专题3.2 导数与函数的单调性(高考高频考点）( 8大核心题型+2大易错）-【练透核心考点】备战2026年高考数学一轮重难点题型狂飙特训（新教材新高考）

专题3.2 导数与函数的单调性 目录 第一部分：题型篇 1 题型一：重点考查求函数的单调区间 1 题型二：重点考查根据函数的单调性求参数 3 题型三：重点考查根据函数单调区间的个数求参数 6 题型四：重点考查为一次型的单调性讨论问题 7 题型五：重点考查为可视为一次型的单调性讨论问题 11 题型六：重点考查为可因式分解的二次型的单调性讨论问题 13 题型七：重点考查为可视为可因式分解的二次型的单调性讨论问题 18 题型八：重点考查为不可因式分解的二次型的单调性讨论问题 22 第二部分：易错篇 26 易错一：求单调区间忽视了定义域 26 易错二：已知在区间上单调性情况等价转化注意是否有等号 27 温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头 第一部分：题型篇 题型一：重点考查求函数的单调区间 典型例题 例题1．（24-25高二下·山东聊城·阶段练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D．和 【答案】D 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】根据导数和函数单调性的关系，即可求解. 【详解】，解得：或， 所以函数的单调递增区间是和. 故选：D 例题2．（24-25高二下·天津西青·阶段练习）已知函数，则函数的单调递减区间是（   ） A． B．或C． D． 【答案】D 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】利用导数分析函数的单调性可得. 【详解】， 令， 所以当，，即函数为递减函数. 故选：D. 精练高频考点 1．（24-25高二下·江苏镇江·期中）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、导数的乘除法 【分析】先确定函数的定义域，再利用导数求函数的单调区间即可. 【详解】函数的定义域为， 因为，所以， 令，即，所以，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故选：B. 2．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】对函数求导，令即可求解函数的单调递增区间. 【详解】函数的定义域为， ∴. 令，解得或， 即函数的单调增区间是. 故选：D. 3．（24-25高二下·重庆·阶段练习）函数的单调递减区间为 . 【答案】 【知识点】导数的运算法则、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】先求出函数的定义域，然后对函数求导，再由可求出函数的单调递减区间. 【详解】的定义域为， 由，得， 由，得，解得， 因为，所以， 所以单调递减区间为. 故答案为： 题型二：重点考查根据函数的单调性求参数 典型例题 例题1．（23-24高二上·福建南平·阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】利用导数与函数的关系将问题转化为恒成立问题，从而得解. 【详解】因为，所以， 因为在区间上单调递减， 所以，即，则在上恒成立， 因为在上单调递减，所以，故. 故选：A. 例题2．（24-25高二下·天津·阶段练习）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】利用导数转化为能成立问题，分离参数法求解即可. 【详解】因为（），所以. 函数在区间内存在单调递增区间，则在上有解. 由. 设，则在上单调递增，所以. 所以. 故答案为： 精练高频考点 1．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】根据题意得到，恒成立.从而得到，恒成立，再根据的单调性求解即可. 【详解】因为，函数在区间上是减函数， 所以，恒成立. 所以，恒成立. 设，， 因为对称轴为，所以在为增函数， 所以，所以. 故选：C 2．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】求出函数的导数，利用导函数在内有零点列式求解. 【详解】由，求导得，而函数在区间上不单调， 则在内有解，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C 3．（23-24高二上·山西长治·期末）若函数（且）在区间上单调递增，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由函数的单调区间求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】函数求导后，在区间上单调递增，转化为在区间上恒成立，然后利用函数单调性求最值即得. 【详解】由函数（且）在区间上单调递增， 得在区间上恒成立， 又在区间上恒正，只需满足在区间上恒成立即可， 令， 若，则，则一次函数在区间上单调递减，不可能恒正； 若，则，则一次函数在区间单调递增， 所以只需，即，解得， 故答案为：. 题型三：重点考查根据函数单调区间的个数求参数 典型例题 例题1．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）若函数有三个单调区间，则实数a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】由有两个不相等的实数根求得的取值范围． 【详解】， 由于函数有三个单调区间， ∴有两个不相等的实数根，∴． 故选：C． 例题2．（多选）（23-24高二下·浙江·期中）已知函数在上有三个单调区间，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】将问题等价于在有两个不同的实数根，进一步转化为在有唯一不为1的根，构造函数，求导得单调性即可求解. 【详解】由题意可知函数在上有三个单调区间，等价在有两个不同的根.，令，则， 即在有唯不为1的一根，则有有唯一不为1的根， 令，则，故当 单调递增， 当 单调递减，且 即， 故选：BD 精练高频考点 1．（24-25高三·全国·阶段练习）若函数有三个单调区间，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】首先求导数，根据条件，转化为导数有2个变号零点，即可求解. 【详解】，因为函数有三个单调区间，所以， 解得：. 故选：A 2．（多选）（2024高三·全国·专题练习）若函数恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】BD 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】将问题转化为导函数有两个零点问题，由判别式可解． 【详解】当时，，显然不满足题意； 当时，依题意知，有两个不相等的零点， 所以，解得且， 故选：BD． 题型四：重点考查为一次型的单调性讨论问题 典型例题 例题1．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知函数，． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）求出函数的定义域与导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间. 【详解】（1）当时，则，， 所以， 所以函数在点处的切线方程为，即； （2）函数的定义域为， 又， 当时恒成立，所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，由，解得，由，解得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上可得：当时，单调递增区间为，无单调递减区间； 当时单调递增区间为，单调递减区间为. 例题2．（23-24高二下·广东梅州·期中）已知函数． (1)当时，求在上的值域； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、含参分类讨论求函数的单调区间、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，求出区间端点值，即可得解； （2）求出函数的定义域与导函数，再分和两种情况讨论，分别求出函数的单调性. 【详解】（1）当时，则， 当时恒成立，所以在上单调递增， 又，， 所以在上的值域为. （2）函数的定义域为， 又， 当，即时恒成立，所以在上单调递减； 当，即时，当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上可得：当时在上单调递减； 当时在上单调递减，在上单调递增. 精练高频考点 1．（24-25高二下·山东济宁·阶段练习）已知函数. (1)当时，求过原点的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】求过一点的切线方程、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）设出切点，求导，写出切线方程，结合切线过原点可求答案； （2）求导，分情况讨论导数的符合，可得函数单调性. 【详解】（1）由题意知，的定义域为，则， 当时，，设切点为，则切线方程为 ，即， 又因为切线过，代入切线方程得， 即，解得，所以切线方程为. （2）， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，令，得， 所以，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上所述，①当时，在上单调递增； ②当时，在上单调递减，在上单调递增. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数.讨论的单调性； 【答案】当时， 在上单调递增； 当时， 在上单调递减，在上单调递增. 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】求导后为类一次函数，由于函数的定义域为，所以分为和两类. 【详解】的定义域为，， 当时，，所以在上单调递增； 当时，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 3．（2025高三·全国·专题练习）设函数，讨论在上的单调性. 【答案】答案见解析 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】求导，分，，且三种情况下，得到函数的单调性. 【详解】∵，∴， ①当时，，在上单调递增. ②当，即或时，， ∴在上单调递减. ③当且时，由得. 令得；令得. ∴在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上递增； 当或时，在上递减； 当且时，在上单调递增，在上单调递减. 题型五：重点考查为可视为一次型的单调性讨论问题 典型例题 例题1．（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数.讨论的单调性； 【答案】答案见解析 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】求导之后为类一次函数，根据方程是否有解分为和两类. 【详解】∵，∴， ①当时，恒成立，此时在上单调递增； ②当时，令，解得， 当时，，在区间上单调递减， 当时，，在区间上单调递增. 综上所述，当时，在上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 例题2．（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知，. (1)讨论的单调性. 【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. 【知识点】利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）对求导数，然后分类讨论即可； 【详解】（1）由，知. 当时，有，所以在上单调递减； 当时，对有， 对有， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 精练高频考点 1．（24-25高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数（，为自然对数的底数）. (1)若曲线在点处的切线平行于轴，求的值； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求出，由导数的几何意义，解方程即可； （2）解方程，注意分类讨论，以确定的符号，从而确定的单调性， 【详解】（1）由,得． 又曲线在点处的切线平行于轴, 得,即,解得． （2）, ①当时,,为上的增函数, ②当时,令,得,则． ,；,． 所以在上单调递减,在上单调递增, 综上,当时, 为上的增函数, 当,在上单调递减,在上单调递增, 2．（25-26高三上·上海·单元测试）已知函数，（为自然对数的底数）． (1)求函数的单调区间； 【答案】(1)答案见解析 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数证明不等式 【分析】（1）求导，即可结合分类讨论求解， 【详解】（1）， ①若，恒成立，此时函数的单调递减区间为； ②若，令，得，令，得． 此时函数的单调增区间为，单调减区间为． 综上所述，当时，函数的单调减区间为， 当时，函数的单调增区间为，单调减区间为； 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数.讨论的单调性； 【答案】当时， 在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】求导后为类指数函数，分类讨论的依据是方程是否有解. 【详解】的定义域为，， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 题型六：重点考查为可因式分解的二次型的单调性讨论问题 典型例题 例题1．（24-25高二下·浙江杭州·阶段练习）已知函数 (1)当时，求函数的极值. (2)求函数的单调区间. 【答案】(1)极大值为，极小值为； (2)答案见解析 【知识点】求已知函数的极值、含参分类讨论求函数的单调区间、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）求出定义域，求导，令得或，并得到函数单调性，求出极值； （2）求定义域，求导，分，，和四种情况，求出函数单调区间. 【详解】（1）当时，的定义域为， 故， 令得或， 令得或，令得， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 故极大值为，极小值为； （2）的定义域为， ， 当时，令得，令得， 故单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，，令得或，令得， 故单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，，此时恒成立，故单调递增区间为； 当时，，令得或，令得， 故单调递增区间为，单调递减区间为； 综上，当时，单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，单调递增区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为. 例题2．（24-25高三上·黑龙江·期末）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求实数的值； (2)讨论函数的单调性； 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【知识点】已知切线（斜率）求参数、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数证明不等式 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）利用导数判断函数单调性； 【详解】（1）由于，故，解得或. （2）首先有. 若，则在上递减； 若，则对有， 对有. 所以在上递减，在上递增； 若，则对有， 对有. 所以在上递减，在上递增. 综上，当时，在上递减； 当时，在上递减，在上递增； 当时，在上递减，在上递增. 精练高频考点 1．（24-25高三下·广东·开学考试）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）当时，先求确定切点，再求确定切线斜率，利用直线方程的点斜式可得切线方程. （2）求导，分，，讨论导函数的符号，可得函数的单调区间. 【详解】（1）当时，，则， 从而，， 故所求切线方程为，即（或）. （2）由题意可得. 当，即时，由，得或，由，得， 则在和上单调递增，在上单调递减； 当，即时，恒成立，则在上单调递增； 当，即时，由，得或，由，得，则在和上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 2．（24-25高二上·河南许昌·期末）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性． 【答案】(1) (2)当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）根据在点处的切线方程为即可求解； （2）由题意有，根据的范围分类讨论即可. 【详解】（1）当时，， ， ，，所以切点为， 切线方程即． （2）的定义域为，， 当时，由可得或；由可得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，恒成立，函数的单调递增区间为； 当时，由可得或；由可得 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 3．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数. (1)若，求在处的切线方程. (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解直线方程， （2）求导，对分类讨论，根据导函数的正负即可求解单调性. 【详解】（1）由题设，则， 所以，，故切线方程为，         整理得. （2）由题设，且， 当时，当时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，时，或时， 所以在上单调递减，在上单调递增； 当时，恒成立，即在上单调递减；. 当时，时，或时， 所以在上单调递减，在上单调递增； 题型七：重点考查为可视为可因式分解的二次型的单调性讨论问题 典型例题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，讨论函数的导数的单调性； 【答案】答案见解析 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】根据题意整理可得，分类讨论、，判断函数的单调性即可求解. 【详解】设，则， 注意到，则有： 当时，则，故对恒成立， 故的单调递减区间为； 当时，令，解得， 当时，；当时，； 故的单调递增区间为，单调递减区间； 综上所述：当时，的单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间. 例题2．（2025高二·全国·专题练习）已知，．讨论的单调性； 【答案】在和上单调递增，在上单调递减 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、含参分类讨论求函数的单调区间、导数的运算法则 【分析】先对函数求导，再根据导函数的符号确定单调区间即可. 【详解】由题意，得 ，，∴， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 综上所述，在和上单调递增，在上单调递减． 精练高频考点 1．（23-24高二下·北京房山·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）直接计算导数，并利用导数的定义即可； （2）对分情况判断的正负，即可得到的单调区间； 【详解】（1）由，知. 所以当时，有，. 故曲线在处的切线经过，且斜率为，所以其方程为，即. （2）当时，对有，对有，故在和上递增，在上递减； 当时，对有，故在上递增； 当时，对有，对有，故在和上递增，在上递减. 综上，当时，在和上递增，在上递减； 当时，在上递增； 当时，在和上递增，在上递减. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对进行恰当的分类讨论，方可得到所求的结果. 2．（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）利用导数的几何性质求解即可. （2）首先求导得到，再分类讨论，，，情况的单调性即可. 【详解】（1）由已知，则， 当时，，， 则曲线在处的切线方程为，即 （2）由（1）知，， ①当时，， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减； ②当时，由，得， （ⅰ）当时，， 当时，，在，单调递增； 当时，，在单调递减； （ⅱ）当时，，，在单调递增； （ⅲ）当时，， 当时，，在，单调递增； 当时，，在单调递减； 综上可得：①当时，在单调递增，在单调递减； ②当时，在，单调递增，在单调递减； ③当时，在单调递增； ④当时，在，单调递增，在单调递减. 3．（2025高二·全国·专题练习）已知函数 ． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)当时， 在上单调递减 ；当时， 在单调递减，在单调递增 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）先求出，在利用导函数求出，即为曲线在点处的切线斜率，再利用点斜式即可求出切线方程. （2）先对求导，化简，再分两个方面来讨论的正负，进而得到的单调性. 【详解】（1）当时，，则 所以曲线在点处的切线方程为： 即． （2）的定义域为， （ⅰ）若，则，所以在上单调递减 （ⅱ）若，则由得. 当时，；当时，. 所以在单调递减，在单调递增． 故当时， 在上单调递减 当时， 在单调递减，在单调递增． 题型八：重点考查为不可因式分解的二次型的单调性讨论问题 典型例题 例题1．（2025高二上·江苏·专题练习）已知函数，，讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、导数的运算法则、解不含参数的一元二次不等式 【分析】求导数，分类讨论导数的符号，得函数的单调区间. 【详解】函数的定义域为， ①当，即时，得，则. ∴函数在上为增函数. ②当，即时，令，得， 解得 (ⅰ)若，则， ∵，在或时，；时， ∴在，上为增函数，在上为减函数. (ⅱ)若，则，当时，，当时，， ∴函数在上为减函数，在上为增函数. 综上可知，时，函数在上为增函数； 时，函数在，上为增函数，在上为减函数； 时，函数在上为减函数，在上为增函数. 例题2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，，讨论的单调性. 【答案】答案见解析. 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】 求函数的导数，讨论参数a，结合导数的符号判断函数单调性即可. 【详解】依题意， 若，则，当时，当时. 若，令，，令，解得或. 若，则；若，则； 若且，令，得，. 若，则， 当时，当时，当时； 若，则， 当时，当时，当时. 综上所述：时在R上单调递增； 时在和上单调递增，在上单调递减； 时在上单调递减，在上单调递增； 时在和上单调递减，在上单调递增； 时在R上单调递减； 精练高频考点 1．（2025高三·全国·专题练习）设函数，，求函数的单调区间； 【答案】答案见解析 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】先对函数求导，再令求根，判断导数的正负即可； 【详解】由题意知，定义域为. ， 因为，令得，， 当，，在单调递增； 当，，在单调递减； 故的单调增区间为 ，单调减区间为. 2．（2025高三·全国·专题练习）讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】先求的导函数，再分和两种情况讨论导数的正负进而判断函数的单调性即可. 【详解】由题意知的定义域为，， 对于，. ①当时，，在上单调递增； ②当时，令， 即， 解得， 令，则或； 令，则. 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，f(x)在，上单调递增，在上单调递减. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，求函数的单调增区间. 【答案】答案见解析 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】求定义域，求导，结合导函数特征，分类讨论，求出函数的递增区间. 【详解】的定义域为， ，， 令， 注意到， ①当时，，，故在上单调递增； ②当时，，令，得，， 令，解得， 所以的递增区间为； 综上：当时，的递增区间为； 当时，的递增区间为. 第二部分：易错篇 易错一：求单调区间忽视了定义域 1．（24-25高二下·天津宁河·阶段练习）的单调递减区间为 . 【答案】 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】先求导，再求的区间即可. 【详解】函数定义域为， ， 令， 即，解得： 的单调递减区间为. 故答案为： 2．（24-25高二下·河南商丘·阶段练习）设函数，当时，的单调递减区间为 ． 【答案】 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求导，由求解即可. 【详解】由，可得，， ， 由，可得：， 又，可得：， 解得：， 所以的单调递减区间为， 故答案为： 3．（22-23高二上·天津·期末）函数的单调递减区间为 ． 【答案】/ 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、导数的运算法则 【分析】先求出导函数，再根据，计算求解即可. 【详解】因为函数，定义域为， 所以， 令，所以， 的单调递减区间为. 故答案为：或. 易错二：已知在区间上单调性情况等价转化注意是否有等号 1．（24-25高二上·重庆·期末）已知函数在区间上存在单调递减区间，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由函数的单调区间求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】问题转化为在上有解，分离参数，通过求导分析函数的最小值可得实数的取值范围. 【详解】∵，∴， 由题意得，在上有解，即在上有解， ∴，， 设，则， 设，则， ∴在上为增函数， ∵， ∴当时，，，当时，，， ∴在上为减函数，在上为增函数， ∴， ∴，故实数的取值范围是. 故答案为：. 2．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】求导后结合二次函数的性质分析即可. 【详解】， 因为函数存在单调递减区间， 所以存在，使得小于零， 所以导函数的判别式，解得或， 所以实数的取值范围为是， 故答案为：. 3．（23-24高二上·浙江宁波·期中）若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由函数的单调区间求参数、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】根据题意转化为在上有解，分离参数后求函数最值即可得解. 【详解】，由题意在上有解， 即在上有解， 根据对勾函数的性质可知，在上单调递增，所以在时取最大值， 故，故实数的取值范围是. 故答案为： 4．（23-24高三上·安徽亳州·阶段练习）已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围是： . 【答案】 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】根据函数单调性得在上恒成立，再根据分参求最值即可求解. 【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为. 故a的取值范围是. 故答案为： 5．（23-24高二下·广东广州·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由函数的单调区间求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】求出函数的导数，再结合给定的单调区间及单调性，列出不等式求解作答. 【详解】函数，求导得， 依题意，，，即恒成立， 显然函数是开口向上的二次函数，因此， 解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 6．（23-24高二下·河南洛阳·期中）已知函数，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由函数的单调区间求参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】求出函数的导数，利用导数非负可求参数的取值范围. 【详解】， 因为在上单调递减，故，有恒成立， 故对恒成立， 所以对恒成立， 故对恒成立， 令，而在上为减函数， 故在上最大值为， 故. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 导数与函数的单调性 目录 第一部分：题型篇 1 题型一：重点考查求函数的单调区间 1 题型二：重点考查根据函数的单调性求参数 2 题型三：重点考查根据函数单调区间的个数求参数 3 题型四：重点考查为一次型的单调性讨论问题 3 题型五：重点考查为可视为一次型的单调性讨论问题 5 题型六：重点考查为可因式分解的二次型的单调性讨论问题 6 题型七：重点考查为可视为可因式分解的二次型的单调性讨论问题 8 题型八：重点考查为不可因式分解的二次型的单调性讨论问题 10 第二部分：易错篇 11 易错一：求单调区间忽视了定义域 11 易错二：已知在区间上单调性情况等价转化注意是否有等号 12 温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头 第一部分：题型篇 题型一：重点考查求函数的单调区间 典型例题 例题1．（24-25高二下·山东聊城·阶段练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D．和 例题2．（24-25高二下·天津西青·阶段练习）已知函数，则函数的单调递减区间是（   ） A． B．或C． D． 精练高频考点 1．（24-25高二下·江苏镇江·期中）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·重庆·阶段练习）函数的单调递减区间为 . 题型二：重点考查根据函数的单调性求参数 典型例题 例题1．（23-24高二上·福建南平·阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高二下·天津·阶段练习）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是 . 精练高频考点 1．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山西长治·期末）若函数（且）在区间上单调递增，则实数的取值范围是 . 题型三：重点考查根据函数单调区间的个数求参数 典型例题 例题1．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）若函数有三个单调区间，则实数a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 例题2．（多选）（23-24高二下·浙江·期中）已知函数在上有三个单调区间，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 精练高频考点 1．（24-25高三·全国·阶段练习）若函数有三个单调区间，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（2024高三·全国·专题练习）若函数恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是（   ） A． B． C．0 D．2 题型四：重点考查为一次型的单调性讨论问题 典型例题 例题1．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知函数，． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性． 例题2．（23-24高二下·广东梅州·期中）已知函数． (1)当时，求在上的值域； (2)讨论的单调性． 精练高频考点 1．（24-25高二下·山东济宁·阶段练习）已知函数. (1)当时，求过原点的切线方程； (2)讨论的单调性. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数.讨论的单调性； 3． （2025高三·全国·专题练习）设函数，讨论在上的单调性. 题型五：重点考查为可视为一次型的单调性讨论问题 典型例题 例题1．（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数.讨论的单调性； 例题2．（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知，. (1)讨论的单调性. 精练高频考点 1．（24-25高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数（，为自然对数的底数）. (1)若曲线在点处的切线平行于轴，求的值； (2)讨论函数的单调性. 2．（25-26高三上·上海·单元测试）已知函数，（为自然对数的底数）． (1)求函数的单调区间； 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数.讨论的单调性； 题型六：重点考查为可因式分解的二次型的单调性讨论问题 典型例题 例题1．（24-25高二下·浙江杭州·阶段练习）已知函数 (1)当时，求函数的极值. (2)求函数的单调区间. 例题2．（24-25高三上·黑龙江·期末）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求实数的值； (2)讨论函数的单调性； 精练高频考点 1．（24-25高三下·广东·开学考试）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 2．（24-25高二上·河南许昌·期末）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性． 3．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数. (1)若，求在处的切线方程. (2)讨论的单调性. 题型七：重点考查为可视为可因式分解的二次型的单调性讨论问题 典型例题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，讨论函数的导数的单调性； 例题2．（2025高二·全国·专题练习）已知，．讨论的单调性； 精练高频考点 1．（23-24高二下·北京房山·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； 2．（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性. 3．（2025高二·全国·专题练习）已知函数 ． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 题型八：重点考查为不可因式分解的二次型的单调性讨论问题 典型例题 例题1．（2025高二上·江苏·专题练习）已知函数，，讨论函数的单调性. 例题2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，，讨论的单调性. 精练高频考点 1．（2025高三·全国·专题练习）设函数，，求函数的单调区间； 2．（2025高三·全国·专题练习）讨论函数的单调性. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，求函数的单调增区间. 第二部分：易错篇 易错一：求单调区间忽视了定义域 1．（24-25高二下·天津宁河·阶段练习）的单调递减区间为 . 2．（24-25高二下·河南商丘·阶段练习）设函数，当时，的单调递减区间为 ． 3．（22-23高二上·天津·期末）函数的单调递减区间为 ． 易错二：已知在区间上单调性情况等价转化注意是否有等号 1．（24-25高二上·重庆·期末）已知函数在区间上存在单调递减区间，则实数的取值范围是 ． 2．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为 . 3．（23-24高二上·浙江宁波·期中）若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是 ． 4．（23-24高三上·安徽亳州·阶段练习）已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围是： . 5．（23-24高二下·广东广州·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围是 ． 6．（23-24高二下·河南洛阳·期中）已知函数，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是 . 学科网（北京）股份有限公司 $$