专题2.6 函数与方程(高考高频考点）(6大题型+1大方法）-【练透核心考点】备战2026年高考数学一轮重难点题型狂飙特训（新教材新高考）

第06讲 函数与方程 目录 第一部分：题型篇 1 题型一：重点考查根判断函数零点区间 1 题型二：重点考查零点个数 3 题型三：重点考查零点中的参数问题 7 题型四：重点考查借助图象比较零点大小 12 题型五：重点考查借助图象求零点代数和 15 题型六：重点考查二分法 19 第二部分：方法篇 22 方法一：数形结合 22 第一部分：题型篇 题型一：重点考查根判断函数零点区间 典型例题 例题1．（2026高三·全国·专题练习）函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由对数（型）的单调性求参数、判断零点所在的区间 【分析】根据题意，得到在在上是增函数，结合，利用零点的存在性定理，即可求解. 【详解】由函数的定义域为， 因为和在都是增函数，可得在上是增函数， 又因为，可得， 根据函数零点存在定理，可得函数有唯一零点，且零点在区间内． 故选：B. 例题2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）函数的零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断零点所在的区间 【分析】先判断函数的单调性，再由，结合函数零点判定定理得答案. 【详解】因为均为增函数， 所以函数在上单调递增， 且，， 所以函数的零点所在的一个区间是. 故选：D. 精练高频考点 1．（24-25高一下·云南·阶段练习）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断零点所在的区间、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】先判断函数的单调性，再结合函数零点的存在性定理进行判断即可. 【详解】函数的定义域为， 因为函数在上为增函数 ，又因为函数在上为增函数， 故函数在上为增函数. 因为，则. 由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间是. 故选：B 2．（24-25高一上·北京·期中）下列区间中包含函数的零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断零点所在的区间 【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论. 【详解】设，则该函数的定义域为， 因为函数、在上均为增函数，故函数在上也为增函数， 因为，， ，，， ，则， 由零点存在定理可知，函数的零点在区间内. 故选：C. 3．（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】零点存在性定理的应用、判断零点所在的区间、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据函数的单调性和零点存在定理计算判断即得. 【详解】在上单调递增，，在区间上单调递减， 函数在区间上单调递增， ，， 函数的唯一零点所在的区间是. 故选：B. 题型二：重点考查零点个数 典型例题 例题1．（2026高三·全国·专题练习）函数的零点个数为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【知识点】求函数零点或方程根的个数、求函数的零点 【分析】应用分段函数当时计算零点，当时，应用对数运算结合零点存在定理判断零点个数即可. 【详解】当时，由得； 当时，在上单调递增，并且， 即，所以函数在区间内必有一个零点， 综上，函数的零点个数为2． 故选：D. 例题2．（24-25高二下·宁夏银川·阶段练习）已知函数. (1)求函数的单调区间，并求出的极值； (2)在给定的直角坐标系中画出函数的大致图象； (3)讨论关于的方程的实根个数. 【答案】(1)单减区间，单增区间，极小值，无极大值. (2)答案见解析 (3)答案见解析 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、画出具体函数图象、求已知函数的极值、求函数零点或方程根的个数 【分析】（1）解不等式和； （2）找出函数零点，以及单调性画出图象； （3）判断与的图象交点个数. 【详解】（1），则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则的极小值为，无极大值. （2）得，且时，时 其图象为： （3）的实根个数问题转化为与的交点个数.由图象可知， 时，图象有0个交点，故方程无解； 或时，图象有1个交点，故方程有1个根； 时，图象有2个交点，故方程有2个根. 精练高频考点 1．（24-25高一下·甘肃平凉·开学考试）设定义域为的函数，则关于的函数的零点的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【知识点】求函数的零点、求函数零点或方程根的个数、函数图象的应用 【分析】先求解方程，再根据图象确定零点个数. 【详解】方程的解为或，作出的图象，由图象可知零点的个数为6． 故选：C. 2．（多选）（2025高三·全国·专题练习）函数的零点个数可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】BC 【知识点】利用导数研究函数的零点、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据函数零点个数的问题等价于两个函数交点个数的问题，将化简得到两个函数.讨论两个函数的性质，并作出两个函数图像，即可得解. 【详解】由，，得， 求函数的零点个数等价于求函数和的图像的交点个数. 函数的导函数，当时；当时. 所以函数在上单调递增，在单调递减. 时有最大值，时， 时，，. 过定点的直线，与函数的图像的交点数为1个或2个，如图所示. 所以函数的零点个数为1个或2个. 故选：BC. 3．（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）已知函数，则函数的零点个数为 . 【答案】7 【知识点】函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】由可得或，作出图形，结合图形即可求解. 【详解】由题意，令，解得或， 作出的图象，如图，    由图可知，直线与图象有3个交点， 直线与图象有4个交点， 所以原方程有7个解， 即函数有7个零点. 故答案为：7 题型三：重点考查零点中的参数问题 典型例题 例题1．（24-25高二下·江苏·阶段练习）已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【知识点】利用导数研究函数的零点、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】由得，令，利用导数的单调性即可求解. 【详解】已知函数有三个不同零点，即方程有三个不同的解， 进一步变形为有三个不同的解， 令，那么问题就转化为与的图象有三个不同交点， ， ， 令，解得或， 当时，即，单调递减， 当时，即，单调递增， 当时，即，单调递减， 所以在处取得极小值， 在处取得极大值， 又当时，因为指数函数增长速度远大于幂函数 当时，， 要使与函数的图象有三个不同交点，则a的取值范围是， 故答案为： . 例题2．（2025·宁夏银川·二模）已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若函数的极值点在区间内，求m的取值范围； (3)若有两个零点，求m的取值范围. 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为 (2) (3) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、根据极值点求参数 【分析】（1）求出导函数，利用导函数判断函数的单调性. （2）先求出导函数；再根据函数的定义域为，以及函数的极值点在区间内，得出在上有解，列出关于m的不等式组，求解即可. （3）先对m进行分类讨论，利用导数判断函数的单调性，求出最值；再将题目条件转化为恒成立；最后构造函数，利用导函数判断在上单调递增，借助可得出求解即可. 【详解】（1）当时，，的定义域为. 则， 令，则，即，解得， 令，则，即，解得. 函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由可得：的定义域为，. 要使函数的极值点在内，需满足在上有解. 因为的定义域为， 所以在上有解， 则，解得， 即m的取值范围为. （3）由（2）知，. 则. 当时，有，则，此时函数在上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意； 当时，令，得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则. 又因为当时，；当时，， 所以要使有两个零点，须满足恒成立. 令， 则恒成立；， 所以函数在上单调递增， 又因为， 所以，解得. 综上所述，m取值的范围为. 精练高频考点 1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围 【分析】令，分析可知函数在上为增函数，且该函数在区间内有零点，可得出，即可解得实数的取值范围. 【详解】当时，由可得， 令， 因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数， 因为函数在区间内有零点，则函数在区间内有零点， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 2．（24-25高二下·福建莆田·阶段练习）函数在有零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】分离参数得到，由题转化为求的值域即可. 【详解】由题有解，即, 令 得, 当时, 单调递减, 当时, 单调递增, , 所以, 故. 故答案为：. 3．（2025高三·全国·专题练习）定义在上的奇函数有最小正周期为2，且时，． (1)求在上的解析式； (2)取何值时，方程在上有解． 【答案】(1) (2) 【知识点】由奇偶性求函数解析式、根据零点所在的区间求参数范围、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）当时，，利用奇函数性质可求在上的解析式，利用周期性和奇偶性可得； （2）求出单调性，画出的图象，利用图象交点可得的范围. 【详解】（1）时，，则， 因为奇函数，则； 因的最小正周期为，则， 又，则， 则 （2），且，则 ， 因，则，， 则，即，则在上单调递减，则； 利用奇函数性质可得， 在上也单调递减，且， 画出图象如图所示，    由图象可知，则或或时，与的图象有交点， 即方程在上有解，故． 题型四：重点考查借助图象比较零点大小 典型例题 例题1．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，均为实数，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较零点的大小关系、对数函数图象的应用、指数函数图像应用 【分析】利用指数函数与对数函数的图象与性质画出图象，即可得出结论. 【详解】由题意得，分别是函数与，，图象的交点横坐标． 在同一坐标系内作出函数，，，的图象， 如图所示，由图可得．      故选：A. 例题2．（2024·广东梅州·二模）三个函数，，的零点分别为，则之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复合函数的单调性、比较零点的大小关系 【分析】先判断各函数的单调性，再根据零点的存在性定理求出函数零点的范围，即可得出答案. 【详解】因为函数，，，都是增函数， 所以函数，，均为增函数， 因为， 所以函数的零点在上，即， 因为， 所以函数的零点在上，即， 因为， 所以函数的零点在上，即， 综上，． 故选：B． 精练高频考点 1．（24-25高一下·安徽·开学考试）已知a，b，c分别是函数的零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较零点的大小关系 【分析】在同一坐标系中作出函数的图象，利用数形结合法求解. 【详解】令， 得， 在同一坐标系中作出函数的图象， 如图所示： 由图象知：即 故选：B 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知正数分别是函数的零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求函数的零点、比较零点的大小关系 【分析】依据零点存在性定理可判定的零点所在范围；对通分，应用一元二次方程可求解；将的零点转化为两个函数图像交点的横坐标，画简图可求，从而得出结果. 【详解】由函数在上为增函数，又， 则存在唯一零点，即； 令，则，解得或，则； 令，可得函数的零点即为与的交点的横坐标，画简图如图： 可得（负值舍去），则．综上，． 故选：B 3．（2024·广东·二模）设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为(    ). A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较零点的大小关系 【分析】当时，，所以，然后在和时，分别判断和的零点，即，的取值范围，最后综合判断即可. 【详解】因为时，，又因为单调递增，所以； 若，则，所以时，，即； 若，则，所以时，，即. 综上所述，， 故选：D. 题型五：重点考查借助图象求零点代数和 典型例题 例题1．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）函数且的所有零点的和等于 . 【答案】0 【知识点】求零点的和、求正弦（型）函数的奇偶性 【分析】利用函数与方程的思想分别画出函数和函数的图象，利用奇函数性质即可得出结果. 【详解】由可得， 易知函数和函数都为奇函数， 在同一坐标系下作出两函数在内的图象，如下图所示： 所以两函数图象交点都关于原点成中心对称， 因此函数且的所有零点的和等于0. 故答案为：0 例题2．（23-24高一上·云南·期末）已知函数. (1)作出函数在的图象； (2)求方程的所有实数根的和． 【答案】(1)图象见解析； (2) 【知识点】求零点的和、求函数的零点、画出具体函数图象 【分析】（1）根据二次函数与幂函数的性质作图即可； （2）直接解方程求和即可. 【详解】（1） （2）若，则或， 若，则， 即的实数根为或或 综上所有实数根之和为. 精练高频考点 1．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）若函数的零点为，函数的零点为，则 ． 【答案】3 【知识点】求零点的和 【分析】，，根据单调性，得到，求出答案. 【详解】， 由题意得，， 因为在R上单调递增， 故， 因为，所以，. 故答案为：3 2．（23-24高一上·上海虹口·期末）设，则函数的所有零点之和为 ． 【答案】 【知识点】求零点的和、函数对称性的应用 【分析】画出函数图象。利用对称性即可求解. 【详解】由一元二次函数的图象和性质可知函数的图象如图所示， 根据图象可知共有个零点，且个零点关于对称， 所以零点之和为， 故答案为： 3．（2023高一·江苏·专题练习）设函数，关于x的方程有三个不等实根，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】画出具体函数图象、求零点的和、函数图象的应用 【分析】画出函数图象，数形结合得到，，求出答案. 【详解】画出函数图象，结合图形可知，仅当时，方程有三个不等实根， 分别对应直线与图象三个交点的横坐标，其中两个交点位于二次函数图象上， 不妨设， 显然关于对称，故， 另一个交点位于一次函数图象上，令−2x+6=−1，解得x=72， 显然它在和以及的交点和之间， 故， 所以， 故答案为： ． 题型六：重点考查二分法 典型例题 例题1．（2025高三下·全国·专题练习）下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（   ） A．   B．     C．   D．   【答案】A 【知识点】用二分法求近似解的条件 【分析】结合结论二分法只能求变号零点，结合图象确定正确选项. 【详解】根据二分法的概念可知二分法只能求变号零点， 观察选项A中的函数图象可知该函数没有变号零点，观察选项BCD中的函数图象可知对应的函数都存在变号零点， 所以选项A中函数不能用二分法求零点． 故选：A. 例题2．（多选）（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）下列函数中能用二分法求零点近似值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】用二分法求近似解的条件 【分析】根据题意，由二分法的定义，可以用二分法求零点的函数，必须满足函数在零点的两侧函数值异号，检验各个选项中的函数，从而得出结论。 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于 ，在上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点，故选项正确； 对于 ，在上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点，故选项正确； 对于 ，，虽然也有唯一的零点，但函数值在零点两侧都是正号，不能用二分法求零点，故选项错误； 对于 ，在上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点，故选项正确； 故选：． 精练高频考点 1．（24-25高一上·山东淄博·期末）下列函数零点不能用二分法求出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用二分法求近似解的条件、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定. 【详解】对于A选项，在上单调递增，且与轴有唯一交点， 交点两侧的函数值异号，则可用二分法求解，A正确； 对于B选项，当时，， 当且仅当时，等号成立，无零点； 当时，当且仅当时，等号成立， 在上单调递减，在上单调递增， 此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点，B正确； 对于C选项，由题意可知只有一个零点， 且在该零点左右两边的函数值都大于零，故不宜用二分法求解该零点，C错误； 对于D选项，， 在单调递增，单调递减，所以， 则零点处的两侧函数值异号，可用二分法求解，D正确. 故选：C 2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列函数不宜用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用二分法求近似解的条件、零点存在性定理的应用 【分析】利用二分法求零点的充分条件来作出判断. 【详解】对于A：在上单调递增，， ， 所以存在，使得，A宜用二分法求零点； 对于B：，存在，使得，B宜用二分法求零点； 对于C：，存在，使得，C宜用二分法求零点； 对于D：，函数零点为， 但不存在区间，使得，即的零点不宜用二分法来求， 故选：D． 3．（多选）（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）下列方程中，可以用二分法求近似解的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】用二分法求近似解的条件 【分析】根据二分法满足的条件：零点存在定理逐项判断即可. 【详解】对于A，在上单调递增，且在上连续， 且，，可以使用二分法求原方程的近似解； 对于B，在R上连续且单调递增， 又，，可以使用二分法求原方程的近似解； 对于C，，故不可以使用二分法求原方程的近似解； 对于D，在上单调递增，且在上连续， 且，，可以使用二分法求原方程的近似解. 故选：ABD. 第二部分：方法篇 方法一：数形结合 典型例题 例题1．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知函数，若有四个不同的解，，，且，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用、利用函数单调性求最值或值域 【分析】作出分段函数的图象，数形结合确定以及，进而可得，构造函数，讨论单调性即可求解. 【详解】当时，； 当时，； 当时，； 作出函数的图象如下， 令可得，当时，，解得或， 当时，，解得或， 所以函数的图象与直线有个交点， 分别为， 因为有四个不同的解且， 所以，且，且， ， 又因为，， 所以，即， 所以， 所以，且， 因为函数，在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 所以. 故答案为：. 例题2．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知函数 . (1)判断函数的单调性，并求出的极值； (2)画出函数的大致图象； (3)若方程有个不同的根，求实数 的取值范围. 【答案】(1)增区间为，减区间为，极小值为，无极大值； (2)作图见解析； (3). 【知识点】求已知函数的极值、画出具体函数图象、利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数求出单调区间及极值. （2）结合（1）的信息作出函数图象. （3）化方程为或，结合（2）求出的范围. 【详解】（1）函数的定义域为R，求导得， 由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，在处取极小值，无极大值， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为；极小值为，无极大值. （2）由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，， 当时，函数的图象在轴下方，随着的减小，的图象无限接近轴， 函数的大致图象如图： （3）方程，解得或， 解，得，依题意，方程有2个不等实根， 即直线与函数的图象有2个交点，由（2）知，， 所以实数 的取值范围是. 精练高频考点 1．（24-25高一上·天津红桥·期末）已知函数．若方程有三个不等的实数解且，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对数函数图象的应用、分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据分段函数解析式画出函数大致图象，数形结合判断参数k的范围，及所在区间，进而判断各项正误. 【详解】由解析式，可得函数大致图象如下： 令，可得或， 令，可得，令，可得， 由图知，要使方程有三个不等的实数解，且， 所以，且，，A、B对； ，C对； 由，而，故，D错. 故选：D 2．（23-24高一下·湖南长沙·期中）已知函数，若关于x的方程有4个不同的实根，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围、对数函数图象的应用、函数图象的应用 【分析】由对数函数图象可得，即，再由二次函数图象关于对称，可得，求得可得结果. 【详解】由关于x的方程有4个不同的实根，得函数与图象有4个交点； 作出函数与的图象，如图：    观察图象得，， 由，得，即，则， 而二次函数图象关于对称，则，因此， 由，解得或，则， 所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是正确作出函数的图象，借助对数函数、二次函数的性质数形结合求解. 3．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知函数的图像恒过定点，且点又在函数的图像上. (1)求实数的值； (2)解不等式； (3)有两个不等实根时，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据指对幂函数零点的分布求参数范围、指数型函数图象过定点问题、由对数函数的单调性解不等式、指数函数图像应用 【分析】（1）由指数函数性质得定点坐标，代入解析式求得； （2）利用单调性解不等式； （3）利用函数图象交点个数确定结论． 【详解】（1）函数的图像恒过定点A，A点的坐标为， 又因为A点在上，则：； （2）由题意知：， 而在定义域上单调递增，知 ，即， ∴不等式的解集为. （3）由知：，方程有两个不等实根 令，，它们的函数图像有两个交点，如图， 由图像可知：，故的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 函数与方程 目录 第一部分：题型篇 1 题型一：重点考查根判断函数零点区间 1 题型二：重点考查零点个数 2 题型三：重点考查零点中的参数问题 3 题型四：重点考查借助图象比较零点大小 4 题型五：重点考查借助图象求零点代数和 4 题型六：重点考查二分法 5 第二部分：方法篇 6 方法一：数形结合 6 第一部分：题型篇 题型一：重点考查根判断函数零点区间 典型例题 例题1．（2026高三·全国·专题练习）函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 例题2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）函数的零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 精练高频考点 1．（24-25高一下·云南·阶段练习）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·北京·期中）下列区间中包含函数的零点的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 题型二：重点考查零点个数 典型例题 例题1．（2026高三·全国·专题练习）函数的零点个数为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 例题2．（24-25高二下·宁夏银川·阶段练习）已知函数. (1)求函数的单调区间，并求出的极值； (2)在给定的直角坐标系中画出函数的大致图象； (3)讨论关于的方程的实根个数. 精练高频考点 1．（24-25高一下·甘肃平凉·开学考试）设定义域为的函数，则关于的函数的零点的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（多选）（2025高三·全国·专题练习）函数的零点个数可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）已知函数，则函数的零点个数为 . 题型三：重点考查零点中的参数问题 典型例题 例题1．（24-25高二下·江苏·阶段练习）已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是 . 例题2．（2025·宁夏银川·二模）已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若函数的极值点在区间内，求m的取值范围； (3)若有两个零点，求m的取值范围. 精练高频考点 1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·福建莆田·阶段练习）函数在有零点，则实数的取值范围为 . 3．（2025高三·全国·专题练习）定义在上的奇函数有最小正周期为2，且时，． (1)求在上的解析式； (2)取何值时，方程在上有解． 题型四：重点考查借助图象比较零点大小 典型例题 例题1．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，均为实数，且，，，则（   ） A． B． C． D． 例题2．（2024·广东梅州·二模）三个函数，，的零点分别为，则之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 精练高频考点 1．（24-25高一下·安徽·开学考试）已知a，b，c分别是函数的零点，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知正数分别是函数的零点，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东·二模）设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为(    ). A． B． C． D． 题型五：重点考查借助图象求零点代数和 典型例题 例题1．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）函数且的所有零点的和等于 . 例题2．（23-24高一上·云南·期末）已知函数. (1)作出函数在的图象； (2)求方程的所有实数根的和． 精练高频考点 1．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）若函数的零点为，函数的零点为，则 ． 2．（23-24高一上·上海虹口·期末）设，则函数的所有零点之和为 ． 3．（2023高一·江苏·专题练习）设函数，关于x的方程有三个不等实根，则的取值范围是 ． 题型六：重点考查二分法 典型例题 例题1．（2025高三下·全国·专题练习）下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（   ） A．   B．     C．   D．   例题2．（多选）（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）下列函数中能用二分法求零点近似值的是（    ） A． B． C． D． 精练高频考点 1．（24-25高一上·山东淄博·期末）下列函数零点不能用二分法求出的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列函数不宜用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）下列方程中，可以用二分法求近似解的有（    ） A． B． C． D． 第二部分：方法篇 方法一：数形结合 典型例题 例题1．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知函数，若有四个不同的解，，，且，则的最小值为 . 例题2．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知函数 . (1)判断函数的单调性，并求出的极值； (2)画出函数的大致图象； (3)若方程有个不同的根，求实数 的取值范围. 精练高频考点 1．（24-25高一上·天津红桥·期末）已知函数．若方程有三个不等的实数解且，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·湖南长沙·期中）已知函数，若关于x的方程有4个不同的实根，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知函数的图像恒过定点，且点又在函数的图像上. (1)求实数的值； (2)解不等式； (3)有两个不等实根时，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$