专题2.4 对数与对数函数(高考高频考点）(11大题型+3大方法+1大易错）-【练透核心考点】备战2026年高考数学一轮重难点题型狂飙特训（新教材新高考）

第04讲 对数与对数函数 目录 第一部分：题型篇 1 题型一：重点考查对数运算 1 题型二：重点考查对数函数的定义 4 题型三：重点考查对数换底公式 5 题型四：重点考查对数函数的定义域 7 题型五：重点考查对数函数的图象过定点 9 题型六：重点考查对数函数的值域（含对数型函数） 11 题型七：重点考查求对数函数的单调区间（易错） 14 题型八：重点考查对数函数的单调性及其应用 16 题型九：重点考查对数函数的综合性问题 20 题型十：重点考查对数函数模型的应用 25 题型十一：重点考查反函数的应用 28 第二部分：方法篇 33 方法一：可化为一元二次函数型 33 方法二：分类讨论 35 方法三：数形结合 39 第三部分：易错篇 43 易错一：求对数函数（复合函数）单调区间忽略定义域 43 第一部分：题型篇 题型一：重点考查对数运算 典型例题 例题1．（24-25高二下·天津·阶段练习）（1）已知，，求的值； （2）计算. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】对数的运算性质的应用、根式的化简求值、运用换底公式化简计算 【分析】（1）由指数式与对数式的互化得出，再利用对数的运算性质可求得的值； （2）利用对数的运算性质、换底公式以及根式的运算性质计算可得所求代数式的值. 【详解】（1）因为，则， 故； （2）原式 . 例题2．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）计算求值： (1)； (2). 【答案】(1)1 (2) 【知识点】指数幂的运算、对数的运算性质的应用 【分析】（1）根据指数的运算性质计算即可； （2）根据对数的运算性质求解即可. 【详解】（1） . （2） . 精练高频考点 1．（24-25高一下·云南文山·阶段练习）化简与求值： (1)计算； (2)已知，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】对数的运算、运用换底公式化简计算、对数的运算性质的应用 【分析】（1）利用对数的运算性质计算即可； （2）利用指数与对数的相互转化先求得，再结合换底公式计算即可. 【详解】（1）原式 . （2）由，可得， 所以. 2．（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】（1）根据指数的运算化简可得值； （2）根据对数的运算化简可得值. 【详解】（1） ； （2） . 3．（24-25高一上·浙江杭州·期末）求值 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】（1）利用分数指数幂的运算性质计算即得； （2）利用对数的运算性质和换底公式计算即得. 【详解】（1）； （2） . 题型二：重点考查对数函数的定义 典型例题 例题1．（23-24高一上·全国·课后作业）函数是对数函数，则实数a＝ . 【答案】1 【知识点】求对数函数的解析式 【分析】利用对数函数的定义知，，解出的值，验证底数即可. 【详解】由题意得， 解得或1， 又且， 所以 故答案为：1 例题2．（23-24高一上·江苏·课后作业）若函数是对数函数，求的值. 【答案】 【知识点】求对数函数的解析式 【分析】根据对数的函数的定义可得出关于的等式与不等式，即可解得实数的值. 【详解】解：因为函数是对数函数，则，解得． 精练高频考点 1．（2025高三·全国·专题练习）若对数函数经过点，则它的反函数的解析式为 ． 【答案】 【知识点】求对数函数的解析式、求反函数 【分析】设，由条件求出，进而可得它的反函数． 【详解】设（且）， ∵函数经过点，即，即， ∴，， ∴它的反函数的解析式为． 故答案为：． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数是以为自变量的对数函数，则实数 ． 【答案】3 【知识点】求对数函数的解析式 【分析】由题意可得，且，且，从而可求出的值. 【详解】因为函数是以为自变量的对数函数， 所以，解得. 故答案为：3 3．（23-24高三上·江苏·期末）满足的函数可以为 .（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】对数的运算性质的应用、求对数函数的解析式 【分析】对数函数均满足要求，考虑到定义域需要加绝对值 【详解】可令，满足要求. 故答案为：.（答案不唯一） 题型三：重点考查对数换底公式 典型例题 例题1．（2025·海南海口·模拟预测）若，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、指数式与对数式的互化 【分析】先由，得，进而结合对数的运算性质求解即可. 【详解】由，得，又， 所以 . 故选：C. 例题2．（2025高三下·全国·专题练习）若，，则（   ） A． B．1 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】运用换底公式化简计算、对数的运算 【分析】利用对数运算公式和换底公式计算. 【详解】因为，，所以，， 所以，，因此，． 故选：B. 精练高频考点 1．（23-24高一下·江苏南通·期中）若，求=（    ） A．3 B．2 C． D．4 【答案】C 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】利用换底公式得到，再根据指数对数恒等式计算可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C 2．（多选）（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）下列运算正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】运用换底公式化简计算、对数的运算性质的应用 【分析】由已知结合对数运算性质检验各选项即可判断． 【详解】根据对数运算性质可得： ，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确． 故选：CD 3．（2025·湖南·二模）已知实数满足，且，则 . 【答案】 【知识点】对数的运算、运用换底公式化简计算、指数式与对数式的互化 【分析】由对数式的定义，利用对数的运算律与换底公式，可得答案. 【详解】由可知， 所以，即，所以. 故答案为：. 题型四：重点考查对数函数的定义域 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）求函数的定义域 ． 【答案】答案见解析 【知识点】求对数型复合函数的定义域 【分析】根据分母不为零，偶次方根的被开方数大于等于零且对数的真数大于零，对参数分类讨论，结合对数函数的单调性求出函数的定义域； 【详解】要使函数有意义，则，即． 若，则，∴； 若，则，∴． 综上，当时，函数定义域为；当时，函数定义域为． 故答案为：当时，函数定义域为；当时，函数定义域为. 例题2．（24-25高三下·上海·阶段练习）函数的定义域为 . 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的定义域 【分析】根据对数的真数大于得到不等式，解得即可. 【详解】对于函数，令，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 精练高频考点 1．（24-25高一上·全国·课后作业）函数中，实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求对数型复合函数的定义域 【分析】根据对数函数的定义列式求解即可． 【详解】∵，则，解得，且， ∴实数a的取值范围是． 故选：C 2．（24-25高一下·辽宁·开学考试）函数的定义域为 ． 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的定义域、由指数函数的单调性解不等式、具体函数的定义域 【分析】根据对数函数的性质，结合指数函数的单调性即可求解. 【详解】的定义域满足，解得， 故定义域为， 故答案为： 3．（2025高三下·全国·专题练习）函数的定义域为 ． 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的定义域 【分析】根据对数函数的性质列不等式，解不等式即可. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：. 题型五：重点考查对数函数的图象过定点 典型例题 例题1．（24-25高一下·河南·开学考试）已知为正实数，函数的图象经过点，则的最小值为（   ） A． B．6 C． D．8 【答案】D 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、对数型函数图象过定点问题 【分析】由函数的图象经过点，得到，再结合基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】函数的图象经过点， 则，即， 又，. 当且仅当时取等号， 即时取等号. 故选：D. 例题2．（24-25高一上·四川南充·阶段练习）函数（，且）的图象经过定点P，则点P的横、纵坐标之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对数型函数图象过定点问题 【分析】根据恒过定点，令，求出点P的坐标即可得结果. 【详解】令，则，此时， 所以图象经过定点P，则点P的坐标为，即点P的横、纵坐标之和为， 故选：B. 精练高频考点 1．（2025·安徽滁州·一模）已知函数恒过定点，则 . 【答案】 【知识点】对数型函数图象过定点问题 【分析】令求解即可. 【详解】令，则，又，所以过定点， 即，，所以 故答案为： 2．（24-25高一上·上海静安·期末）已知函数过定点，则的最小值为 【答案】2 【知识点】对数型函数图象过定点问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先利用函数过定点得到，再根据，展开后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为函数过定点， 所以，化简可得， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2， 故答案为：2. 3．（24-25高一上·天津南开·期末）函数，且的图象恒过点 ． 【答案】 【知识点】对数型函数图象过定点问题 【分析】根据对数函数的性质，取，求，可得定点坐标. 【详解】令，解得，此时， 故，且的图象恒过点. 故答案为： 题型六：重点考查对数函数的值域（含对数型函数） 典型例题 例题1．（24-25高二上·浙江台州·阶段练习）已知函数，，则函数的值域为 ． 【答案】 【知识点】求二次函数的值域或最值、求对数型复合函数的值域、求对数函数在区间上的值域 【分析】先求出函数的定义域，由对数函数和二次函数的性质即可求解． 【详解】，， 的定义域为，解得， 所以函数的定义域为， ， 又 ，又， ，即函数的值域为. 故答案为：. 例题2．（24-25高一上·重庆江北·期末）若函数的值域为R，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据对数函数的值域求参数值或范围 【分析】依题意，需使真数在上取遍一切正数，由解不等式即得. 【详解】由题意，需使取遍一切正数， 故需使，解得或. 故选：C. 精练高频考点 1．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）函数的值域为 ． 【答案】 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求对数函数在区间上的值域 【分析】由及对数函数的性质，可得到的取值范围，进而得到的取值范围，从而得到的取值范围，即可求得函数的值域. 【详解】因为，所以，， 所以，即的值域为． 故答案为：. 2．（24-25高一上·安徽合肥·期末）设，且. (1)求的值及的定义域； (2)求在区间上的最值. 【答案】(1)； (2). 【知识点】求对数函数的定义域、求对数型复合函数的值域、求对数函数的解析式 【分析】（1）由已知先求出，然后结合对数函数的性质即可求解； （2）结合二次函数及对数函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为， 则， 由题意可得，解得， 故函数定义域为； （2）由（1）可得， 令， 根据二次函数的性质可得，当时， 故， 故函数的值域为. 3．（24-25高一上·河南漯河·期末）已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【知识点】求指数型复合函数的值域、根据集合的包含关系求参数、由奇偶性求参数、求对数型复合函数的值域 【分析】（1）根据奇函数定义计算可得； （2）利用换元法以及二次函数单调性将问题转化成值域的包含关系，解不等式可得结果. 【详解】（1）函数中，， 由是奇函数，得，即， 整理得， 解得.此时， 所以满足，即函数为奇函数，符合题意； 所以. （2）由（1），显然在上单调递减. 可得在的值域， 又 设，则， 当时，有，当时，有， 因此函数在上的值域， 由对任意的，总存在，使得成立，可知， 于是.解得. 所以实数的取值范围是. 题型七：重点考查求对数函数的单调区间（易错） 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性 【分析】根据二次函数、对数函数及复合函数的单调性求解即可. 【详解】由得，解得或， 所以函数的定义域是， 因为当时，单调递增， 而在定义域内单调递增，故函数的单调增区间是. 故选：D 例题2．（24-25高三下·河南焦作·阶段练习）函数在上单调递减，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由对数（型）的单调性求参数、根据函数的单调性求参数值、对数型复合函数的单调性 【分析】由对数的定义及真数为正可得及，由此得，故可知在上单调递增，要使得函数整体在上单调递减，则，综上取交集即可得的取值范围. 【详解】由题意可得及，解得， 所以，故在上单调递增， 所以，，综上可得， 故选：B. 精练高频考点 1．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）函数的单调递增区间是 . 【答案】（或） 【知识点】求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性 【分析】先求函数的定义域，根据复合函数单调性分析求解. 【详解】令，解得，可知函数的定义域为， 因为， 且在内单调递增，在内单调递减，在定义域内单调递增， 可知函数在内单调递增，在内单调递减， 所以函数的单调递增区间为. 故答案为：（或）. 2．（24-25高一上·安徽宿州·期末）已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】对数型复合函数的单调性 【分析】根据复合函数的单调性求解即可. 【详解】令，则， 因为在上单调递减， 所以在上单调递减，且， 所以，解得， 故答案为： 3．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）若函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据函数的单调性求参数值、对数型复合函数的单调性 【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性即可求得结果. 【详解】由题意知函数定义域为或， 令是二次函数，对称轴为，在上单调递增， 由复合函数单调性可知，在上严格增，则. 故答案为： 题型八：重点考查对数函数的单调性及其应用 典型例题 例题1．（24-25高一下·湖南邵阳·阶段练习）设且，已知函数. (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)令函数，解关于的不等式. 【答案】(1)偶函数，理由见解析 (2)答案见解析 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、由对数函数的单调性解不等式、对数型复合函数的单调性 【分析】（1）由偶函数的性质证明即可； （2）由偶函数的性质，换元令，再分和结合对数函数的单调性解抽象函数不等式即可. 【详解】（1）是偶函数. 证明：， 且，即定义域为，定义域关于原点对称. ， 是偶函数. （2）为偶函数， 令. 当时，在上单调递增，在区间上单调递减， 由，得且解得. 当时，在上单调递减，在区间上单调递增， 由，得且解得. 综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 例题2．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知定义域为的偶函数，当时. (1)求时，的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并证明； (3)求满足不等式的实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)函数在区间上单调递增，证明见解析； (3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式、根据函数的单调性解不等式、比较对数式的大小 【分析】（1）由函数奇偶性及时的解析式，求出； （2）定义法证明函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论； （3），根据在区间上的单调性，得到，求出答案. 【详解】（1）时，， 则时，，， 因为为偶函数，所以， 所以时，. （2）函数在区间上单调递增，证明如下： 当时，，，且， 有， 且，从而，即， 所以函数在区间上单调递增. （3）是偶函数，定义域为， 由，得， 由（2）知函数在区间上单调递增， ， 故，解得， 即实数的取值范围为. 精练高频考点 1．（2025·浙江金华·二模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对数的运算性质的应用、比较对数式的大小、运用换底公式化简计算 【分析】利用对数换底公式以及运算性质，利用作商法结合对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】由题意可知，. 则，所以. 则，所以. 所以. 故选：D. 2．（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）已知函数是指数函数. (1)求的表达式； (2)判断的奇偶性，并加以证明； (3)解不等式：. 【答案】(1) (2)奇函数，证明见解析 (3) 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、由对数函数的单调性解不等式、根据函数是指数函数求参数 【分析】（1）利用指数函数的定义求解即可； （2）结合指数运算，根据函数奇偶性的定义即可证明； （3）根据对数函数的单调性即可求解不等式的解集. 【详解】（1）函数是指数函数，所以解得或2， 又，所以，所以. （2）由（1）知， 其定义域为R，关于原点对称， 又因为，所以是奇函数； （3）由（1）知：， 所以，解得：， 所以不等式的解集为. 3．（24-25高一下·广东梅州·阶段练习）已知不等式的解集为． (1)求，的值； (2)若函数 在区间 上递增，求关于的不等式 的解集． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、由对数函数的单调性解不等式、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）由条件结合一元二次不等式与一元二次方程的关系可得为方程的两个根，再依据根与系数的关系列方程即可求得，的值； （2）由条件结合二次函数单调性性质可得，再利用对数函数的单调性化简需求解的不等式，结合二次不等式解法求结论． 【详解】（1）因为不等式的解集为 所以为方程的两个根， 所以，，， 所以，， （2）因为函数 在区间 上递增， 所以， 所以， 由（1）不等式可化为， 所以， 所以且， 解不等式可得，或， 解不等式可得，， 所以不等式的解集为. 所以不等式的解集为. 题型九：重点考查对数函数的综合性问题 典型例题 例题1．（2026高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若函数的定义域为R，值域为，求实数a的值； (2)若函数在上为增函数，求实数a的取值范围． 【答案】(1)1或 (2) 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、由对数（型）的单调性求参数 【分析】（1）由求出的最小值，再利用配方法可得答案； （2） 利用复合函数的单调性可得答案． 【详解】（1）函数的值域为， ，又， 而函数的定义域为R， 的最小值． 而， ，解得，即， 实数a的值为1或； （2）在上为增函数， 函数在上是减函数， ∴函数在上为减函数且， ，解得， 即，故实数a的取值范围为． 例题2．（2025·上海宝山·二模）已知函数，（且） (1)若，求方程的解； (2)已知，若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】简单的指数方程、基本不等式求和的最小值、由幂函数的单调性解不等式 【分析】（1）先由求出幂函数解析式，再利用换元法，结合一元二次方程和指数与对数函数的关系求解即可； （2）由幂函数的单调性得到关于的不等式再分离参数，结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）即解得，于是 ， 方程即为， 令，则有即， 求得（舍负） ， 所以方程的解为 . （2）由已知得， 整理得 ， 因为，所以 ， 从而对任意恒成立， 因为（当且仅当取等号）， 所以， 即实数的最大值为. 精练高频考点 1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数（a为常数，且）． (1)求； (2)判断的奇偶性，并说明理由． (3)若，求使成立的x的取值范围． 【答案】(1) (2)偶函数，理由见解析 (3) 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、求对数型复合函数的定义域、对数的运算、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）把代入函数表达式，利用对数性质算出结果；（2）根据奇偶性定义判断证明；（3）已知，代入函数化简得，根据对数定义求出.把代入不等式，利用对数函数单调性，将对数不等式转化为普通不等式求解，结合定义域得出解集. 【详解】（1）把代入函数表达式，则． （2）由函数有意义，得 ∴函数的定义域为，关于原点对称． ∵，∴函数为偶函数． （3）由，， 得，解得， ∴． 由于函数在上单调递增，∴，解得． 2．（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若的值域为，求a的取值范围； (3)是否存在实数使得函数在区间上单调递减？若存在，写出一个符合题意的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)单调增区间是，单调减区间时； (2) (3)不存在，理由见解析； 【知识点】根据对数函数的值域求参数值或范围、对数型复合函数的单调性、由对数（型）的单调性求参数 【分析】（1）由得到或，再结合二次函数及对数函数的单调性即可求解； （2）由，两类情况讨论即可； （3）由在上单调递减， 在恒成立，分别求解的范围，即可判断. 【详解】（1）当时，， 由，可得：或， 易知，在单调递增，在单调递减， 又单调递增， 所以的单调增区间是，单调减区间时； （2）当时，，显然满足值域为， 当时，要使得的值域为，需满足：， 解得：， 综上可知：若的值域为，a的取值范围是； （3）不存在，理由如下： 若函数在区间上单调递减， 需满足：在上单调递减，且在恒成立， 若在上单调递减， 满足， 当时，需满足，即， 当时，需满足，恒成立， 综上可得：在上单调递减a的取值范围是， 若在恒成立， 即， 令，易知在对称轴处取到最大值， 所以， 显然在上单调递减与在恒成立，不能同时成立， 所以不存在实数使得函数在区间上单调递减. 3．（24-25高一下·安徽·阶段练习）已知为奇函数，为常数. (1)求的值； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】函数不等式恒成立问题、由奇偶性求参数、对数型复合函数的单调性、对数的运算性质的应用 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义可求出a的值，验证后即可确定答案； （2）分离参数，将不等式恒成立问题转化为函数最值问题，结合判断函数单调性，求得函数最值，即可求得答案. 【详解】（1）由于，函数为奇函数， 故，即， 则，即， 则， 当时，，不符合题意； 当时，，令，则或， 即函数定义域为， ，即函数为奇函数，符合题意， 故； （2）对于区间上的每一个的值，不等式恒成立， 即对于区间上的每一个的值，不等式恒成立，所以， 令，则在上单调递增， 而在上单调递增，故在上单调递增， 在上单调递增，故在上单调递增， 则的最小值为， 故. 题型十：重点考查对数函数模型的应用 典型例题 例题1．（2024·广东·二模）大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记为实际声压，通常我们用声压级（单位：分贝）来定义声音的强弱，声压级与声压存在近似函数关系：，其中为常数,且常数为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压为穿软底鞋走路的声压的倍，且穿硬底鞋走路的声压级为分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级的倍.若住宅区夜间声压级超过分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】列出对数函数模型的解析式 【分析】由结合对数运算可求得的值，由于，可得出、，结合对数函数的单调性可出结论. 【详解】由题意，得， 则，因此， ，则， ，则. 故选：A. 例题2．（24-25高一上·陕西汉中·期末）“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为5m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的，若石片接触水面时的速度低于2m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为 ．（参考数据： 【答案】4 【知识点】列出对数函数模型的解析式、利用对数函数的性质综合解题、对数的运算性质的应用 【分析】根据题意得，即，根据指数函数的单调性和对数换底公式求解即可. 【详解】设这次“打水漂”石片的弹跳次数为， 由题意得，即，得. 因为， 所以,故. 故答案为：4 精练高频考点 1．（23-24高二下·浙江绍兴·阶段练习）现测得某放射性元素的半衰期为1500年（每经过1500年，该元素的存品为原来的一半），某生物标本中该放射性元素面初始存量为m，经检测现在的存量，据此推测该生物距今约为（    ）（参考数据：) A．2700年 B．3100年 C．3500年 D．3900年 【答案】C 【知识点】利用对数函数的性质综合解题 【分析】根据对数的运算性质即可求解. 【详解】由题意得， 两边取对数得. 故选：C 2．（24-25高二上·云南昆明·期末）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.英国天文学家普森发现：两个天体的星等是、，其亮度分别表示为、，它们满足关系式，这就是著名的普森公式.已知太阳的星等是，月亮（满月时）的星等是，则太阳与月亮（满月时）的亮度的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列出对数函数模型的解析式 【分析】令，，代入，结合对数的运算性质求出的值，即为所求. 【详解】两颗星的星等与亮度满足， 令，，，， 因此，太阳与月亮（满月时）的亮度的比值为. 故选：B. 3．（多选）（2024·湖南长沙·模拟预测）氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生衰变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量随时间(单位:年)的衰变规律满足，其中表示氚原有的质量，则（    ）(参考数据:) A． B．经过年后，样本中的氚元素会全部消失 C．经过年后，样本中的氚元素变为原来的 D．若年后，样本中氚元素的含量为，则 【答案】CD 【知识点】指数函数模型的应用（2）、利用对数函数的性质综合解题 【分析】利用给定式子进行化简判断A，代入求值判断B，C，解方程求出，再判断D即可. 【详解】由题意得，故有， 左右同时取对数得，故得，故A错误， 当时，，故B错误， 而当时，， 得到经过年后，样本中的氚元素变为原来的，故C正确， 由题意得，化简得， ， 将代入其中，可得，故D正确. 故选：CD 题型十一：重点考查反函数的应用 典型例题 例题1．（2025·河南开封·二模）已知直线与函数，的图象分别交于，两点，则取最小值时， ，最小值为 ． 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、反函数的性质应用、求点到直线的距离 【分析】根据两函数的图象关于直线对称，且与垂直，转化为求曲线上一点到直线距离的最小值，利用点到直线的距离及导数即可得解. 【详解】由可得，，即， 所以函数，互为反函数，图象关于直线对称， 因直线互相垂直， 所以问题可转化为求上点到直线距离的最小值的2倍， 因为， 令， 则，当时，， 当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，有最小值3， 此时， 故答案为： 例题2．（2025·山西晋中·模拟预测）已知，则 . 【答案】2026 【知识点】反函数的性质应用、根据解析式直接判断函数的单调性、对数的运算性质的应用 【分析】法一：变形得到，，构造，则，根据函数单调性得到， 故； 法二：设与的交点为，与的交点为，根据对称性得到与关于对称，求出. 【详解】法一：， ， 设，则， 由于在R上单调递增，故， 故； 法二：， 设与的交点为， 与的交点为， 由于和为反函数， 即和关于对称， 而和垂直，关于对称， 联立，解得， 所以与关于对称， 故，所以. 故答案为：2026 【点睛】关键点点睛：变形得到，，构造，由函数单调性进行求解；或由函数的对称性进行求解 精练高频考点 1．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知实数x，y满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】反函数的性质应用 【分析】利用指对函数互为反函数的性质，将原式子变为结构相似的形式，再利用对称性即可解题. 【详解】将题中式子变形得，， 令，则， 故，分别为和与的交点， 由函数的对称性可知，，关于对称， 故，即， 故选：B． 2．（23-24高一上·北京东城·期末）若、分别是函数，的零点，则下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】反函数的性质应用 【分析】由题意看得出、，数形结合可知点、关于直线对称，由此可得出结论. 【详解】由题意可得，可得， ，则，所以，， 作出函数、、的图象如下图所示： 对于函数可得，所以，函数的图象关于直线对称， 又因为函数、的图象关于直线对称， 所以，点、关于直线对称，则，故. 故选：B. 3．（多选）（2025高三·全国·专题练习）当时，函数与函数的图象的交点个数可能为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】ABC 【知识点】函数图象的应用、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、反函数的性质应用 【分析】根据反函数性质可知函数与函数的图象的交点在直线上，根据导数的几何意义分析相切时，进而分析交点情况. 【详解】因为与的图象关于直线对称， 可知函数与函数的图象的交点在直线上， 设曲线与直线相切于， 则切线方程为， 将代入，可得，而， 可得，解得． ①当时，曲线与直线没有交点，    故函数与函数的图象的交点个数为0； ②当时，曲线与直线相切，    故函数与函数的图象的交点个数为1； ③当时，曲线与直线有两个交点，    故函数与函数的图象的交点个数为2． 综上所述，函数与函数的图象的交点个数可能为0或1或2， 故选：ABC． 第二部分：方法篇 方法一：可化为一元二次函数型 典型例题 例题1．（23-24高一上·上海青浦·期末）函数的值域为 . 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的值域、求对数型复合函数的定义域、对数的运算性质的应用、求二次函数的值域或最值 【分析】由题意利用对数的运算法则、对数函数的定义域、值域并通过换元法即可得解. 【详解】由题意函数的定义域为，而， 不妨设，所以， 所以函数的值域为. 故答案为：. 例题2．（23-24高三上·江苏常州·阶段练习）已知函数，则函数的值域为 ． 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的值域、与二次函数相关的复合函数问题、利用函数单调性求最值或值域 【分析】先求出函数的定义域，由对数函数和二次函数的性质即可求解． 【详解】由于， 由，得，解得， 即函数的定义域为,． ， 又， ， ， 故函数的值域为， 故答案为： 精练高频考点 1．（24-25高一上·湖南岳阳·期末）已知函数，，则函数的值域为 ． 【答案】 【知识点】求二次函数的值域或最值、求对数型复合函数的定义域、求对数型复合函数的值域 【分析】由原函数和所求函数求得其定义域，化简所求函数解析式，利用换元，得到一元二次函数，结合其图象性质即可求得函数值域. 【详解】因，，， 则由，解得：， 即函数的定义域为， 设，则，且在上单调递增， 故当时，即时，；当，即时，， 因，故函数的值域为. 故答案为：. 2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则函数的值域为 ． 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的值域、求对数型复合函数的定义域 【分析】求出函数的定义域，进而求出的范围，利用换元法结合二次函数求函数的值域. 【详解】因为已知函数的定义域为 且，定义域需满足， 可得， 令，则， 则， 又因为的图象开口向上，对称轴为， 可知在内单调递增， 当时，；当时，； 可知函数的值域为. 故答案为：. 方法二：分类讨论 典型例题 例题1．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知函数， (1)当时，求函数的值域； (2)若函数的最小值为，求实数a的值. 【答案】(1)； (2)或 【知识点】求二次函数的值域或最值、求对数型复合函数的值域、根据对数函数的最值求参数或范围 【分析】（1）利用换元法将函数转化为二次函数进行求值域； （2）对换元后的二次函数的对称轴位置进行讨论，根据最值表达式求出参数a的值． 【详解】（1），， 令，，则化为，， 当时，，， 对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，； 则，， 所以函数的值域为； （2）由（1），令，， 化为，，对称轴为， 若，则在上单调递增， 当时，，得，符合题意； 若，则在上单调递减，在上单调递增， 当时，，得舍去，符合题意； 若，则在上单调递减， 当时，，得，与矛盾，舍去； 综上，或 例题2．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数为奇函数． (1)求实数a的值并指出函数的单调性（不需证明）； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1)；函数在上单调递增 (2)答案见解析 【知识点】指数式与对数式的互化、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数 【分析】（1）由奇函数的性质可得实数a的值，再由复合函数的单调性可得判断的单调性； （2）由函数的单调性解抽象函数不等式，再利用换元法结合对数的运算对讨论即可； 【详解】（1）因为函数为奇函数，定义域为， 所以， 此时，，满足题意， 函数在上单调递增， 因为在单调递增，在上单调递减，上单调递增， 所以在上单调递增. （2）由（1）可得函数在上单调递增， 所以， 即， 令，即，即， 当时，，即，因为恒成立，所以解得， 当时，，即，解得； 当时，，解集为空集； 当时，，即，解得； 综上，当时, 不等式的解集为; 当时，不等式的解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 精练高频考点 1．（24-25高一下·四川德阳·阶段练习）已知函数为奇函数，为偶函数，且满足为偶函数，为奇函数． (1)求函数的解析式； (2)求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【知识点】由奇偶性求函数解析式、求对数型复合函数的值域、分段函数的值域或最值 【分析】（1）根据奇偶性定义列式整理可得； （2）分和去掉绝对值符号，结合对数函数性质可解. 【详解】（1）因为函数为奇函数，为偶函数， 所以．                   即， 整理可得 即； （2）①当，即，即时， ， 由于，则； ②当，即，即时， ， 由于，则； 综合上述可知的值域为 2．（23-24高一上·北京·期中）已知函数，其中． (1)求与的值； (2)证明：对任意，函数存在零点； (3)若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【知识点】求函数值、根据对数函数的值域求参数值或范围、零点存在性定理的应用、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】（1）代入求出函数值. （2）按的取值情况分类讨论，结合函数零点存在性定理推理得证. （3）求出函数的值域，将给定问题转化为函数的值域包含，进而转化为函数的值域包含，再按分类讨论求解. 【详解】（1）依题意，. （2），令， 当时，，由，得，即函数有零点； 当时，若，则，函数在有定义， 且在上的图象连续不断，而，因此函数在内有零点； 当时，，恒成立，函数定义域为， 由，得函数在内有零点； 当时，，，，函数在内有零点； 当时，，当且仅当时取等号， ，在上各有一个根， 记在上的零点为，当从小于的方向趋近于时，从大于0的方向趋近于0， 趋近于负无穷大，则趋近于正无穷大，而，函数在内有零点， 所以对任意，函数存在零点. （3），函数的值域为， 由对任意，存在，使得成立，得函数值域包含， 而函数在上单调递增，因此函数的值域包含， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，即函数值域为， 由，解得，此时函数值域包含，因此， 所以实数的取值范围是. 方法三：数形结合 典型例题 例题1．（24-25高一下·云南玉溪·阶段练习）若函数，，的零点分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对数函数图象的应用、幂函数图象的判断及应用、求函数的零点、指数函数图像应用 【分析】根据条件，将零点问题转化成函数图象交点，再根据图象即可求出结果. 【详解】函数，，的零点， 即为函数的图象 分别与函数，，的图象交点的横坐标， 如图所示： 由图象可得， 故选：B． 例题2．（2024·湖北荆州·模拟预测）已知，则正数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对数函数图象的应用、比较对数式的大小、比较零点的大小关系 【分析】通过将已知等式变形得到关于、、的方程，然后将方程的解转化为函数图像交点的横坐标，最后通过比较函数图像交点的位置来确定、、的大小关系. 【详解】设，由此， 分别为方程的解，在同一坐标系作函数的图像， 分别与函数的图像分别交于，其横坐标分别为， 由图可知. 故选：A. 精练高频考点 1．（24-25高一下·云南昆明·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】变形得到，构造，结合特殊点函数值，同一坐标系内画出三个函数的图象，数形结合得到答案. 【详解】； 构造函数， 其中，， 其中， 同一坐标系内画出三个函数的图象，如下：    因为，结合函数图像可以得到， 即. 故选：C． 2．（24-25高三下·北京朝阳·阶段练习）已知是函数图象上两个不同的点，则下列个式子中正确的是（    ） ① ；                 ② ； ③ ；            ④ . A．① ③ B．② ③ C．① ④ D．② ④ 【答案】B 【知识点】对数函数图象的应用 【分析】求出已知两点的中点坐标及函数的图象上纵坐标为的点，结合函数图象建立不等式，即可得解. 【详解】如图所示，    设，的中点为， 点在函数的图象上，且轴，则， 由图知点在的左侧，即，故①错误，②正确； 则，即， 即，故③正确，④错误. 故选：B. 3．（24-25高一下·湖南·阶段练习）已知函数，若存在两个零点，且，则实数 . 【答案】 【知识点】对数的运算、对数函数图象的应用、根据指对幂函数零点的分布求参数范围、指数函数图像应用 【分析】先指数函数，对数函数图象画出函数图象，再结合，再应用指对数运算结合函数单调性即可求解. 【详解】画出函数的图象，再画出直线， 可以发现当直线过点时，直线与函数图象有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点， 即方程有两个解，也就是函数有两个零点， 此时满足，即. 不妨设，则， 从而即 设，函数单调递增，且 所以，又，解得， 所以.    故答案为：. 第三部分：易错篇 易错一：求对数函数（复合函数）单调区间忽略定义域 典型例题 例题1．（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）函数的增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对数型复合函数的单调性、求对数型复合函数的定义域 【分析】由函数解析式求得其定义域，根据二次函数与对数函数的单调性，结合复合函数的单调性，可得答案. 【详解】由，则，分解因式可得， 解得，所以函数的定义域为， 由函数在上单调递增，在上单调递减， 且函数在上单调递减， 则函数的增区间为. 故选：D. 例题2．（24-25高二下·山西·阶段练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由对数（型）的单调性求参数 【分析】根据对数函数性质分析可知在上单调递减，且在上恒成立，进而列式求解. 【详解】因为在上单调递增，且在上单调递减， 可知在上单调递减，且在上恒成立， 可得，解得， 所以实数的取值范围为． 故选：B． 精练高频考点 1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围、由对数（型）的单调性求参数、对数型复合函数的单调性 【分析】令，由复合函数的单调性结合对数函数和二次函数的性质求解即可. 【详解】令，而在上单调递增， 复合函数的单调性可知，函数在上单调递增，且在上恒成立， 故，解得， 故选：B． 4．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围、由对数（型）的单调性求参数、对数型复合函数的单调性 【分析】令，则由题意可得在上是减函数，且在区间上恒成立，从而列不等式组可求得答案 【详解】令，因为在区间上是减函数，且在上是增函数， 所以在区间上是减函数，且在区间上恒成立， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 3．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·阶段练习）函数的单调递减区间是 . 【答案】/ 【知识点】判断二次函数的单调性和求解单调区间、对数型复合函数的单调性 【分析】先求出函数的定义域，令，则，再根据复合函数的单调性，求出单调区间，即得结果. 【详解】由，得，则函数的定义域为， 令，，则， 函数的对称轴为， 在区间上单调递增，在区间上单调递减， 因为为增函数，根据复合函数同增异减， 要使函数单调递减，则需函数单调递减， 所以原函数的单调递减区间为. 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 对数与对数函数 目录 第一部分：题型篇 2 题型一：重点考查对数运算 2 题型二：重点考查对数函数的定义 3 题型三：重点考查对数换底公式 3 题型四：重点考查对数函数的定义域 4 题型五：重点考查对数函数的图象过定点 5 题型六：重点考查对数函数的值域（含对数型函数） 5 题型七：重点考查求对数函数的单调区间（易错） 6 题型八：重点考查对数函数的单调性及其应用 7 题型九：重点考查对数函数的综合性问题 8 题型十：重点考查对数函数模型的应用 10 题型十一：重点考查反函数的应用 11 第二部分：方法篇 12 方法一：可化为一元二次函数型 12 方法二：分类讨论 13 方法三：数形结合 14 第三部分：易错篇 15 易错一：求对数函数（复合函数）单调区间忽略定义域 15 第一部分：题型篇 题型一：重点考查对数运算 典型例题 例题1．（24-25高二下·天津·阶段练习）（1）已知，，求的值； （2）计算. 例题2．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）计算求值： (1)； (2). 精练高频考点 1．（24-25高一下·云南文山·阶段练习）化简与求值： (1)计算； (2)已知，求的值. 2．（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）计算： (1)； (2) 3．（24-25高一上·浙江杭州·期末）求值 (1)； (2)． 题型二：重点考查对数函数的定义 典型例题 例题1．（23-24高一上·全国·课后作业）函数是对数函数，则实数a＝ . 例题2．（23-24高一上·江苏·课后作业）若函数是对数函数，求的值. 精练高频考点 1．（2025高三·全国·专题练习）若对数函数经过点，则它的反函数的解析式为 ． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数是以为自变量的对数函数，则实数 ． 3．（23-24高三上·江苏·期末）满足的函数可以为 .（写出一个即可） 题型三：重点考查对数换底公式 典型例题 例题1．（2025·海南海口·模拟预测）若，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 例题2．（2025高三下·全国·专题练习）若，，则（   ） A． B．1 C．3 D．4 精练高频考点 1．（23-24高一下·江苏南通·期中）若，求=（    ） A．3 B．2 C． D．4 2．（多选）（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）下列运算正确的有（    ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南·二模）已知实数满足，且，则 . 题型四：重点考查对数函数的定义域 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）求函数的定义域 ． 例题2．（24-25高三下·上海·阶段练习）函数的定义域为 . 精练高频考点 1．（24-25高一上·全国·课后作业）函数中，实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·辽宁·开学考试）函数的定义域为 ． 3．（2025高三下·全国·专题练习）函数的定义域为 ． 题型五：重点考查对数函数的图象过定点 典型例题 例题1．（24-25高一下·河南·开学考试）已知为正实数，函数的图象经过点，则的最小值为（   ） A． B．6 C． D．8 例题2．（24-25高一上·四川南充·阶段练习）函数（，且）的图象经过定点P，则点P的横、纵坐标之和为（   ） A． B． C． D． 精练高频考点 1．（2025·安徽滁州·一模）已知函数恒过定点，则 . 2．（24-25高一上·上海静安·期末）已知函数过定点，则的最小值为 3．（24-25高一上·天津南开·期末）函数，且的图象恒过点 ． 题型六：重点考查对数函数的值域（含对数型函数） 典型例题 例题1．（24-25高二上·浙江台州·阶段练习）已知函数，，则函数的值域为 ． 例题2．（24-25高一上·重庆江北·期末）若函数的值域为R，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 精练高频考点 1．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）函数的值域为 ． 2．（24-25高一上·安徽合肥·期末）设，且. (1)求的值及的定义域； (2)求在区间上的最值. 3．（24-25高一上·河南漯河·期末）已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 题型七：重点考查求对数函数的单调区间（易错） 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高三下·河南焦作·阶段练习）函数在上单调递减，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 精练高频考点 1．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）函数的单调递增区间是 . 2．（24-25高一上·安徽宿州·期末）已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是 . 3．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）若函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是 . 题型八：重点考查对数函数的单调性及其应用 典型例题 例题1．（24-25高一下·湖南邵阳·阶段练习）设且，已知函数. (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)令函数，解关于的不等式. 例题2．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知定义域为的偶函数，当时. (1)求时，的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并证明； (3)求满足不等式的实数的取值范围. 精练高频考点 1．（2025·浙江金华·二模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）已知函数是指数函数. (1)求的表达式； (2)判断的奇偶性，并加以证明； (3)解不等式：. 3．（24-25高一下·广东梅州·阶段练习）已知不等式的解集为． (1)求，的值； (2)若函数 在区间 上递增，求关于的不等式 的解集． 题型九：重点考查对数函数的综合性问题 典型例题 例题1．（2026高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若函数的定义域为R，值域为，求实数a的值； (2)若函数在上为增函数，求实数a的取值范围． 例题2．（2025·上海宝山·二模）已知函数，（且） (1)若，求方程的解； (2)已知，若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的最大值. 精练高频考点 1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数（a为常数，且）． (1)求； (2)判断的奇偶性，并说明理由． (3)若，求使成立的x的取值范围． 2．（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若的值域为，求a的取值范围； (3)是否存在实数使得函数在区间上单调递减？若存在，写出一个符合题意的值；若不存在，说明理由. 3．（24-25高一下·安徽·阶段练习）已知为奇函数，为常数. (1)求的值； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 题型十：重点考查对数函数模型的应用 典型例题 例题1．（2024·广东·二模）大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记为实际声压，通常我们用声压级（单位：分贝）来定义声音的强弱，声压级与声压存在近似函数关系：，其中为常数,且常数为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压为穿软底鞋走路的声压的倍，且穿硬底鞋走路的声压级为分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级的倍.若住宅区夜间声压级超过分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 例题2．（24-25高一上·陕西汉中·期末）“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为5m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的，若石片接触水面时的速度低于2m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为 ．（参考数据： 精练高频考点 1．（23-24高二下·浙江绍兴·阶段练习）现测得某放射性元素的半衰期为1500年（每经过1500年，该元素的存品为原来的一半），某生物标本中该放射性元素面初始存量为m，经检测现在的存量，据此推测该生物距今约为（    ）（参考数据：) A．2700年 B．3100年 C．3500年 D．3900年 2．（24-25高二上·云南昆明·期末）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.英国天文学家普森发现：两个天体的星等是、，其亮度分别表示为、，它们满足关系式，这就是著名的普森公式.已知太阳的星等是，月亮（满月时）的星等是，则太阳与月亮（满月时）的亮度的比值为（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（2024·湖南长沙·模拟预测）氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生衰变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量随时间(单位:年)的衰变规律满足，其中表示氚原有的质量，则（    ）(参考数据:) A． B．经过年后，样本中的氚元素会全部消失 C．经过年后，样本中的氚元素变为原来的 D．若年后，样本中氚元素的含量为，则 题型十一：重点考查反函数的应用 典型例题 例题1．（2025·河南开封·二模）已知直线与函数，的图象分别交于，两点，则取最小值时， ，最小值为 ． 例题2．（2025·山西晋中·模拟预测）已知，则 . 精练高频考点 1．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知实数x，y满足，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京东城·期末）若、分别是函数，的零点，则下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（2025高三·全国·专题练习）当时，函数与函数的图象的交点个数可能为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 第二部分：方法篇 方法一：可化为一元二次函数型 典型例题 例题1．（23-24高一上·上海青浦·期末）函数的值域为 . 例题2．（23-24高三上·江苏常州·阶段练习）已知函数，则函数的值域为 ． 精练高频考点 1．（24-25高一上·湖南岳阳·期末）已知函数，，则函数的值域为 ． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则函数的值域为 ． 方法二：分类讨论 典型例题 例题1．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知函数， (1)当时，求函数的值域； (2)若函数的最小值为，求实数a的值. 例题2．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数为奇函数． (1)求实数a的值并指出函数的单调性（不需证明）； (2)解关于x的不等式． 精练高频考点 1．（24-25高一下·四川德阳·阶段练习）已知函数为奇函数，为偶函数，且满足为偶函数，为奇函数． (1)求函数的解析式； (2)求函数的值域. 2．（23-24高一上·北京·期中）已知函数，其中． (1)求与的值； (2)证明：对任意，函数存在零点； (3)若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围． 方法三：数形结合 典型例题 例题1．（24-25高一下·云南玉溪·阶段练习）若函数，，的零点分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024·湖北荆州·模拟预测）已知，则正数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 精练高频考点 1．（24-25高一下·云南昆明·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·北京朝阳·阶段练习）已知是函数图象上两个不同的点，则下列个式子中正确的是（    ） ① ；                 ② ； ③ ；            ④ . A．① ③ B．② ③ C．① ④ D．② ④ 3．（24-25高一下·湖南·阶段练习）已知函数，若存在两个零点，且，则实数 . 第三部分：易错篇 易错一：求对数函数（复合函数）单调区间忽略定义域 典型例题 例题1．（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）函数的增区间为（   ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高二下·山西·阶段练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 精练高频考点 1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是 ． 3．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·阶段练习）函数的单调递减区间是 . 学科网（北京）股份有限公司 $$