专题3.5 利用导数研究函数的零点问题(高考高频考点）( 3大核心题型+1大易错）-【练透核心考点】备战2026年高考数学一轮重难点题型狂飙特训（新教材新高考）

专题3.5 利用导数研究函数的零点问题 目录 第一部分：题型篇 1 题型一：函数零点（方程根）的个数问题 1 题型二：函数的最值（极值）与函数零点问题 11 题型三：函数的图象与函数零点问题 18 第二部分：易错篇 26 易错一：借助图象时注意结合极限，画更精确的图象 26 温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头 第一部分：题型篇 题型一：函数零点（方程根）的个数问题 典型例题 例题1．（24-25高三下·山东泰安·阶段练习）已知函数． (1)若是曲线的切线，求实数的值； (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求出导函数，利用切点在曲线和切线上，以及借助导数的几何意义列式计算即可得； （2）通过对函数求导，求出函数单调区间，根据函数有两个零点，结合函数图象的变化趋势转化为，解不等式即可求解. 【详解】（1）由得， 设曲线与相切于点， 则由题意，即，解得； （2）由（1）知，，易知， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故， 又无限趋向于正无穷大时，无限趋向于正无穷大， 无限趋向于负无穷大时，，， 若函数有两个零点，则，所以， 所以，即， 故实数的取值范围为. 例题2．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，判断函数在上的零点个数，并说明理由. 【答案】答案见解析 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】利用导数研究函数的单调性，进而利用零点存在性定理判断方程是否存在实数根即可. 【详解】因为，所以，所以，可化为， 设，则， 设， 可得即）在上单调递增， 又， 所以存在，使得，当时，单调递减； 当时，单调递增， 又因为，当，即时，有唯一零点在上， 当，即时，在上无零点. 综上可得，当时，函数在上有唯一零点； 当时，函数在上没有零点. 例题3．（24-25高二上·广西柳州·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，设，讨论函数的单调性； (3)若函数在上有且仅有2个零点，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)单调递增区间，单调递减区间； (3). 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点、根据函数零点的个数求参数范围、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）把代入，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）把代入，求出，利用导数求出其单调区间. （3）由函数零点的意义分离参数并构造函数，利用导数探讨函数性质，数形结合求出范围. 【详解】（1）当时，，求导得，则，而， 所以所求切线方程为，即. （2）当时，，求导得， 当时，，单调递增；当时， ，单调递减， 函数函数单调递增区间为，单调递减区间为. （3）当时，由，得，令，， 依题意，直线与函数在上的图象有两个交点， 求导得，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 函数的最大值为，且，，如图： 当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 所以实数的取值范围是. 例题4．（2025·浙江金华·二模）已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)若方程有且只有一个实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1)极小值为，无极大值. (2)或. 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的极值. （2）求出函数，利用导数探讨其单调性及极值，再按分类处理函数的零点为1个的条件求解. 【详解】（1）当时，函数的定义域为， 求导得，当时，，当时，， 所以当时，函数取得极小值，无极大值. （2）函数的定义域为，求导得， 令，则， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得极小值， ①若，当时，，函数在有唯一零点； 当时，，函数在无零点， 因此当时，有唯一零点； ②若，当从大于0的方向趋近于0时，函数的值趋近于负数， 即当时，，函数在上无零点； 当从大于的方向趋近于时，函数的值趋近于正无穷大， 当趋近于正无穷大时，函数的值趋近于正无穷大， 则当且仅当，有唯一零点，由，得，即， 令，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，因此， 则方程有唯一解，于是时，有唯一零点， 所以实数的取值范围为或. 例题5．（24-25高二下·浙江杭州·阶段练习）已知函数， (1)当时，求的对称中心； (2)证明：有唯一零点 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【知识点】判断或证明函数的对称性、利用导数研究函数的零点、零点存在性定理的应用 【分析】（1）设对称中心为，利用中心对称则公式即可求对称中心； （2）由得到，设，求出的单调性，结合零点存在定理即可判断. 【详解】（1）当时，， 设的对称中心为， 则， 所以， 整理得， 所以，解得， 所以的对称中心为 （2）由于，所以等价于， 设，则， 仅当时，因此在单调递增， 即至多有一个零点，从而至多有一个零点 又因为，， 故在内存在零点， 综上所述，可知有唯一零点 精练高频考点 1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数. (1)当时，求证：最大值小于； (2)若有两个零点，求实数k的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）利用指数不等式和对数不等式，即可放缩法证明； （2）利用同构思想变形为，从而构造函数，通过求导证明其单调性，即可转化为新的方程，再用分离参变量思想，构造函数求导分析，通过数形结合即可求解. 【详解】（1）当时，， 先证明：，令，其中， 则， 当时， ， 所以 在上单调递增，即， 则不等式在上恒成立， 再证明：，令，其中， 则， 则当时， ，当时， ， 所以在上递增，在上递减， 即， 则不等式在上恒成立， 所以有，证毕； （2）由得：， 构造函数，由，因为，所以， 即函数在上单调递增， 由，根据单调性可得： 再构造，则， 则当时， ，当时， ， 所以在上递减，在上递增，即 当时，由，可知， 当，由对数函数没有一次函数增长得快，可知， 而函数有两个零点等价于直线与函数有两个交点，根据数形结合可得：. 2．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数 (1)判断函数的单调性，并求出的极值； (2)画出函数的大致图像并求出方程的解的个数． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为，极小值； (2)当时，有个解；当或时，有个解；当时，有个解. 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点、画出具体函数图象、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）直接对于求导，判断单调性，进而求解极值；（2）由（1）的单调性与极值，最值，画出函数图像，利用数形结合求出的解的个数. 【详解】（1）由题意可知，的定义域为， 则， 令，则， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增. 所以故; （2）由（1）可知作出函数图像， 由图，当时，方程的解个数为个； 当或时，方程的解个数为个； 当时，方程的解个数为个. 3．（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）已知函数，曲线在处的切线方程为． (1)求的值； (2)函数在区间上存在零点，求的值． 【答案】(1)； (2)或. 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）根据切线确定切点，再由切点在函数图象上求参数值； （2）对函数求导，研究函数的区间单调性，结合零点存在性定理确定零点所在区间求参数值. 【详解】（1）因为曲线在处的切线方程为，所以切点为， 所以，得； （2）由（1）得，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极小值，又， 所以在区间上存在一个零点，此时， 因为，， 所以在区间上存在一个零点，此时， 综上，或． 4．（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）设函数，. (1)讨论的单调区间； (2)若在区间上有且只有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2) 【知识点】利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求出，分别由、解不等式可得答案； （2）由于，只需在区间上没有零点，分、、讨论，利用的单调性可得答案. 【详解】（1）， 由得：， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； （2）由于，只需在区间上没有零点， 由（1）知，①当时，即时，在区间上单调递增， 时，，符合题意； ②当时，即时，在区间上单调递减， 时，，符合题意； ③当时，即时，在上单调递减，在上单调递增， 只需即可，所以：， 综上，的取值范围是. 5．（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）已知函数，其中为自然对数的底数，为函数的导函数. (1)若在区间上不是单调函数，求a的取值范围； (2)若方程有两个不等实根，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）设，利用在区间上有变号零点，列不等式来求得的取值范围. （2）由分离常数，利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围. 【详解】（1），设， 若在区间上不是单调函数， 则在区间上有变号零点， 在上单调递增， 所以，解得. 所以a的取值范围是. （2）若有两个不等实根，，即不是的根. 所以当时，有两个不等实根， 令，， 所以在区间上单调递减， 在区间上单调递减， 当时，，当时，， 所以，是的极小值点，且极小值为， 当时，；当时，， 画出函数的大致图形，则的取值范围是， 所以的取值范围是 题型二：函数的最值（极值）与函数零点问题 典型例题 例题1．（24-25高二下·宁夏·阶段练习）已知函数 (1)函数在处取得极小值，求的值； (2)证明：当时，恒成立； (3)若函数有一个零点，求的取值范围. 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间、根据极值点求参数 【分析】（1）对求导，对和进行分类讨论函数的单调性即可求解； （2）由（1）易知：当时，在时，取得最小值，即可得证； （3）由函数零点与方程根的关系可将问题转化为方程在有一个根，进一步转化为直线与函数的图象在上有一个交点.构造函数，对求导研究其单调性、最值与图象变化趋势即可求解. 【详解】（1）， 的定义域为，. 当时，在上恒成立， 在上单调递减，无极值，不符合题意； 当时，令，解得；令，解得， 在上单调递减，在上单调递增， ∴当时，函数取得极小值. 又∵函数在处取得极小值，，即. （2）由（1）可知：当时，在上单调递减，在上单调递增， ∴当时，取得最小值， . ∴当时，恒成立 （3）函数在有一个零点，等价于方程在有一个根， 即方程在有一个根， 即直线与函数的图象在上有一个交点. 令，则. 令，即，解得；令，即为，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，， 又因为，当时，， 且时，，当时，， 所以当或时，函数有一个零点， 即的取值范围为. 【点睛】本题第（3）小问的解题关键方法是根据函数零点与方程根的关系将问题转化为图象交点的问题，然后构造函数研究其单调性、最值与图象变化趋势即可求解. 例题2．（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）已知函数 (1)若函数在处取得极小值，求实数a，b的值； (2)求的单调区间； (3)已知，且函数的极大值是1，讨论函数的零点个数． 【答案】(1)； (2)答案见详解； (3)答案见详解. 【知识点】利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间、根据极值求参数、根据极值点求参数 【分析】（1）求导，由题意可知，解得a，b，并验证即可； （2）求导，分，，三种情况讨论即可； （3）由（2）可求出函数的极值，通过讨论极值即可判断零点个数. 【详解】（1）因为， 所以， 因为函数在处取得极小值， 所以，解得， 此时， 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以当时，取到极小值，符合题意. 所以. （2）， 令，则或， 当时，，所以在上单调递增； 当，当或时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以的单调递增区间为，；单调递减区间为； 当，当或时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以的单调递增区间为，；单调递减区间为. （3）由（2）可知，当，的单调递增区间为，；单调递减区间为， 当时，函数取到极大值，即， 所以， 当时，函数取到极小值，即， 当即时，有1个零点； 当即时，有2个零点； 当即时，有3个零点. 例题3．（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）已知函数. (1)求函数的极值； (2)若，讨论函数的零点个数. 【答案】(1)极大值为，极小值为 (2)答案见解析 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求导后分析单调性可得； （2）先将问题转化为与的交点个数，再由（1）画出函数图象后可得. 【详解】（1），， 令， 所以当时，，为单调递减函数； 当时，，为单调递增函数； 当时，，为单调递增函数， 所以的极大值为，极小值为. （2）的零点个数即为与的交点个数， 由，可得，， 时；时；时， 结合（1）画出图象如下： 所以，当时，函数无零点； 当或，函数有一个零点； 当或时，函数有两个零点； 当时，函数有三个零点. 精练高频考点 1．（24-25高二下·北京·阶段练习）已知函数在时取得极值. (1)求函数的单调区间和极值点； (2)求函数在点处的切线方程； (3)若有两个零点，求的值. 【答案】(1)递增区间是，递减区间是，极大值点，极小值点 (2) (3)或. 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据极值点求参数 【分析】（1）利用导数求函数的单调区间和极值点即可； （2）利用导数求切线斜率即可得切线方程； （3）函数零点问题可分离参变量，构造数形结合即可求解参数取值. 【详解】（1）由题得，且定义域为. 由函数在时取得极值，得，解得， 检验：此时， 显然是的变号零点，即是极值点， 因此，令得或 所以当或时，，当时，， 所以函数的递增区间是，递减区间是. 即函数的极大值点是，极小值点是； （2）由（1）知，函数， 则有， 所以在点处得切线是， 即整理得为所求切线； （3）因为 由（1）可知在上单调递增，在上单调递减， 所以有极小值为，极大值为 端点值为，作出函数的图象： 由有两个零点得， 直线与函数的图像有两个交点， 即：或. 2．（24-25高二下·天津·阶段练习）已知函数 其中a为实数. (1)当 时，求曲线 )在点处的切线方程; (2)求函数的单调区间； (3)若函数有且仅有一个零点，求a的取值范围. 【答案】(1) (2)函数的单调递增区间是，；单调递减区间是； (3) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求导，确定斜率即可求解； （2）由和即可求解； （3）求得极值，通过极大值小于0，或极小值大于0，求解即可； 【详解】（1）当时，， 所以，， 所以，所以切线方程为：，即； （2）由，可得或， 由，可得：， 所以函数的单调递增区间是，；单调递减区间是； （3）由（2）知极大值为：，极小值为：， 当，故若函数有且仅有一个零点， 需满足：或， 解得：或， 即a的取值范围是； 3．（24-25高二下·山东菏泽·阶段练习）已知函数. (1)求函数的极值； (2)若函数无零点，用第（1）问结论求的取值范围. 【答案】(1)极小值为，无极大值. (2). 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）利用导数求得的单调区间，进而求得的极值. （2）根据的极小值列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）由题意得：定义域为，； 令，解得：， 则当时，；当时，； ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴的极小值为，无极大值. （2）由（1）知：的极小值即为的最小值，即； 若无零点，则，即，∴，解得：， 则的取值范围为. 题型三：函数的图象与函数零点问题 典型例题 例题1．（24-25高二下·广东惠州·阶段练习）已知函数 (1)当时，求的最大值与最小值； (2)在答题卡指定位置画出的大致图象，并讨论方程的解的个数. 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)图象见解析；答案见解析 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究方程的根、画出具体函数图象 【分析】（1）求导后分析单调性可得； （2）结合图象，由方程的解的个数即与图象交点的个数可得. 【详解】（1）， 令， 所以当时，，为增函数；当时，，为减函数； 因为，所以在上为增函数，在上为减函数， 所以， 又，，所以， 所以最小值为. 综上，最大值为，最小值为. （2） 方程的解的个数即与图象交点的个数， 由图可得： 当时，两图象无交点，即方程无解； 当时，两图象有一个交点，即方程有一个解； 当时，两图象有两个交点，即方程有两解； 当时，两图象有一个交点，即方程有一个解； 综上，当时，即方程无解； 当时，即方程有一个解； 当时，即方程有两解； 当时，即方程有一个解. 例题2．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知函数 (1)判断函数的奇偶性. (2)当时，求函数经过点的切线方程； (3)若函数在处有极值，根据实数的不同取值，讨论关于的方程的实根的个数. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)答案见解析 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求过一点的切线方程、利用导数研究方程的根、根据极值点求参数 【分析】（1）根据二次函数的对称性，分和两种情况讨论即可； （2）设切点为，根据导数的几何意义求出切线方程，再将点代入求出切点，即可得解； （3）由题意可得，求出，再利用导数求出函数的单调区间及极值，作出函数的图象，结合图象讨论即可得解. 【详解】（1）函数为二次函数，是轴对称图形，且对称轴为， 当时，函数的图象关于对称，所以函数为偶函数， 当时，函数为非奇非偶函数； （2）当时，，则， 设切点为， 则切线的斜率， 所以切线方程为， 又因为切线过点， 所以， 化简得，解得， 切线方程为，即； （3），则， 因为函数在处有极值， 所以，解得， 则， 令，则或，令，则， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极小值点， 所以，所以 ， 当时，，当时，， 如图，作出函数的大致图象，    由图可知，当或时，方程有个实数根； 当或时，方程有个实数根； 当时，方程有个实数根. 例题3．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知函数． (1)求的极值； (2)若方程在区间上有两个实数解，求的取值范围． 【答案】(1)极小值-1，无极大值 (2) 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究方程的根 【分析】（1）求导，确定函数单调区间即可求解； （2）确定函数图像，结合图像即可求解； 【详解】（1）的定义域是，， 可得， x 0 0 减函数 极小值 增函数 所以的单增区间是，单减区间是 当时，取得极小值，无极大值. （2）由（1）可知，在单调递减，在单调递增， 又，当，， 所以方程在区间上有两个实数解， 等价于的图像与在又两个交点， 结合图像    所以的取值范围是. 精练高频考点 1．（24-25高二下·山东济南·阶段练习）已知函数上点处的切线方程为 (1)求的解析式； (2)若函数在上有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求函数导函数，根据导数的几何意义和题意可知，，，建立关于、的方程组，求出、，从而可得函数的解析式； （2）由，可得出，令，其中，利用导数分析函数的单调性与极值，分析可知，直线与函数在上的图象有且只有两个交点，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）由题意可知， 因为函数图象上点处的切线方程为， 所以，，，解得，， 所以，. （2）由，可得， 令，其中，则， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，函数的极小值为，，， 由题意可知，直线与函数在上的图象有且只有两个交点，如下图所示：    由图可知，实数的取值范围是. 2．（24-25高二下·天津·阶段练习）已知函数在处有极大值. (1)求实数的值； (2)若函数，研究方程实数根的个数及实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】根据极值求参数、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）由题意题干中的函数进行求导，根据极值与导数的关系建立方程，分别检验解得的根，可得答案； （2）由（1）明确函数解析式，利用导数求得其极值与单调性，并作图，根据零点定义，将问题等价转化为函数交点问题，可得答案. 【详解】（1）由函数，求导可得， 由函数在处取极大值，则，解得或， 当时，可得， 易知当时，；当时，， 则此时函数在处取得极小值，不符合题意，舍去； 当时，可得， 易知当时，；当时，， 则此时函数在处取得极大值，符合题意. 综上所述，. （2）由（1）可得函数，求导可得， 令，解得或3，可得下表： 1 3 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的极大值为，极小值为， 函数的零点个数，等价于函数图象与直线的交点个数， 如下图： 由图可得当，则，此时有三个不同的零点， 当或，则或，此时有两个不同的零点， 当或，则或，此时有一个零点， 3．（2025·山东烟台·一模）已知函数在处有极大值. (1)求实数的值； (2)若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）由题意题干中的函数进行求导，根据极值与导数的关系建立方程，分别检验解得的根，可得答案； （2）由（1）明确函数解析式，利用导数求得其极值与单调性，并作图，根据零点定义，将问题等价转化为函数交点问题，可得答案. 【详解】（1）由函数，求导可得， 由函数在处取极大值，则，解得或， 当时，可得， 易知当时，；当时，， 则此时函数在处取得极小值，不符合题意，舍去； 当时，可得， 易知当时，；当时，， 则此时函数在处取得极大值，符合题意. 综上所述，. （2）由（1）可得函数，求导可得， 令，解得或，可得下表： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的极大值为，极小值为， 函数存在三个零点，等价于函数图象与直线存在三个交点， 如下图： 由图可得，则. 第二部分：易错篇 易错一：借助图象时注意结合极限，画更精确的图象 典型例题 例题1．（2025·湖北·二模）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若，讨论方程的根的个数. 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【知识点】利用导数研究方程的根、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）应用分类讨论及导数研究函数的单调区间即可； （2）根据已知有，构造并应用导数研究函数的单调性，得到，利用导数研究右侧的单调性和最值，即可得参数范围. 【详解】（1）的定义域为，则， 因，由，解得， ①当时，恒成立， 所以的无递增区间，递减区间为； ②当时，， 令，得；令，得， 所以的递增区间为，递减区间为； ③当时，， 令，得；令，得， 所以的递增区间为，递减区间为； 综上所述， 当时，无递增区间，递减区间为； 当时，的递增区间为，递减区间为； 当时，的递增区间为，递减区间为； （2）由题设， 令，则，即在上单调递增， 故上式中满足，则有，可得， 令，则，由解得. 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 当时，且，当时，， 故. 结合图象，可知， 当时，方程有0个实根； 当或时，方程有1个实根； 当时，方程有2个实根. 例题2．（24-25高三上·浙江杭州·阶段练习）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极小值点和极小值； (3)若方程恰好有2个解，则实数的范围. 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为，； (2)函数的极小值点为0，极小值为0. (3). 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、利用导数研究方程的根 【分析】（1）求导，即可根据导函数的正负求解， （2）根据函数的单调性，结合极值的定义即可求解， （3）结合函数的单调性和极值，作出函数图象，根据函数图象即可求解.. 【详解】（1）因为，所以，定义域为R， 令，可得，所以或， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 故的单调递增区间为，单调递减区间为， （2）由（1）知：当时，函数取极小值，极小值为0， 所以函数的极小值点为0，极小值为0. （3）由（1）函数在，单调递减，在单调递增， 且，， 所以当时，，当时，， 当时，，当时，， 所以函数的大致图象如下： 由图可知当且仅当时，方程恰好有2个解， 所以； 例题3．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知函数， (1)求函数的单调区间和极值； (2)讨论关于方程的解的个数. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；有极小值，无极大值 (2)答案见解析 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究方程的根、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）利用导数求函数的单调性，进而得极值； （2）将方程解的个数转化为函数的图象与直线的交点个数，结合函数性质与趋势分析，作出函数图象，数形结合可得图象交点的个数. 【详解】（1）函数的定义域为 令，解得 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 所以当时，有极小值，且极小值为. 综上所述，的单调递增区间为，单调递减区间为； 有极小值，极小值为，无极大值. （2）令，解得； 当时，；当时，. 当时，，当时，， 结合（1）中分析可得，的大致图象如图所示， 方程的解的个数为函数的图象与直线的交点个数. 由（1）可得当时，有最小值； 由图可得，当时，方程无解； 当或时，方程有1个解； 当时，方程有两个解. 精练高频考点 1．（23-24高二下·河北保定·期末）已知函数 . (1)若 在 上单调递增，求 的取值范围; (2)若 且经过点 只可作 的两条切线，求 的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究方程的根、求过一点的切线方程 【分析】（1）在上恒成立，分离参数转化为函数最值问题. （2）设切点坐标，写出切线方程，问题转化为方程有两个解的问题，利用导数研究函数的性质画出图象即可求解. 【详解】（1）因为在上单调递增，所以在上恒成立， 即 在恒成立， 设，显然在上单调递减， 所以，所以. （2）若，则，， 设切点坐标为，则切线方程， 把代入切线方程得：， 设，则，令得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 当时，，当时，， 依题意过存在两条切线，即方程有两解，根据的图象可得： ，即. 2．（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）已知函数在处的切线方程为. (1)求的解析式； (2)若方程（m为常数）有两个根，求实数m的范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数研究方程的根、利用导数研究函数图象及性质 【分析】（1）求得函数的导数，根据切线方程为，得到切点坐标，列出方程组，求得的值，即可求得函数的解析式； （2）根据题意转化为与图象有两个交点问题，利用导数求得函数的单调性和最值，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 又因为已知函数在处的切线为，即切点为， 所以，解之得，， 所以函数的解析式为. （2）因为，所以， 令，解得， 当，，在为增函数， 且时，，时，， 当，，在为减函数， 且时，，当时，， 若方程（m为常数）有两个根，则. 故实数m的范围为. 3．（23-24高二上·安徽·期末）已知函数，其最小值为． (1)求的值； (2)若关于的方程恰有一个实根，求实数的范围． 【答案】(1)1 (2) 【知识点】已知函数最值求参数、利用导数研究方程的根 【分析】（1）先求导函数再求出最值求参即可； （2）先把函数转化为函数的交点问题，构造函数再结合单调性及值域求参即可. 【详解】（1）因为，所以， 当，则，可知单调递增； 当，则，可知单调递减； 则最小值在处取到，可得，解得， 所以的值为1. （2）因为，所以， 显然不是方程的根，则. 令，则， 当，则，可知在和上单调递增； 当，则，可知在和上单调递减； 可知，，，， 且， ， 若有1个不同实根，即使与有一个交点即可， 可知或或， 所以实数的范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.5 利用导数研究函数的零点问题 目录 第一部分：题型篇 1 题型一：函数零点（方程根）的个数问题 1 题型二：函数的最值（极值）与函数零点问题 6 题型三：函数的图象与函数零点问题 9 第二部分：易错篇 12 易错一：借助图象时注意结合极限，画更精确的图象 12 温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头 第一部分：题型篇 题型一：函数零点（方程根）的个数问题 典型例题 例题1．（24-25高三下·山东泰安·阶段练习）已知函数． (1)若是曲线的切线，求实数的值； (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围． 例题2．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，判断函数在上的零点个数，并说明理由. 例题3．（24-25高二上·广西柳州·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，设，讨论函数的单调性； (3)若函数在上有且仅有2个零点，求a的取值范围． 例题4．（2025·浙江金华·二模）已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)若方程有且只有一个实数根，求实数的取值范围. 例题5．（24-25高二下·浙江杭州·阶段练习）已知函数， (1)当时，求的对称中心； (2)证明：有唯一零点 精练高频考点 1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数. (1)当时，求证：最大值小于； (2)若有两个零点，求实数k的取值范围. 2．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数 (1)判断函数的单调性，并求出的极值； (2)画出函数的大致图像并求出方程的解的个数． 3．（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）已知函数，曲线在处的切线方程为． (1)求的值； (2)函数在区间上存在零点，求的值． 4．（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）设函数，. (1)讨论的单调区间； (2)若在区间上有且只有一个零点，求实数的取值范围. 5．（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）已知函数，其中为自然对数的底数，为函数的导函数. (1)若在区间上不是单调函数，求a的取值范围； (2)若方程有两个不等实根，求a的取值范围. 题型二：函数的最值（极值）与函数零点问题 典型例题 例题1．（24-25高二下·宁夏·阶段练习）已知函数 (1)函数在处取得极小值，求的值； (2)证明：当时，恒成立； (3)若函数有一个零点，求的取值范围. 例题2．（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）已知函数 (1)若函数在处取得极小值，求实数a，b的值； (2)求的单调区间； (3)已知，且函数的极大值是1，讨论函数的零点个数． 例题3．（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）已知函数. (1)求函数的极值； (2)若，讨论函数的零点个数. 精练高频考点 1．（24-25高二下·北京·阶段练习）已知函数在时取得极值. (1)求函数的单调区间和极值点； (2)求函数在点处的切线方程； (3)若有两个零点，求的值. 2．（24-25高二下·天津·阶段练习）已知函数 其中a为实数. (1)当 时，求曲线 )在点处的切线方程; (2)求函数的单调区间； (3)若函数有且仅有一个零点，求a的取值范围. 3．（24-25高二下·山东菏泽·阶段练习）已知函数. (1)求函数的极值； (2)若函数无零点，用第（1）问结论求的取值范围. 题型三：函数的图象与函数零点问题 典型例题 例题1．（24-25高二下·广东惠州·阶段练习）已知函数 (1)当时，求的最大值与最小值； (2)在答题卡指定位置画出的大致图象，并讨论方程的解的个数. 例题2．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知函数 (1)判断函数的奇偶性. (2)当时，求函数经过点的切线方程； (3)若函数在处有极值，根据实数的不同取值，讨论关于的方程的实根的个数. 例题3．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知函数． (1)求的极值； (2)若方程在区间上有两个实数解，求的取值范围． 精练高频考点 1．（24-25高二下·山东济南·阶段练习）已知函数上点处的切线方程为 (1)求的解析式； (2)若函数在上有两个零点，求的取值范围． 2．（24-25高二下·天津·阶段练习）已知函数在处有极大值. (1)求实数的值； (2)若函数，研究方程实数根的个数及实数的取值范围. 3．（2025·山东烟台·一模）已知函数在处有极大值. (1)求实数的值； (2)若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围. 第二部分：易错篇 易错一：借助图象时注意结合极限，画更精确的图象 典型例题 例题1．（2025·湖北·二模）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若，讨论方程的根的个数. 例题2．（24-25高三上·浙江杭州·阶段练习）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极小值点和极小值； (3)若方程恰好有2个解，则实数的范围. 例题3．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知函数， (1)求函数的单调区间和极值； (2)讨论关于方程的解的个数. 精练高频考点 1．（23-24高二下·河北保定·期末）已知函数 . (1)若 在 上单调递增，求 的取值范围; (2)若 且经过点 只可作 的两条切线，求 的取值范围. 2．（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）已知函数在处的切线方程为. (1)求的解析式； (2)若方程（m为常数）有两个根，求实数m的范围. 3．（23-24高二上·安徽·期末）已知函数，其最小值为． (1)求的值； (2)若关于的方程恰有一个实根，求实数的范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$