精品解析：四川省广安中学2024-2025学年高二下学期第二次月考数学试题

高2023级高二下期第二次月考 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、顿号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时．选出每小题答案后，逗号用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后．在选图其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列，则是该数列的（ ） A. 第5项 B. 第6项 C. 第7项 D. 第8项 2. 已知数列的前项和，则这个数列的通项公式为（ ） A. B. C D. 3. 记等比数列的前项和为，若，则公比（ ） A. B. C. 或1 D. 或1 4. 下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ） A. 0.75 B. 0.8 C. 0.85 D. 0.9 7. 在等差数列中，，，设，则（） A 281 B. 651 C. 701 D. 791 8. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域（，，，，）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有（ ） A. 2520种 B. 3360种 C. 3570种 D. 4410种 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值 10. 若函数既有极大值也有极小值，则（ ）． A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 恰有一个极大值 C. 当时，有三个零点 D. 当时，有三个实数解 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线过坐标原点两条切线的方程为____________，____________． 13. 将5个人排成一排，若甲和乙须排在一起，则有__________种不同的排法．（用数字作答） 14. 已知定义在上的函数关于轴对称，其导函数为，当时，不等式．若对，不等式恒成立，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚． 15. 已知数列的首项，且满足（） （1）求证：数列为等比数列；求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项的和． 16. 已知等差数列中的前项和为，且，，成等比数列；． （1）求数列的通项公式； （2）若数列为递增数列，记，求数列的前项的和． 17. 已知一企业生产某产品的年固定成本为万元，每生产千件需另投入万元，若该企业一年内共生产此种产品千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为万元，且 （1）写出年利润（万元）关于年产品（千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大?最大利润是多少? （注：年利润年销售收入-年总成本） 18. 已知函数（）. （1）若，求的极小值； （2）当时，求的单调递增区间； （3）当时，设极大值为，求证：. 19. 英国数学家泰勒是18世纪早期一位非常杰出的数学家，以泰勒公式和泰勒级数闻名．泰勒公式是数学分析的重要组成部分，它的理论方法在近似计算、求极限、不等式的证明等方面都有重要的应用．例如：函数的带有佩亚诺余项的泰勒展开式为：，，为佩亚诺余项，在解决问题时可以忽略不计． （1）若，利用泰勒展开式证明：； （2）当时，证明：； （3）当时，不等式恒成立，求实数取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高2023级高二下期第二次月考 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、顿号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时．选出每小题答案后，逗号用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后．在选图其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列，则是该数列的（ ） A. 第5项 B. 第6项 C. 第7项 D. 第8项 【答案】C 【解析】 【详解】由数列，，2，…的前三项为，，可知，数列的通项公式为an＝＝，由＝2，可得n＝7.故选C. 2. 已知数列的前项和，则这个数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】已知和求通项公式：进行计算. 【详解】当时， 当时， 故选：C 3. 记等比数列的前项和为，若，则公比（ ） A. B. C. 或1 D. 或1 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列片段和性质可求公比. 【详解】由，得，解得， 故选: A． 4. 下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据简单复合函数求导法则判断A，根据导数定义判断B，根据基本初等函数的导数公式判断C，求出函数的导函数，再令即可判断D. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：若，则，故C错误； 对于D：因为，则， 令可得，解得，故D正确. 故选：D 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性即可得到函数的大致图象. 【详解】易知，因为，令，得，或， 则时，，时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增， 所以选项A符合题意, 故选：A. 6. 图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ） A. 0.75 B. 0.8 C. 0.85 D. 0.9 【答案】D 【解析】 【分析】设，则可得关于方程，求出其解后可得正确的选项. 【详解】设，则， 依题意，有，且， 所以，故， 故选：D 7. 在等差数列中，，，设，则（） A. 281 B. 651 C. 701 D. 791 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件,求出等差数列的公差及通项公式,判断正数、负数项,再求出. 详解】等差数列中,由,得公差, 则, 显然当时,,当时,, 所以 故选：C 8. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域（，，，，）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有（ ） A. 2520种 B. 3360种 C. 3570种 D. 4410种 【答案】D 【解析】 【分析】利用分类加法计数原理，分步乘法计数原理解决. 【详解】分4步进行分析： ①对于区域，有7种颜色可选； ②对于区域，与区域相邻，有6种颜色可选； ③对于区域，与、区域相邻，有5种颜色可选； ④对于区域、 若与颜色相同，区域有5种颜色可选， 若与颜色不相同，区域有4种颜色可选，区域有4种颜色可选， 则区域、有种选择. 综上所述，不同的涂色方案有种. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值 【答案】BC 【解析】 【分析】借助图象的正负即可得原函数的单调性及极值点，逐项判断即可得. 【详解】由图可知，当时，， 当时，， 故在、上单调递增，在、上单调递减， 在、处取得极大值，在取得极小值 故A错误，B正确，C正确，D错误. 故选：BC. 10. 若函数既有极大值也有极小值，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答. 【详解】函数的定义域为，求导得， 因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而， 因此方程有两个不等的正根， 于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确. 故选：BCD 11. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 恰有一个极大值 C. 当时，有三个零点 D. 当时，有三个实数解 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号后，求导确定函数的单调性、极值，在确定方程的根的个数时需注意函数值的变化趋势. 【详解】A：当时，，则， 所以函数在上单调递减，故A正确； B：当时，，则， 所以函数在上单调递增； 当时，，则， 所以函数在上单调递增；结合选项A的分析， 知是函数的极大值点，是函数的极小值点，故B正确； C：当时，，， 但无法确定符号，若 函数只有1个零点，故C错误； D：当时，，由以上讨论，知当时，， 而，如图， 由图可知，方程有3个实根，所以有3个实根，故D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求 分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 解： 因为， 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：； [方法二]：根据函数的对称性，数形结合 当时，设切点，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 因为是偶函数，图象为： 所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可. 13. 将5个人排成一排，若甲和乙须排在一起，则有__________种不同的排法．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】利用捆绑法可求排法总数. 【详解】甲和乙须排在一起，共有种排法， 将甲、乙看成一个元素，则考虑4个不同的人排成一排，共有种不同的排法， 故共有种不同的排法， 故答案为： 14. 已知定义在上的函数关于轴对称，其导函数为，当时，不等式．若对，不等式恒成立，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，判断单调性及奇偶性，去掉函数符号，转化为恒成立,分离参数求最值即可求解. 【详解】定义在上的函数关于轴对称，函数为上的偶函数． 令，则,为奇函数． ． 当时，不等式． ，在单调递增． 函数在上单调递增． 对，不等式恒成立， , 即 ． 当时，， 则， 则；； 故在单调递减，在单调递增； 可得时，函数取得极小值即最小值， ． 当时，，则，则 则的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚． 15. 已知数列的首项，且满足（） （1）求证：数列为等比数列；求数列通项公式； （2）记，求数列的前项的和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由等比数列的定义即可求证， （2）由（1）求得，再由裂项相消法求和，即可求解. 【小问1详解】 由得， 又， 所以是首项为2，公比为2的等比数列． 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 所以， 所以 . 16. 已知等差数列中的前项和为，且，，成等比数列；． （1）求数列的通项公式； （2）若数列为递增数列，记，求数列的前项的和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件列方程组求出和，可求数列的通项公式； （2）求出数列的通项，利用错位相减法求和. 【小问1详解】 由题意，可得，即， 解得或，又， ，所以. 【小问2详解】 由（1）得，所以， 则， 有， 两式相减得， ， . 17. 已知一企业生产某产品的年固定成本为万元，每生产千件需另投入万元，若该企业一年内共生产此种产品千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为万元，且 （1）写出年利润（万元）关于年产品（千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大?最大利润是多少? （注：年利润年销售收入-年总成本） 【答案】（1） （2）当年产量为千件时，该企业生产此产品所获年利润最大，最大利润为万元 【解析】 【分析】（1）分、两段分别求出函数解析式，即可得解； （2）结合（1）中函数解析式，利用导数求出函数在上的最大值，利用基本不等式求出函数在上的最大值，即可得解. 【小问1详解】 由题意当时，， 当时，， 综上可得. 【小问2详解】 ①当时，， 则， 所以当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减. 所以当时，取最大值，且. ②当时，， 当且仅当，即时等号成立. 综上，当年产量为千件时，该企业生产此产品所获年利润最大，最大利润为万元. 18. 已知函数（）. （1）若，求的极小值； （2）当时，求的单调递增区间； （3）当时，设的极大值为，求证：. 【答案】（1） （2）和 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数求解函数的单调性求解出函数的极值即可 （2）当时，利用导数求解函数的单调性求解出函数的单调递增区间 （3）分和讨论求解即可. 【小问1详解】 由题意知. 若，则，所以. 令，得. 当时，当时， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极小值等于. 【小问2详解】 因为，所以， 由，即，解得或， 所以在和单调递增， 由，即，解得， 所以在单调递减， 故的单调增区间为和. 【小问3详解】 当时，由（2）知，的极大值等于； 当时，，单调递增，无极大值； 当时，当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以的极大值等于， 令，所以， 在上在上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以故， 综上所述，. 19. 英国数学家泰勒是18世纪早期一位非常杰出的数学家，以泰勒公式和泰勒级数闻名．泰勒公式是数学分析的重要组成部分，它的理论方法在近似计算、求极限、不等式的证明等方面都有重要的应用．例如：函数的带有佩亚诺余项的泰勒展开式为：，，为佩亚诺余项，在解决问题时可以忽略不计． （1）若，利用泰勒展开式证明：； （2）当时，证明：； （3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由泰勒公式两边求导可得； （2）解法一，构造函数，求导分析单调性证明可得； 解法二，构造函数，求导分析单调性得到隐零点，然后再求最小值可得； （3）先分离参数，构造函数，求导，再对分子构造函数求导分析单调性，结合对数的运算得到隐零点，然后求最小值可得. 【小问1详解】 由，两边求导得： 即. 【小问2详解】 解法1：由知，对于，， 先证时，， 令，则，得， 所以时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 则，所以， 则， 解法2：设，则， 令，则存在使得，即， 则时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 所以，所以成立. 【小问3详解】 当时，不等式恒成立， 即， 设， 则， 再令，则， 所以在时单调递增， 又，，所以在存在零点． 又因为， 而且，，可以设使得， 且， 即，使得， 所以时，在上单调递减， 时，，在上单调递增， ， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$