精品解析：2024年广东省江门市赤溪中学中考数学一模试卷

2024年广东省江门市赤溪中学中考数学一模试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2024 D. 2. 被英国<<卫报>>誉为”新世界七大奇迹”的港珠澳大桥是中国境内一座连接香港，广东珠海和澳门桥隧工程，它是世界上最长的跨海大桥，桥隧全长55000米，其中55000用科学记数法表示为(） A. 55×10 B. 5.5×10 C. 5.5×10 D. 0.55×10 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，外角，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 圆的内接平行四边形一定是正方形 B. 平分弦的直径垂直弦 C. 圆的切线一定垂直于半径 D. 任何一个三角形的内心一定在三角形内 6. 如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 光线由空气射入清澈的水面时会在水面发生镜面反射，在射入水中后会发生折射现象．如图入射光线在射入水面点的反射光线为，折射光线为，若反射光线与折射光线夹角为，入射光线与折射光线夹角为，则入射光线与水平面的夹角为多少度？（　　） A. B. C. D. 8. 九章算术中有这样一道数学问题，原文如下：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐满，请问客官，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了只船，大船每只坐人，小船每只坐人，个人，刚好坐满，问：大小船各有几只？若设有只小船，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 设是抛物线上的三点，则的大小关系为（　　） A. B. C. D. 10. 如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 分解因式∶_____． 12. 一个多边形的内角和是，则这个多边形是_______边形． 13. 若是一元二次方程的一个根，则的值是______． 14. 如图是一个游戏装置，四边形是正方形，点光源为的中点．点、点为的三等分点，是一个感光元件．若从点发出的光线照向平面镜，其反射光线照射到上（含端点），该感光元件就会发光．已知点，反射光线所在直线为，当感光元件发光时，的取值范围为______． 15. 如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接．若，，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留） 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算： 17. 如图，已知，． （1）尺规作图：在上找出点，使点到两边的距离相等； （2）根据（1）所求点，以点为圆心，长为半径作，求证：直线与相切． 18. 为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意（如图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为厚度忽略不计) （1）求支点C离桌面l的高度为多少？（结果保留根号） （2）当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加了多少？结果精确到，参考数据：，，） 19. 为了圆梦中考，某校九年级的同学们刻苦训练跳绳，为进一步了解同学们的训练情况，从初三年级甲班和乙班中，各随机抽取40名同学进行1分钟跳绳测试，并对测试结果进行了整理、描述和分析，把1分钟跳绳完成个数用x表示，并分成了四个等级，其中，，，，下面给出了部分信息：请你根据信息，回答下列问题： ①甲班1分钟跳绳个数的扇形统计图 ②乙班1分钟跳绳个数频数分布统计表 分组 频数 ③乙班组数据从高到低排列，排在最前面的个数据分别是：，，，，，，， ④甲班和乙班1分钟跳绳个数的平均数、中位数、A等级所占百分比如下表： 班级 平均数 中位数 等级所占百分比 甲班 乙班 （1）____________，____________，____________； （2）根据以上数据分析，你认为哪个班级学生跳绳水平相对较差，请说明理由；（写出一条理由即可） （3）已知该校九年级共有1600名学生参加了此次测试，若跳绳个数大于等于200为优秀，请估计参加此次测试中1分钟跳绳优秀的学生有多少人？ 20. 随着劳动教育的开展， 某学校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为28米），用长为40米的篱笆， 围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端设计了两个宽 1米的小门，便于同学们进入． （1）若围成的菜地面积为120平方米，求此时边的长； （2）可以围成的菜地面积最大是多少？ 21. 如图，在平面直角坐标系中，点P为y轴上一点，⊙P交y轴于点A，点B，交x轴的正半轴于点C，AD平分∠BAC交⊙P于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交y轴于点F． （1）求证：EF为⊙P的切线； （2）若A(0，−1)，C(，0)，求图中阴影部分的面积． 22. 数学兴趣小组的同学们以“图形的折叠”为主题开展探究活动． 【操作推断】 （1）如图①，点P是正方形纸片的边的中点，沿折叠，使点A落在点M处， 延长交于点F， 连接， 则 ； 【迁移探究】 （2）如图②， 延长交于点 E， 连接． ① ； ②小明用大小不同的正方形纸片重复几次以上操作，总发现 ．请判断该发现是否正确？并说明理由； 【拓展应用】 （3）将边长为2的两个相同正方形拼成矩形，如图③，点P 是 上一动点，沿折叠，使点A落在点M处，射线交射线于点F．当时，直接写的长． 23. 如图1，抛物线：（）与x轴交于A、B两点（在的左侧），与y轴交于点． （1）求、、三点的坐标（可用含a的式子表示）； （2）当时，若点是抛物线上一点，且，求所有满足条件的点的坐标； （3）在（2）的条件下，若将抛物线沿着x轴向右平移m（）个单位后得到抛物线，如图2，与原直线交于、两点（在的左侧），且，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年广东省江门市赤溪中学中考数学一模试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2024 D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了绝对值的定义，根据负数的绝对值是其相反数解答即可． 【详解】解：的绝对值是2024． 故选：C． 2. 被英国<<卫报>>誉为”新世界七大奇迹”的港珠澳大桥是中国境内一座连接香港，广东珠海和澳门桥隧工程，它是世界上最长的跨海大桥，桥隧全长55000米，其中55000用科学记数法表示为(） A. 55×10 B. 5.5×10 C. 5.5×10 D. 0.55×10 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义“把一个数表示成的形式，其中，为整数，这种计数方法叫科学记数法”即可得. 【详解】由科学记数法的定义得： 故答案为：B. 【点睛】本题考查了科学记数法的定义，熟记定义是解题关键. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据单项式的除法法则，单项式的乘法法则，合并同类项法则以及积的乘方法则分别计算即可得解． 本题考查整式的运算，涉及单项式的除法法则，单项式的乘法法则，合并同类项法则以及积的乘方法则，熟记运算法则是解题关键． 【详解】解：A、，故A选项正确； B、，故B选项错误； C、，故C选项错误； D、，故D选项错误； 故选：A． 4. 如图，在中，外角，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解答本题的关键．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可． 【详解】解：由三角形的外角性质，得． 因为，， 所以． 故选B． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 圆的内接平行四边形一定是正方形 B. 平分弦的直径垂直弦 C. 圆的切线一定垂直于半径 D. 任何一个三角形的内心一定在三角形内 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的推论，切线的性质，三角形内心的定义，圆内接四边形的性质，掌握相关的知识是解题的关键． 利用圆的内接四边形的性质判定A，利用垂径定理判定B，利用切线的性质判定C，利用三角形内心的定义判定D． 【详解】解：A． 圆的内接平行四边形一定是矩形，该选项不符合题意； B． 平分弦（不是直径）的直径垂直弦，该选项不符合题意； C． 圆的切线一定垂直于过切点的半径，该选项不符合题意； D． 任何一个三角形的内心一定在三角形内，选项符合题意； 故选：D． 6. 如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】在Rt△ACB中，利用正弦定义，sinα=，代入AB值即可求解． 【详解】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°， ∴sinα=， ∴BC= sinαAB=12 sinα（米）， 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键． 7. 光线由空气射入清澈的水面时会在水面发生镜面反射，在射入水中后会发生折射现象．如图入射光线在射入水面点的反射光线为，折射光线为，若反射光线与折射光线夹角为，入射光线与折射光线夹角为，则入射光线与水平面的夹角为多少度？（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 本题主要考查了几何图形中角度的计算，根据周角的定义可求出的度数，再根据入射角等于反射角，求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵反射光线与折射光线夹角为，入射光线与折射光线夹角为， ∴， ∴， ∵入射角等于反射角， ∴， ∴ 故选：D． 8. 九章算术中有这样一道数学问题，原文如下：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐满，请问客官，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了只船，大船每只坐人，小船每只坐人，个人，刚好坐满，问：大小船各有几只？若设有只小船，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据小船数量表示大船数量，再根据总人数列方程． 【详解】解：设有x只小船，则大船有只． ∵小船每只坐4人，∴小船共坐4x人． ∵大船每只坐6人，∴大船共坐人． ∵总人数为38人， ∴． 故选D． 9. 设是抛物线上的三点，则的大小关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的对称轴，增减性是解题的关键． 根据二次函数解析式得到对称轴直线，根据开口向下，距离对称轴越远，函数值越小即可求解． 【详解】解：∵抛物线为， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵距离对称轴有个单位长度， 距离对称轴有个单位长度， 距离对称轴有个单位长度， 根据开口向下，距离对称轴越远，函数值越小可得：． 故选：D． 10. 如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图象，得到当时，，当点P运动到点B时，，根据菱形的性质，得，继而得到，当点P运动到中点时，的长为，解得即可． 本题考查了菱形的性质，图象信息题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】结合图象，得到当时，， 当点P运动到点B时，， 根据菱形的性质，得， 故， 当点P运动到中点时，的长为， 故选C． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 分解因式∶_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 一个多边形的内角和是，则这个多边形是_______边形． 【答案】八 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为是解答本题的关键．根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】设这个多边形是n边形， 由题意得， 解得， ∴这个多边形是八边形． 故答案为：八． 13. 若是一元二次方程的一个根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程，然后利用整体代入求值即可，解题的关键是熟记把方程的解的概念和掌握整体代入思想． 【详解】解：把代入方程得：， ∴， ∴ 故答案为：． 14. 如图是一个游戏装置，四边形是正方形，点光源为的中点．点、点为的三等分点，是一个感光元件．若从点发出的光线照向平面镜，其反射光线照射到上（含端点），该感光元件就会发光．已知点，反射光线所在直线为，当感光元件发光时，的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用．取点关于轴的对称点，根据点的坐标得到的坐标，根据光的反射定律，反射光线所在的直线经过点；设反射光线所在的直线的解析式为为常数，且，将的坐标代入，将用含的代数式表示出来；再分别将点、的坐标代入得到对应的值，从而得到的取值范围，进而求得的整数值． 【详解】解：如图，取点关于轴的对称点． ∵点为的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点、点为的三等分点， ∴，， ∵点关于轴的对称点， ∴，根据光的反射定律，反射光线所在的直线经过点， 设反射光线所在的直线的解析式为为常数，且， 将代入， 得，∴， ∴， 当反射光线经过时，得， 解得； 当反射光线经过时，得， 解得， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接．若，，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了矩形的边角性质，含的直角三角形的边的性质，扇形的面积计算公式，熟练掌握把不规则图形的面积转化为求规则图形的面积是解题的关键． 过点E作于点H，根据矩形四个角都是直角，推出四边形是矩形，四边形是矩形，得到，根据，得到，，然后根据求解即可． 【详解】过点作，垂足为， 四边形为矩形， ∴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ． ， ， ． ． 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查有理数的乘方、算术平方根、立方根以及绝对值的运算，解题的关键是分别根据各自的运算法则对各项进行化简 先分别计算出式子中每一项的值，再将这些值代入原式进行计算 【详解】解： 17. 如图，已知，． （1）尺规作图：在上找出点，使点到两边的距离相等； （2）根据（1）所求点，以点为圆心，长为半径作，求证：直线与相切． 【答案】（1） 如图所示，点为所求． （2） 证明：如图，过点作，垂足为． 点到两边的距离相等， 为的平分线． ， ， ， ， 长为半径， 为半径， 直线与相切． 【解析】 【分析】（1）作的角平分线，与的交点即为M点； （2）过点作，垂足为．由（1）知为的平分线，则，进而可得，即为半径．，由此可得直线与相切． 问题主要考查了角平分线的判定和性质，以及切线的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意（如图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为厚度忽略不计) （1）求支点C离桌面l的高度为多少？（结果保留根号） （2）当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加了多少？结果精确到，参考数据：，，） 【答案】（1）厘米 （2）7.9厘米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．把所求线段和所给角放在合适的直角三角形中是解决本题的关键． （1）过点C作于点F，过点B作于点M，易得四边形为矩形，那么可得，，所以，利用的三角函数值可得长，加上长即为支点C离桌面l的高度； （2）过点C作过点E作于点H，分别得到与所成的角为和时的值，相减即可得到面板上端E离桌面l的高度增加或减少了． 【小问1详解】 解：过点C作于点F，过点B作于点M， ∴． 由题意得：， ∴四边形为矩形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， 答：支点C离桌面l的高度为； 【小问2详解】 解：过点C作过点E作于点H， ∴． ∵， ∴， 当时，； 当时，； ∴， ∴当α从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加了约． 19. 为了圆梦中考，某校九年级的同学们刻苦训练跳绳，为进一步了解同学们的训练情况，从初三年级甲班和乙班中，各随机抽取40名同学进行1分钟跳绳测试，并对测试结果进行了整理、描述和分析，把1分钟跳绳完成个数用x表示，并分成了四个等级，其中，，，，下面给出了部分信息：请你根据信息，回答下列问题： ①甲班1分钟跳绳个数的扇形统计图 ②乙班1分钟跳绳个数频数分布统计表 分组 频数 ③乙班组数据从高到低排列，排在最前面的个数据分别是：，，，，，，， ④甲班和乙班1分钟跳绳个数的平均数、中位数、A等级所占百分比如下表： 班级 平均数 中位数 等级所占百分比 甲班 乙班 （1）____________，____________，____________； （2）根据以上数据分析，你认为哪个班级学生跳绳水平相对较差，请说明理由；（写出一条理由即可） （3）已知该校九年级共有1600名学生参加了此次测试，若跳绳个数大于等于200为优秀，请估计参加此次测试中1分钟跳绳优秀的学生有多少人？ 【答案】（1），， （2） 解：乙班级学生跳绳水平相对较差， ∵从中位数看，乙班中位数小于甲班， ∴乙班级学生跳绳水平相对较差．（理由不唯一） （3）估计参加此次测试中1分钟跳绳优秀的学生有人 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，频数分布表，中位数，众数，用样本估计总体， （1）用抽取的总人数减去、、等级人数即可求得值；根据中位数定义可求得值；用即可求得，从而得出值； （2）可比较中位数，众数与A等级点的百分比得出结论； （3）利用样本估计总体可求解． 【小问1详解】 解：； 乙班等级占有人，等级有人， 乙班组数据从高到低排列，排在最前面的个数据分别是：，，，，，，， 又乙班中位数是从高到低排列第位和第位， ∴中位数， ∵ ∴． 故答案为：，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：甲班等级人数为（人），B等级人数为（人） 乙班等级人数为2人，B等级人数为14人， 答：估计参加此次测试中1分钟跳绳优秀的学生有人． 20. 随着劳动教育的开展， 某学校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为28米），用长为40米的篱笆， 围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端设计了两个宽 1米的小门，便于同学们进入． （1）若围成的菜地面积为120平方米，求此时边的长； （2）可以围成的菜地面积最大是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握方程的应用和二次函数最值的应用是解题的关键． (1) 设，则，依题意列方程计算即可． (2) 设菜园的面积为，依题意构造二次函数计算即可． 【小问1详解】 设，则，依题意，得： ， 即， 解得：，， 当时，（不合题意，舍去）， 当时，． 答：菜园的面积能达到时的长为． 【小问2详解】 设菜园的面积为，依题意，得： ， ∴当时，y有最大值为147． 答：菜园的最大面积是． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点P为y轴上一点，⊙P交y轴于点A，点B，交x轴的正半轴于点C，AD平分∠BAC交⊙P于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交y轴于点F． （1）求证：EF为⊙P的切线； （2）若A(0，−1)，C(，0)，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接PD， ∵PD=PA，∴∠PDA=∠PAD， ∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠PAD， ∴∠PDA=∠EAD， ∴PD∥AE， ∵EF⊥AC， ∴PD⊥EF， ∵PD为⊙P的半径， ∴EF为⊙P的切线； （2）2-． 【解析】 【分析】（1）连接PD，证明EF⊥AC，推出PD⊥EF，即可证明EF为⊙P的切线； （2）利用垂径定理求得⊙P的半径，利用三角函数求得∠CPO=60°，再根据阴影部分的面积=S△PDF-S扇形PBD，利用扇形和三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接PC，设PC=x，则PA=x， ∵A(0，−1)，C(，0)，∴OA=1，OC=，PO=x-1， 在Rt△POC中，PC2=PO2+OC2， ∴x2=(x-1)2+()2， 解得：x=2， ∴PC=2，PO=1， ∴cos∠CPO==， ∴∠CPO=60°， ∴△APC是等边三角形， ∵PD∥AE， ∴∠BPD=∠PAC=∠CPO=60°， 在Rt△PDF中，∠BPD=60°，PD=PC=2， ∴PF=2PD=4，DF=2 ∴阴影部分的面积=S△PDF-S扇形PBD =×2×2-=2-． 【点睛】本题考查了解直角三角形，扇形的面积公式，垂径定理，等边三角形的判定和性质，切线的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 22. 数学兴趣小组的同学们以“图形的折叠”为主题开展探究活动． 【操作推断】 （1）如图①，点P是正方形纸片的边的中点，沿折叠，使点A落在点M处， 延长交于点F， 连接， 则 ； 【迁移探究】 （2）如图②， 延长交于点 E， 连接． ① ； ②小明用大小不同的正方形纸片重复几次以上操作，总发现 ．请判断该发现是否正确？并说明理由； 【拓展应用】 （3）将边长为2的两个相同正方形拼成矩形，如图③，点P 是 上一动点，沿折叠，使点A落在点M处，射线交射线于点F．当时，直接写的长． 【答案】（1）90 （2）① 45； ②判断正确，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． （3）1或 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到，根据折叠的性质得到，，，根据全等三角形的性质即可解答； （2）①根据正方形的性质得到，进而得到，根据折叠的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，进而完成解答；②根据相似三角形的判定和性质定理即可解答； （3）根据矩形的性质得到，再分点F在的延长线上和上两种情况，分别运用正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质定理解答即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点P是正方形纸片的边的中点， ∴， ∵沿折叠，使点A落在点M处， ∴，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：90． 【小问2详解】 解：①∵四边形是正方形， ∴， ∵点P是正方形纸片的边的中点， ∴， ∵沿折叠，使点A落在点M处， ∴，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：45． ②略 【小问3详解】 解：∵将边长为2的两个相同正方形拼成矩形， ∴， ∴， ∵沿折叠，使点A落在点M处， ∴． 当点F在的延长线上时，设与交于E， 在中，， ， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ， ∴， ∴，即， 解得， ∴； 当点F在上时， ， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质、矩形的性质、勾股定理、折叠的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握正方形的性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键． 23. 如图1，抛物线：（）与x轴交于A、B两点（在的左侧），与y轴交于点． （1）求、、三点的坐标（可用含a的式子表示）； （2）当时，若点是抛物线上一点，且，求所有满足条件的点的坐标； （3）在（2）的条件下，若将抛物线沿着x轴向右平移m（）个单位后得到抛物线，如图2，与原直线交于、两点（在的左侧），且，求m的值． 【答案】（1）A（，0）；B（，0）；C（0，） （2）P（，）或P（，） （3） 【解析】 【分析】（1）把和分别代入y=ax2+10ax+16a即可得出A、B、C三个点的坐标； （2）先根据，求出点C的坐标，求出a的值，得出函数的关系式，分点P在AC上方和点P在AC下方两种情况进行讨论即可； （3）过点M作ME⊥x轴于点E，NF⊥y轴于点F，先求出BC的解析式，设出点N的坐标，用n表示出CF，证明，根据相似三角形的性质，表示出点M的坐标，根据平移写出抛物线的关系式，联立得：，整理得出关于x的一元二次方程的一般形式，利用根与系数的关系，列出关于m、n的方程组，解方程组得出m的值即可． 【小问1详解】 解：把代入y=ax2+10ax+16a得：y=16a， ∴点C的坐标为（0，16a）， 把代入y=ax2+10ax+16a得：ax2+10ax+16a=0， ∵a≠0， ∴x2+10x+16=0， 解得：，， ∴点A的坐标为（-8，0），点B的坐标为（-2，0）． 【小问2详解】 ， ∴OC=， ∴点的坐标为（0，-4）， ， 解得：， ∴函数关系式为：； 当点P在AC下方时，如图所示： ， ∴轴， 点P的纵坐标与C点的纵坐标相同， 把代入得：， 解得：，， ∴此时点P的坐标为：（-10，-4）； 当点P在AC上方时，PC与x轴交于点D，如图所示： ， ， 设点D的坐标为（）， ，， ， 解得：， ， 设的关系式为，把代入得：， ∴的关系式为， 联立，解得：，， ∴此时点P的坐标为：； 综上分析可知，点P的坐标为：（-10，-4）或． 【小问3详解】 过点M作ME⊥x轴于点E，NF⊥y轴于点F，如图所示： 设BC的关系式为，把代入得：，解得：， 的关系式为， 设点N的坐标为：（n＞0），则， ∵轴， ， ， ， ， ，， 点的坐标为， 抛物线关系式为： 向右平移m个单位后，关系式为： 联立得：， 整理得：， 、N两点的横坐标为方程的两个解， 由①得：， 把代入②得：， 解得：，（舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程根与系数的关系，作出辅助线，熟练运用相似三角形的判定和性质和一元二次方程根与系数的关系，并注意分类讨论，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $