精品解析：广东省肇庆市封开县南丰中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

高二数学期中试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列0，，4，，…的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将已知数列各项变形，得数列，，，，…，根据各项的特征可得该数列的一个通项． 【详解】数列0，，4，，…，即数列，，，，…， 所以该数列的一个通项公式为， 故选：B. 2. 在等比数列中，，公比，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 直接根据等比数列的通项公式可求得结果. 【详解】由题知. 故选：B 3. 已知数列是等差数列，是其前n项和，，则（ ） A. 160 B. 253 C. 180 D. 190 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，求出等差数列的首项，再利用等差数列的前项和公式即可求出结果. 【详解】设数列的首项为，公差为， 因为，所以，解得， 所以， 故选：B. 4. 等差数列中，，求（ ） A. 45 B. 15 C. 18 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求出，再利用等差数列的性质可得结果 【详解】因为是等差数列，所以，解得， 所以， 故选：D 5. 已知函数，则函数的图象在点处的切线斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导，将代入求出的值即可. 【详解】由题设，则，故， 故在点处的切线斜率为. 故选：A 6. 已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如下图所示，则该函数的大致图象是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数与函数的单调性之间的关系及导数的几何意义即可做出判断. 【详解】因为的图像经过与两点，即，， 由导数的几何意义可知在与处的切线的斜率为，故选项AD错误； 由的图象知，在上恒成立，故在上单调递增， 又在上越来越大，在上越来越小， 所以在上增长速度越来越快，在上增长速度越来越慢，故选项C错误，因此选项B正确. 故选：B. 7. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上两人与下三人等，问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊所得之和相同，且是甲、乙、丙、丁、戊所得以此为等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种重量单位），这个问题中戊所得为（ ） A. 钱 B. 钱 C. 钱 D. 钱 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意将实际问题转化为等差数列的问题即可解决． 【详解】解：由题意，可设甲、乙、丙、丁、戊五人分得的钱分别为，，，，． 则，，，，成等差数列，设公差为． ， ． 整理上面两个算式，得： ， 解得， ． 故选：． 8. 已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，易知在区间上单调递增，由在区间上有最小值，可得，即可求解. 【详解】由题意得， 易知在区间上单调递增， 若在区间上有最小值， 则，即，解得. 这时存在，使得在上单调递减，在上单调递增， 即函数在上有极小值，也是最小值， 所以的取值范围是. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知函数，则过点且与曲线相切的直线方程可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】设切点坐标，利用导数求得切线方程，代入已知点的坐标，求解切点横坐标，则答案可求. 【详解】由，得， 设切点坐标为，则， 则过切点的切线方程为， 把点代入，可得， 整理得：，即或. 当时，切线方程为; 当时，切线方程为. 故选：BC. 10. 已知正项等比数列的公比为，若，且，则（ ） A. B. C. 是数列中的项 D. 成等差数列 【答案】BC 【解析】 【分析】由，求得公比，进而确定通项公式，再逐项判断即可. 【详解】由，可得， 所以，A错误‘ 所以，B正确； 所以， ，故C正确； 由，可得，显然不是等差数列，D错误； 故选：BC 11. 已知函数及其导函数的定义域都为，对于任意的，都有成立，则下列说法正确的是（ ）． A. B. 若，则 C. 为偶函数 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意运用特殊值检验方法，排除法即可解决. 【详解】令，则，解得或，故A错误； 令，，所以， 令，，则，解得，故B正确； 当时，令，则有， 所以，， 当，令，则有， 所以，所以，所以为奇函数， 综上，为奇函数，故C错误； 令，则， 所以，故D正确． 故选：BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 有4名男生、4名女生，全体排成一排，男生互不相邻，求不同的排列方法总数. __________. 【答案】 【解析】 【分析】先排女生，再将男生插入到空位中可得. 【详解】先将女生排成一排，有种，再将男生插入到5个空位中，有种， 由分步乘法计数原理可得，不同的排列方法总数为种. 故答案为： 13. 函数的极小值是______. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，进而求出极小值. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由，得；由，得或， 因此当时，取得极大值，当时，取得极小值， 所以函数的极小值为. 故答案为： 14. 设为等差数列的前项和，若公差，且，则当取最大值时，的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由可得，则得，再由，可得当取最大值时的值. 【详解】等差数列中， ∵，∴，解得， 则 ， 因为，所以当取最大值时，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知等差数列的通项公式为，求公差和首项； （2）求等差数列8，5，2…的第20项及前项和. 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）由通项公式代入可得，再利用可得； （2）已知该数列为等差数列，故易得，，利用，即可得到答案. 【详解】（1）解：因为为等差数列，由等差数列的概念可知， ，. （2）解：已知该数列为等差数列，则有 ，， 故通项公式为，， 前项和. 16. 已知函数图象在点处切线斜率为，且时，有极值. （1）求的解析式； （2）求函数极值. 【答案】（1） （2）极大值为8，极小值为． 【解析】 【分析】（1）利用题给条件列出关于的方程组，解之即可求得的值，进而得到的解析式； （2）利用导数先求得函数的单调性，进而得到函数极值. 【小问1详解】 由题意可得，． 由，解之得 经检验得时，有极大值． 所以． 【小问2详解】 由（1）知，． 令，得， 的值随的变化情况如下表： 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 函数值 8 由表可知的极大值为8，极小值为． 17. 在递增的等比数列中，，且是和的等差中项. （1）求的通项公式； （2）若求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件求出，结合可得公比，由此计算可得数列的通项公式. （2）利用分组求和法可得. 【小问1详解】 ∵是和的等差中项，∴， ∵，∴，解得，故. 设等比数列的公比为，则，解得或（舍）， ∴， ∴. 【小问2详解】 由（1）得， ∴ . 18. 函数. （1）求函数在处的切线方程; （2）求出方程的解的个数. 【答案】（1） （2）当时，方程的解为0个当或时，方程的解为1个当时，方程的解为2个 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，得到切点处切线的斜率，得到切线方程； （2）作出函数图像，由函数图像与直线交点个数确定方程解的个数. 【小问1详解】 定义域为：， ∵ ∴ ∴切线方程为：. 【小问2详解】 方程解的个数等价于于的交点个数. 所以在上递减，在上递增， 且时,, 作出与的图象， 由图可知当时，方程的解为0个 当或时，方程的解为1个 当时，方程的解为2个 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若函数恰有两个极值点、.求的取值范围. 【答案】（1） 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）由函数求导，根据导数与零的大小关系，结合分类讨论思想，可得答案； （2）根据极值点的必要条件，可得导数的零点个数，根据二次函数的性质，可得答案. 【小问1详解】 由且，求导可得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，令，， 当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 综上可得， 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由，求导可得， 由函数在定义域上存在两个极值点，则方程存在两个不相等的正根， 令，所以，解得， 即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学期中试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列0，，4，，…的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 2. 在等比数列中，，公比，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 已知数列是等差数列，是其前n项和，，则（ ） A. 160 B. 253 C. 180 D. 190 4. 等差数列中，，求（ ） A. 45 B. 15 C. 18 D. 36 5. 已知函数，则函数的图象在点处的切线斜率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如下图所示，则该函数的大致图象是（    ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上两人与下三人等，问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊所得之和相同，且是甲、乙、丙、丁、戊所得以此为等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种重量单位），这个问题中戊所得为（ ） A. 钱 B. 钱 C. 钱 D. 钱 8. 已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知函数，则过点且与曲线相切的直线方程可以为（ ） A. B. C. D. 10. 已知正项等比数列的公比为，若，且，则（ ） A. B. C. 是数列中的项 D. 成等差数列 11. 已知函数及其导函数的定义域都为，对于任意的，都有成立，则下列说法正确的是（ ）． A. B. 若，则 C. 为偶函数 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 有4名男生、4名女生，全体排成一排，男生互不相邻，求不同的排列方法总数. __________. 13. 函数的极小值是______. 14. 设为等差数列的前项和，若公差，且，则当取最大值时，的值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知等差数列的通项公式为，求公差和首项； （2）求等差数列8，5，2…的第20项及前项和. 16. 已知函数图象在点处切线斜率为，且时，有极值. （1）求的解析式； （2）求函数极值. 17. 在递增的等比数列中，，且是和的等差中项. （1）求的通项公式； （2）若求数列的前项和. 18. 函数. （1）求函数在处的切线方程; （2）求出方程的解的个数. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若函数恰有两个极值点、.求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $