临考押题卷02（天津专用）-2025年中考数学冲刺抢押秘籍（天津专用）

临考押题卷02（天津专用） 数 学 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答客观题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 2．下列无理数中，大小在3与4之间的是（    ） A． B． C． D． 3．下图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（   ） A． B． C． D． 4．据2025年4月2日《天津日报》报道，2025年第一季度，天津轨道交通日均客运量约为1697200人次，较2024年同期增长约．将数据1697200用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 5．剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 6．的值等于（　　） A．1 B．2 C． D． 7．计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 8．已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 9．在古代建筑中，榫（sǔn）卯（mǎo）结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固且难以松动．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多千克．已知用30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同．设制作1个榫需要的木材为x千克，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在等腰中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等)，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点D，作射线交于点E，F为边上一点，连接，若，，则的长为（    ） A．3 B． C．2 D． 11．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为，连接交于点，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 12．如图，要用篱笆围成一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不超过，分别为边的中点，将其分成面积相等的两部分，在上分别留出两个宽为的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是，有下列结论： ①的长可以是； ②当矩形菜园的面积为时，的长为； ③当矩形菜园的面积最大时，的长为． 其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 13．不透明袋子中装有9个球，其中有4个红球、2个黑球和3个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 ． 14．计算的结果等于 ． 15．计算的结果为 . 16．若一次函数（b为常数）的图象不经过第一象限，则b的值可以是 （写出一个即可）． 17．如图，E是正方形对角线上一点，过点E作的垂线，交于点F，以，为边作矩形，连接， （1）的长为 ； （2）若，则的长为 ． 18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，三角形内接于圆，且顶点A，B均在格点上． （1）线段的长为 ； （2）若点D在圆上，在上有一点P，满足． 请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 三、解答题（本大题共7题，第19-20每题8分，第21-25每题10分，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得 (2)解不等式②，得 (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______． 20．为了解某校学生本学期参加志愿服务的次数，随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空：的值为______，图①中的值为_______，统计的这组学生本学期参加志愿服务的次数数据的众数和中位数分别为______和______； (2)求统计的这组学生本学期参加志愿服务的次数数据的平均数； (3)根据样本数据，若该校共有学生1200人，学校为本学期参加志愿服务不少于7次的学生颁发“志愿者勋章”，估计该校获“志愿者勋章”的学生人数． 21．如图，为的切线，为切点，是上一点，过点作，垂足为，交于点．    (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，连接并延长交于点，连接，，若，的半径为，求的长． 22．如图1是某商场的入口，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，如图2是它的示意图，点P、A、C在同一水平线上，经过测量，支架的立柱与地面垂直（），米，支撑杆于点E，且，从点B观测点D的仰角为，又测得米．（参考数据：，，） (1)求该支架的边的长； (2)求支架的边的顶端点D到地面的距离．（结果精确到0.1米） 23．已知甲、乙、丙三地依次在同一条直线上，乙地距离甲地，丙地离甲地，一艘游轮从甲地出发，先用了匀速航行到乙地；从乙地驶出后接着匀速航行了到丙地；从丙地进行休整后，返航回甲地．在返航途中，因天气影响匀速航行了后减速，继续匀速航行回到甲地．下面图中x表示时间，y表示游轮离甲地的距离．图象反映了这个过程中游轮离甲地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息解答下列问题： (1)①填表： 游轮离开甲地的时间/ 10 15 20 58 游轮离开甲地的距离/ ______ 280 ______ ______ ②填空：游轮从乙地到丙地的速度为______； ③当时，请直接写出游轮离甲地的距离y关于时间x的函数解析式； (2)当游轮到达乙地时，一艘货轮从甲地出发匀速航行去丙地，已知货轮的速度为，求货轮追上游轮时离甲地的距离是多少？（直接写出结果即可）． 24．在平面直角坐标系中，为原点，四边形是平行四边形，，，点，矩形的顶点，点，点在第二象限． (1)如图①，点的坐标为____________，点的坐标为____________； (2)将矩形沿轴平移，得到矩形，点的对应点分别为．设，矩形与重叠部分面积为． ①如图②，当交于点，分别交于点，且重叠部分是五边形，试用含的式子表示，并直接写出的范围； ②当时，求的范围（直接写出结果即可）． 25．已知抛物线 与x轴相交于A，B两点 (点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，过抛物线的顶点 D作 轴于点M，点 N在y轴正半轴上， ，点P在抛物线上，过点P作x轴垂线，交x轴于点E，交直线MN于点 F． (1)若 ； ①求抛物线顶点D和点A的坐标； ②若点P在第一象限，过点P作垂直直线于点H， ，求点E的坐标； (2)若，点P与点C关于抛物线的对称轴对称，射线交直线于点 G， 当时，求顶点D的坐标． 30 / 30 学科网（北京）股份有限公司 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【知识点】中心对称图形的识别、轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形、中心对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形；如果把一个图形绕某一点旋转后能与自身重合，这个图形是中心对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合要求； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合要求； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求； 故选：A． 6．的值等于（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值混合运算．代入特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解：， 故选：B 7．计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题主要考查异分母分式加减法，原式先通分变为同分母分式，再根据同分母分式加减法法则进行计算即可． 【详解】解： , 故选：D． 8．已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质等知识点，掌握反比例函数的性质成为解题的关键． 根据反比例函数性质可得反比例函数图像分布在二、四象限，在每一个象限y随x的增大而增大，据此即可解答． 【详解】解：，， ∴反比例函数图像分布在二、四象限，在每一个象限y随x的增大而增大， ，， ，， ． 故选：A． 9．在古代建筑中，榫（sǔn）卯（mǎo）结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固且难以松动．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多千克．已知用30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同．设制作1个榫需要的木材为x千克，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查的是分式方程的应用，设制作1个榫需要的木材为x千克，则每个卯需要的木材为千克，结合30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同，再建立方程即可． 【详解】解：设制作1个榫需要的木材为x千克，则每个卯需要的木材为千克，则 ， 故选：A 10．如图，在等腰中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等)，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点D，作射线交于点E，F为边上一点，连接，若，，则的长为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、根据三线合一证明、作角平分线(尺规作图)、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】先根据作图痕迹得到平分，根据等腰三角形的三线合一性质得到，，再利用勾股定理求得，再根据直角三角形斜边中线性质求解即可． 【详解】解：根据作图痕迹得到平分， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查基本作图作角平分线、等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边中线性质，熟练掌握相关知识的联系与运用，得到平分且垂直平分是解答的关键． 11．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为，连接交于点，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等三角形的性质、三角形内角和定理的应用、根据旋转的性质求解、等边三角形的判定和性质 【分析】根据三角形旋转的性质，结合三角形内角和定理、等边三角形的判定与性质等知识来分析每个选项． 【详解】解：由旋转可知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，A正确． ∵， ∴与不平行，D错误． ∴， ∴与不垂直，B错误． ∵， ∴， ∴，C错误． 故选：A． 【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定、三角形内角和定理． 12．如图，要用篱笆围成一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不超过，分别为边的中点，将其分成面积相等的两部分，在上分别留出两个宽为的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是，有下列结论： ①的长可以是； ②当矩形菜园的面积为时，的长为； ③当矩形菜园的面积最大时，的长为． 其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、图形问题(实际问题与二次函数)、用一元一次不等式解决几何问题 【分析】本题考查了不等式的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，由题意可得，，即得，可得，得到，即可判断①；设，则，可得，利用一元二次方程及二次函数的性质可判断②和③，进而即可求解． 【详解】解：①∵四边形是矩形，分别为边的中点， ∴，， ∵篱笆的长度是， ∴， ∴， ∵的长不超过， ∴， ∴， ∴的长可以是，故①正确； ②设，则， ∴， 当时，解得，， ∵， ∴， ∴的长为，故②错误； ③∵， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当，即的长为时，矩形菜园的面积最大，故③正确； 综上，正确结论有个， 故选：． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 13．不透明袋子中装有9个球，其中有4个红球、2个黑球和3个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 ． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率等于事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数成为解题的关键． 用红球的个数除以球的总个数即可解答． 【详解】解：从袋子中随机取出1个球，共有9种等可能结果，其中摸到的是红球的有4种结果， 所以从袋子中随机取出1个球，它是红球的概率为． 故答案为：． 14．计算的结果等于 ． 【答案】/ 【知识点】积的乘方运算、计算单项式乘单项式 【分析】利用单项式乘单项式以及积的乘方的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 15．计算的结果为 . 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】根据平方差公式计算即可； 【详解】原式； 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，准确利用公式计算是解题的关键． 16．若一次函数（b为常数）的图象不经过第一象限，则b的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键． 根据一次函数的图象可知即可． 【详解】解：∵一次函数（b为常数）的图象不经过第一象限， ∴， 可取， 故答案为：（答案不唯一，满足即可）． 17．如图，E是正方形对角线上一点，过点E作的垂线，交于点F，以，为边作矩形，连接， （1）的长为 ； （2）若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用矩形的性质证明、根据正方形的性质与判定证明、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理． （1）如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，利用正方形的性质，证明，根据矩形的性质易得，即可证得，得到，进而证得矩形是正方形，再根据正方形性质证得，，，然后由全等三角形判定（边角边）可证得，即可得到，解题关键是合理添加辅助线构造全等三角形，找到对应边的关系； （2）如图，过点作，垂足为，由正方形性质易得是等腰直角三角形，求得，再根据，得，然后根据勾股定理得，计算即可得出答案，解题关键是合理添加辅助线构造直角三角形，并利用勾股定理解三角形． 【详解】解：（1）如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 四边形是正方形， ，， ， ， ，，，四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 矩形是正方形， ， ， 又， ， ， 故答案为：； （2）如图，过点作，垂足为， 四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ， 故答案为． 18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，三角形内接于圆，且顶点A，B均在格点上． （1）线段的长为 ； （2）若点D在圆上，在上有一点P，满足． 请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 图见解析；连接与网格线相交于点F，取与网格线的交点E，连接并延长与网格线相交于点G，连接并延长与圆相交于点P．则点P即为所求． 【知识点】勾股定理与网格问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、相似三角形的判定与性质综合、利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】（1）由勾股定理即可求得线段的长； （2）连接与网格线相交于点F，取与网格线的交点E，连接并延长与网格线相交于点G，连接并延长与圆相交于点P．则点P即为所求．分别证明及，则可得，即有． 【详解】（1）、解：由勾股定理得：， 故答案为：； （2）解：连接与网格线相交于点F，取与网格线的交点E，连接并延长与网格线相交于点G，连接并延长与圆相交于点P．则点P即为所求． ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，无刻度直尺作图，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，夹在两平行弦间的弧长相等等知识． 三、解答题（本大题共7题，第19-20每题8分，第21-25每题10分，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得 (2)解不等式②，得 (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______． 【答案】(1) (2) (3)数轴见解析 (4) 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查求不等式组的解集，利用数轴表示不等式的解集： （1）移项，合并，系数化1，求不等式的解集即可； （2）移项，合并，系数化1，求不等式的解集即可； （3）定方向，定边界，表示出不等式的解集即可； （4）根据数轴确定不等式组的解集即可． 【详解】（1）解： ∴； 故答案为：； （2）， ∴， ∴； 故答案为：； （3）数轴表示如图： （4）由数轴可知：不等式组的解集为：； 故答案为：． 20．为了解某校学生本学期参加志愿服务的次数，随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空：的值为______，图①中的值为_______，统计的这组学生本学期参加志愿服务的次数数据的众数和中位数分别为______和______； (2)求统计的这组学生本学期参加志愿服务的次数数据的平均数； (3)根据样本数据，若该校共有学生1200人，学校为本学期参加志愿服务不少于7次的学生颁发“志愿者勋章”，估计该校获“志愿者勋章”的学生人数． 【答案】(1)40，25，7，7 (2)7 (3)840人 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联、求加权平均数、求中位数 【分析】本题考查的是条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，算术平均数，中位数，众数，正确掌握上述知识点是解题的关键． （1），，根据中位数和众数的定义即可得出结果； （2）根据条形统计图，可知平均数，计算即可； （3）用样本估计总体，可知该校共有学生1200人中， 本学期参加志愿服务不少于7次的学生占比为，用计算即可． 【详解】（1）解：参加志愿服务5次的有4人，占总人数的， ， 参加志愿服务8次的有10人， ， ， 志愿服务7次的人数最多，所以志愿服务的众数是7；因为总的数据共40个，按志愿服务次数由小到大排列，志愿服务的中位数是第20，21位的两个数据的平均数，由图②条形统计图可知，中位数是7， 故答案为：40，25，7，7； （2）观察条形统计图， ， 这组数据的平均数是7. （3）在所抽取的样本中，本学期参加志愿服务7次的学生占37.5%，参加志愿服务8次的学生占25%，参加志愿服务7次的学生占7.5%， ． 根据样本数据，估计该校学生1200人中，本学期参加志愿服务不少于7次的学生占，有． 估计该校获“志愿者勋章”的学生人数约为840人． 21．如图，为的切线，为切点，是上一点，过点作，垂足为，交于点．    (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，连接并延长交于点，连接，，若，的半径为，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、切线的性质定理、圆周角定理 【分析】（1）连接，由切线的性质证出，由圆周角定理得出答案； （2）连接，，证出是等边三角形，得出，由含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解：连接，   与相切于点， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接，，   ， ， ， ， 为的切线，为切点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 半径为5， ， 是的直径， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理及等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的性质和等边三角形的判定与性质是解决问题的关键． 22．如图1是某商场的入口，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，如图2是它的示意图，点P、A、C在同一水平线上，经过测量，支架的立柱与地面垂直（），米，支撑杆于点E，且，从点B观测点D的仰角为，又测得米．（参考数据：，，） (1)求该支架的边的长； (2)求支架的边的顶端点D到地面的距离．（结果精确到0.1米） 【答案】(1)该支架的边的长为米； (2)米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． （1）在中，，根据已知可得，即可求解． （2）由代入数据求得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴是直角三角形， 在中，， ∵， ∴， 即该支架的边的长为米； （2）解：根据已知可得，在中，，且， ∴， 即， 解得：， 在矩形中，， ∴米． 23．已知甲、乙、丙三地依次在同一条直线上，乙地距离甲地，丙地离甲地，一艘游轮从甲地出发，先用了匀速航行到乙地；从乙地驶出后接着匀速航行了到丙地；从丙地进行休整后，返航回甲地．在返航途中，因天气影响匀速航行了后减速，继续匀速航行回到甲地．下面图中x表示时间，y表示游轮离甲地的距离．图象反映了这个过程中游轮离甲地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息解答下列问题： (1)①填表： 游轮离开甲地的时间/ 10 15 20 58 游轮离开甲地的距离/ ______ 280 ______ ______ ②填空：游轮从乙地到丙地的速度为______； ③当时，请直接写出游轮离甲地的距离y关于时间x的函数解析式； (2)当游轮到达乙地时，一艘货轮从甲地出发匀速航行去丙地，已知货轮的速度为，求货轮追上游轮时离甲地的距离是多少？（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①200；360；120；②20；③ (2)货轮追上游轮时离甲地的距离是 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用： （1）①根据图象，用时间×速度=路程即可求解； ②用“路程÷时间=速度”即可求解； ③分两种情况：当时，当时，根据图象求出函数解析式即可求解； （2）根据题意列出方程可得货轮追上游轮时，再列式计算即可； 能从图象中获取相关信息是解题的关键． 【详解】（1）解：①游轮离开甲地，与甲地的距离为： ， 游轮离开甲地，与甲地的距离为： ， 游轮离开甲地，与甲地的距离为：， 故答案为：200；360；120； ②， 答：游轮从乙地到丙地的速度为， 故答案为：20； ③当时， ， 当时， ， ． （2）由题意得： ， 解得：， ， 答：货轮追上游轮时离甲地的距离是． 24．在平面直角坐标系中，为原点，四边形是平行四边形，，，点，矩形的顶点，点，点在第二象限． (1)如图①，点的坐标为____________，点的坐标为____________； (2)将矩形沿轴平移，得到矩形，点的对应点分别为．设，矩形与重叠部分面积为． ①如图②，当交于点，分别交于点，且重叠部分是五边形，试用含的式子表示，并直接写出的范围； ②当时，求的范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①；② 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、矩形性质理解、解直角三角形的相关计算、坐标与图形综合 【分析】（）过点作轴于，由三角函数可得，，即得点的坐标，再根据矩形的性质可得点的坐标； （）①过点作，垂足为，可得，进而由四边形为矩形得，又由点，点得，，即得，即可得，即可由可得，再根据得，可求出的范围； ②当时，同理可得，即得当时，，再根据二次函数的性质解答即可求出的范围； 本题考查了二次函数的几何应用，矩形的性质，解直角三角形等腰，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图①，过点作轴于，则， ∵，， ∴，， ∴， ∵，点， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴轴，轴， ∴， 故答案为：，； （2）解：①过点作，垂足为， ∵，， ∴， 由平移可知四边形是矩形， 又∵四边形 是平行四边形， 则四边形为矩形，， ∵点，点， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴当时，， ∵， ∴当时，的值最大，， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，的值最小，， ∴的范围为． 25．已知抛物线 与x轴相交于A，B两点 (点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，过抛物线的顶点 D作 轴于点M，点 N在y轴正半轴上， ，点P在抛物线上，过点P作x轴垂线，交x轴于点E，交直线MN于点 F． (1)若 ； ①求抛物线顶点D和点A的坐标； ②若点P在第一象限，过点P作垂直直线于点H， ，求点E的坐标； (2)若，点P与点C关于抛物线的对称轴对称，射线交直线于点 G， 当时，求顶点D的坐标． 【答案】(1)①，；② (2) 【知识点】解直角三角形的相关计算、其他问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形 【分析】本题属于二次函数综合问题，主要考查了解直角三角形、求二次函数解析式、勾股定理等知识点，灵活运用解直角三角形成为解题的关键． （1）①直接运用待定系数法求解即可；②设，其中，由轴于点M，在中，得出，求得直线 的解析式为，由于点H，轴于点E，交于点F，则，在中，，根据列方程求解即可； （2）根据解析式得出顶点坐标，同（）可得，在中，，根据列出方程可得得，根据由，点F在直线：上，得出，进而可得即可． 【详解】（1）解：①将，代入可得，即，其顶点D为， 令，得，即， 令，得，解得，即，． ②点P在第一象限，设，其中，由轴于点M， 由①顶点，，，, 有，即 ∵点N在y轴正半轴，， 故在中，，即， 设直线 的解析式为：，代入， 可得：，解得：， 即直线 的解析式为， 由于点H，轴于点E，交于点F， ∴，, 在中，, ∵点P在第一象限， ∴，即，解得 （舍去），即． （2）解：由，点P与点C关于抛物线的对称轴对称， ∴，对称轴直线，， ∴顶点坐标为即， 同（1）可得，在中，， ∴， ∵， ∴，解得：; 在中，， 在中，， 由，点F在直线：上， 则，，解得：， ∵， ∴顶点D的坐标为． 30 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$