2.1认识有理数　讲义　2024—2025学年北师大版数学七年级上册

第二章  有理数及其运算

1认识有理数（讲义）         课时：2课时

亲爱的同学们，大家好！今天我们将一起走进有理数的世界，探索它的奥秘。有理数是数学中一个非常重要的概念，它在我们的生活中无处不在，从温度计上的温度变化到银行账户的存取款记录，从电梯的楼层显示到比赛的得分统计，都离不开有理数的身影。那么，有理数究竟是什么呢？它有哪些特点和分类呢？我们又该如何运用它来解决实际问题呢？接下来，让我们带着这些问题，一起开启今天的数学之旅。

一、情境引入

首先让我们来看一段短视频《天山南北的海拔之谜》。在这段视频中，我们可以看到吐鲁番盆地的海拔是 -155 米，而珠穆朗玛峰的海拔是 8848.86 米。那么，“-155 米”表示什么呢？它与“+8848.86 米”又有什么本质区别呢？其实，“-155 米”表示的是吐鲁番盆地比海平面低 155 米，而“+8848.86 米”表示的是珠穆朗玛峰比海平面高 8848.86 米。这里的“-”和“+”就是我们今天要学习的有理数中的负号和正号。在生活中，我们还有很多类似的场景会用到这种表示法。比如，电梯按钮上的“-1”表示地下一层，“+1”表示地上一层；银行存取款记录中，“-500”表示取出 500 元，“+500”表示存入 500 元；温度计上，“-5℃”表示零下 5 度，“+5℃”表示零上 5 度。那么，如果用数学符号来表示“零下 5 度”，我们应该怎么写呢？没错，就是“-5℃”。通过这个情境引入，我们初步感受到了有理数在生活中的应用，以及正负号所表示的意义。接下来，我们就要正式进入有理数的学习了。

 二、有理数的概念建构

有理数是一个非常庞大的家族，它包括了我们之前学过的整数和分数，以及今天新认识的负数。那么，如何定义有理数呢？我们可以这样理解：形如 （b≠0）或整数的数统称为有理数。这里，a 和 b 都是整数，b 不能为 0，因为除数不能为 0。例如，-、2、0、5 都是有理数。但是，像 π 这样的数就不是有理数，因为 π 是一个无限不循环小数，不能表示为两个整数的比值。同学们可以尝试回忆一下，我们在生活中遇到的数字，哪些是有理数，哪些不是有理数呢？现在，我们来进行一个小组活动。每个小组课前都准备了 5 个负数实例，比如股票涨跌、楼层表示、比赛得分等。请大家在小组内收集这些实例，并填写《有理数发现卡》。通过这个活动，我们希望能够从具体的生活实例中抽象出有理数的概念。在全班分享环节，我们会一起归纳总结有理数的定义，并对比辨析 π 与-的区别。通过这个过程，同学们能够更加深入地理解有理数的内涵。

 三、数轴的直观建构

数轴是一种非常直观的工具，可以帮助我们更好地理解有理数。现在，我们来看一个温度计模型。温度计上有 0℃这个分界点，当水银柱上升时，表示温度升高，对应正数；当水银柱下降时，表示温度降低，对应负数。我们可以把温度计想象成一条数轴，0℃就是数轴上的原点，正方向表示温度升高，负方向表示温度降低。接下来，我们来进行一个动态演示。假设现在温度是 -3℃，然后温度逐渐升高，直到达到 2℃。在这个过程中，我们可以看到温度计上的水银柱是如何移动的。同样地，在数轴上，我们也能够找到对应的点，并观察这些点是如何随着温度的变化而移动的。现在，请同学们拿出《数轴建构单》，我们来自主画轴。画数轴时，需要注意三个要素：正方向、原点和单位长度。首先，画一条直线，在直线上标出一个点作为原点，原点表示 0。然后，选择一个方向作为正方向，通常我们选择向右的方向。最后，确定单位长度，单位长度可以根据实际情况来确定，比如 1 厘米代表 1 个单位。现在，请大家在数轴上标出 -3（电梯下降 3 层）、0.5（半瓶矿泉水）、2（气温上升 2 度）这三个点。在画数轴的过程中，可能会出现一些典型错误。比如，有的同学可能会把单位长度画得不统一，有的同学可能会把负数标在原点的右侧。这些都是需要注意的地方。通过这个数轴建构环节，我希望能够建立起数轴的直观概念

四、巩固练习

同学们，现在我们来进行一些巩固练习，以加深对有理数和数轴的理解。首先，我们来看一个判断有理数的题目。判断以下数字是否为有理数：π、-1.2、0、。答案是：π 不是有理数，-1.2、0、 都是有理数。为什么 π 不是有理数呢？因为 π 是一个无限不循环小数，不能表示为两个整数的比值。接下来，我们来进行数轴作图练习。请在数轴上标出 -2.5（超市亏损 2.5 万元）和 +（家庭收入增加 1 又倍）。在作图过程中，要注意单位长度的选择和点的准确位置。我们还可以进行一些分层挑战。比如，拓展题：在数轴上表示 -1.5 和 +1.5，比较两点到原点的距离。这个题目可以为后续学习绝对值做铺垫。在展示典型作业时，我们可以对比不同同学的标法，看看单位长度选择的差异以及点的位置是否准确。通过这些巩固练习，同学们能够更加熟练地掌握有理数的判断和数轴作图的方法。

五、分类探讨

接下来我们来进行一个小组竞赛活动，主题是数字卡片分类。每个小组会发放 10 张数字卡片，这些卡片上包含整数、分数、正数、负数、零等各种类型的数字。我们的竞赛规则是：第一轮，按照整数和分数进行分类，限时 3 分钟；第二轮，按照正数、负数、零进行分类，