专题3.3 导数与函数的极值、最值(高考高频考点）( 8大核心题型+ 1大易错）-【练透核心考点】备战2026年高考数学一轮重难点题型狂飙特训（新教材新高考）

专题3.3 导数与函数的极值、最值 目录 第一部分：题型篇 1 题型一：重点考查根据图象判断极值（点） 1 题型二：重点考查利用导数求函数的极值（点） 3 题型三：重点考查利用函数的极值求参数 5 题型四：重点考查利用函数的极值个数求参数 6 题型五：重点考查利用导数求函数的最值 7 题型六：重点考查利用导数求函数（含参）中的最值问题 9 题型七：重点考查根据函数的最值求参数 10 题型八：重点考查极值，最值，单调性的综合问题 12 第二部分：易错篇 15 易错一：已知极值（点）求参数，注意回代检验 15 温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头 第一部分：题型篇 题型一：重点考查根据图象判断极值（点） 典型例题 例题1．（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）已知函数，其导函数的图象如图所示，则（    ） A．有2个极值点 B．在处取得极小值 C．有极大值，没有极小值 D．在上单调递减 例题2．（24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）如图是函数的导函数的部分图象，则的一个极大值点为（    ） A． B． C． D． 精练高频考点 1．（24-25高二下·广东惠州·阶段练习）已知函数的导函数图象如图所示，那么（   ） A．有1个极大值和1个极小值 B．有1个极大值没有极小值 C．有1个极小值没有极大值 D．没有极大值也没有极小值 2．（24-25高二下·福建三明·阶段练习）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ） A．有极大值 B．有极小值 C．有极大值 D．有极小值 3．（24-25高二下·河北保定·阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则极小值点的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型二：重点考查利用导数求函数的极值（点） 典型例题 例题1．（2025高二·全国·专题练习）判断下列函数是否存在极值．若有，请求出极值点和极值；若没有，请说明理由． (1)； (2)． 例题2．（24-25高二下·贵州铜仁·阶段练习）已知函数 (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极值. 精练高频考点 1．（24-25高二下·重庆合川·阶段练习）已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线. (1)求函数的解析表达式； (2)求函数的极值. 2．（24-25高二下·江苏·阶段练习）已知函数，为的导函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极值. 3．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数 的图象在点处的切线方程是 (1)求函数的解析式; (2)求函数的单调区间与极值. 题型三：重点考查利用函数的极值求参数 典型例题 例题1．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知函数在时取得极值4，则等于（   ） A．12或3 B．或 C．12或 D．或3 例题2．（2025·贵州铜仁·三模）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若函数有极小值，且极小值不大于0，求实数的取值范围． 精练高频考点 1．（24-25高二下·湖北·期中）若函数无极值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·广西南宁·开学考试）函数在处取得极值10，则（   ） A．5 B． C．0 D．0或 3．（2025·广西南宁·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若存在极大值，且极大值不大于，求实数a的取值范围. 题型四：重点考查利用函数的极值个数求参数 典型例题 例题1．（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）若函数存在两个极值点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 例题2．（2025·广东湛江·一模）已知函数在区间上存在唯一个极大值点，则m的最大值为（   ）． A． B． C． D． 精练高频考点 1．（24-25高三·云南昆明·阶段练习）已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·全国·课后作业）写出“使得函数在区间上有唯一极值点”的整数的一个值 ． 3．（23-24高二下·广东茂名·期中）函数无极值，则实数的取值范围是 . 题型五：重点考查利用导数求函数的最值 典型例题 例题1．（24-25高二下·吉林四平·阶段练习）已知函数. (1)求单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 例题2．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·阶段练习）已知函数，且. (1)求单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 精练高频考点 1．（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间中的最大值． 2．（24-25高二下·山东济南·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求在区间上的最值． 3．（24-25高二下·天津南开·阶段练习）已知函数 ，当 时取极小值，当 时取极大值. (1)求a，b的值； (2)求函数 在 上的最大值与最小值. 题型六：重点考查利用导数求函数（含参）中的最值问题 典型例题 例题1．（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数． (1)求函数的极值； (2)求函数在区间上的最小值． 例题2．（24-25高二下·浙江）已知函数. (1)已知在点处的切线方程为，求实数，的值； (2)求函数在上的最大值. 精练高频考点 1．（23-24高二下·河北·开学考试）已知函数． (1)讨论的极值； (2)求在上的最小值． 2．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求函数的最大值． 3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，．讨论函数的最值； 题型七：重点考查根据函数的最值求参数 典型例题 例题1．（2025·广东茂名·一模）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数的最大值为0，求实数的值. 例题2．（23-24高二下·辽宁葫芦岛·期末）设函数. (1)求曲线的单调区间； (2)已知在区间上的最大值为13，求的值. 精练高频考点 1．（23-24高二下·福建三明·期末）已知函数. (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若函数的最小值是1，求的值. 2．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知函数 (1)求的单调增区间和单调减区间 (2)若在区间上的最小值为，求实数的值 3．（2024·江苏南京·二模）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，若在区间上的最小值为，求a的值． 题型八：重点考查极值，最值，单调性的综合问题 典型例题 例题1．（2025·云南红河·三模）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)设，求函数在区间上的最大值． 例题2．（24-25高二下·吉林四平·阶段练习）已知函数，. (1)若函数在定义域上单调递增，求的取值范围； (2)若函数有两个极值点，求的取值范围. 例题3．（24-25高二下·天津南开·阶段练习） 已知函数 (1)若，求曲线 在点处的切线方程; (2)当时，求函数的单调区间和极值； (3)若对于任意都有成立，求实数的取值范围. 例题4．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)设函数，若函数在上为增函数，求实数a的取值范围. 精练高频考点 1．（2025·安徽·二模）设函数. (1)若是增函数，求的取值范围； (2)若，为的两个极值点，求的取值范围. 2．（24-25高二下·山东聊城·阶段练习）已知函数在处取得极值. (1)求实数的值； (2)求在区间上的最大值和最小值. (3)若方程有三个不同的实数根，求实数的取值范围. 3．（2025·广东茂名·二模）已知为常数，且． (1)若，求函数的单调区间； (2)若方程有且仅有2个不等的实数解，求的值． 4．（24-25高二下·天津南开·阶段练习）已知函数 (1)当 时，求曲线 在点处切线的方程； (2)其中 试讨论函数的单调区间与极值. 第二部分：易错篇 易错一：已知极值（点）求参数，注意回代检验 1．（24-25高二下·天津和平·阶段练习）若函数在处有极值10，则（   ）． A． B．或15 C． D．15 2．（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知函数在处有极大值，则c的值为（    ） A．2 B．6 C．2或6 D．-2 3．（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）已知在处有极值，则（    ） A．或 B．或 C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.3 导数与函数的极值、最值 目录 第一部分：题型篇 1 题型一：重点考查根据图象判断极值（点） 1 题型二：重点考查利用导数求函数的极值（点） 4 题型三：重点考查利用函数的极值求参数 8 题型四：重点考查利用函数的极值个数求参数 12 题型五：重点考查利用导数求函数的最值 14 题型六：重点考查利用导数求函数（含参）中的最值问题 18 题型七：重点考查根据函数的最值求参数 23 题型八：重点考查极值，最值，单调性的综合问题 26 第二部分：易错篇 35 易错一：已知极值（点）求参数，注意回代检验 35 温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头 第一部分：题型篇 题型一：重点考查根据图象判断极值（点） 典型例题 例题1．（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）已知函数，其导函数的图象如图所示，则（    ） A．有2个极值点 B．在处取得极小值 C．有极大值，没有极小值 D．在上单调递减 【答案】C 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数与导函数图象之间的关系、求已知函数的极值、函数极值点的辨析 【分析】根据导函数的图象得出导函数的符号分布情况，进而可得出函数的单调区间，再根据极值的定义即可得解. 【详解】由导函数的图象可知， 当时，，仅时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数只有一个极值大点，无极小值点， 所以有极大值，没有极小值， 故ABD错误，C正确. 故选：C. 例题2．（24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）如图是函数的导函数的部分图象，则的一个极大值点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数（导函数）图象与极值的关系、函数极值点的辨析 【分析】根据极大值点的定义结合图象判断即可. 【详解】极大值点处导数为0，且在该点左侧附近导数值为正，在该点右侧附近导数值为负，选项中只有符合. 故选：B. 精练高频考点 1．（24-25高二下·广东惠州·阶段练习）已知函数的导函数图象如图所示，那么（   ） A．有1个极大值和1个极小值 B．有1个极大值没有极小值 C．有1个极小值没有极大值 D．没有极大值也没有极小值 【答案】C 【知识点】函数（导函数）图象与极值的关系 【分析】设导函数与轴的交点的横坐标分别为，结合导函数图象得到的单调性，即可得到函数的极值点. 【详解】由导函数图象，设导函数与轴的交点的横坐标分别为， 则时（且仅在处），时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，无极大值. 故选：C 2．（24-25高二下·福建三明·阶段练习）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ） A．有极大值 B．有极小值 C．有极大值 D．有极小值 【答案】A 【知识点】函数（导函数）图象与极值的关系 【分析】由函数的图象，可得函数的单调性，则答案可求. 【详解】函数的图象如图所示， 当时，；当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减， 有极大值，无极小值， 故选：. 3．（24-25高二下·河北保定·阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则极小值点的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数极值点的辨析 【分析】根据导函数的图象得到与轴的交点横坐标为，分别判断左右两侧的符号变化情况可得结论. 【详解】由图象，设与轴的交点横坐标为，其中， 由图象可得时，，当时，，所以是极小值点， 当时，，所以不是极值点， 当时，，所以是极大值点， 时，，所以是极小值点， 故极小值点的个数为2. 故选：C. 题型二：重点考查利用导数求函数的极值（点） 典型例题 例题1．（2025高二·全国·专题练习）判断下列函数是否存在极值．若有，请求出极值点和极值；若没有，请说明理由． (1)； (2)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【知识点】求已知函数的极值、求已知函数的极值点、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）求出导函数，判断导函数的正负，利用函数极值和极值点的定义即可求解； （2）类似（1），但发现导函数非负，从而在上单调递增，故没有极值． 【详解】（1）因为，所以． 令，解得或．当变化时，，的变化如下表． x 2 0 0 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 因此，的极小值点为，极大值点为， 当时，有极小值，且极小值为； 当时，有极大值，且极大值为． （2）因为，所以， 所以在上单调递增，所以没有极值． 例题2．（24-25高二下·贵州铜仁·阶段练习）已知函数 (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极值. 【答案】(1)的单调递增区间为和，的单调递减区间为 (2)的极小值为，极大值为 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值 【分析】（1）利用导数直接求解函数单调区间即可； （2）利用导数根据求极值的步骤求解即可. 【详解】（1）由题知，定义域为， 则， 令，得或， 令，得， 所以的单调递增区间为和，的单调递减区间为. （2）由（1）知，在和上递增，在上递减， 所以的极小值为，极大值为. 精练高频考点 1．（24-25高二下·重庆合川·阶段练习）已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线. (1)求函数的解析表达式； (2)求函数的极值. 【答案】(1) (2)极大值为，极小值为 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求已知函数的极值 【分析】（1）求导，由求得的值，得解； （2）利用导数判断单调性，求出极值. 【详解】（1）根据题意，，则， 解得， . （2）由（1）， 令，解得或， 令，解得， 所以当或时，单调递增，当时，单调递减， 所以当时，取得极大值，极大值为， 当时，取得极小值，极小值为. 2．（24-25高二下·江苏·阶段练习）已知函数，为的导函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极值. 【答案】(1)在，上单调递增，在上单调递减 (2)极大值为，极小值为 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、导数的运算法则 【分析】（1）对函数求导求出导函数零点，即可得出其单调区间； （2）根据（1）中的结论以及函数极值的定义代入计算可得结果. 【详解】（1）易知，. 可得， 令，解得，， 由得或，此时函数在和上单调递增； 由得，此时函数在上单调递减， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. （2）函数与的变化如下表： + - + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由表格可知：当时，函数取得极大值，， 当时，函数取得极小值，. 因此函数的极大值为，极小值为. 3．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数 的图象在点处的切线方程是 (1)求函数的解析式; (2)求函数的单调区间与极值. 【答案】(1) (2)单调增区间为和，单调减区间为；极大值为 ，极小值° 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值 【分析】（1）先求出函数的导函数，由切线方程可得，，进而可求函数解析式； （2）求函数的导函数，令，，求得函数的单调区间，进而可求极值. 【详解】（1）由题意可知， 由，则， 已知函数图像在处的切线方程是， 即， 所以， 解得， ∴的解析式为：， 综上所述，的解析式为； （2）由（1）可知，的解析式为 则 ， 令， 解得或， 令，解得 或， 则函数在和上单调递增 令，解得，则函数在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，；在处取得极小值，， 综上所述的单调增区间为和，的单调减区间为， 极大值为，极小值为. 题型三：重点考查利用函数的极值求参数 典型例题 例题1．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知函数在时取得极值4，则等于（   ） A．12或3 B．或 C．12或 D．或3 【答案】C 【知识点】根据极值求参数、根据极值点求参数 【分析】求出函数的导数，利用给定的极值及极值点列式求解并验证即可. 【详解】函数，求导得， 由在时取得极值4，得，解得或， 当时，，是的变号零点，即的极值点， 当时，，是的变号零点，即的极值点， 所以或，或. 故选：C 例题2．（2025·贵州铜仁·三模）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若函数有极小值，且极小值不大于0，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据极值求参数、含参分类讨论求函数的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）根据题意计算，结合导数的几何意义求切线方程即可； （2）先求导得，分和讨论单调性，求出极小值为，再根据题意得，构造新函数，利用函数单调性确定的范围即可. 【详解】（1）求曲线在处的切线方程： 当时，． 对求导，可得． 把代入和． 切线方程的点斜式为（其中为切点坐标，为切线斜率）， 所以切线方程为，即． （2）对求导得． 当时，，则在上单调递增，无极值，不符合题意． 当时，令，即，解得． 当时，单调递减； 当时，，单调递增． 所以在处取得极小值，． 因为的极小值不大于0，即． 令，对求导得． 令，解得． 当时，单调递增； 当时，单调递减． 所以在处取得最大值． 且当或时，， 因此对于，均有 所以实数的取值范围是． 精练高频考点 1．（24-25高二下·湖北·期中）若函数无极值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据极值求参数 【分析】由题意将问题转化为恒成立，利用判别式法求解即可. 【详解】的导数为， 因为函数无极值，在R上恒成立， 即恒成立， ，解得， 即实数a的取值范围是 故选：D 2．（24-25高二下·广西南宁·开学考试）函数在处取得极值10，则（   ） A．5 B． C．0 D．0或 【答案】B 【知识点】根据极值求参数、根据极值点求参数 【分析】由在处取得极值10，求得或，再结合函数的极值的概念检验得解. 【详解】函数，求导得， 由在处取得极值10，得，解得或， 当时，，函数在R上递增，无极值，不符合题意； 当时，得， 当或时，；当时，， 因此是函数的极小值点，符合题意，所以. 故选：B 3．（2025·广西南宁·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若存在极大值，且极大值不大于，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据极值求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得切线的斜率，由此可得结果. （2）讨论的范围，得到时，的极大值为，通过构造函数分析单调性可得结果. 【详解】（1）当时，，故， ∴， ∴曲线在处的切线方程为，即. （2）由题意得，，故函数的定义域为， ∵，∴， 当时，，，在上为增函数，无极值. 当时，由得， 由得，，由得，， ∴在上为增函数，在上为减函数， ∴当时，有极大值，极大值为， ∴，即， 令，则， ∵，∴， ∴在上为增函数， ∵， ∴要使，则， ∴实数a的取值范围是. 题型四：重点考查利用函数的极值个数求参数 典型例题 例题1．（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）若函数存在两个极值点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据极值点求参数 【分析】求出函数的导数，利用导函数有两个变号零点列出不等式求解. 【详解】由函数存在两个极值点，得有两个变号零点， 因此，解得或， 所以的取值范围是. 故选：B 例题2．（2025·广东湛江·一模）已知函数在区间上存在唯一个极大值点，则m的最大值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据极值点求参数 【分析】在指定区间内求出相位的范围，再结合极大值点的意义列出不等式求解. 【详解】当时，，由在区间上存在唯一个极大值点， 得，解得， 所以m的最大值为. 故选：A 精练高频考点 1．（24-25高三·云南昆明·阶段练习）已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据极值求参数 【分析】求得导函数，根据无极值的条件，利用判别式解得的取值范围. 【详解】因为函数在上无极值, 所以在上无变号零点，解得， 即实数的取值范围为. 故选：C. 2．（24-25高二下·全国·课后作业）写出“使得函数在区间上有唯一极值点”的整数的一个值 ． 【答案】（或） 【知识点】根据极值点求参数 【分析】问题转化为在区间有且只有一个变号零点，再结合“对钩函数”的单调性分析及端点处函数值的大小和符号，求出的取值范围即可. 【详解】由题意可转化为在区间有且只有一个变号零点， 在区间上单调递减，在内单调递增， 又知，故只需，解得， 所以的取值可以为或． 故答案为：（或） 3．（23-24高二下·广东茂名·期中）函数无极值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据极值求参数 【分析】求导，根据题意结合极值分析可知，即可得结果. 【详解】因为，则， 若函数无极值，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 题型五：重点考查利用导数求函数的最值 典型例题 例题1．（24-25高二下·吉林四平·阶段练习）已知函数. (1)求单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)递增区间为，递减区间为； (2)最大值为2，最小值为. 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求出函数的导数，再解导函数大于0、小于0的不等式得解. （2）由（1）的结论，确定在区间上单调性，进而求出最值. 【详解】（1）函数的定义域为R，求导得， 由，得或；由，得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减， 而，， 则，， 所以在区间上的最大值和最小值分别为. 例题2．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·阶段练习）已知函数，且. (1)求单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)函数的单调递减区间为，单调递增区间为和; (2)最大值为，最小值为. 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）写出函数导数，由求得的值，然后令导数小于0，求得函数的单调区间； （2）由（1）知函数在的单调性，即可求出函数的最值. 【详解】（1），∴， ∴，即， 令，则， ∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为和， （2）由（1）可知函数在上单调递增，在上递减， ∴， ，， ∴函数在区间上的最大值为，最小值为. 精练高频考点 1．（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间中的最大值． 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为． (2)4 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求出函数的导数后判断其符号可得函数的单调性； （2）根据（1）的单调性可得函数在上的最大值. 【详解】（1）由题可得：，  · 令，得，， 所以与的情况如下： 0 2 正 0 负 0 正 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为． （2）由（1）知：函数在区间上单调递减，在区间上单调递增． 又，，  所以，· 所以在区间中的最大值为．    · 2．（24-25高二下·山东济南·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求在区间上的最值． 【答案】(1) (2)最大值，最小值 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）利用导数分析函数在区间上的单调性，可得出函数在区间上的最大值和最小值. 【详解】（1）因为，则， ，则， 所以，曲线在处的切线方程为，即. （2）由可得，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数在、上递增，在上递减， 当时，函数的极大值为，极小值为， 又因为，， 故当时，，. 3．（24-25高二下·天津南开·阶段练习）已知函数 ，当 时取极小值，当 时取极大值. (1)求a，b的值； (2)求函数 在 上的最大值与最小值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为. 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数 【分析】（1）根据题意，求导可得，由代入计算，然后检验即可得到结果； （2）根据题意，先由导数求得函数的极值，然后求得端点值，比较大小，即可得到结果. 【详解】（1）因为，则， 由题意可得，解得， 经检验符合题意，所以. （2）由（1）可得，， 则，， 令，解得或， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以时，函数有极小值，即， 时，函数有极大值，即， 且，， 所以函数在上的最大值为，最小值为. 题型六：重点考查利用导数求函数（含参）中的最值问题 典型例题 例题1．（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数． (1)求函数的极值； (2)求函数在区间上的最小值． 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2) 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、求已知函数的极值 【分析】（1）直接根据导数与函数单调性、极值的关系即可求解； （2）结合函数单调性对分类讨论即可求解. 【详解】（1）， 由，得；由，得． 在上单调递增，在上单调递减． 的极小值为，无极大值． （2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减． ，． ①当时，在上单调递减，在上单调递增， ②当时，在上单调递增，． . 例题2．（24-25高二下·浙江）已知函数. (1)已知在点处的切线方程为，求实数，的值； (2)求函数在上的最大值. 【答案】(1)，. (2)答案见解析 【知识点】已知切线（斜率）求参数、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得且，即可求出，的值； （2）分、、三种情况讨论，分别说明函数的单调性，即可求出函数的最大值. 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以， 又，所以， 综上所述，. （2）因为， （ⅰ）当时，恒成立， 所以函数在上单调递增， 所以； （ⅱ）当时，由，解得或， 当或时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减； ①当时，即，所以函数在上单调递减， 所以； ②当时，即，函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，则， 所以当时，，当时，， 当时，， 所以， 综上所述，当时，；当时，. 精练高频考点 1．（23-24高二下·河北·开学考试）已知函数． (1)讨论的极值； (2)求在上的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】求已知函数的极值、由导数求函数的最值（含参）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求导后，分别在和的情况下，根据的正负可得单调性，由极值定义可求得结果； （2）分别在、和的情况下，根据的正负可得单调性，由此可得最值点，代入可求得最值. 【详解】（1）由题意知：的定义域为，； 当时，，恒成立，在上单调递增， 无极值； 当时，若，；若，； 在上单调递减，在上单调递增； 的极小值为，无极大值； 综上所述：当时，无极值；当时，的极小值为，无极大值. （2）当时，在上恒成立，在上单调递增， ； 当时，若，；若，； 在上单调递减，在上单调递增， ； 当时，在上单调递减，； 综上所述：在上的最小值. 2．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求函数的最大值． 【答案】(1)在上为增函数；在上为减函数； (2) 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）直接利用函数的导数确定函数的单调区间． （2）求导根据函数的单调性即可求解最值． 【详解】（1）的定义域为， 当时，，， 当，解得：， 当，解得：． 在上为增函数；在上为减函数； （2）的定义域为， ， 当时，令，得，令时，得， 的递增区间为，递减区间为． . 3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，．讨论函数的最值； 【答案】答案见解析 【知识点】求已知函数的极值、由导数求函数的最值（含参）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】根据题意，求得，分和，两种情况讨论，求得函数的单调性，进而求得函数的最值. 【详解】由函数，可得其定义域为，且， 当时，可得，在上单调递增，无最值； 当时，令，可得，所以在上单调递减； 令，可得，所以在单调递增， 所以的最小值为，无最大值． 综上可得： 当时，无最值；当时，的最小值为，无最大值． 题型七：重点考查根据函数的最值求参数 典型例题 例题1．（2025·广东茂名·一模）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数的最大值为0，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知函数最值求参数 【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）求出函数的导函数，分、两种情况讨论，说明函数的单调性，从而求出函数的最大值，从而求出参数的值. 【详解】（1）当时，则，， 所以，所以切线方程为，即； （2）函数的定义域为，且， 当时，恒成立，所以函数在上单调递增，则无最大值，故舍去； 当时，令，解得，， 所以当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以在处取得极大值，即最大值，即， 所以， 即，即，所以. 例题2．（23-24高二下·辽宁葫芦岛·期末）设函数. (1)求曲线的单调区间； (2)已知在区间上的最大值为13，求的值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、已知函数最值求参数 【分析】（1）利用函数导数判断函数单调区间； （2）根据函数的最大值，结合（1）中函数单调性，在处取得极大值，也为最大值，代入计算的出的值. 【详解】（1）已知的定义域为，所以， 当时，解得，当时，解得， 所以，的递增区间为，递减区间为. （2）由（1）可知在上，在上单调递增，上单调递减， 所以在处取得极大值，也为最大值， 所以，解得. 精练高频考点 1．（23-24高二下·福建三明·期末）已知函数. (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若函数的最小值是1，求的值. 【答案】(1) (2). 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知函数最值求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）利用导数求出切线斜率，再求切点坐标，利用直线点斜式方程即可求解； （2）利用导数求出函数的极值，根据题意，极小值即为最小值，建立方程得解. 【详解】（1）当时，. ， ，即切线斜率. 所以切线方程为，即 （2）函数的定义域为. 当时，.所以在上单调递减，无最小值. 当时，令，得；令，得. 所以在单调递减，在单调递增， 所以最小值为. 所以，即. 综上所述. 2．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知函数 (1)求的单调增区间和单调减区间 (2)若在区间上的最小值为，求实数的值 【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是和； (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、已知函数最值求参数 【分析】（1）首先求函数的导数，根据导数与函数单调性的关系，即可求解； （2）根据（1）的单调性，计算端点值和极值，根据最小值求实数的值. 【详解】（1），令，得或， 如图，的变化关系如下表， 0 0 单调递减 单调递增 单调递减 所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是和； （2）根据（1）的结果，得到如下表， 4 0 0 单调递减 单调递增 单调递减 如表可知，的最小值为，得. 3．（2024·江苏南京·二模）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，若在区间上的最小值为，求a的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知函数最值求参数 【分析】（1）由，分别求出及，即可写出切线方程； （2）计算出，令，解得或，分类讨论的范围，得出的单调性，由在区间上的最小值为，列出方程求解即可． 【详解】（1）当时，，则，，所以， 所以曲线在处的切线方程为：，即． （2），令，解得或， 当时，时，，则在上单调递减， 所以，考虑，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以的极大值为，所以由得； 当时，时，，则在上单调递减， 时，，则在上单调递增， 所以，则，不合题意； 当时，时，，则在上单调递减， 所以，不合题意； 综上，． 题型八：重点考查极值，最值，单调性的综合问题 典型例题 例题1．（2025·云南红河·三模）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)设，求函数在区间上的最大值． 【答案】(1) (2)极大值，无极小值 (3)答案见解析 【知识点】求已知函数的极值、由导数求函数的最值（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）先求导函数，再计算斜率，利用点斜式即可求切线； （2）解不等式和，得出函数单调性，即可求出极值； （3）结合（2）求出的单调性，分三种情况讨论函数在上的单调性，即可求最值. 【详解】（1）函数的定义域为， 由，则切线的斜率， 又，故切点为， 所以切线的方程为，即． （2）因为， 则，得；，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故当时，有极大值，无极小值． （3）由（2）得：当且，即时， 在上恒成立，函数在上单调递增， 所以； 当，即时， 时，，时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以； 当时，在上恒成立，函数在上单调递减， 所以， 综上所得：当时，； 当时，； 当时，． 例题2．（24-25高二下·吉林四平·阶段练习）已知函数，. (1)若函数在定义域上单调递增，求的取值范围； (2)若函数有两个极值点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、根据极值点求参数 【分析】（1）依题可知恒成立，参变分离后，求函数最值即可； （2）根据条件可知有两个不同的正跟，列出方程组解出即可. 【详解】（1）由题知，在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为，当且仅当时等号成立，所以， 经检验，符合题意. 故. （2）由题设且， 若，则在上恒成立， 即单调递减，不可能有两个极值点，不符合题意； 故，又有两个极值点， 则是的两个不同正根， 所以，可得， 即实数的取值范围是. 例题3．（24-25高二下·天津南开·阶段练习） 已知函数 (1)若，求曲线 在点处的切线方程; (2)当时，求函数的单调区间和极值； (3)若对于任意都有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)答案见详解； (3). 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值 【分析】（1）利用导数求切线斜率，然后求出切点纵坐标，由点斜式可得切线方程； （2）求导，分和讨论即可得解； （3）参变分离，构造函数，利用导数即可最值可得. 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，，则， 所以，， 由点斜式得切线方程为，即. （2），因为，所以， 当时，恒成立， 所以在单调递减，此时无极值； 当时，解得，解得， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得极小值，无极大值. 综上，当时，在单调递减，无递增区间，无极值； 当时，在上单调递减，在上单调递增，有极小值，无极大值. （3）， 因为，所以， 令，则， 易知单调递增，所以， 所以，所以在单调递增， 所以，当，， 要使对任意都有成立，则， 即实数的取值范围为. 例题4．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)设函数，若函数在上为增函数，求实数a的取值范围. 【答案】(1)当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， (2) 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）对函数进行求导，参数进行分类讨论，再利用函数的单调性与导数的关系即得；（2）由题可得函数在上为增函数，在上恒成立，再利用导数求函数的最值即可. 【详解】（1）由题意得，， 当时，，函数在上单调递增； ②当时，令，解得， ，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， （2）因为函数在上为增函数， 所以，在上恒成立． 即在上恒成立． 令，当时，， 所以，在上单调递增，． 所以，，解得， 所以，实数的取值范围为． 精练高频考点 1．（2025·安徽·二模）设函数. (1)若是增函数，求的取值范围； (2)若，为的两个极值点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、根据极值点求参数 【分析】（1）求导后根据增函数列出不等式求解即得； （2）由（1）以及有两个极值点，可得，且，，化简并代入即可求得的取值范围. 【详解】（1）由，求导得， 若是增函数，即， 所以恒成立， 因为，则有， 解得，即的取值范围是； （2）由（1）可知，若有两个极值点，则， 根据韦达定理得出，， 所以， 因为，所以， 所以的取值范围是. 2．（24-25高二下·山东聊城·阶段练习）已知函数在处取得极值. (1)求实数的值； (2)求在区间上的最大值和最小值. (3)若方程有三个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值 (3) 【知识点】根据极值求参数、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究方程的根 【分析】（1）先利用来求解，再进行检验即可； （2）利用第一问求的单调性判断最值； （3）函数，解不等式即可. 【详解】（1），则， 因函数在处取得极值， 则，得， 此时，， 得或，得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极小值，故. （2）由（1）可知在和上单调递增，在上单调递减，而， 则在区间上的最大值为和最小值. （3）令，则， 则与单调性相同， 因方程有三个不同的实数根， 则，得， 则实数的取值范围为. 3．（2025·广东茂名·二模）已知为常数，且． (1)若，求函数的单调区间； (2)若方程有且仅有2个不等的实数解，求的值． 【答案】(1)单调增区间为和，单调减区间为. (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究方程的根 【分析】（1）直接代入求导即可得到其单调区间； （2）求导得到其单单调性，再跟三次函数特点得到，解出方程即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当和时，单调递增； 当时，单调递减， 所以的单调增区间为和，单调减区间为. （2）因为方程有2个不同的实数解，所以有2个零点， 又由（1）可知，，因为， 则当，，当，， 则在单调递增，在单调递减，在单调递增， 所以， 解得或或或， 又，所以. 4．（24-25高二下·天津南开·阶段练习）已知函数 (1)当 时，求曲线 在点处切线的方程； (2)其中 试讨论函数的单调区间与极值. 【答案】(1) (2)当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为，此时函数极大值为，极小值为； 当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为，函数极大值为，极小值为； 当时，函数的单调增区间为，无减区间，也无极值. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）利用导数几何意义求出切线的斜率，即可求解； （2）对函数求导，令解得或，然后讨论和的大小，根据和的解集，即可判断函数的单调区间，并求得极值. 【详解】（1）当时，，，， 曲线 在点处切线的斜率， 所以切线方程为 ，即， 所以曲线 在点处切线的方程为. （2）函数定义域为，求导得， 因为，令，即，解得或， 当，即时，令得或，令得， 所以函数的单调增区间为和，单调减区间为， 此时函数极大值为，极小值为； 当，即时，令得或，令得， 所以函数的单调增区间为和，单调减区间为， 此时函数极大值为，极小值为； 当，即时，在恒有，所以函数的单调增区间为，无减区间，也无极值. 综上可得： 当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为，此时函数极大值为，极小值为； 当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为，函数极大值为，极小值为； 当时，函数的单调增区间为，无减区间，也无极值. 第二部分：易错篇 易错一：已知极值（点）求参数，注意回代检验 1．（24-25高二下·天津和平·阶段练习）若函数在处有极值10，则（   ）． A． B．或15 C． D．15 【答案】D 【知识点】根据极值求参数、根据极值点求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】求导，根据得到方程组，求出或，验证后得到不合要求，满足要求，求出答案 【详解】， 由题意得， 解得或， 当时，，， 故在R上单调递增，无极值，舍去， 当时，，， 当或时，，当时，， 所以在处取得极小值，满足要求，此时. 故选：D 2．（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知函数在处有极大值，则c的值为（    ） A．2 B．6 C．2或6 D．-2 【答案】B 【知识点】导数的运算法则、根据极值点求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】求导，令求出或2，检验后得到. 【详解】， 且函数在处有极大值， 故，即，解得或2． 当时，，令得，或， 令得，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故函数在处取得极小值，不符合题意，应舍去； 当时，，令得或， 令得，， 故在上单调递增，在上单调递减， 满足在处取得极大值，满足要求. 故． 故选：B 3．（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）已知在处有极值，则（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【知识点】根据极值求参数、根据极值点求参数 【分析】由极值点和极值，列出关于的方程组，再验证条件，即可求解. 【详解】根据题意，， 函数在处有极值0， 且， 或， 时恒成立，此时函数无极值点， 当时，， 此时是函数的极值，满足条件， ，. 故选：D 学科网（北京）股份有限公司 $$