2025年湖南省长沙市长沙雅礼教育集团九年级第一次模拟考试数学试题

第 1 页 共 6 页 2025 年上学期九年级一模检测答案 数学 科目 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D B B D C A B C 二．填空题 11. （3a+1）（3a﹣1） 12. x≠2 13. 6 1 14. 4π 15. ﹣4 16. 甲，12 三．解答题 17.解：原式＝1+2+ 3-2- 3 ............................................4 分 ＝1 ............................................6 分 18.解：（1+ 1 x−1 ）• x2−1 x = x−1+1 x−1 • x2−1 x = x x−1 • (x+1)(x−1) x ＝x+1，.................4 分 当 x= 5-1 时，原式= 5-1+1= 5．...................................6 分 19.解：（1）过点 B 作 BD⊥AC，垂足为 D， 在 Rt△ABD 中，∠BAD＝60°，AB＝4 千米， ∴BD＝AB•sin60°＝6 × 3 2 = 3 3（千米）， ∴点 B 到 AC 的距离为 3 3千米；......................................3 分 （2）在 Rt△ABD 中，∠BAD＝60°，AB＝6 千米， ∴AD＝AB•cos60°＝6× 1 2 =3（千米）， 在 Rt△BCD 中，∠CBD＝90°﹣45°＝45°，BD＝3 3千米， ∴CD＝BD•tan45°＝3 3（千米）， ∴AC＝AD+CD＝（3+3 3）千米， ∴AC 的长度为（3+3 3）千米．.......................................6 分 20.解:（1）证明：连接 OD， 在△OBD 和△OBC 中， BD = BC OD = OC OB = OB ，∴△OBD≌△OBC（SSS）， ∴∠ODB＝∠OCD＝90°，∴OD⊥AB， ∵OD 是⊙O 的半径，∴AB 是⊙O 的切线；..............................4 分 （2）解：设⊙O的半径为 R， 在 Rt△OAD 中，sinA= OA OD = 2 1 ，AE＝1，∴ 2 1 1R R   , 解得 R＝1，∴OD＝1，∠AOD＝60°，∴∠COD＝120°， 第 2 页 共 6 页 由（1）知△OBD≌△OBC，∴∠BOD＝∠BOC= 1 2 ∠COD＝60°， ∴CF的长= 60π⋅1 180 = π 3 ．............................................8 分 21.解：（1）这次调查的样本容量是：25÷25%＝100， D 组的人数为：100﹣10﹣20﹣25﹣5＝40， 故答案为：100；补全的条形统计图如图所示：........................2 分 （2）在扇形统计图中，B组的圆心角是：360°× 20 100 =72°，...........4 分 ∵本次调查了 100 个数据，第 50 个数据和 51 个数据都在 C 组， ∴中位数落在 C 组， ......................6 分 故答案为：72，C； （3）1800× 100−5 100 =1710（人）， ......................8 分 答：估计该校每天完成书面作业不超过 90 分钟的学生有 1710 人． 22.解：（1）设甲种书的单价是 x 元，乙种书的单价是 y 元， 根据题意得： 2x + y = 100 3x + 2y = 165， 解得： x = 35 y = 30． 答：甲种书的单价是 35 元，乙种书的单价是 30 元；.....................4 分 （2）设该校购买甲种书 m本，则购买乙种书（100﹣m）本， 根据题意得：35m+30（100﹣m）≤3200， 解得：m≤40， ∴m的最大值为 40． 答：该校最多可以购买甲种书 40 本． .......................9 分 23.解：（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴BO＝DO， 又∵BD⊥AC，垂足为 O，∴AC 是 BD 的垂直平分线，∴AB＝AD， ∴▱ ABCD 是菱形． .......................3 分 （2）①证明：∵▱ ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，AC＝16，BD＝12， ∴AO＝CO= 1 2 AC＝8，DO= 1 2 BD＝6，又∵AD＝10， ∴在三角形 AOD 中，AD 2 ＝AO 2 +DO 2 ，∴∠AOD＝90°，即 BD⊥AC， ∴▱ ABCD 是菱形； .......................6 分 第 3 页 共 6 页 ②解：如图，设 CD 的中点为 G，连接 OG， ∴OG 是△ACD 的中位线，∴OG= 1 2 AD=5， 由①知：四边形 ABCD 是菱形， ∴∠ACD＝∠ACB， 又∵∠E= 1 2 ∠ACD，∴∠E= 1 2 ∠ACB， 又∵∠ACB＝∠E+∠COE，∴∠E＝∠COE，∴CE＝CO＝8， ∵OG 是△ACD 的中位线， ∴OG∥AD∥BE，∴∠OGF＝∠ECF，∠GOF＝∠CEF，∴△OGF∽△ECF，∴ OF EF = OG CE ， 又∵OG= 5，CE＝8，∴OF EF = 5 8 ． .......................9 分 24．解：（1）根据题意得 11 2 x x   ，解得 2 3 x  ，  2 11 3 3 y     直线 1y x  上的“ 1 2  倍点”的坐标为 2 1( , ) 3 3  ； .......................3 分 （2） a b c  ， 0a b c   ， 0a  ， 0c  ， b a c   ， 由 2 (2 1)ax b x c x    ，得 2 2 0ax bx c   ， 1 2 2bx x a     ， 1 2 cx x a  ， 2 1 2 1 2( )d x x x x     2 1 2 1 2( ) 4x x x x  22( ) 4b c a a     22 ( )b c a a   22 ( )a c c a a     22 (1 )c c a a    22 ( ) 1c c a a    2 1 32 ( ) 2 4 c a    ， a b c  ，b a c   ，  a a c   ， a c c   ， 又 0a  ， 12 2 c a     ，  3 2 3d  ； .......................6 分 （3） 2 22 1 ( 1) 2y x x x      ， 抛物线 2 2 1y x x  的顶点坐标为 (1， 2) ， (1 ， 2) 关于直线 y n 的对称点为 (1， 2 2)n  ， x m  时， 2( 1) 2 2y x n     ， 2 2 2 1 ( ) ( 1) 2 2 ( ) x x x m y x n x m             ． 第 4 页 共 6 页 ①当 1m   时，若图象 N与直线 2y x  相交， 2 2 1 2x x x     ， 1x   或 1x  ， 由于 x m ，它们均不符合题意，舍去． 方程 2( 1) 2 2 2x n x      最多有两个实数根， 图象 N最多有两个“ 2 倍点”，不可能存在三个“ 2 倍点”． ②当 1 1m   时， 2 2 1 2x x x    ， 1x   或 1x  （不合题意，舍去）， ( 1A  ， 2)． 2( 1) 2 2 2x n x      2 2 5x n    ， 1 2 3x x x  ， 2 2 2 5x n    ， 3 2 2 5x n   ． 如图 1，过点 A作 AF ∥ x轴，过点 B作 BD AF 于点 D，过 点C作CE AF 于点 E， 则 BD∥CE ，△ ABD∽△ ACE，  2 5 AD AB AE AC   ，即 2 2 5 1 2 2 55 1 2n n        ， 82 49 n   ， 经检验， 2 49 8n   是原方程的根，  2 822 1 49 m m    ， 1 11 7 m  （不合题意，舍去）， 2 3 7 m  ． ③当 1m  时， 抛物线 2 2 1y x x  的顶点坐标 (1， 2) 在直线 2y x  上， ( 1A  ， 2)， (1B ， 2) ． 如图 2，过点 A作 AF ∥ x轴，过点 B作 BD AF 于点 D，过点C作 CE AF 于点 E， 则 BD∥CE ，△ ABD∽△ ACE，  2 5 AD AB AE AC   ，即 1 2 5 1 52 21 n      ， 1 2 n  ， 第 5 页 共 6 页  2 12 1 2 m m    ， 1 61 2 m   ， 2 61 2 m   （不合题意，舍去）． 综上，m的值为 3 7 或 61 2  ． .......................10 分 25.解：（1）∵点 E 为△ABC 的内心， ∴ AD 平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵CD = CD， ∴∠CBD＝∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAD=∠CBD＝35°， ∴∠BAC＝2∠BAD＝70°， .......................3 分 （2）∵点 E 为△ABC 的内心， ∴BE 平分∠ABC，AE 平分∠BAC， 设∠ABE＝∠CBE＝α，∠BAE＝∠CAE＝β,∴∠CBD=β, ∴∠EBD＝∠CBD+∠EBC＝α+β，∠BED＝∠ABE+∠BAE＝α+β， ∴∠EBD＝∠BED， ∴BD＝ED， 设 DF＝x， ∵AE＝3，EF＝2， ∴BD＝ED＝DF+EF＝x+2， ∴AD＝AE+ED＝x+5， ∵∠DBF＝∠DAB，∠BDF＝∠ADB， ∴△DBF∽△DAB， ∴ DB DF DA DB  ， ∴ DFDADB 2 ， ∴（x+2） 2 ＝x（x+5）， ∴x＝4，∴BD＝ED＝x+2=6． .......................6 分 （3）如图，连接 OB，过点 O 作 OM⊥BC 于点 M， ∴BM＝CM＝ BC＝ × ＝2 ， ∵OB＝4， ∴OM＝ ＝2，DM＝4-2=2， ∴   4322 22 BD ， 由（2）得，当 BE 平分∠ABC，AE 平分∠BAC 时， 有 BD＝ED，∴ 4 BDDE ， 作 OH⊥AD，连接 OA，OE， 在 Rt△OHA 中，OH 2 ＝16﹣AH 2 ， 在 Rt△OHE 中，OH 2 ＝x 2 ﹣HE 2 ， 第 6 页 共 6 页 ∴x 2 ＝16﹣AH 2 +HE 2 ， ∵AH＝DH，DE＝4， ∴x 2 ＝16﹣（AH+HE）（AH﹣HE）， =16﹣（DH+HE）（AH﹣HE）， 即 x 2 ＝16﹣4y， ∴ 4 4 1 2  xy ． ∵ 44 4 1 2  xy ， ∴y的最大值是 4，即 AE 的最大值为 4． .......................10 分