几何证明题，“因为”与“所以”两步之间要符合严谨的因果关系，要有正确的理论依据。“因为”不能连续，但“所以”可以连续，前面的“所以”可以成为下一个“所以”的“因为”。 知5－练 证明：因为点C是直线AB上的一点(已知)， 所以∠ ACD+ ∠ BCD=180°(平角的定义)。 因为CE，CF 分别是∠ ACD，∠ BCD 的 平分线(已知)， 所以∠ECD=∠ACD，∠FCD=∠BCD (角平分线的定义)。 所以∠ ECD+ ∠ FCD= (∠ACD+ ∠BCD)=× 180°= 90° (等量代换)，即∠ECF= 90°。所以CE⊥CF(垂直的定义)。 知5－练 感悟新知 7-1. 证明命题：全等三角形的对应边上的高相等。 (1) 写成“ 如果⋯⋯，那么⋯⋯” 的形式： 解：如果两条线段分别是全等三角形对应边上的高，那么这两条线段相等 知5－练 感悟新知 (2)根据所给图形写出已知、求证和证明过程. 解：已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，AD⊥BC于D，A′D′⊥B′C′于D. 求证：AD＝A′D′. 证明：∵△ABC≌△A′B′C′(已知)， ∴AB＝A′B′(全等三角形的对应边相等)， ∠B＝∠B′(全等三角形的对应角相等)， 知5－练 感悟新知 ∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′(已知)， ∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°(垂直的定义)， 在△ABD和△A′B′D′中， ∴△ABD≌△A′B′D′(AAS)， ∴AD＝A′D′(全等三角形的对应边相等)． 知5－练 认识证明 推论证明 定义 命题 结构 分类 真命题 假命题 基本事实、公理 定理 $$