专题3.8 导函数中的同构法(高考高频考点）( 4大核心题题型）-【练透核心考点】备战2026年高考数学一轮重难点题型狂飙特训（新教材新高考）

专题3.8 导函数中的同构法 目录 题型一：同构函数比较大小 1 题型二：通过同构函数证明不等式 2 题型三：通过同构函数解决零点问题 2 题型四：通过同构函数解决恒成立问题 3 温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头 题型一：同构函数比较大小 典型例题 例题1．（24-25高二下·湖北·期中）设，，，则a、b、c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 例题2．（2025·山西临汾·二模）设，则（    ） A． B． C． D． 例题3．（多选）（24-25高二下·江苏徐州·期中）已知，且，其中为自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 精练高频考点 1．（2025·陕西汉中·二模）若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·重庆北碚·阶段练习）已知对于都有，则a的最小值为（   ） A．1 B． C．0 D． 3．（24-25高二下·四川自贡·阶段练习）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 题型二：通过同构函数证明不等式 典型例题 例题1．（24-25高二下·湖北黄冈·阶段练习）已知实数 满足，则 的值为（ ） A． B． C． D．3 例题2．（24-25高三上·贵州贵阳·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 精练高频考点 1．（23-24高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知实数，，，满足，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·陕西宝鸡·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 题型三：通过同构函数解决零点问题 典型例题 例题1．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知函数有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高三上·云南·阶段练习）若是函数的零点，则（    ） A． B． C．2 D．1 精练高频考点 1．（2023·河北·三模）已知函数在区间上恰有2个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·模拟预测）若函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·辽宁大连·期中）已知函数有且只有一个零点，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型四：通过同构函数解决恒成立问题 典型例题 例题1．（24-25高三下·青海玉树·开学考试）设实数，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）已知当时，恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例题3．（23-24高二下·四川内江·阶段练习）已知不等式在上恒成立，则实数a的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 精练高频考点 1．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）若不等式对任意正实数x恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河北沧州·模拟预测）已知当时，不等式恒成立，则实数的最小值为（   ） A． B．1 C．2 D．e 3．（24-25高二下·广东·阶段练习）已知，若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.8 导函数中的同构法 目录 题型一：同构函数比较大小 1 题型二：通过同构函数证明不等式 5 题型三：通过同构函数解决零点问题 8 题型四：通过同构函数解决恒成立问题 12 温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头 题型一：同构函数比较大小 典型例题 例题1．（24-25高二下·湖北·期中）设，，，则a、b、c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、诱导公式二、三、四、诱导公式五、六、比较函数值的大小关系 【分析】利用诱导公式将分别化为，构造函数，利用导数判断函数的单调性即可. 【详解】，， ， 令，则， 令，则， 所以在单调递减，所以，即， 所以在单调递减，因为，所以， 即，所以. 故选：D 例题2．（2025·山西临汾·二模）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较指数幂的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小 【分析】构造函数求导可证明，即可求解，进而根据指数以及对数的性质求解. 【详解】记则， 故当时，，故在单调递增， 当时，，故在单调递减， 故，因此对任意的，都有， 当且仅当时取到等号， 故，故，故， 由于，因此， 故选：A 例题3．（多选）（24-25高二下·江苏徐州·期中）已知，且，其中为自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由不等式的性质比较数（式）大小、比较函数值的大小关系 【分析】原式变形为，构造函数，利用导数探讨函数的单调性，再结合不等式的性质逐项分析判断. 【详解】由，，得，则， 令函数，求导得，函数在上单调递减， 不等式，因此， 对于A，由，得，，A错误； 对于B，由，得，，B正确； 对于C，由，得，C正确； 对于D，，D正确. 故答案为：BCD 精练高频考点 1．（2025·陕西汉中·二模）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较对数式的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性、对数的运算性质的应用 【分析】先由对数的运算性质变形，再构造函数，然后求导分析单调性即可. 【详解】，，． 构造函数，则， 易证函数为增函数， （，令，所以时，为增函数.） 所以，所以，所以，即． 故选：C. 2．（24-25高二下·重庆北碚·阶段练习）已知对于都有，则a的最小值为（   ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】将题意的不等式变形为，构造函数，利用函数的单调性得到,再次构造函数，结合导数的应用求出函数的最大值即可. 【详解】对于，由， 可得：， 设，则， 所以函数在上单调递增，所以， 所以 所以， 设，则， 令， 所以在上单调递增，在上单调递减， 得，所以， 即实数的最小值为. 故选：B 3．（24-25高二下·四川自贡·阶段练习）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】利用导数可求得，分别代入和，整理可得的大小关系. 【详解】令，则， 所以在上单调递增，所以， 即，所以，则，即； 令，则， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 所以（当且仅当时取等号），所以， 即（当且仅当时取等号），所以， 所以即， 综上所述：. 故选：D. 题型二：通过同构函数证明不等式 典型例题 例题1．（24-25高二下·湖北黄冈·阶段练习）已知实数 满足，则 的值为（ ） A． B． C． D．3 【答案】A 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】 构造函数和，即可求导，得函数的最值，进而根据，得，求解. 【详解】 由题意可得， 设，则， 故，即， 令，则， 当时，，在单调递增； 当，，在单调递减. 所以，， 令，则， 当，，在单调递减； 当，，在单调递增. 故，. 由题意可知若，则，故，， 此时且，解得，故. 故选：A. 【点睛】 方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数； (3)利用导数研究的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题. 例题2．（24-25高三上·贵州贵阳·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式 【分析】当时，，因为，即可判断选项A；由，得，构造函数，利用导数分析函数的单调性，利用单调性比较大小，即可判断选项C；由知，两边取对数即可判断选项B；由，所以，即可判断选项D. 【详解】对于A选项，当时，，因为，所以A错误； 对于C选项，，由， 得， 令，则，，由， 得，由，得，则函数在上单调递减， 在上单调递增，且时，，当时， ，如图，因为，由，得，即， 所以，选项C正确； 对于B选项，由知，则即，所以B错误； 对于D选项，因为， 所以，得，D错误. 故选：C． 精练高频考点 1．（23-24高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知实数，，，满足，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】构造函数，求导，利用函数的单调性判断. 【详解】由题意， ， 又 ， 即 ； 设 ，则 ，当 时， ，单调递增， 时， ， ， 又， 设 ，则 ，当 时， ， 单调递减， ， ； 故选：D. 2．（23-24高三上·陕西宝鸡·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用导数证明不等式、比较函数值的大小关系、比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】因为，，则需比较与的大小关系，令，，利用导数说明函数的单调，即可得到，即从而得到，即可判断. 【详解】解：因为，即， 因为，， 要比较、的大小关系只需比较与的大小关系， 令，，则， 所以在上单调递增，所以， 即，当时，， 又在上单调递增，所以， 即，所以. 故选：C 题型三：通过同构函数解决零点问题 典型例题 例题1．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知函数有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点 【分析】因为，所以令，题意转化成有两个根，分和两种情况，当时，可转化成和有两个交点，通过导数画出的图象即可求解 【详解】， 令，显然该函数单调递增，，则有两个根， 当时，等式为，不符合题意； 故，等式转化为有两个根，即和有两个交点， 设，求导得， 故当时，，故在上单调递减； 时，，单调递增； 且当时，，， 故如图所示 由图可得，的取值范围是 故选：A. 【点睛】思路点睛：含指对数的函数的零点问题，注意利用同构转化为简单函数的零点问题. 例题2．（24-25高三上·云南·阶段练习）若是函数的零点，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据条件得到，变形得到，构造函数，利用的单调性，得到，即可求解. 【详解】因为是函数的零点，则， 即，又易知，所以， 设函数，则在区间上恒成立， 即在上单调递增， 所以，则. 故选：C. 精练高频考点 1．（2023·河北·三模）已知函数在区间上恰有2个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据题意，令，转化为在区间上恰有2个实根，进而转化为即在区间上恰有2个实根，得到与的图象在区间上恰有2个交点，利用导数求得函数的单调区间和极值，进而得到答案. 【详解】由函数在区间上恰有2个零点， 令，可得， 令，则在区间上恰有2个实根， 因为在上单调递增，所以即在区间上恰有2个实根， 所以函数与的图象在区间上恰有2个交点， 又由，当时，；当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，，且，所以， 所以实数a的取值范围是. 故选：A. 2．（2024·全国·模拟预测）若函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】进行合理换元和同构，转化为的图象与直线有两个交点，转化为交点问题，再利用导数研究函数的单调性、最值，最后得到参数的取值范围即可. 【详解】令， 所以． 令，定义域为， 令，易知在上单调递增，且． 所以， 则函数有两个零点转化为函数的图象与直线有两个交点． 则，当时，；当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，；当时，， 则，解得，即实数的取值范围是． 故选：D． 3．（23-24高三上·辽宁大连·期中）已知函数有且只有一个零点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】求导，对导函数同构变形，构造，得到其单调性，进而得到的单调性，从而得到要想满足有且只有一个零点，只需，得到方程，求出答案. 【详解】定义域为R， 且， 令，则恒成立， 故在R上单调递增， 当，即时，，单调递增， 当，即时，，单调递减， 故在处取得极小值，也是最小值， 故要想满足有且只有一个零点，只需， 即，解得. 故选：A 题型四：通过同构函数解决恒成立问题 典型例题 例题1．（24-25高三下·青海玉树·开学考试）设实数，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】依题意可得对任意，不等式恒成立，令，，结合函数的单调性得到对任意恒成立，参变分离可得对任意恒成立，构造函数，利用导数求出，即可得解. 【详解】因为对任意，不等式恒成立 即对任意，不等式恒成立， 即对任意，不等式恒成立， 因为，所以，又，所以， 令，，则， 所以在上单调递增， 由对恒成立，得到对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 令，，则， 所以当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以， 故得，即的取值范围是. 故选：D 例题2．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）已知当时，恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】由当时，恒成立，则，先利用导数工具研究函数的单调性，从而求出函数的值域为，进而构造函数，求出函数的最小值即为，进而即可得解. 【详解】令，则， 所以当时，，单调递减；时，，单调递增， 所以，又，所以的值域为， 令，则， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以， 又当时，恒成立，所以， 故实数a的取值范围为. 故选：A. 【点睛】思路点睛：恒成立求参问题通常转化为最值问题，对“时，恒成立”可转化为“”，利用导数工具可求得函数的值域，从而函数的最小值即为，故只需求出函数的最小值即可得解. 例题3．（23-24高二下·四川内江·阶段练习）已知不等式在上恒成立，则实数a的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】将不等式变形为，构造函数，可得出，只需考虑的情形，利用导数分析函数的单调性，可得出，利用导数求出函数在上的最小值，即可求得实数的最小值. 【详解】因为，可得， 构造函数，则，且， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 因为求的最小值，只需考虑的情形， 因为，则，，所以，，可得，则， 令，其中，则， 所以，函数在上单调递减，故， 所以，，即，解得. 因此，实数的最小值为. 故选：C. 精练高频考点 1．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）若不等式对任意正实数x恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】将不等式化为，构造，利用导数研究函数的单调性得，进而问题化为对任意正实数t恒成立，构造，导数求函数的最大值，即可得参数范围. 【详解】由，不等式，即， 即，即， 设，则上式为， 由，则在R上单调递增，可得， 由，得，令，则， 因此对任意正实数x恒成立，即对任意正实数t恒成立， 令，则， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 所以时，取得最大值，则. 故选：D 【点睛】关键点点睛：由题设有，构造并利用导数研究单调性，进一步有对任意正实数t恒成立为关键. 2．（2025·河北沧州·模拟预测）已知当时，不等式恒成立，则实数的最小值为（   ） A． B．1 C．2 D．e 【答案】A 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】先将不等式变形为，接着构造函数，利用导数工具求得恒成立，再构造函数，利用导数工具求出其最大值即可得解. 【详解】根据题意，因为，所以， 设函数，可得，，， 所以时，；时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以，可得，则， 设函数，则， 所以时，；时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得最大值，所以. 故选：A 3．（24-25高二下·广东·阶段练习）已知，若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】对变形，则，构造函数，根据单调性得，即，参变分离.再构造函数，通过求导得到取得最小值得解. 【详解】依题意，，即，则， 令，可知在上单调递增，则，则，故. 设，则，故当时，单调递减，当时，单调递增，当时，取得最小值，故. 故选：A. 学科网（北京）股份有限公司 $$