精品解析：广东省广州第二中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

广州市第二中学2024学年第二学期期中考试 高一数学 命题：高一数学备课组 审校：高一数学备课组 2025年4月23日 木试卷共4页，19小题，满分为150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号.用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、座位号填写在答题卡上. 2．答选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的，答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后；只需将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 若复数z满足（其中是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的四则运算计算即可. 【详解】由得 故选：C 2. 若平面向量，，若，则 A. B. C. 1或 D. 1或 【答案】C 【解析】 【分析】 通过向量平行的性质得到方程，解方程求得结果. 【详解】，且 ，解得：或 本题正确选项： 【点睛】本题考查利用向量平行的性质求解参数，属于基础题. 3. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则的形状是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不确定的 【答案】A 【解析】 【分析】应用正弦定理边角转化，再结合余弦定理求解判断. 【详解】在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且， 由正弦定理得，设， 由余弦定理得， 所以为钝角，所以的形状是钝角三角形. 故选：A. 4. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定函数的奇偶性，时函数值的正负以及函数图像的变化趋势可得答案. 【详解】由题意可得：函数的定义域为， ， 所以为奇函数， 当时，，故可排除BC， 当时，，，， 因为指数函数比幂函数增长的速度要快， 所以当，函数值趋近于零，所以排除. 故选：D. 5. 设是定义域为的偶函数，且在上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据偶函数性质得，然后结合指数函数单调性及对数函数的性质得，最后利用的单调性比较大小即可. 【详解】由于为偶函数，则， 因为和为R上的减函数，为上的增函数， 所以， 又，所以， 由于在上单调递增，所以， 即. 故选：D 6. 已知棱长为的正方体的中心为，若球的球面与该正方体的棱有公共点，则球的表面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意分析得到最小的球为正方体的棱切球，最大的球为正方体的外接球.然后分别求出半径，后求出表面积的范围. 【详解】由题意知，当球是正方体的棱切球时，球与棱有公共点， 如图： 此时球的半径， 当球是正方体的外接球时，球与棱有公共点， 如图： 此时球的半径， 所以球的半径， 故球的表面积. 故选：C. 7. 已知实数为函数的两个零点，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为实数为与图象交点的横坐标，然后作出两个函数的图象，由图象即可判断选项A是否正确；利用，结合对数与指数的互化，得到，结合的取值范围进行分析，即可得到答案． 【详解】因为实数为函数的两个零点， 所以实数为与图象交点的横坐标， 作出函数与的图象如图所示， 不妨设， 由图像可知，，所以，故选项A错误； 由图像可知，， 所以，故， 又因为，所以，所以，故B正确，C、D错误. 故选：B． 8. 已知函数（，，）在区间上单调，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将化成的形式，根据单调性及周期性得到的取值范围，根据等式关系得到各参数的关系，最后利用辅助角公式中的关系得到关于的不等式，解出不等式即可. 【详解】， ，， 在区间单调， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， . 故选：A. 【点睛】关键点定睛：本题难点在于单调性与周期性之间的关系以及辅助角公式的巧妙运用. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设复数在复平面内对应的点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若点Z的坐标为，且是关于的方程的一个根，则 C. 为纯虚数 D. 若，则点Z的集合所构成的图形的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】由复数模长的几何意义可判断A和D，结合复数的减法运算化简以后由纯虚数可判断C，根据复数的几何意义得，将代入方程，化简可得的值判断B. 【详解】对于A，因为，则点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆， 圆上的点对应的复数有无数个，所以A错误； 对于B，由题意，所以， 即，所以，解得， 则，B正确； 对于C，设，则，所以， 当时，，C错误； 对于D，因为，则点的轨迹是两个圆心为点， 半径分别为的圆形成的圆环，则点的集合所构成的图形的面积为， D正确. 故选：BD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内 B. 正方体中，直线与是异面直线 C. 用斜二测画法画水平放置的边长为1的正三角形，它的直观图的面积是 D. 在平面外，其三边所在直线分别和交于，，，则，，一定共线 【答案】BD 【解析】 【分析】举反例判断A，由异面直线的定义即可判断B，根据斜二测画法的性质即可求解C，根据平面基本事实判断D. 【详解】对于A，三棱锥的三条侧棱所在直线交于同一点，而这三条直线不共面，故A错误； 对于B：由于在正方体中，直线与既不平行也不相交，所以是异面直线，故B正确， 对于C：根据斜二测画法的规则可知： 直观图中，高， 所以直观图的面积，故C错误， 对于D， 因为所在平面与平面相交，由平面基本事实知，公共点都在交线上，即，，一定共线，故D正确； 故选：BD 11. 如图，直线，点A是，之间的一个定点，点A到，的距离分别为1和2．点B是直线上一个动点，过点A作，交直线于点C，点G满足，则（ ） A. B. 面积的最小值是 C. D. 存在最小值 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据直角坐标系，设出，，，根据及，即可找到三个点的坐标关系，分别写出，，即可判断A；取中点为，连接，根据，可得三点共线，且为靠近的三等分点，即可找到面积与面积之间比例关系，进而建立面积等式，根据基本不等式即可判断B；求出，再根据基本不等式可判断C；写出进行化简，根据的范围即可得到的最值情况判断D. 【详解】设中点为，连接， 以为原点，方向分别为轴建立如图所示的直角坐标系，    则，，设，，，，且， 所以，，因为，所以， 即，故，即， 所以，，， 因为， 所以，即， 因为，故，A正确； 因为，所以，即， 所以三点共线，且为靠近的三等分点， 所以 ， 当且仅当，即时取等，故B正确； 因为， 所以， 当且仅当，即时取等，故，C正确； 因为， 所以， 因为且，所以， 记，由函数和在上递增， 可知在上单调递增，没有最值，即没有最值，故D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知某圆台的体积为，其上、下底面圆的面积之比为4∶9，周长之和为，则该圆台的高为______ 【答案】3 【解析】 【分析】根据圆的周长和面积公式求出圆台上、下底面圆的半径，然后利用圆台体积公式求解圆台的高即可. 【详解】设圆台的高为h，上、下底面圆的半径为， 则由上、下底面圆的面积之比为4∶9，周长之和为， 得，得， 由圆台的体积为，得，解得. 故答案为：3 13. 若且，已知是上的单调函数，则实数a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一次函数单调递增得出函数是增函数，再根据对数复合函数的单调性及分段函数列不等式求解即可. 【详解】因为在R上单调，且当时，单调递增， 所以在R上单调递增，则需满足，解得， 即a的取值范围是. 故答案为： 14. “三角形内角嵌入不等式”是英国数学家约瑟夫·沃尔斯滕霍姆所提出的平面几何中的一个不等式，在不至于引起歧义的情况下简称“嵌入不等式”．该不等式指出，若A，B，C是的三个内角，则对任意实数、、，有：，不等式的取等条件为：存在实数k，使得，，．根据以上材料，在中，的最大值为______．此时，______． 【答案】 ①. ②. /0.875 【解析】 【分析】根据求解的值，利用嵌入不等式即可求解最值，根据取等条件，由二倍角公式即可求解. 【详解】由“嵌入不等式”可得：， 当且仅当存在实数使得， 故， 则，故， 因此， 因此，即的最大值为，此时. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在高为2的正三棱柱中，，是棱上的点． （1）求该正三棱柱的表面积以及三棱锥的体积； （2）设E为棱的中点，F为棱上一点，求的最小值，此时的长度是多少？ 【答案】（1）该正三棱柱的表面积为， （2）最小值为， 【解析】 【分析】（1）根据表面积、体积公式计算可得； （2）将侧面绕旋转至与侧面共面，,当三点共线时，取得最小值，然后用勾股定理求解，再利用相似三角形的性质求出的长度. 【小问1详解】 因为正三棱柱的高为，， 所以， ， 所以该正三棱柱的表面积为， 所以； 【小问2详解】 将侧面绕旋转至与侧面共面，如图所示． 当三点共线时，取得最小值，且最小值为， 此时因为，所以，所以，即，解得． 16. 如图，A，B是某海域位于南北方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东，B点南偏东的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距100海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为80海里/时. （1）求B，C两点间的距离； （2）该救援船前往营救渔船时应该沿南偏东多少度的方向航行？救援船到达C处需要多长时间？（参考数据：，角度精确到0.01） 【答案】（1）60海里 （2）方向是南偏东，需要的时间为小时. 【解析】 【分析】（1）求得度数，根据正弦定理即可求得答案； （2）确定的度数，由余弦定理即可求得的长，即可求得救援时间，利用余弦定理求出的值，即可求得应该沿南偏东多少度的方向航行. 【小问1详解】 依题意得，， 所以， 在中，由正弦定理得, , 故（海里）， 所以求两点间的距离为60海里. 【小问2详解】 依题意得， 在中，由余弦定理得， 所以（海里）， 所以救搜船到达C处需要的时间为小时， 在中，由余弦定理得 , 因为， 所以， 所以该救援船前往营救渔船时的方向是南偏东﹒ 17. 在平行四边形ABCD中，，，，F是线段AD的中点，，． （1）若，AE与BF交于点N，，求的值； （2）求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，，以，为基底表示，结合平面向量基本定理列方程求，，由此可得，再求，，由此可得结论； （2）以，为基底表示，，再根据数量积运算律和数量积的定义求，结合二次函数性质求其最小值. 【小问1详解】 当时，，即为的中点， 因为三点共线， 设，则 ， 因为三点共线， 设，则， 又不共线， 根据平面向量基本定理得解得 所以，又，则 所以. 【小问2详解】 因为，， 所以 ， 因为，所以， 所以 ， 因为，所以当时，取得最小值，且最小值为. 18. 已知函数，对，有. （1）求的值及的单调递增区间； （2）在中，已知，，其面积为，求内角B的角平分线BD的长度； （3）将函数图象上的所有点，向右平移个单位后，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若，，求实数m的取值范围． 【答案】（1），单调递增区间为（） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，根据得到方程，求出，得到函数解析式，整体法得到函数单调性； （2）根据面积为得到，然后将由分成两个三角形，分利用等面积法列式计算即可； （3）根据伸缩和平移变换得到，令，故，令，从而得到，因为，所以当时，，所以，解出答案. 【小问1详解】 ， 因为对，有，可得当时，取得最值， 所以，， 可得，，又，所以， 所以， 由，，可得，， 所以的单调递增区间为（）. 【小问2详解】 因为，又，所以，所以， 所以，又，所以，所以， ，得. 【小问3详解】 将函数图象上的所有点，向右平移个单位后得到 函数的图象，进而可得， 令，， 只需， 令， 因为，所以，所以， 因为，可得， 所以， 因为，所以当时，， 所以，即，解得或. 所以实数的取值范围为或. 19. 设函数的定义域为，对于区间，若满足，恒有，则称函数在区间上的增长系数为．例如，若函数满足，恒有，则称函数在区间上的增长系数为1． （1）求函数，在上的增长系数； （2）若3和4都是函数在上的增长系数，求的取值范围； （3）若函数，在上的增长系数仅为，求的最小值及此时的取值范围． 【答案】（1）在上的增长系数为1；在上的增长系数为2； （2）； （3）的最小值为5；. 【解析】 【分析】（1）根据函数的单调性求出值域，结合增长系数的定义求解即可； （2）令，根据增长系数的定义得到，根据不等式求解即可； （3）根据函数的单调性求出值域，结合增长系数的定义得到，进而得到，根据不等式有解且求解即可. 【小问1详解】 因为函数在上单调递增， 当时，；当时，，所以， 而，所以函数在上的增长系数为1； 因为函数在上单调递增， 当时，；当时，，所以， 而，所以函数在上的增长系数为2； 【小问2详解】 ， 因为，令，则， 因为3和4都是函数在上的增长系数， 所以， 所以，即，整理得， 因为，所以，所以； 【小问3详解】 令，易知函数在上单调递增， 又在单调递增， 根据复合函数的单调性知函数在上单调递增， ，， 则， 因为函数在上的增长系数仅为， 所以， 则，即， 故， 由题设可得存在唯一的正整数， 且， 所以，解得，故，即的最小值为5， 此时且，即， 所以的最小值为5，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市第二中学2024学年第二学期期中考试 高一数学 命题：高一数学备课组 审校：高一数学备课组 2025年4月23日 木试卷共4页，19小题，满分为150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号.用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、座位号填写在答题卡上. 2．答选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的，答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后；只需将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 若复数z满足（其中是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 若平面向量，，若，则 A. B. C. 1或 D. 1或 3. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则的形状是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不确定的 4. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 设是定义域为的偶函数，且在上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知棱长为的正方体的中心为，若球的球面与该正方体的棱有公共点，则球的表面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数为函数的两个零点，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 8. 已知函数（，，）在区间上单调，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设复数在复平面内对应的点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若点Z的坐标为，且是关于的方程的一个根，则 C. 为纯虚数 D. 若，则点Z的集合所构成的图形的面积为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内 B. 正方体中，直线与是异面直线 C. 用斜二测画法画水平放置的边长为1的正三角形，它的直观图的面积是 D. 在平面外，其三边所在直线分别和交于，，，则，，一定共线 11. 如图，直线，点A是，之间的一个定点，点A到，的距离分别为1和2．点B是直线上一个动点，过点A作，交直线于点C，点G满足，则（ ） A. B. 面积的最小值是 C. D. 存在最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知某圆台的体积为，其上、下底面圆的面积之比为4∶9，周长之和为，则该圆台的高为______ 13. 若且，已知是上的单调函数，则实数a的取值范围为______． 14. “三角形内角嵌入不等式”是英国数学家约瑟夫·沃尔斯滕霍姆所提出的平面几何中的一个不等式，在不至于引起歧义的情况下简称“嵌入不等式”．该不等式指出，若A，B，C是的三个内角，则对任意实数、、，有：，不等式的取等条件为：存在实数k，使得，，．根据以上材料，在中，的最大值为______．此时，______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在高为2的正三棱柱中，，是棱上的点． （1）求该正三棱柱的表面积以及三棱锥的体积； （2）设E为棱的中点，F为棱上一点，求的最小值，此时的长度是多少？ 16. 如图，A，B是某海域位于南北方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东，B点南偏东的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距100海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为80海里/时. （1）求B，C两点间的距离； （2）该救援船前往营救渔船时应该沿南偏东多少度的方向航行？救援船到达C处需要多长时间？（参考数据：，角度精确到0.01） 17. 在平行四边形ABCD中，，，，F是线段AD的中点，，． （1）若，AE与BF交于点N，，求的值； （2）求的最小值． 18. 已知函数，对，有. （1）求的值及的单调递增区间； （2）在中，已知，，其面积为，求内角B的角平分线BD的长度； （3）将函数图象上的所有点，向右平移个单位后，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若，，求实数m的取值范围． 19. 设函数的定义域为，对于区间，若满足，恒有，则称函数在区间上的增长系数为．例如，若函数满足，恒有，则称函数在区间上的增长系数为1． （1）求函数，在上的增长系数； （2）若3和4都是函数在上的增长系数，求的取值范围； （3）若函数，在上的增长系数仅为，求的最小值及此时的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $