精品解析：广东省江门市鹤山市纪元中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

纪元中学2024-2025学年度第二学期期中考试 高一数学科试卷 考试时长：120分钟 命题人：阳年春 审题人：欧中益 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在中，已知，，，则角的值为（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理得到值，再根据得到，即可求解． 【详解】，，， 又，且， ，则角的值为． 故选：B. 2. 已知复数满足：，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的四则运算计算即得. 【详解】由可得. 故选：A. 3. 已知角的终边上一点P的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，再根据两角和的正切公式即可得解. 【详解】由题意，得， 则. 故选：C. 4. 下列函数中，在上递增，且周期为的偶函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三角函数的单调性、奇偶性、周期性逐一判断即可. 【详解】对于A，是奇函数，故A错误； 对于B，为偶函数，最小正周期，但其在上单调递减，故B错误； 对于C，是奇函数，故C错误； 对于D，， 则的定义域为，，故为偶函数， 且时，函数在上单调递增， 又的图象是由将轴下方的图象关于轴对称上去，轴及上方部分不变， 又的最小正周期为，所以的最小正周期，故D正确； 故选：D 5. 如果是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合单位向量的方向、长度以及数量积的定义进行判断. 【详解】对于A，是两个单位向量，长度都是1，但方向不一定相同，故A错误； 对于B、C,因为是两个单位向量，所以，则，故B正确，C错误； 对于D，，所以，故D错误. 故选：B. 6. 在中，，，若点满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得，进一步化简可得. 【详解】，， . 故选：C. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由同角三角函数的商式与正弦函数的和角公式，根据方程思想，利用正弦函数的差角公式，可得答案. 【详解】由，得，即， 由，得，故， 则. 故选：B. 8. 勒洛三角形是一种定宽曲线，它是德国机械工程专家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形的边长为4，则勒洛三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用扇形的面积公式求出三个扇形面积，再减去两个的面积即可. 【详解】因为正三角形的边长为4，所以任意一个扇形的面积为， 又因为是正三角形，易得高， 则， 所以勒洛三角形的面积. 故选：D 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的虚部是 C. 在复平面内，所对应的点在第四象限 D. 在复数范围内，是方程的根 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：求共轭复数和模长公式分析判断即可；对于B：可得，即可判断虚部；对于C：葛奴据复数的几何意义分析判断；对于D：解方程即可判断. 【详解】因为复数，可知， 对于选项A：因为， 所以，故A正确； 对于选项B：的虚部是，故B错误； 对于选项C：所对应的点为，在第四象限，故C正确； 对于选项D：因为，则，解得， 所以是方程的根，故D正确； 故选：ACD. 10. 设向量，则（ ） A. B. 与的夹角是 C. D. 向量在向量上的投影向量是 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：根据向量的坐标运算求解；对于B：根据向量的夹角公式运算求解；对于C：可求，即可判断；对于D：根据投影向量的定义运算求解. 【详解】对于选项A：因为，则， 即，故A错误； 对于选项B：可得， 且，则，所以与的夹角是，故B正确； 对于选项C：因为，所以，故C正确； 对于选项D：向量在向量上的投影向量是，故D错误； 故选：BC. 11. 已知函数和，则（ ） A. 和的最小正周期相同 B. 和在区间上的单调性相同 C. 的图象向右平移个单位长度得到的图象 D. 和的图象关于直线对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的单调性，对称性，周期性及函数的平移变换分别判断个选项. 【详解】对于A：和的最小正周期均为，选项A正确； 对于B：当时，，所以单调递增， 当时，，所以单调递增，选项B正确； 对于C：的图象向右平移个单位长度所得函数为，选项C错误； 对于D：，选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若与垂直，则正数m的值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】先求，根据向量垂直的坐标表示运算求解即可. 【详解】因为，则， 若与垂直，则，解得， 所以正数m的值为1. 故答案为：1. 13. 已知，则__________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意利用结合齐次式问题运算求解即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 14. 已知函数的部分图象如图所示，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据图象结合五点法求，即可得，代入运算求解即可. 【详解】由图易知， 函数的最小正周期T满足：，得到， 且，则，解得，可得， 又因为函数图象经过点， 则，解得， 可得， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，且与的夹角为60°. （1）求的值 （2）求的值； （3）若向量与平行，求实数的值． 【答案】（1）60 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由平面向量数量积的运算法则及向量模的计算式求值即可； （2）根据平面向量数量积的定义，运算法则及向量模的计算式求值即可； （3）由平面向量共线定理及平面向量基本定理列出方程组求解即可. 【小问1详解】 因为，， 所以. 【小问2详解】 因为，，且与的夹角为60°， 所以， 所以， 所以. 【小问3详解】 因为向量与平行，所以， 由平面向量基本定理可得， 解得或， 所以的值为. 16. 已知，且． （1）求的值； （2）已知，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由同角三角函数的基本关系求得，再利用诱导公式化简所求式子，将代入计算即可； （2）结合角的范围利用同角三角函数的基本关系求出，再利用两角差的余弦公式求解即可. 【小问1详解】 因为，且，所以， 所以． 【小问2详解】 因为，，所以， 又，所以， 由（1）知，，， 所以 . 17. 如图，甲船在距离A 港口24海里并在南偏西20°方向的C 处驻留等候进港，乙船在 A 港口南偏东40°方向的B 处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为31海里. （1）求∠ABC 的正弦值； （2）当乙船行驶20海里到达D 处时，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，求此时甲乙两船之间的距离. 【答案】（1） （2）海里 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理求∠ABC 的正弦值； （2）应用余弦定理求甲乙两船之间的距离. 【小问1详解】 由题设，，，， 在△中，，则； 【小问2详解】 由题意，，由（1）及题图知：为锐角，则， 由， 所以海里. 18. 函数， （1）把的单调减区间 （2）求在区间上的最大值和最小值及取最值时相应x的值 （3）把图象上所有点的横坐标变为原来的2倍得到函数的图象，再把函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数在区间上至少有20个零点，求m的最小值． 【答案】（1） （2）当时，最小值为-2；当时，最大值为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数单调性求出减区间. （2）利用正弦函数的最值求解. （3）通过图象变换求出，再求出零点，进而求出m的最小值. 【小问1详解】 依题意，函数， 由，得， 所以的减区间为. 【小问2详解】 由（1）知，，则， 则当，即时，函数取得最小值； 当，即时，函数取得最大值. 【小问3详解】 把图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数， 再把函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得， 则函数，令，即，即， 解得或， 要使得函数区间上至少有20个零点，则满足， 所以实数m的最小值为. 19. 在锐角中，是角的对边，若满足. （1）求角的大小； （2）求取值范围； （3）当取得最大值时，在所在平面内取一点（与在两侧），使得线段，求面积的最大值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换可得，即可得结果； （2）利用三角恒等变换可得，结合角A的取值范围以及正弦函数有界性分析求解； （3）分析可知为等边三角形，令，利用正、余弦定理可得，，结合面积公式运算求解即可. 【小问1详解】 由，由正弦定理可得， 因为，则， 可得，即， 又因为，则，可得，即， 且，所以. 【小问2详解】 在锐角中，由（1）得，则， 可得，解得， 可得 ， 由，得， 则，即， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）知，当取得最大值时，，即， 且，可知为等边三角形， 在中，令， 由正弦定理可得，则， 由余弦定理可得， 则， 所以， 所以 ， 且，故当时等号成立，所以面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 纪元中学2024-2025学年度第二学期期中考试 高一数学科试卷 考试时长：120分钟 命题人：阳年春 审题人：欧中益 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在中，已知，，，则角的值为（ ） A. 或 B. C. D. 或 2. 已知复数满足：，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知角的终边上一点P的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 3 4. 下列函数中，在上递增，且周期为的偶函数是（ ） A. B. C. D. 5. 如果是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，若点满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 勒洛三角形是一种定宽曲线，它是德国机械工程专家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形的边长为4，则勒洛三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的虚部是 C. 在复平面内，所对应的点在第四象限 D. 在复数范围内，是方程的根 10. 设向量，则（ ） A. B. 与的夹角是 C. D. 向量在向量上的投影向量是 11. 已知函数和，则（ ） A. 和的最小正周期相同 B. 和在区间上的单调性相同 C. 的图象向右平移个单位长度得到的图象 D. 和的图象关于直线对称 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若与垂直，则正数m的值为__________． 13. 已知，则__________ 14. 已知函数的部分图象如图所示，则__________ 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，且与的夹角为60°. （1）求的值 （2）求的值； （3）若向量与平行，求实数的值． 16. 已知，且． （1）求的值； （2）已知，且，求的值． 17. 如图，甲船在距离A 港口24海里并在南偏西20°方向的C 处驻留等候进港，乙船在 A 港口南偏东40°方向的B 处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为31海里. （1）求∠ABC 的正弦值； （2）当乙船行驶20海里到达D 处时，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，求此时甲乙两船之间的距离. 18. 函数， （1）把的单调减区间 （2）求在区间上的最大值和最小值及取最值时相应x的值 （3）把图象上所有点的横坐标变为原来的2倍得到函数的图象，再把函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数在区间上至少有20个零点，求m的最小值． 19. 在锐角中，是角的对边，若满足. （1）求角的大小； （2）求取值范围； （3）当取得最大值时，在所在平面内取一点（与在两侧），使得线段，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $