专题3.1 导数的概念及运算(高考高频考点）( 7大核心题型）-【练透核心考点】备战2026年高考数学一轮重难点题型狂飙特训（新教材新高考）

专题3.1 导数的概念及运算 目录 题型一：重点考查导数的定义 1 题型二：重点考查复合函数求导 2 题型三：重点考查导数的运算 3 题型四：重点考查求切线（在型） 4 题型五：重点考查求切线（过型） 5 题型六：重点考查切线中的参数问题 5 题型七：重点考查公切线问题 6 温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头 题型一：重点考查导数的定义 典型例题 例题1．（24-25高二下·天津武清·阶段练习）设函数，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高二下·湖北·期中）已知函数，则（   ） A．4 B． C．2 D． 精练高频考点 1．（24-25高二下·吉林四平·阶段练习）已知函数，则（   ） A．2 B． C．1 D． 2．（24-25高二下·河南南阳·期中）已知函数的导函数为，若，则（    ） A．6 B． C． D． 3．（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）已知是定义在上的可导函数，若，则（   ） A． B． C．1 D． 题型二：重点考查复合函数求导 典型例题 例题1．（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）（    ） A． B． C． D．2 例题2．（多选）（24-25高二下·贵州铜仁·阶段练习）下列求导的运算中，正确的是（ ） A． B． C．= D． 精练高频考点 1．（24-25高二下·山东聊城·阶段练习）已知函数则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·安徽安庆·阶段练习）设函数，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（2025高二下·全国·专题练习）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三：重点考查导数的运算 典型例题 例题1．（24-25高二下·湖北·期中）下列求导运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高二下·广西河池·阶段练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4). 精练高频考点 1．（多选）（24-25高二下·河南南阳·期中）下列求导正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（多选）（24-25高二下·安徽蚌埠·阶段练习）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（24-25高二下·广东茂名·阶段练习）下列函数求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型四：重点考查求切线（在型） 典型例题 例题1．（24-25高二下·河南南阳·期中）函数的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高二下·北京·阶段练习）已知函数，则的图象在处的切线方程为 . 精练高频考点 1．（24-25高二下·贵州六盘水·阶段练习）函数的图象在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河南·阶段练习）曲线在点处的切线与坐标轴围成的封闭图形的面积为 3．（2026高三·全国·专题练习）已知函数. (1)若，求函数在点处的切线方程； 题型五：重点考查求切线（过型） 典型例题 例题1．（多选）（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）过点向曲线作切线，切线方程可能是（    ） A． B． C． D． 例题2．（2026高三·全国·专题练习）函数的图象上过点的切线方程为 ． 精练高频考点 1．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）过点且曲线相切的直线的方程为 . 2．（24-25高二下·江西南昌·阶段练习）已知曲线，则曲线过点的切线方程为 . 题型六：重点考查切线中的参数问题 典型例题 例题1．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）若曲线只有一条过原点的切线，则的值为 ． 例题2．（24-25高二下·湖北·期中）已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则实数 . 例题3．（23-24高二下·广东中山·阶段练习）设曲线在点处的切线与直线垂直，则 ． 精练高频考点 1．（24-25高三下·山东·阶段练习）已知直线与曲线相切，则 ． 2．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，若曲线存在两条垂直于y轴的切线，则a的取值范围为 ． 3．（24-25高二下·山东济宁·阶段练习）若直线为曲线的切线，则 . 题型七：重点考查公切线问题 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）若曲线和在公共点处的切线互相垂直，则（    ） A．2 B．1 C． D． 例题2．（2026高三·全国·专题练习）若曲线和曲线存在有公共切点的公切线，则 ． 精练高频考点 1．（2026高三·全国·专题练习）已知，则与的公切线有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 2．（多选）（24-25高二下·贵州黔西·阶段练习）若两曲线与存在公切线，则正实数a的取值可能是（    ） A． B．4 C． D． 3．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知曲线的切线与曲线也相切，若该切线过原点，则 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 导数的概念及运算 目录 题型一：重点考查导数的定义 1 题型二：重点考查复合函数求导 3 题型三：重点考查导数的运算 5 题型四：重点考查求切线（在型） 8 题型五：重点考查求切线（过型） 10 题型六：重点考查切线中的参数问题 12 题型七：重点考查公切线问题 15 温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头 题型一：重点考查导数的定义 典型例题 例题1．（24-25高二下·天津武清·阶段练习）设函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】导数定义中极限的简单计算、导数的运算法则、基本初等函数的导数公式 【分析】根据条件，利用导数的定义得，即可求解. 【详解】因为， 又，则，所以，则， 故选：B. 例题2．（24-25高二下·湖北·期中）已知函数，则（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【知识点】导数定义中极限的简单计算、导数的运算法则 【分析】求出函数的导函数，根据导数的定义可得. 【详解】因为，所以，则， 所以. 故选：C 精练高频考点 1．（24-25高二下·吉林四平·阶段练习）已知函数，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【知识点】导数定义中极限的简单计算、导数的运算法则 【分析】求出函数的导数，再利用导数的定义求出极限值. 【详解】函数，求导得， 所以. 故选：B 2．（24-25高二下·河南南阳·期中）已知函数的导函数为，若，则（    ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】根据函数在某点处的导数定义即可. 【详解】 故选：A 3．（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）已知是定义在上的可导函数，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】将题给的极限表达式转化为导数的定义式，即可得解. 【详解】因为，即， 即，则. 故选：A. 题型二：重点考查复合函数求导 典型例题 例题1．（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【知识点】简单复合函数的导数 【分析】由基本初等函数求导公式及复合函数的求导法则即可求解. 【详解】. 故选：C. 例题2．（多选）（24-25高二下·贵州铜仁·阶段练习）下列求导的运算中，正确的是（ ） A． B． C．= D． 【答案】BC 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、简单复合函数的导数 【分析】根据基本函数导数公式与复合函数导数运算法则求解即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D， ，故D错误. 故选：BC. 精练高频考点 1．（24-25高二下·山东聊城·阶段练习）已知函数则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】简单复合函数的导数、导数（导函数）概念辨析、导数定义中极限的简单计算 【分析】根据导数的定义和复合函数导数即可得到答案. 【详解】, . 故选：A. 2．（24-25高二下·安徽安庆·阶段练习）设函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】简单复合函数的导数、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、求某点处的导数值 【分析】根据复合函数求导公式求，再代入即可. 【详解】设，， 则，， 所以， 所以. 故选：D. 3．（多选）（2025高二下·全国·专题练习）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】导数的运算法则、简单复合函数的导数、基本初等函数的导数公式 【分析】利用导数的运算法则及复合函数的导数法则求解即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：ABC 题型三：重点考查导数的运算 典型例题 例题1．（24-25高二下·湖北·期中）下列求导运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】导数的运算法则、简单复合函数的导数、基本初等函数的导数公式 【分析】应用导数的运算法则及复合函数的导数求法判断各项的正误. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D正确. 故选：B 例题2．（24-25高二下·广西河池·阶段练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】基本初等函数的导数公式、简单复合函数的导数、导数的加减法、导数的乘除法 【分析】（1）（2）（3）（4）利用求导公式、导数的运算法则求解即得. 【详解】（1）由题意可知：. （2）由题意可知：， 所以. （3）由题意可知：. （4）由题意可知：. 精练高频考点 1．（多选）（24-25高二下·河南南阳·期中）下列求导正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】根据导数公式和导数运算法则逐一计算即可判断. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若，，故C正确； 对于D，若，，故D正确. 故选：BCD 2．（多选）（24-25高二下·安徽蚌埠·阶段练习）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】导数的运算法则、简单复合函数的导数、基本初等函数的导数公式、导数的乘除法 【分析】利用求导四则运算法则和简单复合函数求导法则计算，判断出四个选项. 【详解】A选项，，A错误； B选项，，B正确； C选项，，C正确； D选项，，D正确. 故选：BCD 3．（多选）（24-25高二下·广东茂名·阶段练习）下列函数求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】基本初等函数的导数公式、简单复合函数的导数、导数的加减法、导数的乘除法 【分析】利用基本初等函数的导数公式可判断A选项；利用导数的运算法则可判断BD选项；利用复合函数的求导法则可判断C选项. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：ABC． 题型四：重点考查求切线（在型） 典型例题 例题1．（24-25高二下·河南南阳·期中）函数的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则 【分析】求得，得到，且，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由函数，可得，则，且， 即切线的斜率为，切点坐标为 所以的图象在处的切线方程为，即. 故选：C. 例题2．（24-25高二下·北京·阶段练习）已知函数，则的图象在处的切线方程为 . 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则、导数的加减法 【分析】应用导数的几何意义求函数图象一点处的切线方程即可. 【详解】由题设，则，所以，， 则的图象在处的切线方程为，即. 故答案为： 精练高频考点 1．（24-25高二下·贵州六盘水·阶段练习）函数的图象在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】由函数解析式求得切点，利用导数求得切线斜率，根据点斜式，可得答案. 【详解】由，则， 求导可得，则， 所以切线方程为，化简可得. 故选：B. 2．（24-25高二下·河南·阶段练习）曲线在点处的切线与坐标轴围成的封闭图形的面积为 【答案】/0.25 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】求出函数的导数，从而求得切线斜率，写出切线方程，求出切线与坐标轴的交点坐标，然后得到面积. 【详解】所以， ∴曲线在点处的切线斜率， ∴切线方程：， 切线与坐标轴交点为， ∴封闭图形的面积：. 故答案为：. 3．（2026高三·全国·专题练习）已知函数. (1)若，求函数在点处的切线方程； 【答案】(1) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； 【详解】（1）当时，， ， 所以函数在点处的切线方程为，即. 题型五：重点考查求切线（过型） 典型例题 例题1．（多选）（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）过点向曲线作切线，切线方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、求过一点的切线方程 【分析】设切点为，利用导数的几可意义，再结合题设条件得到，解得或，即可求解. 【详解】令，则，设切点为， 则切线方程为， 将点代入，整理得， 即，解得或， 当时，切线方程为；当时，切线方程为． 故答案为：AC. 例题2．（2026高三·全国·专题练习）函数的图象上过点的切线方程为 ． 【答案】或 【知识点】求过一点的切线方程、导数的运算法则 【分析】设切点为，利用导数的几何意义结合点斜式直线方程求出切线方程，将点代入切线方程，求出或，即可得解. 【详解】由得．设切点为，则， 所以切线的方程为， 又切线过点，所以， 又，得，所以或， 当时，切线方程为，当时，切线方程为． 故答案为：或 精练高频考点 1．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）过点且曲线相切的直线的方程为 . 【答案】或 【知识点】求过一点的切线方程、导数的加减法 【分析】设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，将点的坐标代入切线方程，求出的值，即可得出所求切线的方程. 【详解】设切点为，对函数求导得，则切线斜率为， 所以，曲线在点处的切线方程为， 因为切线过点，则有，整理可得， 即， 当时，切线斜率为，切线方程为，即； 当时，切线斜率为，切线方程为，即. 故答案为：或. 2．（24-25高二下·江西南昌·阶段练习）已知曲线，则曲线过点的切线方程为 . 【答案】和 【知识点】求过一点的切线方程 【分析】设过点P的切线与曲线相切于点Q，然后根据曲线在点Q处切线的切线方程，求出切点坐标，从而可求出结果． 【详解】由题干得,设曲线与过点的切线相切于点， 设切线的斜率为，则由点斜式得直线方程为，又因为切点为， 则，解得或， 则曲线过点处的切线方程为和. 故答案为：和 题型六：重点考查切线中的参数问题 典型例题 例题1．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）若曲线只有一条过原点的切线，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程、导数的运算法则 【分析】设切点为，再根据导数的几何意义求得切线方程，并结合题意得方程有且只有一个实数根，再结合判别式求解即可. 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, ∴切线方程为：, ∵切线过原点， ∴,整理得：, ∵曲线只有一条过坐标原点的切线切， ∴,解得或, ∴或, 故答案为：或 例题2．（24-25高二下·湖北·期中）已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则实数 . 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】求出函数的导函数，依题意，计算可得. 【详解】因为，所以， 依题意可得，即，解得. 故答案为： 例题3．（23-24高二下·广东中山·阶段练习）设曲线在点处的切线与直线垂直，则 ． 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数、简单复合函数的导数 【分析】利用导数，结合切线的斜率求得正确答案. 【详解】直线的斜率为， 所以曲线在点处的切线的斜率为， ，所以. 故答案为： 精练高频考点 1．（24-25高三下·山东·阶段练习）已知直线与曲线相切，则 ． 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】设切点坐标为，利用导数的几何意义得出，利用点既在直线上又在曲线上，可得出，构造函数，利用导数分析该函数的单调性，解方程，求出的值，即可得出的值. 【详解】由，得， 设切点坐标为，由导数的几何意义得， 又点既在直线上又在曲线上，所以， 联立和，消去，得， 令，则恒成立， 即函数在区间上单调递增， 又，所以，得到． 故答案为：. 2．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，若曲线存在两条垂直于y轴的切线，则a的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的加减法 【分析】利用导数的几何意义将问题转化为一元二次方程有两个不相等的实根的问题，再利用判别式建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】因为，所以， 因为曲线存在两条垂直于y轴的切线， 所以关于x的方程有两个不相等的实根， 则，即，解得或， 所以a的取值范围是． 故答案为： 3．（24-25高二下·山东济宁·阶段练习）若直线为曲线的切线，则 . 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数 【分析】先设点并写出曲线的切线方程，再比较两个方程的斜率与截距可得到与的方程组，解方程即可得到的值 【详解】因为，所以， 设切点为，则切线方程为， 化简可得， 又因为是曲线y的切线，所以， 解得. 故答案为：. 题型七：重点考查公切线问题 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）若曲线和在公共点处的切线互相垂直，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】设两曲线公共点的横坐标为，得到，，根据公共点处的切线互相垂直，得到，求得，结合，求得的值，即可得到答案. 【详解】由函数和，可得，， 设两曲线公共点的横坐标为，可得，， 因为公共点处的切线互相垂直，可得，即，解得， 又由，可得，解得. 故选：C. 例题2．（2026高三·全国·专题练习）若曲线和曲线存在有公共切点的公切线，则 ． 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】根据已知求出.设出公共切点的坐标，根据已知列出方程组，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，，定义域为 则有． 设公共切点的坐标为，则，， ，． 根据题意，有. 由可得，，解得（舍去）或. 由可得， 代入可得，. 故答案为：. 精练高频考点 1．（2026高三·全国·专题练习）已知，则与的公切线有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】C 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】函数已知，可设切点表达切线方程，公切线满足两函数的切线斜率和截距分别相等，则公切线的数量可转化为满足条件的方程组的解的个数或者符合条件的切点个数的求解即可. 【详解】根据题意，设直线l与相切于点，与相切于点， 对于，有，则直线l的斜率， 则直线l的方程为，即， 对于，有，则直线l的斜率，则直线l的方程为，即， 则 可得，即或， 则切线方程为或，故与的公切线有2条． 故选：C. 2．（多选）（24-25高二下·贵州黔西·阶段练习）若两曲线与存在公切线，则正实数a的取值可能是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】ABD 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、由导数求函数的最值（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】设切线与曲线相切于点，与曲线相切于点，分别求出切线方程，可得，令，通过求导可得函数的最值，即可求解. 【详解】因为，所以， 设切线与曲线相切于点，则斜率为， 所以切线方程为，即， 因为，所以， 设切线与曲线相切于点，则斜率为， 所以切线方程为，即， 由，所以， 令， 则， 所以当，，单调递增， 当，，单调递减， 所以， 所以，所以正实数a的取值可能是，，. 故选：. 3．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知曲线的切线与曲线也相切，若该切线过原点，则 ． 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则 【分析】根据导数的几何意义可得曲线在点处的切线方程过原点得出切线方程为，再次利用导数的几何意义求得的切点，再带入点计算求参. 【详解】因为的导数为，设切点为， 所以切线斜率为， 所以曲线在处的切线过原点，所以，即，所以，切线为， 又切线与曲线相切，设切点为， 因为，所以切线斜率为，解得， 所以，则，解得. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $$