专题2.7 第二章 函数与基本初等函数 新定义题-【练透核心考点】备战2026年高考数学一轮重难点题型狂飙特训（新教材新高考）

第07讲 第二章 函数与基本初等函数 新定义题 目录 函数与基本初等函数新定义题（小题） 1 函数与基本初等函数新定义题（解答题） 9 函数与基本初等函数新定义题（小题） 1．（2025高三·全国·专题练习）定义区间的长度均为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，的长度．用[x]表示不超过的最大整数，记，其中．设．若用分别表示不等式、方程、不等式解集区间的长度，则当时，有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数新定义 【分析】本题给出函数和，还定义了区间长度，解题关键是依据的取值范围，分情况判断与的大小，进而确定各解集区间的长度即可. 【详解】由题意得， 而，得到． 当时，，此时， 则，即，故解集的长度为1， 当时，，此时， 则，即，故解集的长度为1． 当时，，此时， 则，即，故解集的长度为， 得到，故B正确. 故选：B 2．（24-25高一上·江西宜春·期末）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离，若点，点是直线上的动点，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】利用函数单调性求最值或值域 【分析】根据题意，由“曼哈顿距离”的定义列出式子，然后由函数的单调性，即可得到其最小值. 【详解】设，由定义可知 ， 因为在上单调递减，在上单调递增， 均有， 当时，单调递增， 所以时，. 故选：C 3．（24-25高三上·山东枣庄·期末）一般地，设是一个函数，，记，称函数为的次迭代，并称为的迭代指数.设为自然数，为（十进制）的各数位上数字之和，则（    ） A．19 B．11 C．8 D．5 【答案】D 【知识点】由函数的周期性求函数值 【分析】从开始计算，找到规律即可求解； 【详解】，各位数字之和位19， ，各位数字之和位11， ，各位数字之和位5， ，各位数字之和位8， ，各位数字之和位11， 从开始，结果依次为： 第150次迭代，从开始，操作148次， 余1，所以对应第二个值5， 所以， 故选：D 4．（24-25高一上·上海杨浦·期末）定义在R上且图像连续不断的函数，若存在实数使得任意实数x都成立，我们称是R上“m相依函数”．下列关于“m相依函数”的描述正确的是（    ） A．存在唯一的常值函数是“m相依函数” B．是“m相依函数” C．“2025相依函数”至少有一个零点 D．“相依函数”至少有一个零点 【答案】C 【知识点】函数新定义、零点存在性定理的应用 【分析】对于A，根据题中条件进行验证即可；对于B，根据定义得到关于的方程组，解出即可判断；对于C，利用赋值法结合零点存在性定理即可判断；对于D，代入分析即可. 【详解】对于A，设，则， 当，满足，则是“相依函数”，不唯一，故A错误； 对于B，当时，对任意都成立， 化为， 则有，无解，则不是“相依函数”，故B错误； 对于C，若， 令，则， 当时，有实根， 当时，， 根据零点存在性定理知，在区间上必有实根， 所以“2025相依函数”至少有一个零点，故C正确； 对于D，， 当，， 若，则， 不能判定方程在内有根， 根据实数的任意性，不能确定在上有无零点，故D错误， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解“相依函数”的定义，通过验证、列方程组、零点存在性定理以及赋值法即可判断. 5．（多选）（2025·云南·一模）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意，都有成立，则称为 “类周期函数”．下列函数中是类周期函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】函数新定义 【分析】根据“类周期函数”定义，判断四个选项即可. 【详解】对于A，因为，所以，所以为 “类周期函数”，故A正确； 对于B，因为，所以，所以不为 “类周期函数”，故B错误； 对于C，因为，当且时， ， 所以为 “类周期函数”，故C正确； 对于D，因为，所以，所以不为 “类周期函数”，故D错误； 故选：AC. 6．（多选）（24-25高一下·安徽亳州·开学考试）对R上定义运算；.若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的（    ） A．最小值是 B．最小值是 C．最大值是 D．最大值是2 【答案】AC 【知识点】函数不等式恒成立问题、函数新定义、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据新定义可得对任意实数恒成立，由二次函数的性质得出，从而得出，最后解一元二次不等式求出实数的取值范围，结合选项即可得出答案. 【详解】由题意可得， 所以对任意实数x恒成立， 即对任意实数x恒成立， 因为， 所以对任意实数x恒成立， 所以，解得， 所以实数的最大值为，最小值为. 故选：AC 7．（多选）（24-25高一上·四川成都·阶段练习）函数的定义域为D，若满足；（1）在D内是单调函数；（2）存在，使得在上的值域也是，则称为闭函数；若是闭函数，则实数的可能取值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】CD 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、根据二次函数零点的分布求参数的范围、函数新定义 【分析】先判定函数的单调性，然后根据条件建立方程组，转化为使方程有两个相异的非负实根，最后建立关于的不等式，求解即可. 【详解】因为函数是单调递增函数， 所以，即方程有两个相异的非负实根， 即方程有两个相异的非负实根， 令，则方程有两个相异的非负实根， 令， 则，即，解得. 故选：CD. 8．（多选）（2025·湖北·模拟预测）对于任意两个正数，当时，记曲线与直线，直线以及轴围成的曲边梯形的面积为，当时，约定，并约定.德国数学家莱布尼茨（Leibniz）最早发现.关于，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．对正数，有 【答案】AD 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】根据已知条件及新定义分别计算判断A，B，再结合图形及面积判断B，D. 【详解】由题意，所以， 当时，； 当时，； 当时，； 当或时，也成立；综上所述：. 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：如图，因为，所以 即，故B错误. 对于选项C，取，则，故C错误； 对于选项D：因为阴影部分的面积小于上底长为，下底长为，高为的 直角梯形的面积，所以， 又阴影部分面积大于长为，宽为的矩形的面积， 所以，综上故有对正数有，故D正确.    故选：AD. 9．（24-25高一下·北京·阶段练习）定义在上的函数单调递增，，若对任意存在，使得成立，则称是在上的“追逐函数”已知，下列四个函数：①；②；③；④．其中是在上的“追逐函数”的个数是 个． 【答案】 【知识点】求指数函数在区间内的值域、求对数函数在区间上的值域、函数新定义 【分析】根据新定义进行判断，可作出函数图象，数形结合可判断②；利用“追逐函数”的定义可判断①③④. 【详解】在上的值域为. 若对任意，存在，使得成立， 则与在上的值域相同， 又在上单调递增，则， 则对任意，有. 对于① ：在上单调递增且值域为， 且恒成立. 即在上恒成立，符合题意； 对于②，当时，，即函数在上的值域为， 作出函数、的图象如下图所示： 由图可知，当时，的增长速度显然快于函数的增长速度， 则对任意的，，符合题意； 对于③，函数在上递增，且值域为， 且，不符合题意； 对于④，对于函数，该函数在上为增函数， 且当时，，则，不符合题意. 所以，①②是“追逐函数”. 故答案为：. 10．（24-25高一下·山东东营·开学考试）（1）已知函数满足：，，则方程所有实根之和为 ． （2）对于函数，若存在使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”．若函数的图象存在“隐对称点”，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】函数与方程的综合应用、求零点的和、函数新定义 【分析】（1）首先判断两函数的单调性与对称性，从而得到与有两个交点，且关于对称，结合对称性计算可得； （2）结合奇函数的特征，区间转化法求解析式，再根据新定义转化为两函数图象的交点，进而转化到方程根的问题，利用基本不等式即可解决. 【详解】（1）  由题意知，定义域为， 显然在上单调递减， 当从正数趋向于时，趋向于，当趋向于时，趋向于， 由于，故的对称中心为， 同理， 的对称中心为且单调递增，且趋向于时，趋向于， 故与有两个交点，且关于对称，不妨设两交点横坐标为， 则，故 故的实根之和为． 故答案为： （2）  由“隐对称点”的定义可知，的图象上存在关于原点对称的点， 设的图象与图象关于原点对称， 设，则，， 所以，，故的图象与，的图象有交点， 等价于方程有实根， 故， 当且仅当时取得等号，所以，故实数的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】思路点睛：第（2）先依据对称性求出与函数，图象关于原点对称的函数，进而将题设等价转换成方程有实根，再结合参变分离法和基本不等式计算即可. 函数与基本初等函数新定义题（解答题） 1．（2026高三·全国·专题练习）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”． (1)求证：是函数的一个“优美区间”； (2)求证：函数不存在“优美区间”． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、函数新定义 【分析】（1）函数解析式明确，区间确定，求值域即可证明； （2）假设存在“优美区间”，则满足定义，以假设为已知，验证是否存在满足定义的值即可证明. 【详解】（1）在区间上单调递增， 又，，的值域为， 区间是的一个“优美区间”． （2）设是已知函数的定义域的子集． 由，可得或， 函数在上单调递减． 假设是已知函数的“优美区间”，则两式相减得，． 则，，，，则， 显然等式不成立，函数不存在“优美区间”． 2．（2025·全国·模拟预测）若对于实数、，满足，且当时，对应的函数值的取值范围也为，则称区间为该函数的一个“保值区间”. (1)若存在“保值区间”，试求和的值； (2)已知函数的图象上有两点和，其中，. ①求的值； ②若，且为函数的“保值区间”，求的值. 【答案】(1)，. (2)①；②或. 【知识点】根据函数的单调性求参数值、函数新定义 【分析】（1）由一次函数的单调性，分与两种情况，根据单调性与最值，建立方程组，可得答案； （2）①由二次函数的解析式求得其对称轴，结合题意建立方程，可得答案；②由①可得函数解析式，二次函数的单调性，分所求参数在不同单调区间的三种情况，分别建立方程，可得答案. 【详解】（1）设该保值区间为，其中，则有以下两种可能： （i），两式相减得：，进而 由于，所以，进而； （ii），两式相减得：，进而 由于，所以，进而； 综上所述，，. （2）①由于，故绝对值可以直接去掉，从而得到 ，两式相减并整理得：，由于， 从而，进而. ②容易得到此时函数解析式为， 注意到，且为其“保值区间”， 从而，同时注意到为的一条对称轴，从而可进行如下讨论： （I），此时随的增大而减小，故有， 两式相减并整理得：，由于，从而，进而， 代回第一个式子得：，整理得，解得或2， 相应地，或1，但，从而只能为，进而； （Ⅱ），此时，注意到， 从而且，解得， 由于，所以， 进而； （Ⅲ），此时随的增大而增大，故有，即， 从而，为关于的方程的两根，解得，但，故舍去.. 综上所述，或. 3．（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）经研究，函数为奇函数的充要条件是函数图象的对称中心为点，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，由得函数关于点成中心对称图形的充要条件是. (1)已知函数，且，求的值； (2)证明：函数图象的对称中心为； (3)已知函数，求的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】函数新定义、函数奇偶性的应用、函数奇偶性的定义与判断、求函数值 【分析】（1）根据函数，利用奇偶函数的判定方法得为奇函数，从而的图象关于点对称，即可求解； （2）构造函数，利用奇偶函数的判定方法得为奇函数，通过变形可得，再利用题设定义，即可求解； （3）先假设的对称中心为，根据题设可得，，进而可得，即可求解. 【详解】（1）令，易知其定义域为，关于原点对称， 又，所以为奇函数， 则函数的图象关于点对称， 则，则， 又，所以. （2）因为， 令，则 易知的定义域为，定义域关于原点对称，又， 所以为奇函数，则函数图象的对称中心为. （3）假设函数图象有对称中心且对称中心为， 则，所以， 整理得到，所以，解得，， 所以函数有对称中心，则， 令， ， 相加得， . 4．（24-25高一下·贵州六盘水·阶段练习）若对定义域内任意，都有，则称函数为“步长”增函数． (1)已知函数，判断是否为“2步长”增函数，并说明理由； (2)若函数是“步长”增函数，求的最小值； (3)若函数为上的“2024步长”增函数，求实数的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)3 (3) 【知识点】函数新定义、根据函数的单调性求参数值 【分析】（1）由单调性及新定义即可判断； （2）由恒成立，得到恒成立，进而即可求解. （3）结合新定义，由和两类情况讨论求解. 【详解】（1）函数是“2步长”增函数．理由如下： 因为的定义域为在上都是单调递增， 所以在上单调递增，所以． 所以是“2步长”增函数． （2）因为是“步长”增函数， 所以恒成立， 所以 恒成立， 即恒成立， 由，解得或． 因为，所以． （3）若在上单调递增，则恒成立，符合题意； 若，分以下情况： ①当时，单调递增，则恒成立； ②当时，，单调递增，则恒成立； ③当时，若，则，解得； ④当或时，若，则． 综上，的取值范围是． 5．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）设定义域为，若对于任意的，存在唯一的使得，则称在定义域上是“可逆函数”． (1)设，判断是否是“可逆函数”，并说明理由； (2)若在上是“可逆函数”，求实数的值； (3)若，使得在定义域上是“可逆函数”，求证：． 【答案】(1)是“可逆函数”；不是“可逆函数”，理由见解析‘ (2) (3)证明见解析 【知识点】根据函数的单调性求参数值、函数新定义 【分析】（1）利用“可逆函数”定义即可判断； （2）利用函数的单调性与值域之间的包含关系以及“可逆函数”定义即可求得结果； （3）对参数a分情况讨论，再对对称轴讨论即可证明结论. 【详解】（1）已知，定义域为,对于任意的， 设，由，得，因为对于任意， 且唯一，所以是“可逆函数”； 已知，定义域，令，则， 由，即，得，那么，即， 判别式，方程无解，所以不是“可逆函数” （2）由题意对任意，存在唯一，使得，则称在定义域上是“可逆函数”， 则在定义域上是“可逆函数”当且仅当对任意，存在唯一，使得； 即当且仅当的值域是的值域的子集， 定义的值域、的值域分别为， 所以在定义域上是“可逆函数”当且仅当； 由题意在上是可逆函数， 首先当时，单调递减，此时， 由可逆函数定义可知，不包含0，即（1）； 从而在时的值域为， 由题意， 所以要满足题意，还需满足（2）； 只需（1）（2）式子同时成立即可，所以当且仅当，解得， （3）情形一：当时，在定义域上单调递增， 则， 若在定义域上是可逆函数， 首先，此时的值域为， 同时注意到不成立，故不符合题意； 情形二：当时，在定义域上单调递增， 则， 若在定义域上是可逆函数， 首先，此时的值域为， 同时注意到不成立，故不符合题意； 情形三：当时，注意到的对称轴为，则， （i）当时，， 由二次函数性质可知存在使得，即此时， 若在定义域上是可逆函数， 首先，此时的值域为， 同时注意到不成立，故不符合题意； （ii）当时，由二次函数性质可知， 即此时，注意到， 若在定义域上是可逆函数， 首先，其次结合，可得应该满足； 结论得证； 【点睛】方法点睛：新定义函数的思考方向：首先，深入理解新定义，逐字逐句分析其内涵，明确所涉及的概念、规则等关键信息.其次，将新定义与熟悉的函数知识建立联系，例如函数的基本性质（单调性、奇偶性、周期性等）、函数的图像特征（如开口方向，对称轴、最值点等）以及函数的运算规律.再者，运用分类讨论思想，根据题目条件和参数的不同取值范围，分别进行分析. 6．（24-25高一上·江西·期末）若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”． (1)判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由； (2)若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围； (3)已知函数在定义域上为“依赖函数”．若存在实数，使得对任意的，不等式恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1)不是“依赖函数”，理由见解析 (2)； (3)． 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值、函数新定义、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）通过特例说明函数不是“依赖函数”. （2）根据“依赖函数”的概念探索的关系，再结合二次函数求的取值范围. （3）先根据“依赖函数”的概念确定的值，再结合二次函数在给定区间上恒成立的问题和函数的单调性求实数的最大值. 【详解】（1）对于函数的定义域内存在， 则，故不是“依赖函数”． （2）因为在递增， 故，即，， 由，故，得， 从而， 设， 当时，函数单调递增， 故. （3）由，故在上单调递增， 所以，解得或（舍）. 所以存在，使得对任意的，有不等式都成立， 即恒成立， 由， 得，由，可得， 又在单调递增， 故当时，， 从而，解得， 综上，故实数的最大值为． 7．（24-25高一上·北京·期中）对定义域为的函数，若存在使得，则称是函数的一阶不动点，简称不动点；若存在使得，则称是函数的二阶不动点，简称稳定点． (1)判断函数在上是否有稳定点（直接写出结论）； ①______；②______． (2)概念举例：写出满足下列要求的一个函数（直接写出结论）； ①不是且有无穷多个不动点：______； ②有无穷多个稳定点，且这些稳定点不都是不动点：______． (3)已知在上有且仅有个一阶不动点． ①求实数的取值范围； ②在上有几个稳定点？并说明理由． 【答案】(1)①没有；②有. (2)①（答案不唯一）；②（答案不唯一）. (3)①；②个，理由见解析. 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据指对幂函数零点的分布求参数范围、函数新定义 【分析】（1）根据“稳定点”的定义列方程，解对应方程判断即可得出结论； （2）对于①，取，其中为不超过的最大整数；对于②，取.集合稳定点和不动点的定义验证即可； （3）①由，令，可得出，设，分析函数在上的单调性，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； ②分析函数在区间上的单调性，设函数在上的一个稳定点为，即，对与的大小进行分类讨论，可得出，即可得出结论. 【详解】（1）对于①，由可得该方程无解，即函数没有“稳定点”； 对于②，由可得，解得或，即函数有“稳定点”. （2）对于①，可取，其中为不超过的最大整数， 当时，，此时，函数有无穷多个不动点； 对于②，可取，则当时，因为，则函数有无穷多个稳定点， 由可得，解得， 所以，当时，为函数的稳定点，但不是不动点. （3）当时，由可得， 令，可得，可得， 则关于的方程在上有且只有一个实根， 设，则函数在上单调递增， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是； ②因为，则，必有， 令，， 则内层函数在上单调递增， 因为外层函数为增函数，故函数在上增函数， 不妨设函数在上的一个稳定点为，即. 若，则，矛盾； 若，则，矛盾. 故必有，即函数的稳定点必为该函数的不动点. 因为函数在区间上只有一个不动点， 因此，函数在上有且只有一个稳定点. 8．（24-25高一下·浙江·阶段练习）定义：如果函数在区间上有定义，且在区间内存在一点，使得，则称为函数的“偏移中值点”.已知函数. (1)当时，判断函数是否有“偏移中值点”？如果有，求出“偏移中值点”，如果没有，请说明理由； (2)若是函数的“偏移中值点”，求的值； (3)若函数存在“偏移中值点”，求的取值范围. 【答案】(1)函数没有“偏移中值点”，理由见解析 (2) (3) 【知识点】函数与方程的综合应用、根据二次函数零点的分布求参数的范围、函数新定义 【分析】（1）当时，得到，假设函数有“偏移中值点”，得出方程，求得的值，即可得到答案； （2）由是的“偏移中值点”，列出方程求得，得，进而求得的值，得到答案； （3）设的“偏移中值点”为，方程在上有解， 解法1：令，转化为在上有零点，分，，和且且，四种情况讨论，结合二次函数的性质，求得的范围，进而得到的取值范围； 解法2：转化为方程在上有解，令，化简得到，结合的单调性，求得，求得的范围，进而得到的取值范围. 【详解】（1）解：当时，函数， 假设函数有“偏移中值点”，则，即， 解得，所以函数没有“偏移中值点”. （2）解：因为是函数的“偏移中值点”，则满足， 即，解得，所以， 又由，所以. （3）解：设函数的“偏移中值点”为，则， 即方程在上有解， 解法1：由方程，可得， 即方程在上有解， 令，转化为函数在上有零点， ①当时，由，可得，不符合题意； ②当时，可得，于是由， 解得或，此时，有一个零点，符合题意； ③当时，可得，由，解得或， 此时函数在上无零点，不符合题意； ④当且且时， （i）若函数在上只有一个零点， 则满足或，解得； （ii）若函数在上有两个零点， 则满足且且且，解得， 综合①②③④可知，实数的取值范围是， 所以， 故的取值范围为. 解法2：由方程，可得， 即方程在上有解， 当时，方程无解，只需方程在上有解， 令，于是， 因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 设，因此，即， 于是，可得， 因此， 故的取值范围为. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 9．（24-25高一下·湖北·阶段练习）设函数的定义域为D，对于区间，若满足，恒有，则称函数在区间I上的增长系数为1；若满足，恒有，则称函数在区间I上的增长系数为2；若满足，恒有，则称函数在区间I上的增长系数为n． (1)求函数，在上的增长系数； (2)若3和4都是函数在上的增长系数，求a的取值范围； (3)若函数，在上的增长系数仅为n，求n的最小值及此时m的取值范围． 【答案】(1)在上的增长系数为1；在上的增长系数为2； (2) (3)n的最小值为5； 【知识点】函数新定义、对数型复合函数的单调性、求指数函数在区间内的值域、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）根据函数的单调性求出值域，结合增长系数的定义求解即可； （2）令，根据增长系数的定义得到，根据不等式求解即可； （3）根据函数的单调性求出值域，结合增长系数的定义得到，进而得到，根据不等式有解且求解即可. 【详解】（1）因为函数在上单调递增， 当时，；当时，，所以， 而，所以函数在上的增长系数为1； 因为函数在上单调递增， 当时，；当时，，所以， 而，所以函数在上的增长系数为2； （2）， 因为，令，则， 因为3和4都是函数在上的增长系数， 所以， 所以，即，整理得， 因为，所以，所以； （3）令，易知在上单调递增， 又在单调递增， 根据复合函数的单调性知函数在上单调递增， ，， 则， 因为函数在上的增长系数仅为n， 所以， 则，即， 故， 由题设可得存在唯一的正整数， 且， 所以， 解得，故，即的最小值为5， 此时且即， 所以n的最小值为5，此时. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问关键在于根据增长系数的定义列出关于的不等式，根据不等式有解确定的最小值. 10．（24-25高一上·上海宝山·期末）欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域D中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数． (1)若，，判断函数和是否为倒函数，并说明理由； (2)若是上的倒函数，当时，，方程是否有正整数解？并说明理由； (3)若是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数．记，证明：是的充要条件． 【答案】(1)是倒函数，不是倒函数 (2)没有正整数解，理由见解析 (3)证明见解析 【知识点】充要条件的证明、零点存在性定理的应用、函数新定义 【分析】（1）利用给定的定义进行判断； （2）先求出时的解析式，利用零点存在定理验证即可； （3）利用函数单调性的定义，倒函数的定义以及充分条件、必要条件的定义进行证明. 【详解】（1）对于定义域为，显然定义域中任意实数，都有成立， 又，所以是倒函数. 对于定义域为， 当时，，不符合倒函数的定义， 所以不是倒函数. （2）令，则，由倒函数的定义，可得， 所以，所以， 要使有正整数解，则， 令，则函数在上单调递增， 因为， ， 由零点存在定理可知，方程的根所在的区间为， 所以没有正整数解. （3）充分性：当时，且， 因为是增函数，所以， 即，， 所以. 必要性：当时， 有， 因为恒大于，所以，即， 所以， 因为是增函数，所以，即. 综上可得是的充要条件. 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是理解所给倒函数的定义，使用进行转化. 11．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知函数的定义域为，若，，，使得对都成立，则称为型函数． (1)证明：每一个指数函数（且）都是型函数； (2)若函数是型函数，求实数，的值： (3)已知函数在定义域上的函数值恒大于0，且为型函数：当时，的解析式为 ①求当时，求的解析式； ②若在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)①；② 【知识点】函数新定义、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、指数幂的运算、由对称性求函数的解析式 【分析】（1）根据型函数定义可证明指数函数（且）都是型函数； （2）根据型函数结合对数运算可得恒等式，故可求参数的值； （3）①根据恒等关系式可求时的解析式；②由题设条件可得时，恒成立，利用换元法结合参变分离可求参数的范围. 【详解】（1）对于指数函数，有， 故每一个指数函数（且）都是型函数. （2）因为函数是型函数， 所以，所以，其中 即，整理得到：在上恒成立， 故，故. （3）①因为为型函数，故，故， 而，故. 故，则，故， 故， 故当时，. ②因为在上恒成立，而， 故时，，且当时，，故， 故时，恒成立， 故在上恒成立，设， 故在上恒成立，故在上恒成立， 设，则在上为增函数，故， 设，由双勾函数的性质可得在上为增函数， 故，故. 综上. 【点睛】思路点睛：对于函数新定义问题，应挖掘新定义蕴含的不同范围上函数值的关系，从而把不同范围的不等式的恒成立问题转化为一个范围上的不等式恒成立问题. 12．（24-25高一下·江西宜春·开学考试）对于具有相同定义域的函数与，若对任意，都有，则称和在上是“密切函数”. (1)判断函数在区间上是否是“密切函数”？说明理由； (2)已知函数在区间上是“密切函数”，求的取值范围. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) 【知识点】函数不等式恒成立问题、函数新定义、基本不等式求和的最小值、求对数函数在区间上的值域 【分析】（1）先求出，然后结合对数函数的单调性，利用基本不等式求得，然后根据“密切函数”的定义判断即可. （2）先求出函数的定义域，然后根据“密切函数”的定义及对数函数的单调性得恒成立，最后根据二次函数性质列不等式组求解即可. 【详解】（1）， 又，当且仅当，即时等号成立， ， 即与在上不是“密切函数”； （2）由题可知：， 则有，解得， 由题意在上是“密切函数”， 则， ， 恒成立， 令函数，其对称轴， 则在是增函数， ，解得， 使与在为“密切函数”的的范围是. 【点睛】关键点点睛：本题以“密切函数”为背景考查了对数型函数的值域及函数恒成立问题，解题的关键是理解“密切函数”的定义，将问题转化为对数函数问题求解. 13．（24-25高一上·山东德州·期末）已知函数的定义域为，若，满足成立，则称函数是“任意漂移函数”；若，满足成立，则称函数是“存在漂移函数”. (1)若函数是定义在的“存在漂移函数”，求出的值； (2)若函数是定义在的“任意漂移函数”，且，，解关于的不等式； (3)若函数是定义在的“存在漂移函数”，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】函数新定义、一元二次方程根的分布问题、解不含参数的一元二次不等式、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）由漂移函数的定义列出方程求解即可； （2）先确定在是单调递增函数，再通过赋值令，，得到，由单调性即可求解； （3）由新定义得到，化简得在有解，再构造函数，通过，，讨论即可； 【详解】（1）函数是“存在漂移函数”， 则在有解， 即，化简得， 令，则，即，解得 （2），设，则，得 ， 即， 所以在是单调递增函数 令，得，解得 不等式可转化为， 从而 解得或， 所以不等式的解是 （3）由函数为“存在漂移函数” 则满足， 即 化简得，整理得 即在有解 令 ①当时，在无解，不合题意； ②当时，对称轴，与轴的交点为在轴的上半轴， 因此在无解，不合题意； ③当时，对称轴，需， 解得，又，则 综上所述：实数的取值范围是 【点睛】关键点点睛：第三问由函数为“存在漂移函数”得到在有解，构造函数，转换成二次函数的零点存在问题. 14．（24-25高一上·重庆·期末）我们知道，函数图象关于原点对称的充要条件是，结合函数图象平移等知识，该结论可以推广为：函数图象关于点对称的充要条件是. 阅读以上材料，解答下列问题： (1)直接写出函数图象的对称中心： (2)若函数， （i）求证：函数的图象是中心对称图形并求出对称中心点的坐标； （ii）已知函数的图象关于点对称，且当时，，若对，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析，点的坐标为；（ii）. 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、对数型复合函数的单调性、求对数型复合函数的定义域、函数对称性的应用 【分析】（1）利用给定的充要条件求出对称中心; （2）（i）利用给定的充要条件，结合对数运算计算得证，并求出点坐标；（ii）由对称性求出函数在上的解析式，求出函数在上的值域，再由函数在上的值域包含函数在上的值域求出范围. 【详解】（1）函数定义域为R，令， 则 ，因此函数的图象关于点对称， 所以数图象的对称中心是. （2）（i）函数中，，即，解得， 因此函数的定义域为， ， 所以函数的图象是中心对称图形，其对称中心点的坐标为. （ii），函数在上单调递减， 函数在上单调递增，因此函数在上单调递减， 当时，，而， 则函数在上的值域为， 由函数的图象关于点对称，得，即， 当时，，则当时，， ， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而，则函数在上单调递增，， 由对，使得，得函数在上的值域包含于， ，当，即时，， ，解得，因此； 当，即时，，， ，函数在上的值域包含于，因此； 当，即时，，， ，函数在上的值域包含于，因此； 当时，，， 解得，因此， 所以实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， ①若，，总有成立，故； ②若，，有成立，故； ③若，，有成立，故； ④若，，有，则的值域是值域的子集 ． 15．（24-25高一上·贵州毕节·期末）对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，其中k为整数，则称函数为定义域上的“k阶局部奇函数”. (1)已知函数，试判断是否为上的“2阶局部奇函数”？并说明理由； (2)若是上的“1阶局部奇函数”，求实数m的取值范围； (3)若，对任意的实数，函数恒为R上的“k阶局部奇函数”，求整数k取值的集合. 【答案】(1)函数为上的“2阶局部奇函数”，理由见解析； (2) (3) 【知识点】函数不等式能成立（有解）问题、函数新定义、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）原问题等价于在上是否有解，从而得到方程，求出或0，得到结论； （2）先根据定义域得到，存在，使得，求出，其中，从而求出实数m的取值范围； （3）问题等价于当时，上恒有解，整理得，当时，解得，满足要求，当时，由得到不等式，构造函数，并根据函数单调性得到不等式，求出的取值范围，得到答案. 【详解】（1）函数为上的“2阶局部奇函数”，理由如下： 原问题等价于在上是否有解， 由得，解得或0， 所以方程在上有解， 即函数为上的“2阶局部奇函数”； （2）是上的“1阶局部奇函数”， 可知在上恒成立，可得，解得， 存在，使得， 即， 所以，即， 其中，故， 所以，解得， 综上，； （3）问题等价于当时，上恒有解， 即， 整理得， 当时，解得，满足要求， 当时，需满足， 化简得对任意实数恒成立， 令，则是关于的一次函数，且在上单调递增， 故只需，解得且， 综上，， 满足要求的整数k取值的集合为. 【点睛】新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 16．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）德国数学家狄利克雷（1805-1859）在1837年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的一个函数.”这个定义较清楚的说明了函数的内涵.只要有一个法则，使得取值范围中的每一个，有一个确定的和它对应就行了，不管这个法则是公式还是用图象、表格等形式表示，如狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集. (1)已知函数. ①判断函数的奇偶性（直接写结果），并求的值； ②记函数，求的零点； (2)对任意集合，定义.已知集合，证明：对，（其中符号表示不大于的最大整数）. 【答案】(1)①偶函数，；②0 (2)证明见解析 【知识点】函数新定义、求函数的零点、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）①根据奇偶性的定义判断即可，再根据函数解析式计算可得；②首先求出的解析式，再令，转化为关于的一元二次方程，求出的值，再代入计算可得； （2）当时分，；，；，；三种情况讨论，分别求出，，即可得到，当，同理可证. 【详解】（1）①函数是偶函数， 函数的定义域为， 若，则，所以； 若，则，所以； 即对任意的，都有，所以为偶函数； 因为， 所以； ②，， 则， 令，则， 令解得或（舍去）， 由得，所以，即的零点为. （2）当时，， 若，时，，， 则， 若，时，，，则， 若，时，，，则， 当时，则，，则， ， 综上，对，. 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解所给定义，第二问关键是分类讨论全面. 17．（24-25高一上·江西·期末）已知函数和的定义域分别为和，若对任意的，都存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”． (1)（ⅰ）判断是否为，的“2重覆盖函数”？请说明理由； （ⅱ）设是，的“重覆盖函数”，求的值； (2)若为，的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围． 【答案】(1)（ⅰ）不是，的“2重覆盖函数”；理由见解析；（ⅱ） (2) 【知识点】判断指数函数的单调性、根据函数零点的个数求参数范围、函数新定义 【分析】（1）分别分析与的值域关系，根据“重覆盖函数”的定义判断并求解的值； （2）先求出的值域，再根据的分段函数性质，结合“重覆盖函数”的定义确定实数的取值范围. 【详解】（1）（ⅰ）不是，的“2重覆盖函数”， 理由如下：不妨取，则， 令，解得，仅1解，不符合定义， 所以不是，的“2重覆盖函数”； （ⅱ），则，令， 所以， 令，则，，且，， 所以总有两个不相等的正根， 又因为，所以，四个根互不相等且非零， 所以是的“4重覆盖函数”，故． （2）当，由指数函数性质可知单调递增， 所以， 因为为，的“2重覆数函数”， 即，总有两个不同的实根； 当时，在上单调递增，所以，如图，    此时，的图象恒有一个交点，所以恒有一个实根， 故当时，也需恒有一个实根； 当时，，如图，    此时，的图象恒有一个交点，所以恒有一个实根，符合要求； 当时，是开口向下的二次函数且有最大值， 所以对，恒有一个实根不成立，故不满足要求； 当时，对称轴为. 若，即，在上单调递减，在上单调递增，，要满足条件， 则，且， 由，化简得，解得或， 又，所以；由得，所以. 若，即，在上单调递减，，要满足条件，则，解得，所以. 综上所述，的取值范围是 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 18．（24-25高一上·海南·期末）已知函数与，若对任意的，总存在，使得成立，则称是区间上的“函数”；若对任意的，总存在，使得成立，则称是在区间上的“函数”. (1)判断是否为区间上的“函数”，并说明理由； (2)若是区间上的“函数”，求实数的值； (3)若是在区间上的“函数”，求实数的取值范围. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) (3) 【知识点】函数新定义、根据二次函数的最值或值域求参数、指数幂的运算、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）由函数的新定义验证取特殊值即可验证函数不是区间上的“函数”； （2）由函数新定理，得到的关系，通过关系求出的范围，由区间满足包含关系建立等式，求得的值； （3）由函数新定义得到，通过的范围得出在区间的值域包含，然后通过对分类讨论，求出二次函数的值域，建立不等式，分别求得的取值范围后取并集. 【详解】（1）当时，， 此时不存在，使得， 故不是区间上的“函数”. （2）由题可知，对任意的，总存在，使得成立， 即成立，则的取值范围包含的取值范围 当时，， 所以， 所以解得. （3）由题可知，对任意的，总存在，使得成立，即成立. 因为，所以，所以在区间上的值域包含， 因为， 所以其图像开口向上，对称轴为直线，且，. 若，则在区间上单调递增， 所以解得 若，则在区间上单调递减， 所以解得 若，则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 由于，， 所以当时，恒成立，不符合题意. 综上所述，的取值范围为. 【点睛】方法点睛，本题是函数新定义问题，通过对题中新定义的理解并运用是解题的关键.二本题还涉及到求含参二次函数在定区间上的值域问题，这类题目需要通过对称轴与定区间的关系，对参数进行分类讨论，然后得出值域. 19．（24-25高一上·江西抚州·期末）若存在实数对，使得等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为“型函数” (1)若函数是“型函数”，且，求满足条件的实数对； (2)若函数是“型函数”，求和的值； (3)已知函数，函数是“型函数”，对应的实数对为，当时，．若对任意时，都存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)，． (3) 【知识点】函数不等式恒成立问题、函数新定义、对数的运算、根据值域求参数的值或者范围 【分析】（1）解方程，，即可得出满足条件的实数对； （2）根据函数是型函数，可得出，结合等式恒成立可得出，即可解出实数、的值； （3）分析可知在上的值域是在上的值域的子集，等价于对任意，都有，然后利用函数是“型函数”并结合参变量分离法可求出的取值范围. 【详解】（1）因为是“型函数”， 所以存在实数对使得等式成立，即， 代入，可得，即，. 所以满条件的实数对为. （2）由是型函数，得， 则， 因此对定义域内任意恒成立， 于是，解得，，所以，． （3）因为对任意时，都存在，使得， 所以在上的值域是在上的值域的子集， 因为，当时，， 则对任意，都有， 因为是“型函数”，且对应的实数对为，所以． 当时，， 则只需满足对任意，都有且， 即对任意，都有即可， 即不等式对任意恒成立且． ①当时，时满足条件； ②当时，，满足条件； ③当时，该不等式等价于． 当时，恒成立，易知：； 当时，恒成立，所以， 因为， 当且仅当时，即当时，取等号．即. 综上可得，． 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 20．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知函数在区间上有意义，若存在，且，使成立，则称为上的“可分函数”，为在上的“可分点”． (1)设，证明：定义域为的奇函数一定是上的“可分函数”； (2)若存在，使为函数在上的“可分点”，求实数的取值范围； (3)若，判断函数是否为上的“可分函数”？若是，判断满足条件的的个数；若不是，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)是，只有1个. 【知识点】函数新定义、根据二次函数零点的分布求参数的范围、零点存在性定理的应用、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）利用奇函数的性质，结合“可分函数”的定义推理得证. （2）利用给定的“可分点”及定义，建立方程并换元，转化为有不等于1的正根求解. （3）利用“可分函数”的定义，构造函数，结合零点存在性定理推理判断. 【详解】（1）由函数是上的奇函数，得，，， 当，且时，， 因此函数是区间上的“可分函数”， 所以定义域为的奇函数一定是上的“可分函数”. （2）由为函数在上的“可分点”，得， 即，则， 令，由，得且，于是有不等于1的正根， 当时，，解得，此时方程另一根为，不符合题意； 当时，，符合题意，因此； 当且时，而，则，即， 解得或，因此或或； 当时，，而当时，，且时，， 有不等于1的正根，符合题意，因此， 所以实数的取值范围是. （3）令，由， 得， 当时，函数单调递减，在上单调递减， 则函数在上单调递增，又单调递增， 因此在上单调递增，， 则存在唯一，使得，即存在唯一，使， 所以函数是上的“可分函数”，且满足条件的只有1个. 【点睛】思路点睛：本题第2问，利用“可分函数”的定义，构建方程并换元，将问题转化为二次型方程有不为1的正根求解. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 第二章 函数与基本初等函数 新定义题 目录 函数与基本初等函数新定义题（小题） 1 函数与基本初等函数新定义题（解答题） 3 函数与基本初等函数新定义题（小题） 1．（2025高三·全国·专题练习）定义区间的长度均为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，的长度．用[x]表示不超过的最大整数，记，其中．设．若用分别表示不等式、方程、不等式解集区间的长度，则当时，有（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江西宜春·期末）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离，若点，点是直线上的动点，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25高三上·山东枣庄·期末）一般地，设是一个函数，，记，称函数为的次迭代，并称为的迭代指数.设为自然数，为（十进制）的各数位上数字之和，则（    ） A．19 B．11 C．8 D．5 4．（24-25高一上·上海杨浦·期末）定义在R上且图像连续不断的函数，若存在实数使得任意实数x都成立，我们称是R上“m相依函数”．下列关于“m相依函数”的描述正确的是（    ） A．存在唯一的常值函数是“m相依函数” B．是“m相依函数” C．“2025相依函数”至少有一个零点 D．“相依函数”至少有一个零点 5．（多选）（2025·云南·一模）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意，都有成立，则称为 “类周期函数”．下列函数中是类周期函数的是（   ） A． B． C． D． 6．（多选）（24-25高一下·安徽亳州·开学考试）对R上定义运算；.若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的（    ） A．最小值是 B．最小值是 C．最大值是 D．最大值是2 7．（多选）（24-25高一上·四川成都·阶段练习）函数的定义域为D，若满足；（1）在D内是单调函数；（2）存在，使得在上的值域也是，则称为闭函数；若是闭函数，则实数的可能取值为（   ） A． B． C． D．0 8．（多选）（2025·湖北·模拟预测）对于任意两个正数，当时，记曲线与直线，直线以及轴围成的曲边梯形的面积为，当时，约定，并约定.德国数学家莱布尼茨（Leibniz）最早发现.关于，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．对正数，有 9．（24-25高一下·北京·阶段练习）定义在上的函数单调递增，，若对任意存在，使得成立，则称是在上的“追逐函数”已知，下列四个函数：①；②；③；④．其中是在上的“追逐函数”的个数是 个． 10．（24-25高一下·山东东营·开学考试）（1）已知函数满足：，，则方程所有实根之和为 ． （2）对于函数，若存在使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”．若函数的图象存在“隐对称点”，则实数m的取值范围是 ． 函数与基本初等函数新定义题（解答题） 1．（2026高三·全国·专题练习）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”． (1)求证：是函数的一个“优美区间”； (2)求证：函数不存在“优美区间”． 2．（2025·全国·模拟预测）若对于实数、，满足，且当时，对应的函数值的取值范围也为，则称区间为该函数的一个“保值区间”. (1)若存在“保值区间”，试求和的值； (2)已知函数的图象上有两点和，其中，. ①求的值； ②若，且为函数的“保值区间”，求的值. 3．（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）经研究，函数为奇函数的充要条件是函数图象的对称中心为点，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，由得函数关于点成中心对称图形的充要条件是. (1)已知函数，且，求的值； (2)证明：函数图象的对称中心为； (3)已知函数，求的值. 4．（24-25高一下·贵州六盘水·阶段练习）若对定义域内任意，都有，则称函数为“步长”增函数． (1)已知函数，判断是否为“2步长”增函数，并说明理由； (2)若函数是“步长”增函数，求的最小值； (3)若函数为上的“2024步长”增函数，求实数的取值范围． 5．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）设定义域为，若对于任意的，存在唯一的使得，则称在定义域上是“可逆函数”． (1)设，判断是否是“可逆函数”，并说明理由； (2)若在上是“可逆函数”，求实数的值； (3)若，使得在定义域上是“可逆函数”，求证：． 6．（24-25高一上·江西·期末）若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”． (1)判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由； (2)若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围； (3)已知函数在定义域上为“依赖函数”．若存在实数，使得对任意的，不等式恒成立，求实数的最大值． 7．（24-25高一上·北京·期中）对定义域为的函数，若存在使得，则称是函数的一阶不动点，简称不动点；若存在使得，则称是函数的二阶不动点，简称稳定点． (1)判断函数在上是否有稳定点（直接写出结论）； ①______；②______． (2)概念举例：写出满足下列要求的一个函数（直接写出结论）； ①不是且有无穷多个不动点：______； ②有无穷多个稳定点，且这些稳定点不都是不动点：______． (3)已知在上有且仅有个一阶不动点． ①求实数的取值范围； ②在上有几个稳定点？并说明理由． 8．（24-25高一下·浙江·阶段练习）定义：如果函数在区间上有定义，且在区间内存在一点，使得，则称为函数的“偏移中值点”.已知函数. (1)当时，判断函数是否有“偏移中值点”？如果有，求出“偏移中值点”，如果没有，请说明理由； (2)若是函数的“偏移中值点”，求的值； (3)若函数存在“偏移中值点”，求的取值范围. 9．（24-25高一下·湖北·阶段练习）设函数的定义域为D，对于区间，若满足，恒有，则称函数在区间I上的增长系数为1；若满足，恒有，则称函数在区间I上的增长系数为2；若满足，恒有，则称函数在区间I上的增长系数为n． (1)求函数，在上的增长系数； (2)若3和4都是函数在上的增长系数，求a的取值范围； (3)若函数，在上的增长系数仅为n，求n的最小值及此时m的取值范围． 10．（24-25高一上·上海宝山·期末）欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域D中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数． (1)若，，判断函数和是否为倒函数，并说明理由； (2)若是上的倒函数，当时，，方程是否有正整数解？并说明理由； (3)若是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数．记，证明：是的充要条件． 11．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知函数的定义域为，若，，，使得对都成立，则称为型函数． (1)证明：每一个指数函数（且）都是型函数； (2)若函数是型函数，求实数，的值： (3)已知函数在定义域上的函数值恒大于0，且为型函数：当时，的解析式为 ①求当时，求的解析式； ②若在上恒成立，求实数的取值范围． 12．（24-25高一下·江西宜春·开学考试）对于具有相同定义域的函数与，若对任意，都有，则称和在上是“密切函数”. (1)判断函数在区间上是否是“密切函数”？说明理由； (2)已知函数在区间上是“密切函数”，求的取值范围. 13．（24-25高一上·山东德州·期末）已知函数的定义域为，若，满足成立，则称函数是“任意漂移函数”；若，满足成立，则称函数是“存在漂移函数”. (1)若函数是定义在的“存在漂移函数”，求出的值； (2)若函数是定义在的“任意漂移函数”，且，，解关于的不等式； (3)若函数是定义在的“存在漂移函数”，求实数的取值范围. 14．（24-25高一上·重庆·期末）我们知道，函数图象关于原点对称的充要条件是，结合函数图象平移等知识，该结论可以推广为：函数图象关于点对称的充要条件是. 阅读以上材料，解答下列问题： (1)直接写出函数图象的对称中心： (2)若函数， （i）求证：函数的图象是中心对称图形并求出对称中心点的坐标； （ii）已知函数的图象关于点对称，且当时，，若对，使得，求实数的取值范围. 15．（24-25高一上·贵州毕节·期末）对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，其中k为整数，则称函数为定义域上的“k阶局部奇函数”. (1)已知函数，试判断是否为上的“2阶局部奇函数”？并说明理由； (2)若是上的“1阶局部奇函数”，求实数m的取值范围； (3)若，对任意的实数，函数恒为R上的“k阶局部奇函数”，求整数k取值的集合. 16．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）德国数学家狄利克雷（1805-1859）在1837年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的一个函数.”这个定义较清楚的说明了函数的内涵.只要有一个法则，使得取值范围中的每一个，有一个确定的和它对应就行了，不管这个法则是公式还是用图象、表格等形式表示，如狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集. (1)已知函数. ①判断函数的奇偶性（直接写结果），并求的值； ②记函数，求的零点； (2)对任意集合，定义.已知集合，证明：对，（其中符号表示不大于的最大整数）. 17．（24-25高一上·江西·期末）已知函数和的定义域分别为和，若对任意的，都存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”． (1)（ⅰ）判断是否为，的“2重覆盖函数”？请说明理由； （ⅱ）设是，的“重覆盖函数”，求的值； (2)若为，的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围． 18．（24-25高一上·海南·期末）已知函数与，若对任意的，总存在，使得成立，则称是区间上的“函数”；若对任意的，总存在，使得成立，则称是在区间上的“函数”. (1)判断是否为区间上的“函数”，并说明理由； (2)若是区间上的“函数”，求实数的值； (3)若是在区间上的“函数”，求实数的取值范围. 19．（24-25高一上·江西抚州·期末）若存在实数对，使得等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为“型函数” (1)若函数是“型函数”，且，求满足条件的实数对； (2)若函数是“型函数”，求和的值； (3)已知函数，函数是“型函数”，对应的实数对为，当时，．若对任意时，都存在，使得，求实数的取值范围． 20．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知函数在区间上有意义，若存在，且，使成立，则称为上的“可分函数”，为在上的“可分点”． (1)设，证明：定义域为的奇函数一定是上的“可分函数”； (2)若存在，使为函数在上的“可分点”，求实数的取值范围； (3)若，判断函数是否为上的“可分函数”？若是，判断满足条件的的个数；若不是，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$