6.3 三角形的中位线 　课件　2024—2025学年北师大版数学八年级下册 　

第六章 平行四边形 6.3 三角形的中位线 1.理解中位线的概念和性质.（重点） 2.能够利用中位线解决相关问题. (重点、难点) 学习目标 如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给两个小朋友，要求两人所分的大小相同，请设计合理的解决方案；若平均分给四个小朋友，要求他们所分的大小都相同，请设计合理的解决方案； 情景导入 3 如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给四个小朋友，要求四人所分的形状和大小都相同，请设计合理的解决方案. 4 三角形的中位线及其性质 问题1：你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗? 问题2：连接每两边的中点,看看得到了什么样的图形? 四个全等的三角形 探究新知 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. A B C D E 两层含义: ② 如果DE为△ABC的中位线，那么 D、E分别为AB、AC的 . ① 如果D、E分别为AB、AC的中点,那么DE为△ABC的 ； 中位线 中点 知识归纳 A B C 1.画出△ABC中所有的中位线. 2.画出三角形的所有中线并说出中位线和中线的区别. D E F 探究新知 问题3：你能通过剪拼的方式，将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？ 小明的做法：将△ADE绕点E按顺时针方向旋转180°到△CFE的位置（如图），这样就得到了一个与△ABC面积相等的平行四边形DBCF. A D E F C B 探究新知 猜一猜:三角形两边中点的连线与第三边有怎样的关系？能证明你的猜想吗？ A D E F C B DE和边BC的关系 数量关系： 位置关系： 平行 DE是BC的一半 你能进行证明吗? 探究新知 C E D F B A 证法一：如图，以点E为旋转中心，把⊿ADE绕点E，按顺时针方向旋转180゜，得到⊿CFE，则D，E，F同在一直线上DE=EF，且⊿ADE≌⊿CFE． ∴∠ADE=∠F，AD=CF， ∴AB∥CF． 又∵BD=AD=CF， ∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ∴DF∥BC， ∴DE 1/2BC C E D F B A 证法二：如图，过点C作AB的平行线交DE的延长线于F ∵CF∥AB， ∴∠A=∠ECF 又AE=EC，∠AED=∠CEF ∴△ADE≌△CFE ∴ AD=FC 又DB=AD， ∴DB FC ∴四边形BCFD是平行四边形 ∴DE// BC 且DE=EF=1/2BC A B C E D F 证法三：如图，延长DE至F， 使EF=DE， 连接CD、AF、CF ∵AE=EC ∴DE=EF ∴四边形ADCF是平行四边形∴AD FC 又D为AB中点， ∴DB FC ∴四边形BCFD是平行四边形  ∴DE// BC 且DE=EF=1/2BC A C E D F G B 证法四：如图，过E作AB的平行线交BC于F，自A作BC的平行线交FE于G ∵AG∥BC∴∠EAG=∠ECF 又∵ AE=EC， ∠AEG=∠CEF ∴△AEG≌△CEF∴AG=FC，GE=EF 又AB∥GF，AG∥BF∴四边形ABFG是平行四边形 ∴BF=AG=FC，AB=GF 又D为AB中点，E为GF中点， ∴DB EF ∴四边形DBFE是平行四边形 ∴DE∥BF，即DE∥BC，DE=BF=FC 即DE=1/2BC 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 如图，若D、E分别是△ABC的边AB、AC的中 点.则DE∥BC， C E D B A 结论归纳 【定理的理解】 (1)从条件看，以后我们看到中点，尤其是两个或者两个以上的中点时我们就要联想到三角形的中位线定理. (2)从结论看，它既可以得到线段的位置关系（平行），又可以得到线段的数量关系（倍分关系），大家以后在解决相关问题时要两方面结合起来灵活应用. 例1 如图，已知△ABC中，AB = 3㎝，BC=3.4㎝，AC=4㎝且D，E，F分别为 AB，BC，AC边的中点，则△DEF的周长是 ㎝. A B C D E F 5.2 例 题 16 例2 已知:如图,在四边形ABCD中, E,F,G,H分别为各边的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形. A B C H D E F G 分析:将四边形ABCD分割为三角形,利用三角形的中位线可转化两组对边分别平行或一组对边平行且相等来证明. 例 题 证明:连接AC. ∵E,F,G,H分别为各边的中点, ∴ EF∥HG, EF=HG. ∴EF∥AC, HG∥AC, ∴四边形EFGH是平行四边形. A B C H D E F G 三角形中位线 定 义 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 性质 三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 课堂小结 知识点1　三角形中位线定理 1.如图，D，E分别是△ABC的边BA，BC的中点，AC＝3，则DE 的长为（　D　） A. 2 B. C. 3 D. D 随堂练习 2.如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，D，E分别是直角边AC，BC 的中点，连接DE，则∠CED的度数是（　B　） A. 70° B. 60° C. 30° D. 20° B 3.（教材P152习题T1变式）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AC，AB的中点.若AB＝6，BC＝8，则四边形BDEF的周长是（　B　） A. 28 B. 14 C. 10 D. 7 B [变式] 如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点. 若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为 ⁠. 20　 4. 　如图，在▱ABCD中，M为边AD上一点，AM＝2MD，E，F分 别是BM，CM的中点.若EF＝6，则AM的长为 ⁠. 8　 5. 　如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M 是DC的中点，N是AB的中点.求证：∠PMN＝∠PNM. 证明：∵P是BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点， ∴PM，PN分别是△BCD和△ABD的中位线， ∴PM＝ BC，PN＝ AD. ∵AD＝BC，∴PM＝PN，∴∠PMN＝∠PNM. 知识点2　三角形中位线定理的应用 6. 如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起， C，D分别是OA，OB的中点.若CD＝4 cm，则该工件内槽宽AB的长 为 cm. 8　 知识点3　中点四边形 7. 　如图，O是△ABC内部的一点，连接OB，OC，并将边AB， OB，OC，AC的中点D，E，F，G顺次连接构成四边形DEFG. 求 证：四边形DEFG是平行四边形. 证明：∵D，G分别是AB，AC的中点，∴DG是△ABC的中位线， ∴DG∥BC，DG＝ BC. ∵E，F分别是OB，OC的中点， ∴EF是△OBC的中位线，∴EF∥BC，EF＝ BC， ∴DG＝EF，DG∥EF，∴四边形DEFG是平行四边形.z 8.（2024·陕西模拟）如图，DE垂直平分△ABC的边AB，交CB的延 长线于点D，交AB于点E，F是AC的中点，连接AD，EF. 若AD＝ 5，CD＝9，则EF的长为（　C　） A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 1.5 第8题图 C 9.如图，△ABC的面积是16，点D，E，F，G分别是BC，AD， BE，CE的中点，则△AFG的面积是　（　A　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 第9题图 A 10.（2024·西安新城区期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B ＝90°，BC＝6，将△ABC沿中位线DE剪开后，把得到的两部分拼成 一个平行四边形，所得到的较大的平行四边形的周长是 ⁠. 24　 11. 　（1）教材再现：如图1，DE是△ABC的中位线，则线段DE与边 BC的位置关系为 ，数量关系为 ⁠. DE∥BC　 DE＝ BC　 （2）知识应用：如图2，在四边形ABCD中，AB＝6，CD＝8，∠BAC ＝30°，∠ACD＝120°，E，F，M分别是AD，BC，AC的中点， 求EF的长. 解：（2）∵点E，M分别是AD，AC的中点，∴EM是△ADC的中位线， ∴EM＝ CD＝4，EM∥CD，∴∠EMC＋∠ACD＝180°. ∵∠ACD＝120°，∴∠EMC＝60°.同理可得，MF＝ AB＝3， MF∥AB，∴∠CMF＝∠BAC. ∵∠BAC＝30°，∴∠CMF＝30°， ∴∠EMF＝90°，∴EF＝ ＝ ＝5. 变式微专题4　构造三角形中位线的技巧 方法指导　常见的添加辅助线构造中位线的方法：①已知两个中点： 连接两中点或连接第三边；②已知一个中点：取另一边中点并连接这两 个中点；③已知角平分线＋垂直：延长有关的线段（被平分的角的边或 垂直的边）. 1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，N是边BC上 一点，M是边AB上的动点，D，E分别是CN，MN的中点，则DE的 最小值是（　B　） A. 2 B. C. 3 D. 第1题图 B 2. （2024·西安校级一模）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝9，AD是 ∠BAC的平分线，E是BC的中点，EF∥AD，则AF的长是 ⁠. 第2题图 2　 3. 如图，在△ABC中，M是边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN 于点N. 若AB＝8，MN＝2，则AC的长为 ⁠. 第3题图 12　 $$