专题3.10 第三章 一元函数的导数及其应用 新定义题-【练透核心考点】备战2026年高考数学一轮重难点题型狂飙特训（新教材新高考）

专题3.10 第三章 一元函数的导数及其应用 新定义题 目录 一元函数的导数及其应用新定义题（小题） 1 一元函数的导数及其应用新定义题（解答题） 10 温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头 一元函数的导数及其应用新定义题（小题） 1．（24-25高二下·河北衡水·期中）若函数的定义域为，且存在，使得，则称是的一个“二倍阶值点”．下列四个函数中，不存在“二倍阶值点”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、导数新定义 【分析】先对函数求导，得到关于的方程，根据“二倍阶值点”的定义，探究方程的解是否存在，逐个选项进行判断即可求解. 【详解】对于A，，， 由，得，解得， 所以函数存在“二倍阶值点”； 对于B，，， 由，得， 因为，，解得， 所以函数存在“二倍阶值点”； 对于C，，， 由，得， 令，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，有极小值也是最小值，且， 所以无解， 所以函数不存在“二倍阶值点”； 对于D，，， 由，得， 令，， 所以在上单调递增， 又，， 根据零点存在性定理可知在上存在零点， 所以方程有解， 所以函数存在“二倍阶值点”. 故选：C. 2．（2025·江西赣州·二模）若函数在区间D上单调递增，且函数在区间D上也单调递增（其中是函数的导函数），那么称函数是区间D上的“快增函数”，区间D叫作“快增区间”，则函数的“快增区间”为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、导数新定义 【分析】根据“快增函数”的定义先求出函数的单调增区间，再求出函数在函数的单调增区间上的增区间即可. 【详解】由题知恒成立， 当时，，所以，即单调递增； 当时，，所以，即单调递减. 令，， 则. 令，则， 令， 所以当时，， 即时，，单调递增， 所以函数的“快增区间”为. 故选：A. 3．（24-25高三上·河北石家庄·期中）定理：如果函数及满足：①图象在闭区间上连续不断；②在开区间内可导；③对，那么在内至少有一点，满足成立，该定理称为柯西中值定理.请利用该定理解决下面问题：已知，若存在正数，满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题、导数新定义 【分析】令，由柯西中值定理可知：那么在内至少有一点，满足，令，对求导，求出的值域，即可得出答案. 【详解】由可得：， 令，所以 由柯西中值定理可知：那么在内至少有一点，满足成立， 因为，，所以，， 所以令， ，， 令可得：或， 令可得：， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，， 当趋于正无穷时，趋近， 所以，所以实数的取值范围为. 故选：A. 4．（24-25高三上·湖北·期中）英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法—牛顿迭代法，做法如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，则与轴的交点的横坐标，称是的第一次近似值；过点作曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的第二次近似值；重复以上过程，得的近似值序列，其中，称是的次近似值，这种求方程近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程的近似解，则下列正确的是（    ）    A．若取初始近似值为1，则过点作曲线的切线 B．若取初始近似值为1，则该方程解的第二次近似值为 C． D． 【答案】D 【知识点】利用导数研究方程的根、导数新定义 【分析】根据条件介绍的牛顿迭代法求近似解即可. 【详解】解：构造函数，则， 取初始近似值，，， 则，即，则A错误； ，，B错误； 根据题意，可知， 上述式子相加，得， 所以，C不正确，则D正确. 故选：D. 【点睛】关键点睛《解答本题的关键是理解牛顿迭代法的含义，并根据其含义去解决问题. 5．（23-24高二下·北京通州·期中）函数，其中，是常数，其图象是一条直线，称这个函数为线性函数，对于非线性可导函数，在点附近一点的函数值，可以用如下方法求其近似代替值：.利用这一方法，的近似代替值（    ） A．一定大于 B．一定小于 C．等于 D．与的大小关系不确定 【答案】A 【知识点】求某点处的导数值、导数新定义 【分析】根据题意可构造函数，利用求近似代替值的方法即可得近似代替值一定大于. 【详解】令函数，则； 根据题意可得； 又因为， 因此近似代替值，近似代替值一定大于. 故选：A 6．（23-24高二下·江苏常州·期中）设定义在上，若对任意实数，存在实数，使得成立，则称满足“性质”，下列函数满足“性质”的有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、导数新定义 【分析】对题干条件变形，转化为在上不单调，即可满足“性质”，再分别对选项一一判断即可. 【详解】将变形为：， 令，则在上至少有2个不等实数使得， 所以在上不单调，即可满足“性质”； 对于A，，当时，在上单调递增，所以不满足“性质”； 对于B，，，所以时，，当时，，所以在上不单调，满足“性质”； 对于C，，当时，则，所以在上单调递减，则不满足“性质”； 对于D，，当时，，在上单调递减，则不满足“性质”； 故选：B 7．（23-24高二下·河南郑州·期末）计算器计算，，，等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的. “泰勒展开式”的内容为：如果函数在含有的某个开区间内可以进行多次求导数运算，则当时，有，其中是的导数，是的导数，是的导数，…. 取，则精确到的近似值为（    ） A．0.82 B．0.84 C．0.86 D．0.88 【答案】B 【知识点】基本初等函数的导数公式、求某点处的导数值、导数新定义 【分析】根据泰勒展开式，化简得到，求得的“泰勒展开式”，令，代入上式，进而求得的近似值． 【详解】根据题意，， 取时，可得， 则 ， 令，代入上式可得， 所以． 故选：B 8．（多选）（2025高二·全国·专题练习）为的导数，若函数在区间上存在，满足，则称为区间上的“对视数”，函数为区间上的“对视函数”．则下列结论中正确的有（    ） A．函数在任意区间上都不可能是“对视函数” B．函数是上的“对视函数” C．函数是上的“对视函数” D．若函数为上的“对视函数”，则在上单调 【答案】AC 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、导数新定义 【分析】利用二阶导数判断导数的单调性，结合对视函数定义可判断A；通过判断在给定区间内解得个数可判断BC；举反例，可判断D. 【详解】对于A，，设，则， 设，则． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，所以恒成立， 所以，即在上单调递增， 所以不存在，使得， 即函数在任意区间上都不可能是“对视函数”，A正确． 对于B，，， 令，，得，只有一个根， 所以函数不是上的“对视函数”，B错误． 对于C，，， 令，解得，，而， 所以函数是上的“对视函数”，C正确． 对于D，可举反例：，，由，得， 故，但在区间上不单调，故D错误． 故选：AC． 9．（2024·四川成都·模拟预测）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题，牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法，如图，在横坐标为的点处作的切线，该切线与x轴的交点为；在横坐标为的点处的切线与x轴的交点为；一直继续下去，得到，，，…，，它们越来越逼近的零点r．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当，近似值相等时，该值可作为函数的一个零点r．用“牛顿法”求方程的近似解r，可以构造函数，若，得到该方程的近似解r约为 （精确到0.1）． 【答案】3.3 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的加减法、导数新定义 【分析】分别求出曲线的切线方程，由切线方程求与x轴的交点横坐标，循环求解即可. 【详解】由，得． 当时，，， 则过点的切线方程为， 令，得． 又，， 则过点的切线方程为， 令，得，此时与近似值相等，故近似解r约为3.3． 故答案为：3.3 10．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当在处的阶导数都存在时，.注:表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，即为的导数. 表示的阶乘，即.该公式也称为麦克劳林公式.根据该公式估算的值为 .(精确到小数点后两位) 【答案】0.84 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、导数新定义 【分析】根据麦克劳林公式，求出，令即可求解. 【详解】令， 则，，，， 故， 由麦克劳林公式得，， 所以. 故答案为：0.84. 一元函数的导数及其应用新定义题（解答题） 1．（24-25高二下·河北张家口·阶段练习）函数的单调性反映在图象上，就是曲线的上升或下降，但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题，即函数的凹凸性，函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述定义如下：设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凹的（图1），区间为凹的区间；设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凸的（图2），区间为凸的区间.    关于导数与函数的凹凸性的关系，有如下定理：设在区间上连续，在区间上具有一阶和二阶导数，那么①如果在上恒有，则在区间上的图象是凹的；如果在区间上的图象是凹的，则在上恒有；②如果在上恒有，则在区间上的图象是凸的；如果在区间上的图象是凸的，则在上恒有；其中是的导函数，为的一阶导数；是的导函数，为的二阶导数.根据以上内容，完成如下问题： (1)试判断函数图象是凹的还是凸的，用定理证明； (2)已知函数，求的凹的区间和凸的区间； (3)若时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)图象是凸的，证明见解析； (2)的凹的区间为，的凸的区间为. (3). 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（含参）、导数新定义 【分析】（1）求以及，判断的正负可证明； （2）求以及的解，即可求出函数的凹凸区间； （3）将恒成立变形为恒成立，分别求两个函数的单调区间，可判断两个函数的最值，从而求出的范围. 【详解】（1）的图象是凸的. 因为，， 又，所以，所以图象是凸的. （2）因为函数，所以的定义域为， ，， 令，则，令，则， 故的凹的区间为，的凸的区间为. （3）由题意可知，定义域为， 且等价于， 令，，，， 则，， ，当时，，当时，， 时，，时，， 故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减， 则，， 若恒成立，则，解得：. 2．（2025·贵州安顺·模拟预测）有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知．由于地形等原因，在修建高铁、公路、桥隧等基建时，我们常用曲线的曲率（Curvature）来刻画路线弯曲度．曲线的曲率定义如下：记为的导函数，为的导函数，则曲线在点处的曲率为． (1)已知函数，求曲线在点处的曲率； (2)已知函数，求曲线的曲率的范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、导数新定义 【分析】（1）利用给定定义求解特殊点处的曲率即可. （2）利用给定定义将目标式表示为一元函数，再不断换元，转化为三次函数最值问题，利用导数得到最值，进而求解取值范围即可. 【详解】（1）因为，所以， ，故，， 由曲率公式得. （2）因为，所以， ，由曲率公式得， 故， 则， 令，令，函数化为， 令，则，函数化为， 对进行变形，得到， 令，函数化为， 此时，我们研究的范围即可，而， 当时，恒成立，故在上单调递增， 而，， 故，即，故. 3．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)求函数的单调区间； (3)若对任意的实数，，曲线与直线总相切，则称函数是“函数”，当时，若函数是“函数”，求. 【答案】(1)极小值0，无极大值． (2)答案见解析 (3) 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求已知函数的极值、含参分类讨论求函数的单调区间、导数新定义 【分析】（1）求出导函数，利用导数求出函数的单调性区间，利用极值的定义求解即可； （2）利用导数与函数单调性间的关系，分类讨论求的单调区间即可； （3）利用“函数”的定义，结合导数的几何意义得，然后结合是方程的根，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系得到，即可求解. 【详解】（1）函数，， 当时，，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故有极小值，无极大值. （2）由（1）可知：当时，，在单调递减； 当时，令，得，， 所以，且为增函数， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 综上， 当时，的单调递减区间为，无递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； （3）当时，函数是“函数”， 求导得， 设曲线与直线切点， 则，故，即， 所以且， 设，，易知，且是增函数， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，所以是方程的根，且唯一， 所以． 4．（24-25高三上·陕西咸阳·期中）设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为曲线的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的图象的对称中心为. (1)求实数的值； (2)求的零点个数. 【答案】(1) (2)有3个零点 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点、导数新定义 【分析】（1）根据拐点与对称中心的关系可求出的值； （2）研究函数的极值与单调性，再结合零点存在定理即可判断函数的零点个数. 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以， 又因为的图象的对称中心为， 所以， 解得 （2）解：由（1）知，， ， 令，得或， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增. 因为， 又当时，； 当时，， 所以有3个零点. 5．（24-25高三上·安徽·阶段练习）设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为曲线的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数13的图象的对称中心为． (1)求实数m，n的值； (2)求的零点个数. 【答案】(1) (2)3个零点． 【知识点】导数的运算法则、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点、导数新定义 【分析】（1）利用拐点的概念，结合导数的运算即可求解； （2）利用导数求出函数的单调区间，结合极值情况即可判断零点个数. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 又因为的图象的对称中心为， 所以 即解得 （2）由（I）知，， 所以， 令，得或， 当变化时，的变化情况如下表： -3 1 + 0 - 0 + ↗ 14 ↘ -18 ↗ 所以的极大值为，极小值为， 又， 所以有3个零点． 6．（23-24高二下·江苏南京·期中）设函数在区间上可导，为函数的导函数.若是上的减函数，则称为上的“上凸函数”；反之，若为上的“上凸函数”，则是上的减函数. (1)判断函数在上是否为“上凸函数”，并说明理由； (2)若函数是其定义域上的“上凸函数”，求的取值范围； 【答案】(1)函数在上是“上凸函数”，理由见解析 (2) 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由函数在区间上的单调性求参数、导数新定义 【分析】（1）求导得，令，只需判断在上是否恒成立即可； （2）由题意设，则恒成立，即当时，恒成立，从而分类讨论即可求解； 【详解】（1）由题意，， 令，则， 当时，， 即此时，所以即单调递减， 从而由定义可知函数在上是“上凸函数”； （2）因为， 所以， 设，则， 由题意函数是其定义域上的“上凸函数”， 所以单调递减， 从而当时，恒成立，即当时，恒成立， 因为一元二次函数的对称轴为， 当，即时，恒成立，只需即可，解得，即； 当，即时，恒成立，只需，即，解得； 综上所述，的取值范围为. 7．（22-23高二下·江西萍乡·期中）定义：如果函数在定义域内存在实数，使成立，其中为大于0的常数，则称点为函数的级“平移点”.已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若在上存在1级“平移点”，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数图象及性质、导数新定义 【分析】（1）通过导数求斜率进而求解切线方程即可； （2）将题意转化为与图象有公共点，通过对右侧函数值域的研究即可得到答案. 【详解】（1）当时，，. ，. 故曲线在处的切线方程为 （2）因为在上存在1级“平移点”， 所以存在，使. 由， 得， 即， 即与图象有公共点， 令， 则， 所以在上单调递增，所以， 因为，所以，，所以， 所以，所以. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 8．（23-24高三上·贵州贵阳·开学考试）牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法．比如，我们可以先猜想某个方程的其中一个根在的附近，如图所示，然后在点处作的切线，切线与轴交点的横坐标就是，用代替重复上面的过程得到；一直继续下去，得到，，，……，．从图形上我们可以看到较接近，较接近，等等．显然，它们会越来越逼近．于是，求近似解的过程转化为求，若设精度为，则把首次满足的称为的近似解．    已知函数，． (1)当时，试用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解（取，且结果保留小数点后第二位）； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、导数新定义 【分析】（1）首先求处的切线方程，求得，再求处的切线方程，再依次求取，直到，求，即可求解；（2）首先化简不等式，，再构造函数，并求函数的导数，讨论和两种情况下函数的单调性，转化为求函数的最值，并结合最值的单调性，即可求解. 【详解】（1）当时，，则， 曲线在处的切线为，且 曲线在处的切线为，且 故，用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解为． （2）由，得， 设， 则 ∴当时，，单调递增，由于时，，不合题意； 当时，则有，，单调递减，，，单调递增， 即，即 易知单调递增，且，故. 【点睛】关键点点睛：本题第一问的关键是理解题意，重点是利用导数的几何意义求切线方程；第二问的关键是转化不等式，从而分析函数的性质，即可利用导数分析函数的性质. 9．（2023·上海普陀·一模）若函数同时满足下列两个条件，则称在上具有性质． ①在上的导数存在； ②在上的导数存在，且（其中）恒成立． (1)判断函数在区间上是否具有性质？并说明理由． (2)设、均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值． 【答案】(1)函数在区间上具有性质； (2)存在实数，使得在区间上具有性质，的取值范围是； (3)的最大值为. 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、导数新定义 【分析】（1）令，按照题目所给定义，求出和，并判断是否恒成立即可； （2）先利用为奇函数且在处取得极值求出实数，的值，再按照题目所给定义，求出，即可求出的取值范围； （3）分离参数得，构造函数，通过的最小值，即可确定正整数的最大值. 【详解】（1）令，， 则，， ，， 当时，恒成立， ∴函数在区间上具有性质； （2）∵， ∴， ∵在处取得极值，且为奇函数， ∴在处也取得极值， ∴，解得， ∴， ， 当时，令，解得；令，解得； 故在单调递减，在单调递增，满足在处取得极值， ∴， 当时，恒成立， ∴存在实数，使在区间上恒成立， ∴存在实数，使得在区间上具有性质，的取值范围是； （3）∵， ∴， 令， 则， 令， 则， 当时，，在区间上单调递增， 又∵，， ∴存在，使， ∴当时，，，在区间上单调递减， 当时，，，在区间上单调递增， ∴当时，的最小值为， 由，有， ∴， ∵，∴， 又∵恒成立， ∴， ∵且， ∴的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题中存在无法求解零点，使用了虚设零点的方法，设，再通过的代换，求得的最小值，这种方法，是解决“隐零点”的常用方法之一. 10．（21-22高二下·北京·期中）对于函数f（x），若存在实数满足，则称为函数f（x）的一个不动点.已知函数，其中 (1)当时， （i）求f（x）的极值点； （ii）若存在既是f（x）的极值点，又是f（x）的不动点，求b的值： (2)若f（x）有两个相异的极值点，，试问：是否存在a，b使得，均为f（x）的不动点？证明你的结论. 【答案】(1)（i）当时，没有极值点；当时，的极大值点为，极小值点为.（ii）. (2)不存在，证明见解析 【知识点】根据极值点求参数、导数新定义、求已知函数的极值点 【分析】（1）（i）利用导数，以及对进行分类讨论来求得的极值点. （ii）结合极值点、不动点的知识来列方程组，从而求得的值. （2）根据极值点、不动点的知识对的取值进行分析，从而作出正确的判断. 【详解】（1）（i）当时，，. 当时，恒成立，在上递增，没有极值点. 当时，令解得， 则在区间递增； 在区间递减， 所以的极大值点为，极小值点为. （ii）若是的极值点，又是的不动点， 则，即， 即，代入得 ， ，， ，， ，所以，则 （2），， 有两个相异的极值点，也即有两个不同的零点， 所以①，. 依题意，若是的不动点， 则，两式相减得， ， ， ，，这与①矛盾， 所以不存在符合题意的. 【点睛】有关导数的新定义问题的求解，关键点在于“转化”，将新定义的问题，转化为利用导数求解函数的单调区间、极值（点）、最值等问题来进行求解. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.10 第三章 一元函数的导数及其应用 新定义题 目录 一元函数的导数及其应用新定义题（小题） 1 一元函数的导数及其应用新定义题（解答题） 4 温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头 一元函数的导数及其应用新定义题（小题） 1．（24-25高二下·河北衡水·期中）若函数的定义域为，且存在，使得，则称是的一个“二倍阶值点”．下列四个函数中，不存在“二倍阶值点”的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江西赣州·二模）若函数在区间D上单调递增，且函数在区间D上也单调递增（其中是函数的导函数），那么称函数是区间D上的“快增函数”，区间D叫作“快增区间”，则函数的“快增区间”为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·河北石家庄·期中）定理：如果函数及满足：①图象在闭区间上连续不断；②在开区间内可导；③对，那么在内至少有一点，满足成立，该定理称为柯西中值定理.请利用该定理解决下面问题：已知，若存在正数，满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·湖北·期中）英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法—牛顿迭代法，做法如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，则与轴的交点的横坐标，称是的第一次近似值；过点作曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的第二次近似值；重复以上过程，得的近似值序列，其中，称是的次近似值，这种求方程近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程的近似解，则下列正确的是（    ）    A．若取初始近似值为1，则过点作曲线的切线 B．若取初始近似值为1，则该方程解的第二次近似值为 C． D． 5．（23-24高二下·北京通州·期中）函数，其中，是常数，其图象是一条直线，称这个函数为线性函数，对于非线性可导函数，在点附近一点的函数值，可以用如下方法求其近似代替值：.利用这一方法，的近似代替值（    ） A．一定大于 B．一定小于 C．等于 D．与的大小关系不确定 6．（23-24高二下·江苏常州·期中）设定义在上，若对任意实数，存在实数，使得成立，则称满足“性质”，下列函数满足“性质”的有（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·河南郑州·期末）计算器计算，，，等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的. “泰勒展开式”的内容为：如果函数在含有的某个开区间内可以进行多次求导数运算，则当时，有，其中是的导数，是的导数，是的导数，…. 取，则精确到的近似值为（    ） A．0.82 B．0.84 C．0.86 D．0.88 8．（多选）（2025高二·全国·专题练习）为的导数，若函数在区间上存在，满足，则称为区间上的“对视数”，函数为区间上的“对视函数”．则下列结论中正确的有（    ） A．函数在任意区间上都不可能是“对视函数” B．函数是上的“对视函数” C．函数是上的“对视函数” D．若函数为上的“对视函数”，则在上单调 9．（2024·四川成都·模拟预测）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题，牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法，如图，在横坐标为的点处作的切线，该切线与x轴的交点为；在横坐标为的点处的切线与x轴的交点为；一直继续下去，得到，，，…，，它们越来越逼近的零点r．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当，近似值相等时，该值可作为函数的一个零点r．用“牛顿法”求方程的近似解r，可以构造函数，若，得到该方程的近似解r约为 （精确到0.1）． 10．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当在处的阶导数都存在时，.注:表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，即为的导数. 表示的阶乘，即.该公式也称为麦克劳林公式.根据该公式估算的值为 .(精确到小数点后两位) 一元函数的导数及其应用新定义题（解答题） 1．（24-25高二下·河北张家口·阶段练习）函数的单调性反映在图象上，就是曲线的上升或下降，但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题，即函数的凹凸性，函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述定义如下：设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凹的（图1），区间为凹的区间；设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凸的（图2），区间为凸的区间.    关于导数与函数的凹凸性的关系，有如下定理：设在区间上连续，在区间上具有一阶和二阶导数，那么①如果在上恒有，则在区间上的图象是凹的；如果在区间上的图象是凹的，则在上恒有；②如果在上恒有，则在区间上的图象是凸的；如果在区间上的图象是凸的，则在上恒有；其中是的导函数，为的一阶导数；是的导函数，为的二阶导数.根据以上内容，完成如下问题： (1)试判断函数图象是凹的还是凸的，用定理证明； (2)已知函数，求的凹的区间和凸的区间； (3)若时，恒成立，求实数的取值范围. 2．（2025·贵州安顺·模拟预测）有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知．由于地形等原因，在修建高铁、公路、桥隧等基建时，我们常用曲线的曲率（Curvature）来刻画路线弯曲度．曲线的曲率定义如下：记为的导函数，为的导函数，则曲线在点处的曲率为． (1)已知函数，求曲线在点处的曲率； (2)已知函数，求曲线的曲率的范围． 3．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)求函数的单调区间； (3)若对任意的实数，，曲线与直线总相切，则称函数是“函数”，当时，若函数是“函数”，求. 4．（24-25高三上·陕西咸阳·期中）设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为曲线的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的图象的对称中心为. (1)求实数的值； (2)求的零点个数. 5．（24-25高三上·安徽·阶段练习）设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为曲线的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数13的图象的对称中心为． (1)求实数m，n的值； (2)求的零点个数. 6．（23-24高二下·江苏南京·期中）设函数在区间上可导，为函数的导函数.若是上的减函数，则称为上的“上凸函数”；反之，若为上的“上凸函数”，则是上的减函数. (1)判断函数在上是否为“上凸函数”，并说明理由； (2)若函数是其定义域上的“上凸函数”，求的取值范围； 7．（22-23高二下·江西萍乡·期中）定义：如果函数在定义域内存在实数，使成立，其中为大于0的常数，则称点为函数的级“平移点”.已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若在上存在1级“平移点”，求的取值范围. 8．（23-24高三上·贵州贵阳·开学考试）牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法．比如，我们可以先猜想某个方程的其中一个根在的附近，如图所示，然后在点处作的切线，切线与轴交点的横坐标就是，用代替重复上面的过程得到；一直继续下去，得到，，，……，．从图形上我们可以看到较接近，较接近，等等．显然，它们会越来越逼近．于是，求近似解的过程转化为求，若设精度为，则把首次满足的称为的近似解．    已知函数，． (1)当时，试用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解（取，且结果保留小数点后第二位）； (2)若，求的取值范围． 9．（2023·上海普陀·一模）若函数同时满足下列两个条件，则称在上具有性质． ①在上的导数存在； ②在上的导数存在，且（其中）恒成立． (1)判断函数在区间上是否具有性质？并说明理由． (2)设、均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值． 10．（21-22高二下·北京·期中）对于函数f（x），若存在实数满足，则称为函数f（x）的一个不动点.已知函数，其中 (1)当时， （i）求f（x）的极值点； （ii）若存在既是f（x）的极值点，又是f（x）的不动点，求b的值： (2)若f（x）有两个相异的极值点，，试问：是否存在a，b使得，均为f（x）的不动点？证明你的结论. 学科网（北京）股份有限公司 $$