专题3.4 利用导数研究不等式恒成立（能成立）问题(高考高频考点）( 5大核心题型+ 2大方法）-【练透核心考点】备战2026年高考数学一轮重难点题型狂飙特训（新教材新高考）

专题3.4 利用导数研究不等式恒成立（能成立）问题 目录 第一部分：题型篇 1 题型一：重点考查单变量恒成立问题 1 题型二：重点考查单变量能成立问题 4 题型三：重点考查型恒成立问题 6 题型四：重点考查型能成立问题 8 题型五：重点考查型双变量不等式问题 10 第二部分：方法篇 12 方法一：分离变量法 12 方法二：分类讨论法 15 温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头 第一部分：题型篇 题型一：重点考查单变量恒成立问题 典型例题 例题1．（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）已知函数，，若在上恒成立，则实数的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 例题2．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间和极值． (2)若对恒成立，求实数的取值范围． 例题3．（24-25高三下·陕西咸阳·阶段练习）设函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 例题4．（24-25高三上·辽宁朝阳·阶段练习）已知函数． (1)时，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求的值. 精练高频考点 1．（24-25高二下·天津河西·阶段练习）对任意的， 不等式恒成立， 则实数的取值范围为 . 2．（24-25高二下·贵州铜仁·阶段练习）已知函数，若在上恒成立，求实数的取值范围. 3．（24-25高三上·浙江·开学考试）已知函数在处取得极值. (1)求的单调区间； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 4．（23-24高二下·湖北·期中）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围. 题型二：重点考查单变量能成立问题 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）已知不等式在区间上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围． 例题3．（2026高三·全国·专题练习）设函数，． (1)求证：当时，； (2)若存在，使得成立，求的取值范围． 例题4．（2025·河北保定·一模）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若关于的不等式有实数解，求的取值范围. 精练高频考点 1．（20-21高二·全国·课后作业）已知函数，若关于的不等式在上有实数解，则实数的取值范围是 . 2．（24-25高二下·湖南衡阳·阶段练习）已知函数. (1)当时，求的单调区间与极值； (2)若在上有解，求实数a的取值范围. 3．（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）已知函数． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围. 4．（2025·新疆喀什·二模）已知函数 (1)当时，求的极值； (2)若存在，使得，求的取值范围． 题型三：重点考查型恒成立问题 典型例题 例题1．（24-25高二上·广西柳州·期末）已知函数，函数，若恒有，则的取值范围为 ． 例题2．（24-25高二下·山东·阶段练习）已知函数，，． (1)求的单调区间． (2)若的最大值为1，证明：对任意的，． (3)当时，若恒成立，求实数的取值范围． 精练高频考点 1．（24-25高二下·天津·阶段练习）已知函数，， (1)求的单调区间和极值点； (2)求使恒成立的实数的取值范围. 2．（2025·四川自贡·二模）已知函数，. (1)若存在极小值，且极小值为，求； (2)若，求的取值范围. 3．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若，且当时，恒成立，求实数的取值范围． 题型四：重点考查型能成立问题 典型例题 例题1．（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知函数． (1)求证：； (2)过点作直线与函数的图象均相切，求实数的值； (3)已知，若存在，使得成立，求实数的最大值． 例题2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若在上存在一点，使得成立，求的取值范围. 精练高频考点 1．（22-23高二下·江苏南通·阶段练习）已知函数，，（其中为自然对数的底数）.若存在实数，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·北京·阶段练习）已知函数，． (1)若在点处的切线为，求实数的值； (2)设函数，求函数的单调区间与极值； (3)若存在，使得成立，求的取值范围． 3．（24-25高三上·四川成都·期中）已知函数是自然对数的底数）. (1)若函数在处的切线方程为，求实数的值； (2)若，使得成立，求实数的取值范围. 题型五：重点考查型双变量不等式问题 典型例题 例题1．（2025·江西萍乡·一模）设函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 . 例题2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，使不等式成立，则实数的取值范围是 ． 例题3．（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知函数. (1)求的单调区间; (2)设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围. 精练高频考点 1．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数a的范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三下·江苏·专题练习）已知函数，，若对任意，均存在，使得，则实数的取值范围是 ． 3．（24-25高三上·湖北·期中）已知为函数的极小值点. (1)求的值； (2)设函数，若对，，使得，求的取值范围. 4．（23-24高三上·福建莆田·期中）已知函数． (1)当时，求函数的最小值； (2)若，且对，都，使得成立，求实数的取值范围． 第二部分：方法篇 方法一：分离变量法 典型例题 例题1．（24-25高二下·吉林四平·阶段练习）已知函数 (1)讨论函数的单调性 (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 例题2．（24-25高二下·重庆垫江·阶段练习）已知函数． (1)若，求曲线在处切线方程； (2)若时，恒成立，求实数的取值范围． 例题3．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知函数（a为实常数）． (1)若，求证：在上是增函数； (2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的x值； (3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 例题4．（2025·陕西·一模）已知，函数在处取得极值． (1)求a； (2)证明：对任意的m，，都有； (3)若存在实数，使得成立，求k的最小整数值． 精练高频考点 1．（24-25高二下·河南郑州·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的极值点； (2)若对任意，恒成立，求实数a的取值范围. 2．（24-25高二下·甘肃张掖·阶段练习）已知，. (1)求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)讨论函数在上的单调性； (3)对一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 3．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知函数 ． (1)求函数 在 上的最大值和最小值； (2)若不等式 有解，求实数 的取值范围. 4．（24-25高三上·宁夏石嘴山·期中）已知函数其中为常数. (1)求在处的切线方程； (2)若，使成立，求的最小值. 方法二：分类讨论法 典型例题 例题1．（2025·辽宁沈阳·二模）已知函数． (1)若存在，使成立，求k的取值范围； (2)已知，若在上恒成立，求k的最小值． 例题2．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数的图象的一条切线方程是. (1)求； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围. 精练高频考点 1．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 2．（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，，求实数a的取值范围． 3．（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）已知函数（，） (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，若存在，使得成立，求实数a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.4 利用导数研究不等式恒成立（能成立）问题 目录 第一部分：题型篇 1 题型一：重点考查单变量恒成立问题 1 题型二：重点考查单变量能成立问题 7 题型三：重点考查型恒成立问题 14 题型四：重点考查型能成立问题 19 题型五：重点考查型双变量不等式问题 24 第二部分：方法篇 31 方法一：分离变量法 31 方法二：分类讨论法 40 温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头 第一部分：题型篇 题型一：重点考查单变量恒成立问题 典型例题 例题1．（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）已知函数，，若在上恒成立，则实数的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】将问题转化为在上恒成立,然后构造函数，利用单调性，得到，即，再构造函数，求出最小值即可得解. 【详解】由题意，则，等价于， 令，因为，所以在上单调递增， 所以， 所以，等价于， 令，则， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以，因此， 故选：B 例题2．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间和极值． (2)若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、求已知函数的极值 【分析】（1）利用导数与函数单调性之间的关系可求得函数的增区间和减区间，即求得函数的极大值和极小值； （2）利用导数求出函数在区间上的最小值，可得出，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）因为，则， 令，可得或，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，减区间为， 函数的极大值为，极小值为. （2）由（1）可知，函数在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且， 故当时，， 因为对恒成立，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 例题3．（24-25高三下·陕西咸阳·阶段练习）设函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求出函数的导数，讨论的范围确定导数正负可得出单调性； （2）由已知得恒成立，令，利用导数求得的最小值即可. 【详解】（1）由，则 当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，令，解得， 时，，则在上单调递增； 时，，则在上单调递减． （2） 由题意恒成立， 因为，即得恒成立，即，， 记则， 令，得，令，得，即在上单调递减， 令可得，即在上单调递增， 所以， 所以，即实数的取值范围为． 例题4．（24-25高三上·辽宁朝阳·阶段练习）已知函数． (1)时，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求的值. 【答案】(1)函数的单调递减区间为，单调递增区间为 (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）由得到，令导数大于零、小于零、，即可求出单调区间； （2）先由题意得的最小值大于等于零恒成立.对进行分类讨论，当时，易知当时，，不符合题意；当时，，转化为恒成立；令，用导数的方法研究其单调性与最值，即可求出结果. 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，. 令，得；令，得， ∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由（1）知，函数的定义域为. 当时，在上单调递增， 又，∴当时，，不符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， . 由恒成立，得恒成立. 令，， 当时，；当时，， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，故恒成立， 因此，所以. 精练高频考点 1．（24-25高二下·天津河西·阶段练习）对任意的， 不等式恒成立， 则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】分离参数，构造函数，结合导数判断函数单调性及最值情况，进而可得参数范围. 【详解】由已知， 不等式恒成立， 即在上恒成立， 设，， 则， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 即函数在处取得最大值为， 所以， 故答案为：. 2．（24-25高二下·贵州铜仁·阶段练习）已知函数，若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】将带入不等式，分离变量得，构造函数，求出的最小值得的取值. 【详解】因为，，所以， 分离变量得，令， ， 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以，所以实数的取值范围为 3．（24-25高三上·浙江·开学考试）已知函数在处取得极值. (1)求的单调区间； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)的单调递增区间是，单调递减区间是． (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、根据极值点求参数 【分析】（1）求出原函数的导函数，由，解得，可得函数解析式，由导函数大于0和小于0，分别求得原函数的单调区间． （2）构造函数求导得到函数的单调性，即可求解最值求解. 【详解】（1）由题意知，， 由，解得， 此时，， 令，得，令，得，故是函数的极值点， 故符合要求， 进而函数的单调递增区间是，单调递减区间是． （2）由恒成立可得恒成立， 令则， 令，则， 故当时，单调递增，当时，单调递减， 而，且时，， 故当时，，当时，，故在单调递减，在单调递增，故，因此 4．（23-24高二下·湖北·期中）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求导，对进行分类讨论，由导数符号与函数单调性的关系即可得解； （2）方法一：对分类讨论；方法二：参变分离，转换成不等式恒成立求参数，构造适当的函数，利用导数求最值即可得解. 【详解】（1）因为，，所以. 若，则恒成立， 此时的单调递增区间为，无单调递减区间. 若，则当时，，当时，， 此时的单调递增区间为，单调递减区间为. 综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）方法一：当时，，不符合恒成立. 当时，由（1）可知，. 因为恒成立，所以，解得，故a的取值范围为. 方法二：恒成立等价于恒成立. 令，则. 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 则，故a的取值范围为. 题型二：重点考查单变量能成立问题 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）已知不等式在区间上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】根据给定的不等式，结合同构思想变形，再构造函数，利用导数确定单调性，将问题转化为不等式有解求解. 【详解】依题意，，则， 令函数，求导得，函数在上单调递增， 当时，不等式， 则，依题意，不等式在上有解， 令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上递减，在上递增，则，， 所以实数的取值范围是. 故选：B 例题2．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为 (2) 【知识点】利用导数研究能成立问题、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）根据导函数的正负判断函数的递增递减区间即得； （2）通过代入不等式整理成在上存在实数解问题，故可转化成求函数在得最小值问题，计算即得. 【详解】（1）当时，， ∴，由，得，由，得， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为； （2）原条件等价于：在上存在实数解． 化为在上存在实数解， 令，                    则， ∴在上，，得，故在上单调递增， ∴的最小值为， ∴时，不等式在上存在实数解． 例题3．（2026高三·全国·专题练习）设函数，． (1)求证：当时，； (2)若存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】利用导数研究能成立问题、利用导数证明不等式 【分析】（1）求导，根据导数判断函数单调性，进而可得函数最值，即可证明不等式； （2）由已知可得，求导判断函数单调性，即可得函数正弦值，进而可得参数范围. 【详解】（1）因为当时，， 所以在上单调递减， 又， 所以当时，． （2）因为， 所以， 由（1）知，当时，， 所以， 所以在上单调递减， 所以当时，， 因为在上有解， 所以，即， 所以的取值范围是． 例题4．（2025·河北保定·一模）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若关于的不等式有实数解，求的取值范围. 【答案】(1)的极大值为，无极小值 (2) 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）通过求导来分析函数的单调性，进而求出函数的极值； （2）分类讨论，得到单调性，求出函数最值，根据最值满足的条件来确定参数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 则， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，无极小值. （2）由题得2a）， 当时，，不符合题意； 当时，令，得； 令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以 由 得，解得； 当时，令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 由， 得，解得. 综上，的取值范围为. 精练高频考点 1．（20-21高二·全国·课后作业）已知函数，若关于的不等式在上有实数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】先将问题转化为，再利用导数求得，从而得解. 【详解】由题意可知，存在，使得，则． 因为，所以， 当时，，所以函数在上单调递增， 则，所以， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 2．（24-25高二下·湖南衡阳·阶段练习）已知函数. (1)当时，求的单调区间与极值； (2)若在上有解，求实数a的取值范围. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，极小值，无极大值； (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究能成立问题、求已知函数的极值 【分析】（1）利用导数的正负判断函数的单调性，然后由极值的定义求解即可； （2）分和两种情况分析求解，当时，不等式变形为在上有解，构造函数，利用导数研究函数的单调性，求解的最小值，即可得到答案． 【详解】（1）当时，，所以 当时；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时函数有极小值，无极大值； （2）显然在时，不等式恒有解， 当，在上有解，即在上有解， 即在上有解， 令，则 由（1）知时，即， 当时；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，所以， 综上可知，实数a的取值范围是. 3．（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）已知函数． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围. 【答案】(1) (2)． 【知识点】利用导数研究能成立问题、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】（1）由在上恒成立，得到，即可求解； （2）参变分离得到，构造函数，求导确定最大值即可； 【详解】（1）由题可知在上恒成立，所以． 因为，所以， 则，所以的取值范围为． （2）由，可得． 令，则， 令，可得，令，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以 所以，故的取值范围为． 4．（2025·新疆喀什·二模）已知函数 (1)当时，求的极值； (2)若存在，使得，求的取值范围． 【答案】(1)极大值为，极小值为 (2) 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、利用导数研究能成立问题、求已知函数的极值 【分析】（1）结合导数分析函数的单调性，进而求解极值； （2）求导，分，，三种情况分析求解即可. 【详解】（1）当时，， 则， 令，得；令，得或， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 则时，函数取得极大值， 时，函数取得极小值. （2）由，， 则， 当时，，此时，函数在上单调递增， 则，即； 当时，， 则时，；时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即，与矛盾，不符合题意； 当时，，此时，函数在上单调递减， 则，即恒成立，符合题意. 综上所述，的取值范围为． 题型三：重点考查型恒成立问题 典型例题 例题1．（24-25高二上·广西柳州·期末）已知函数，函数，若恒有，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】根据条件，将问题转化成恒成立，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，进而求出的最大值，即可求解. 【详解】因为，即，即， 令，则， 当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 故答案为：. 例题2．（24-25高二下·山东·阶段练习）已知函数，，． (1)求的单调区间． (2)若的最大值为1，证明：对任意的，． (3)当时，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)在单调递增，在单调递减 (2)证明见详解 (3) 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）求导，分别令和，即可得到对应的增区间和减区间； （2）根据题意求出参数，构造函数，利用导数研究函数的最值即可证明； （3）构造函数，利用导数研究函数的最值进而列出不等式求解即可. 【详解】（1）的定义域为，令得， 令得，令得， 在单调递增，在单调递减. （2）由（1）知，， ，要证，即证， 即证，即证， 构造函数，则， 令得，令得， 在单调递增，在单调递减， ，即恒成之，当且仅当时等号成立. ，，使得， 恒成立，故对于任意的，. （3）当时，，若恒式立, 即恒式立，即，即恒成立， 由（2）可知恒成立，当且仅当时等号成立， 令，则恒成立， 在单调递增， ，使得成立， ，， 所以． 精练高频考点 1．（24-25高二下·天津·阶段练习）已知函数，， (1)求的单调区间和极值点； (2)求使恒成立的实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增. 函数有极小值点：. (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求导，利用导函数的符号，求函数的单调区间和极值点. （2）把问题转化成在上恒成立，设，利用导数分析函数单调性，求函数的最大值即可. 【详解】（1）因为（），所以. 由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以函数有极小值点：.没有极大值点. （2）由恒成立（）恒成立. 即（）恒成立. 设（），则. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以的最大值为：. 所以. 所以实数的取值范围是：. 2．（2025·四川自贡·二模）已知函数，. (1)若存在极小值，且极小值为，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据极值求参数、利用导数研究不等式恒成立问题、求已知函数的极值、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求导，判断函数的单调性，结合极小值为求解； （2）将不等式分离参数，得，设，，利用导数求出最值得解. 【详解】（1），， 当时，，所以函数无极值， 当时，由，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，解得. （2）由，得，即，， 设，， 则， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 所以，则， 所以的取值范围为. 3．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若，且当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数的导数，分类讨论求出其单调性. （3）等价变形不等式，构造函数，利用导数求出最小值即可. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 所以所求切线方程为，即. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （3）当时，，不等式， 令函数，依题意，，恒成立， 求导得， 令，求导得，函数在上单调递增， 而，则存在，使，即，此时， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，由，得， 则，， 所以的取值范围是. 题型四：重点考查型能成立问题 典型例题 例题1．（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知函数． (1)求证：； (2)过点作直线与函数的图象均相切，求实数的值； (3)已知，若存在，使得成立，求实数的最大值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、利用导数研究能成立问题、利用导数证明不等式 【分析】（1）等价变形所证不等式，再构造函数，利用导数求出最大值即得. （2）设出直线与函数图象相切的切点，利用导数求出切线方程，再与联立结合判别式求出值. （3）结合（1）的结论，按分类，借助导数讨论得解. 【详解】（1）函数的定义域为， 不等式， 令，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，则，即， 因此，所以. （2）依题意，，设直线与函数图象相切的切点为， 则切线的方程为：， 又直线过点，于是， 整理得，即，令， 求导得，即在上单调增，又，因此， 切线的方程为，由与函数的图象相切，得， 即，于是，解得， 所以实数的值是. （3）①当时，，则，使，符合题意； ②当时，， ，则，又由（1）知，， 因此，不合题意； ③当时，令， 当时，，则， 当时，，则， 则， 令，求导得， 由，得时；由，得时， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此，即当时，不合题意， 所以的最大值为. 例题2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若在上存在一点，使得成立，求的取值范围. 【答案】 【知识点】利用导数研究能成立问题 【分析】构造函数，将问题转化为，从而求出，分类讨论的取值范围，分别求出即可得解. 【详解】令， 若使能成立，则对于，即可， 而. 当，即时，，在上单调递减， 则，， 而显然成立，故； 当，即时，，在上单调递增， 则，可得； 当，即时， 令，得；令，得； 所以在上单调递减，在上单调递增， ∴， 而，∴，故，即不成立； 综上：. 精练高频考点 1．（22-23高二下·江苏南通·阶段练习）已知函数，，（其中为自然对数的底数）.若存在实数，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】由存在实数，使得可转化为，构造函数，研究函数的单调性，再分离参数即可得解. 【详解】因为存在实数，使得， 所以，即， 令，则， 函数在R上单调递增，， 即的最小值， 令，， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 时，函数取得极小值即最小值， ， . 故选：C 2．（23-24高三上·北京·阶段练习）已知函数，． (1)若在点处的切线为，求实数的值； (2)设函数，求函数的单调区间与极值； (3)若存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见详解 (3) 【知识点】利用导数研究能成立问题、函数单调性、极值与最值的综合应用、求已知函数的极值、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）求出的导数，根据在点处的切线为，得得解； （2）求出，判断的正负，得解； （3）令，把题干中的问题转化为在上有，再利用导数研究的单调性，对进行分类讨论，求出不同范围下的，得解. 【详解】（1）， ，又在点处的切线为，得， 即，解得. （2）， ，， 令，解得，令，解得， ，单调递增，，单调递减， 在处取得极大值，极大值为，无极小值. （3）令，，使得， 等价于在上，， ，， ，， 令，，令，， 即在上单调递减，在上单调递增， 当即时，在上单调递减， ，则，解得， ，， 当即时，在上单调递减，在上单调递增， ，因为，所以， 则，即，不合题意， 综上，的取值范围为. 3．（24-25高三上·四川成都·期中）已知函数是自然对数的底数）. (1)若函数在处的切线方程为，求实数的值； (2)若，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用导数研究能成立问题、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）首先对函数求导，再求出在处的导数值，根据题目所给直线的斜率即可求解. （2）首先构造新函数，根据题意的分析，只要即可，然后通过对分类讨论，求出的最小值即可. 【详解】（1）由题意，知，则. 因为函数在处的切线方程为， 所以，解得. （2）令， 则，即， 所以，即 因为，使得成立， 即，使得成立， 所以. ①当时，在上恒成立，函数在区间上单调递增， 所以， 所以. ②当时，令，解得；令，解得， 所以函数在区间上单调递减，在上单调递增， 所以，即，故. 综上所述，实数的取值范围为. 题型五：重点考查型双变量不等式问题 典型例题 例题1．（2025·江西萍乡·一模）设函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】将问题转化为，求出，然后参变分离，构造函数，利用导数求最值即可. 【详解】由题意，，当时，，，所以； 当时，，，所以， 等号仅当时成立，所以. 所以对，即，即. 令，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，因此. 故答案为： 例题2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，使不等式成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题 【分析】根据题意得，再利用导数求出最值，代入即可得解. 【详解】由题意，可得， 当时，， 由，可得，由，可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 因为，所以在上单调递减，所以， 所以，解得.所以实数的取值范围是. 故答案为：. 例题3．（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知函数. (1)求的单调区间; (2)设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求导，根据导数分情况讨论导函数零点情况及函数单调性； （2）根据题意可得，分别求最大值即可得不等式，解不等式即可求解. 【详解】（1）由，， 得. 令，解得. 当时，， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增. 当时，恒成立，在上单调递增. 当时，， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增. 综上所述，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为，； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）因为对任意，均存在，使得， 所以， 当时，取得最大值，最大值为0. 由（1）得，当时，在]上单调递增， 即当时，取得最大值， 所以，解得，即. 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值. 设， 则，单调递增， 所以成立，所以无解. 综上所述，的取值范围为. 精练高频考点 1．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数a的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题 【分析】利用导数求的取值范围，利用二次函数的性质求的取值范围，依题意有，解不等式得实数a的范围. 【详解】函数，因为，，所以， 故在上单调递增，所以. 又，所以在上也是单调递增，所以. 因为对任意的，总存在，使成立，等价于， 所以，解得，故实数a的范围是. 故选：D. 2．（2024高三下·江苏·专题练习）已知函数，，若对任意，均存在，使得，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求二次函数的值域或最值、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题 【分析】将问题转化为两个函数的最值，利用导数求解的最值，利用二次函数的性质求解的最值，即可求解. 【详解】由题意知， 由题意，且的对称轴为直线， 所以当时，． 设，则，所以， 当时，；当时，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减. 又，所以在区间上只有一个零点， 设为，且当时，；当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，所以当时，，所以，即． 因此，实数的取值范围是． 故答案为： 3．（24-25高三上·湖北·期中）已知为函数的极小值点. (1)求的值； (2)设函数，若对，，使得，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题、根据极值点求参数、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）求出函数的导数，由求出并验证即可得解. （2）由（1）求出在上的最小值，再按分类，并借助导数讨论值即可求解. 【详解】（1）函数的定义域为R，求导得， 依题意，，解得或， 当时，，当或时，，当时，， 因此为函数的极小值点，符合题意，则； 当时，，当或时，，当时，， 因此为函数的极大值点，不符合题意， 所以. （2）由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，因此， ①当时，对，，使得， 因此，符合题意，则； ②当时，，取，对，有，不符合题意； ③当时，函数，求导得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增，则， 若对，，使得，只需，即，解得， 所以的取值范围为. 4．（23-24高三上·福建莆田·期中）已知函数． (1)当时，求函数的最小值； (2)若，且对，都，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）利用导数研究单调性，注意构造中间函数判断的符号； （2）构造研究其单调性证在上恒成立，再应用导数研究在上的最大值，结合已知恒能成立有即可求范围. 【详解】（1）因为函数，所以． 设，则，故在上递减． ，即， 在上单调递减，最小值为． （2）令，则在上恒成立， 即函数在上单调递减，所以， 所以，即在上恒成立； 又，当时， 在区间上单调递增； 在区间上单调递减． 函数在区间上的最大值为． 综上，只需，解得，即实数的取值范围是． 第二部分：方法篇 方法一：分离变量法 典型例题 例题1．（24-25高二下·吉林四平·阶段练习）已知函数 (1)讨论函数的单调性 (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. (2) 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）通过求导，分类讨论，根据导函数与的大小关系来讨论函数的单调性； （2）将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，通过求导研究函数的单调性进而求出最小值. 【详解】（1）首先求的导数，可得. 然后分情况讨论： 当时，因为恒成立，所以恒成立.所以在上单调递增. 当时，令，即，解得. 当时，，所以.此时单调递减. 当时，，所以.此时单调递增.    综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，恒成立，即，移项可得. 因为，两边同时除以，得到恒成立. 令，对求导，可得. 令，对求导，可得.因为，所以，即.可知在上单调递增. 那么，即在上恒成立. 令，即，因为，，所以的解为. 当时，即，因为，，所以，解得，即在上单调递增. 当时，即，因为，，所以，解得，即在上单调递减. 所以在处取得最小值，. 因为恒成立，所以，即的取值范围为. 例题2．（24-25高二下·重庆垫江·阶段练习）已知函数． (1)若，求曲线在处切线方程； (2)若时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）先求出函数在某点的导数，该导数就是曲线在该点处切线的斜率，再结合该点的函数值，利用点斜式方程可求得切线方程. （2）将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，通过求导分析函数单调性来确定最值. 【详解】（1）当时，. 首先求的导数：可得. 然后求和的值： 将代入，得. 将代入，得. 最后根据点斜式方程求切线方程：则切线方程为，即. （2）当时，恒成立，即恒成立. 对不等式进行化简：可得在上恒成立. 设，则. 求的导数：可得. 设，求的导数：. 因为，所以，，则.这说明在上单调递减. 所以，即.则在上单调递减. 所以.因此，.   则实数的取值范围是. 例题3．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知函数（a为实常数）． (1)若，求证：在上是增函数； (2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的x值； (3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)答案见解析； (3). 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）利用导数证明函数的区间单调性即可； （2）利用导数研究函数的单调性，进而求区间内最值即可； （3）将问题化为在上能成立，应用导数研究右侧的单调性并求最小值，即可得参数范围. 【详解】（1）由题设，则， 则在上有，故在上是增函数，得证； （2）由题设，则， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 所以最小值为时，最大值为时； （3）由题设在上能成立，则， 对于，则在上恒成立， 故在上单调递增，且时，即在上恒成立， 所以在上能成立， 令且，则， 对于且，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 当，，即在上恒成立， 在上恒成立，则在上单调递增，故， 所以. 例题4．（2025·陕西·一模）已知，函数在处取得极值． (1)求a； (2)证明：对任意的m，，都有； (3)若存在实数，使得成立，求k的最小整数值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)5． 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究能成立问题、根据极值点求参数 【分析】（1）先求导，由在处取得极值，得解出验证即可； （2）设，验证的单调递增，即有，即可得证； （3）存在实数，使得成立，即成立．构造函数，即求即可. 【详解】（1）， 因为在处取得极值， 所以，所以， 解得． 经验证当时，在处取得极小值，符合题意， 故． （2）对任意的m，，设，则， 由（1）知，则在上单调递增， 所以当时，，即，所以在上单调递增， 因为，所以，即， 故． （3）存在实数，使得成立，即成立． 令，，则，， 令，则在上恒成立， 故在上单调递增． 又，， 故存在唯一的，使得，即． 当时，，即，当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故， 故，结合，得， 故k的最小整数值为5． 精练高频考点 1．（24-25高二下·河南郑州·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的极值点； (2)若对任意，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)是函数的极小值点； (2). 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、求已知函数的极值点 【分析】（1）利用导数求出函数的极值点. （2）分离参数并构造，再利用导数求出最大值即可. 【详解】（1）当时，函数的定义域为，求导得， 由，得，当时，；当时，， 所以是函数的极小值点. （2）当时，不等式， 设，依题意，，， 求导得，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，，则， 所以实数的取值范围是. 2．（24-25高二下·甘肃张掖·阶段练习）已知，. (1)求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)讨论函数在上的单调性； (3)对一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)答案见解析 (3). 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求出曲线在点处的切线方程，进而求出切线与两坐标轴的交点，利用直角三角形面积公式即可求解； （2）利用导数的正负研究原函数的单调性，分与两种情况讨论即可； （3）分离参数得到，构造函数，利用导数求最大值即可. 【详解】（1）因为，故，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 即， 与两坐标轴的交点分别为， 故围成的三角形的面积为. （2）因为，故， 令， 当，则，故在上单调递减； 当，则时，，所以在单调递减； 时，，所以在单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在单调递减，单调递增. （3）即， 即对一切实数恒成立， 令 当时，单调增； 当时，单调减；故最大值为， 则， 故实数的取值范围是. 3．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知函数 ． (1)求函数 在 上的最大值和最小值； (2)若不等式 有解，求实数 的取值范围. 【答案】(1)最大值为 ，最小值为 (2) 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）先利用导数可得函数 在 上单调递增，在上单调递减，从而可求函数 在 上的最大值和最小值； （2）不等式 可化为 ，记 ，则原不等式有解可转化为 ，再利用导数求函数的最大值，即可求实数 的取值范围. 【详解】（1）因为函数 ， 所以 ， 令 ，则 或 (舍去). 当 时， ，当 时， ， 所以函数 在 上单调递增，在上单调递减， 所以当 时， 取得最大值，最大值为 ， 又 ， ， 所以 ，所以当 时， 取得最小值，最小值为 ， 故 在 上的最大值为 ，最小值为 . （2）易知 的定义域为 ， 故不等式 可化为 . 记 ，则原不等式有解可转化为 . 易得 ，时，，时，， 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 故 ，所以 ， 解得 . 所以实数 的取值范围为 . 4．（24-25高三上·宁夏石嘴山·期中）已知函数其中为常数. (1)求在处的切线方程； (2)若，使成立，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用导数研究能成立问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）由题意，将其等价转化为在有解，即，令，进而利用导数分析单调性求解即可. 【详解】（1）由，得， 则， 故所求切线方程为，即. （2），使成立， 即，使成立， 则在有解，即. 令，， 令得；令得， 故在单调递增，在单调递减， 所以， 则，故的最小值为. 方法二：分类讨论法 典型例题 例题1．（2025·辽宁沈阳·二模）已知函数． (1)若存在，使成立，求k的取值范围； (2)已知，若在上恒成立，求k的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）转化为存在，使成立，令，利用导数求出的最大值可得答案； （2）转化为在上恒成立，令，利用导数求出可得答案． 【详解】（1）由得， 可得存在，使成立， 令，，令得， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 若存在，使成立，则； （2）， 若在上恒成立， 则在上恒成立， 令，则， 令，则（舍）或， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 则，则k的最小值为． 例题2．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数的图象的一条切线方程是. (1)求； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）设切点，根据导数的几何意义求得，结合，构造，应用导数研究其零点，即可求参数值； （2）问题化为有解，构造研究不等式能成立求参数范围. 【详解】（1）设的图象与直线切于点，则①， ，则，即，代入①式得. 令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，当且仅当时取等号， 故，即. （2）由题意得有解，即有解. 令，则， 若，则，则，符合题意； 若，即，则，不符合题意； 若， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，解得. 综上，的取值范围为. 精练高频考点 1．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求导，分和两种情况，结合导数符号判断原函数单调性； （2）解法一：分离参数可得在上恒成立，构建，利用导数求其最值即可得结果；解法二：可知在上恒成立，分类讨论，结合（1）中的单调性运算求解即可. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且， 当时，，可知在上单调递减； 当时，由得；由得； 可知在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）解法一：（分离参数法）由已知得在上恒成立， 等价于在上恒成立， 构建， 则 构建，可知在上单调递减，且， 当时，，即； 当时，，即； 可知在上单调递增，在上单调递减，则， 可得，即实数的取值范围为； 解法二：（分类讨论法）由题意可知： 在上恒成立， 由（1）知，当时，在上单调递减； 且，不合题意； 当时，可知， 构建，可知在上单调递增，且， 若，则，可得， 故实数的取值范围为 2．（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，，求实数a的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为 (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）求导，利用导函数的正负判断函数的单调性即可； （2）分和两种情况，当时讨论和，即可求解. 【详解】（1）当时，， 所以， 令，可得或；令，可得， 所以函数的单调递增区间为和，函数的单调递减区间为； （2）当时，恒成立，可以取任意实数； 当时，令，则， 当时，因为，所以，所以， 所以在上单调递增，所以， 即，符合题意； 当时，令，得， 当时，，所以单调递减， 此时，即，不合题意； 所以实数a的取值范围为. 3．（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）已知函数（，） (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，若存在，使得成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究能成立问题、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）函数的定义域为，当时，，分和，解不等式，求出定函数的单调区间； （2）当时，，分，，，讨论确定导数的正负以确定函数的单调性，从而化存在性问题为最值问题，得到答案. 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，； ； 故当时，在上恒成立； 故函数在上是减函数， 当，当时，； 当时，； 故在上是减函数，在上是增函数； 综上，当时，的单调递减区间为，无递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）当时，， ， 当时，，故在上是减函数， 故存在，使得成立， 只需，解得， 当，令得，令得， 故在上是减函数，在上是增函数， 若，则在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，也是最小值，， 要想存在，使得成立，只需， 解得， 当时，则在上单调递减，在处取得最小值， ，令，无解， 故实数a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$