精品解析：四川达州市第一中学校2025-2026学年高二下学期第二次月考数学试题

达一中高2024级2026年春季第二次月考 数学试题 总分：150分 考试时间：120分钟 命题人：李娟 审题人：蒋慧 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知随机变量，且，则的值为（　　） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.7 D. 0.35 2. 已知是奇函数，当时，，则（ ） A. B. 2 C. D. 3. 下列说法中不正确的是（ ） A. 线性回归直线必过样本数据的中心点 B. 当样本相关系数时，成对数据正相关 C. 如果成对数据的线性相关性越强，则样本相关系数就接近于1 D. 残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越低 4. 已知数列是首项为4，公比为的等比数列，若成等差数列，则（ ） A. 4 B. 8 C. -4 D. -8 5. 已知随机变量，则下列选项中不正确的为（ ） A. B. 当取最大值时， C. D. 6. 已知的内角的对边分别为，且面积满足，则（ ） A. B. C. D. 2 7. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则下列选项中不正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若是函数的一个极值点，是函数的一个零点，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 在正方体中，下列结论正确的是（ ） A. 与所成的角为 B. 与所成的角为 C. 与平面所成的角为 D. 与平面所成的角为 10. 中华人民共和国第十九届亚运会将于2023年9月在杭州举办．为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，向全国人民奉献一场精彩圆满的体育盛会，组委会欲从6名男志愿者，4名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长．下列说法正确的是（ ） A. 设事件A：“抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件B：“抽取的3人中全是男志愿者”，则 B. 设事件C：“抽取的3人中既有男志愿者，也有女志愿者”，则 C. 用表示抽取的3人中女志愿者的人数，则 D. 用表示抽取的3人中男志愿者的人数，则 11. 已知函数的定义域为，为的导函数，满足且，则以下结论正确的是（ ） A. B. 过原点且与相切的直线方程为 C. 不等式的解集是 D. 若恰有两个整数解，则k的取值范围是 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若，则的展开式中含项的系数为__________. 13. 已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则点的横坐标为___________． 14. 甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品有4个正品和3个次品，若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，则取出的这个产品是正品的概率为______. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.） 15. 某人工智能公司从某年起连续年的利润情况如下表所示. 第x年 1 2 3 4 5 6 7 利润y/亿元 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 （1）计算出与之间的相关系数（精确到），并求出关于的回归直线方程； （2）根据回归直线方程，分别预测该人工智能公司第年和第年的利润. 参考公式：样本的回归直线为，其中，，，，，. 16. 记各项均为正数的数列的前项和为，已知． （1）证明：数列为等差数列； （2）记，数列的前项和为，若存在正整数，使得，求的取值范围． 17. 如图，平面四边形中且，绕旋转到的位置，使得且. （1）证明：平面； （2）求四棱锥的高； （3）求二面角的正弦值. 18. 某学校高三年级组织了一场校内知识竞赛，共有5个班级参与，每个班级推选1名学生代表参加，其中1名学生代表来自经常在知识竞赛中获奖的班级，以下简称A班代表，4名学生代表来自较少参与竞赛的班级，以下简称B班代表，学生甲是B班代表之一．在某一轮比赛中，随机选择两名学生代表进行比赛．若是同类班级代表比赛，则双方获胜的概率均为；若是A班代表与B班代表比赛，则B班代表获胜的概率为． （1）已知甲参赛，求在一轮比赛中，学生甲获胜的概率； （2）为了增加比赛的趣味性，增加了挑战赛，规则是某选手可向全场所有代表随机发起挑战，与每个代表进行一轮比赛．现学生甲向全场所有人发起挑战，若与A班代表比赛获胜得2分，与B班代表比赛获胜得1分，失败均获得0分，记比赛结束时学生甲获得的积分为X，求X的分布列与期望． 19. 设函数. （1）证明：在区间上存在极值点； （2）已知为的一个极值点； （i）证明：； （ii）若，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 达一中高2024级2026年春季第二次月考 数学试题 总分：150分 考试时间：120分钟 命题人：李娟 审题人：蒋慧 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知随机变量，且，则的值为（　　） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.7 D. 0.35 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布曲线的对称性，即可求值. 【详解】因为随机变量，则正态分布曲线的对称轴为， 所以，即， 故选：B 2. 已知是奇函数，当时，，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及对数运算求得正确答案. 【详解】依题意，是奇函数， . 3. 下列说法中不正确的是（ ） A. 线性回归直线必过样本数据的中心点 B. 当样本相关系数时，成对数据正相关 C. 如果成对数据的线性相关性越强，则样本相关系数就接近于1 D. 残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越低 【答案】C 【解析】 【分析】A选项，线性回归方程必过； BC选项，根据相关系数的意义作出判断； D选项，根据残差分析中残差点所在的水平带状区域的意义判断. 【详解】A选项，线性回归直线必过样本数据的中心点，故A说法正确； B选项，当相关性系数时，两个变量正相关，相关性系数时，两个变量负相关，故B说法正确； C选项，相关系数，如果两个变量的相关性越强，则相关性系数就越接近于1，故C说法错误； D选项，残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高，水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越低，D说法正确； 故选：C. 4. 已知数列是首项为4，公比为的等比数列，若成等差数列，则（ ） A. 4 B. 8 C. -4 D. -8 【答案】A 【解析】 【详解】由数列是首项为4，公比为的等比数列，得， 由成等差数列，得，即， 则，而，解得， 所以. 5. 已知随机变量，则下列选项中不正确的为（ ） A. B. 当取最大值时， C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】A选项，，所以A选项正确； B选项， ，当时，有最大值， 此时，所以B选项正确； C选项，，则，所以，所以C选项错误； D选项，，则，则，所以D选项正确. 6. 已知的内角的对边分别为，且面积满足，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合余弦定理与面积公式得，再根据二倍角公式化简整理即可得答案. 【详解】因为，所以， 又因为，， 所以，即， 所以， 所以，即， 因为， 所以，即. 故选：A 7. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则下列选项中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】A.由公式 求解；B. 由公式 求解；C. 由条件概率公式求解；D.由条件概率公式求解。 【详解】，所以 ， 因为,所以， 选项 A：因此A正确； 选项 B：因为, , 所以，因此B错误； 选项 C：根据条件概率公式 ，因此C正确; 选项 D：根据条件概率公式 因此D正确. 8. 若是函数的一个极值点，是函数的一个零点，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先根据极值点及零点得出满足的等式，再结合函数的单调性得出等式计算即可求值. 【详解】因为是函数的一个极值点， 所以， 因为是函数的一个零点， 所以， 设为单调递增函数， 因为， 所以. 故选：B. 二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 在正方体中，下列结论正确的是（ ） A. 与所成的角为 B. 与所成的角为 C. 与平面所成的角为 D. 与平面所成的角为 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合正方体性质，根据异面直线夹角，线面角的定义求解判断即可. 【详解】如下图，且为等边三角形，则与所成的角为，A错误； 由，且，则，故与所成的角为正确； 由平面，则与平面所成的角为，C正确； 由平面平面，则，又， 且都在平面内，则平面， 所以与平面所成的角为，且， 故，D正确. 10. 中华人民共和国第十九届亚运会将于2023年9月在杭州举办．为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，向全国人民奉献一场精彩圆满的体育盛会，组委会欲从6名男志愿者，4名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长．下列说法正确的是（ ） A. 设事件A：“抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件B：“抽取的3人中全是男志愿者”，则 B. 设事件C：“抽取的3人中既有男志愿者，也有女志愿者”，则 C. 用表示抽取的3人中女志愿者的人数，则 D. 用表示抽取的3人中男志愿者的人数，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用古典概型与组合的应用求得事件A与事件 的概率，再利用条件概率公式求解即可；对于B，利用对立事件与古典概型的概率公式即可得解；对于CD，依题意分别求得的分布列，再利用数学期望公式与方差公式求解即可判断. 【详解】对于A，从6名男志愿者，4名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长的基本事件有件， 其中事件A：“抽取的3人中至少有一名男志愿者”包含的基本事件有件，故， 事件表示“抽取的3人中全是男志愿者”，其包含的基本事件有件，故， 所以，故A正确； 对于B，事件C：“抽取的3人中既有男志愿者，也有女志愿者” 包含的基本事件有件， 所以，故B错误； 对于C，可得的可能取值为0，1，2，3， 则，，，， 所以，故C正确； 对于D，可得的可能取值为0，1，2，3， 则，，，， 则， ， 则，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题CD选项的解决关键是利用离散型随机变量分布列的求法，分别求得的分布列，从而得解. 11. 已知函数的定义域为，为的导函数，满足且，则以下结论正确的是（ ） A. B. 过原点且与相切的直线方程为 C. 不等式的解集是 D. 若恰有两个整数解，则k的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对条件同时乘得出导函数，得出，由得出判断A即可；根据过一点求切线方程即可判断B；对求导，利用单调性求解即可判断C； 根据，要使恰有2个整数解，，计算即可判断D. 【详解】A选项，由，， 可得，即， 故，为常数，由，可得， 故，，故A正确： B选项，设切点为，，设切线斜率为，则， 所以切线方程为，即， 因为切线过原点，所以， 解得，，所以，切线方程为.故B正确； C选项，， 故当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值为， 又，时，，时，， 且时，，时，； 当时，，当时，， 的解集是，故C错误； D选项，因为，所以要使恰有2个整数解， 则整数解为2和3，所以，即，化简得； 故实数k的取值范围是，故D正确. 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若，则的展开式中含项的系数为__________. 【答案】-220 【解析】 【详解】因为，所以， 的展开式中含项的系数为. 13. 已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则点的横坐标为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】由题知，再设点的横坐标，进而根据焦半径公式求解即可. 【详解】解：∵抛物线的焦点为，双曲线的焦点为， ， ∵两曲线的一个交点为，设点的横坐标，， . 故答案为： 14. 甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品有4个正品和3个次品，若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，则取出的这个产品是正品的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据全概率公式进行计算. 【详解】设从甲中取出的2个产品为一正品一次品为事件A，从甲中取出的2个产品为两正品为事件B， 从甲中取出的2个产品为两次品为事件C，从乙箱中任取一个产品是正品为事件D. 由题意得：，， ，， ，， 则由全概率公式得：. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.） 15. 某人工智能公司从某年起连续年的利润情况如下表所示. 第x年 1 2 3 4 5 6 7 利润y/亿元 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 （1）计算出与之间的相关系数（精确到），并求出关于的回归直线方程； （2）根据回归直线方程，分别预测该人工智能公司第年和第年的利润. 参考公式：样本的回归直线为，其中，，，，，. 【答案】（1）相关系数约为，回归方程为. （2）第、年的利润约为亿元、亿元. 【解析】 【分析】（1）求出、的值，将参考数据代入相关系数公式，可求出相关系数的值，利用最小二乘法可求出、的值，即可得出关于的回归直线方程； （2）将、分别代入回归直线方程，可得结果. 【小问1详解】 由题中数据可得， ， ， 因此， ，， 故回归直线方程为. 【小问2详解】 在回归直线方程中令，得. 令，得， 因此预测第、年的利润约为亿元、亿元. 16. 记各项均为正数的数列的前项和为，已知． （1）证明：数列为等差数列； （2）记，数列的前项和为，若存在正整数，使得，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析. （2） 【解析】 【分析】（1）先求首项，然后通过递推作差得到等差数列的证明. （2）将数列代入，通过裂项相消求得，代入不等式，分离参数，转化为最值问题求解. 【小问1详解】 因为，所以当时，， 因为，整理得，所以. 又，所以.当，， 展开移项化简，因式分解， 因为各项均为正数，所以，所以， 数列是以为首项，为公差的等差数列，所以. 【小问2详解】 由（1）可知，所以. , 要使，即，整理得， 因为在上递减，所以当时取得最大值为. 因为存在正整数，使得，所以，所以. 17. 如图，平面四边形中且，绕旋转到的位置，使得且. （1）证明：平面； （2）求四棱锥的高； （3）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）通过，即可求证； （2）在中作交于点，确定为四棱锥的高，进而可求解； （3）法1，过点作交于点，连接，确定为二面角的平面角，进而可求解；法2，建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【小问1详解】 ， 与全等，，即， 又，且点是的中点， 则，由点是的中点，可得， 与都在平面内， 平面； 【小问2详解】 平面，且在平面内， ∴平面平面， 在中作交于点，连接与， ∵平面平面，平面， 平面，即为四棱锥的高， 又， ，且， 平面， 同理可得，又， ∴四边形是正方形， ， 在直角中，， ， 即四棱锥的高为2； 【小问3详解】 法1：， 与全等，过点作交于点，连接， 则， 为二面角的平面角，， 在中，， ，则. 法2：由（2）知，两两垂直，以为坐标原点， 分别以有向线段为轴正方向建立如图空间直角坐标系. 则， 则， 令为平面的一个法向量， 则， 令，得，则； 令为平面的一个法向量， 则， 令，得，则. 所以， 所以二面角的平面角正弦值为 . 18. 某学校高三年级组织了一场校内知识竞赛，共有5个班级参与，每个班级推选1名学生代表参加，其中1名学生代表来自经常在知识竞赛中获奖的班级，以下简称A班代表，4名学生代表来自较少参与竞赛的班级，以下简称B班代表，学生甲是B班代表之一．在某一轮比赛中，随机选择两名学生代表进行比赛．若是同类班级代表比赛，则双方获胜的概率均为；若是A班代表与B班代表比赛，则B班代表获胜的概率为． （1）已知甲参赛，求在一轮比赛中，学生甲获胜的概率； （2）为了增加比赛的趣味性，增加了挑战赛，规则是某选手可向全场所有代表随机发起挑战，与每个代表进行一轮比赛．现学生甲向全场所有人发起挑战，若与A班代表比赛获胜得2分，与B班代表比赛获胜得1分，失败均获得0分，记比赛结束时学生甲获得的积分为X，求X的分布列与期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）由全概率公式求解即可； （2）由题意分析出的取值为，然后求出每个取值的概率，列出分布列计算数学期望即可. 【小问1详解】 设“对手为A班代表”，“对手为B班代表”，“甲获胜” 由题意可知，，，， 故. 【小问2详解】 由题意可知的取值为， ， ， ， ， ， ， 故X的分布列为： 所以. 19. 设函数. （1）证明：在区间上存在极值点； （2）已知为的一个极值点； （i）证明：； （ii）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）证明见解析;（ii） 【解析】 【分析】（1）利用导数并结合零点存在性定理得到的单调性，进而判断极值点即可. （2）（i）结合题意得到，进而利用图象得到，最后再代入运算证明出，（ii）结合题意得到，令，则转化为，令，即为在上恒成立，利用导数说明函数的单调性，即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 令，得到， 当时，单调递减， 而，则存在，使得， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，即有极大值点. 【小问2详解】 （i）因为函数，所以. 令，得，对满足方程的有，所以. 由函数与函数的图象可知，此方程无穷多个变号解，即有无穷多个变号零点， 故有无穷多个极值点，因为为的一个极值点，故， 所以. （ii）因为为的一个极值点，所以， 所以 ，令， 因为，所以， 记，即，得到， 令，当时，在上单调递增， 得到， 此时在上单调递增，而，符合题意， 当时，在上单调递减，在上单调递增. 因为 ，所以当时， ， 可得在上单调递减，，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $