专题2.3 指数与指数函数 (高考高频考点）(8大题型+2大方法）-【练透核心考点】备战2026年高考数学一轮重难点题型狂飙特训（新教材新高考）

第03讲 指数与指数函数 目录 第一部分：题型篇 1 题型一：重点考查指数和指数幂的运算 1 题型二：重点考查指数函数的定义 3 题型三：重点考查指数函数的图象过定点 4 题型四：重点考查指数函数的定义域 4 题型五：重点考查指数函数的值域（含指数型函数） 5 题型六：重点考查指数函数的单调性及其应用 6 题型七：重点考查指数函数的综合性问题 7 题型八：重点考查指数函数模型的应用 8 第二部分：方法篇 10 方法一：可化为一元二次函数型 10 方法二：分类讨论 10 第一部分：题型篇 题型一：重点考查指数和指数幂的运算 典型例题 例题1．（2026高三·全国·专题练习）化简与求值． (1)； (2)． 例题2．（24-25高一上·广东广州·期中）计算或化简． (1)化简：； (2)计算：； (3)已知，求的值． 精练高频考点 1．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）计算下列各式的值 (1)； (2) (3) 2．（24-25高一上·重庆江津·阶段练习）化简求值： (1)； (2)； 3．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）化简与求值： (1)； (2)已知，求的值. 题型二：重点考查指数函数的定义 典型例题 例题1．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）若函数（a＞0，且a≠1）是指数函数，则实数m的值为（    ） A．2 B．3 C．－1 D．1 例题2．（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）已知函数是指数函数． (1)求的表达式； (2)判断的奇偶性，并加以证明. 精练高频考点 1．（23-24高一上·青海西宁·期中）函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．且 2．（23-24高一上·天津河西·期末）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．1或 D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）若指数型函数，满足，，则 ． 题型三：重点考查指数函数的图象过定点 典型例题 例题1．（24-25高一下·河北张家口·开学考试）函数，且的图象过定点，则点的坐标是 . 例题2．（24-25高一上·贵州黔南·期末）已知函数（且），则该函数的图象恒过定点 . 精练高频考点 1．（2025·北京海淀·一模）函数的图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山东济宁·期末）函数（且）的图象过定点（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山东枣庄·二模）已知函数恒过定点，则点的坐标为 . 题型四：重点考查指数函数的定义域 典型例题 例题1．（23-24高三下·北京·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一上·新疆伊犁·期末）函数的定义域为 ． 精练高频考点 1．（24-25高一上·河南·阶段练习）函数的定义域为 （    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东东莞·期中）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 题型五：重点考查指数函数的值域（含指数型函数） 典型例题 例题1．（24-25高三下·山东·阶段练习）已知函数的值域为，且，则 . 例题2．（24-25高一上·重庆黔江·期末）一般地，函数（，且）叫做指数函数.已知函数是指数函数，且. (1)求函数的解析式； (2)已知函数，求在上的值域. 精练高频考点 1．（24-25高一下·上海杨浦·开学考试）函数的值域为 2．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）已知函数，，则的值域为 . 3．（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域． 题型六：重点考查指数函数的单调性及其应用 典型例题 例题1．（24-25高一上·广东深圳·期末）函数的单调递增区间为 ． 例题2．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数，若，则实数a的取值范围是 ． 精练高频考点 1．（24-25高一下·浙江·阶段练习）已知函数在定义域上为增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山东日照·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东潮州·期末）已知函数，且满足，则实数m的取值范围是 . 题型七：重点考查指数函数的综合性问题 典型例题 例题1．（2025·上海黄浦·二模）已知． (1)若，求的值； (2)是否存在实数，使函数是奇函数？请说明理由． 例题2．（24-25高一下·山西·阶段练习）已知二次函数满足，函数满足，且不等式的解集为． (1)求的解析式； (2)若关于x的不等式对任意的恒成立，求实数m的取值范围． 精练高频考点 1．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 2．（24-25高一上·江西·期末）已知二次函数满足，且，函数． (1)求函数的解析式； (2)记函数． （ⅰ）若，求实数的值； （ⅱ）求在区间上的最大值． 3．（24-25高一下·上海·阶段练习）设函数（且）是定义域为R的奇函数． (1)求k的值； (2)若，试判断并说明函数的单调性； (3)在（2）的条件下求使不等式恒成立的t的取值范围． 题型八：重点考查指数函数模型的应用 典型例题 例题1．（24-25高一上·湖北·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中、是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）著名数学家，物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时分钟，则再经过分钟后，该物体的温度为（   ） A． B． C． D． 精练高频考点 1．（24-25高三上·河北石家庄·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为：，其中、是正的常数．如果在前消除了的污染物，那么污染物减少大约需要花费（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·天津·阶段练习）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述: 设物体的初始温度是 ， 后的温度是 ，则 ，其中 表示环境温度， 称为半衰期. 现有一杯88°C的咖啡放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃大约需要20 min，那么降温到35℃大约需要 （参考数据: ） （     ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·北京·阶段练习）德国科学家Wilhelm Peukert于19世纪末提出蓄电池的容量（单位：Ah），放电时间（单位：h）与放电电流（单位：A）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数，不同材料的Peukert常数不一样.有两块不同材料的蓄电池，第一块蓄电池的容量为，Peukert常数为；第二块蓄电池的容量为，Peukert常数为.第一块电池测试：当放电电流时，放电时间，当放电电流时，放电时间；第二块电池测试：当放电电流时，放电时间，当放电电流时，放电时间，则（   ） A．，B．， C．， D．， 第二部分：方法篇 方法一：可化为一元二次函数型 典型例题 例题1．（24-25高一上·黑龙江鸡西·期中）函数，的值域为 . 例题2．（24-25高一下·青海西宁·开学考试）若函数的值域为，则a的取值范围是 . 精练高频考点 1．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）函数的值域是 . 2．（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）函数在的最小值是 . 方法二：分类讨论 典型例题 例题1．（24-25高一下·吉林长春·开学考试）已知且，命题甲：已知是上的增函数，命题乙：函数在区间上为增函数，若甲、乙两个命题有且仅有一个为真，求a的取值范围. 例题2．（24-25高一上·广西百色·期末）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断并证明的单调性； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 精练高频考点 1．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数（，且）． (1)若的图象过点和，求在上的值域； (2)若在区间上的最大值比最小值大，求的值． 2．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）已知函数． (1)若对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)若关于x的方程有实根，求实数m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 指数与指数函数 目录 第一部分：题型篇 1 题型一：重点考查指数和指数幂的运算 1 题型二：重点考查指数函数的定义 4 题型三：重点考查指数函数的图象过定点 6 题型四：重点考查指数函数的定义域 8 题型五：重点考查指数函数的值域（含指数型函数） 10 题型六：重点考查指数函数的单调性及其应用 12 题型七：重点考查指数函数的综合性问题 14 题型八：重点考查指数函数模型的应用 19 第二部分：方法篇 22 方法一：可化为一元二次函数型 22 方法二：分类讨论 24 第一部分：题型篇 题型一：重点考查指数和指数幂的运算 典型例题 例题1．（2026高三·全国·专题练习）化简与求值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【知识点】分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】（1）利用根式和分数指数幂的运算性质直接求解即可； （2）将根式化为分数指数幂，然后利用分数指数幂的运算法则求解. 【详解】（1）原式． （2）原式． 例题2．（24-25高一上·广东广州·期中）计算或化简． (1)化简：； (2)计算：； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值、指数幂的运算 【分析】（1）（2）利用指数幂的运算性质可化简所求代数式； （3）利用平方关系可求出、，再利用立方和公式可求得所求代数式的值. 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）对两边平方，得，可得， 再对两边平方，得，所以，， 所以，. 则. 精练高频考点 1．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）计算下列各式的值 (1)； (2) (3) 【答案】(1) (2)2 (3) 【知识点】根式的化简求值、对数的运算、指数幂的化简、求值 【分析】（1）利用指数幂的运算和对数恒等式即可求得结果. （2）利用对数的运算即可求得结果. （3）利用指数幂的运算即可求得结果. 【详解】（1）. （2）. （3）. 2．（24-25高一上·重庆江津·阶段练习）化简求值： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【知识点】运用换底公式化简计算、对数的运算性质的应用、指数幂的运算 【分析】（1）根据指数幂的运算性质可求出结果； （2）根据对数的运算性质及换底公式计算可得. 【详解】（1） . （2） . 3．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）化简与求值： (1)； (2)已知，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】特殊角的三角函数值、运用换底公式化简计算、指数幂的化简、求值 【分析】（1）利用指数幂的运算性质、对数的换底公式以及特殊角的正弦值计算可得结果； （2）利用平方关系求出的值，进而可求得的值，代入计算即可得解. 【详解】（1）原式. （2）由，则有， 所以，，故. 题型二：重点考查指数函数的定义 典型例题 例题1．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）若函数（a＞0，且a≠1）是指数函数，则实数m的值为（    ） A．2 B．3 C．－1 D．1 【答案】AC 【知识点】根据函数是指数函数求参数 【分析】运用指数函数概念可解. 【详解】若函数（a＞0，且a≠1）是指数函数，则满足， 解得或. 故选：AC． 例题2．（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）已知函数是指数函数． (1)求的表达式； (2)判断的奇偶性，并加以证明. 【答案】(1) (2)是偶函数，证明见解析 【知识点】求指数函数解析式、根据函数是指数函数求参数、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）由指数函数定义即可列方程求解； （2）由偶函数定义即可判断并得证. 【详解】（1）函数是指数函数，且， ， 可得或舍去， （2）是偶函数    , 证明如下：，， ， 是偶函数． 精练高频考点 1．（23-24高一上·青海西宁·期中）函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．且 【答案】C 【知识点】根据函数是指数函数求参数 【分析】根据指数函数的定义，即可证明. 【详解】由已知得，即得. 故选：C 2．（23-24高一上·天津河西·期末）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．1或 D． 【答案】D 【知识点】根据函数是指数函数求参数 【分析】由指数函数的定义可得且，，解方程验证可得． 【详解】解：因为函数是指数函数， 且，， 由解得或， ， 故选：D. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）若指数型函数，满足，，则 ． 【答案】 【知识点】根据函数是指数函数求参数、已知函数类型求解析式、函数方程组法求解析式、求解析式中的参数值 【分析】由，，代入函数解析式，结合指数型函数的性质，解出的值即可得. 【详解】指数型函数，有且， 由，解得，所以. 故答案为：. 题型三：重点考查指数函数的图象过定点 典型例题 例题1．（24-25高一下·河北张家口·开学考试）函数，且的图象过定点，则点的坐标是 . 【答案】 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】根据指数函数过定点的性质，令指数幂等于0即可． 【详解】由得此时，故图象恒过定点. 故答案为：. 例题2．（24-25高一上·贵州黔南·期末）已知函数（且），则该函数的图象恒过定点 . 【答案】 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】根据指数函数的特征得到，求出定点坐标. 【详解】因为（且）的图象恒过点， 令得，则， 则的图象恒过点. 故答案为： 精练高频考点 1．（2025·北京海淀·一模）函数的图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】根据题意只需要为定值即可，则，即可求得. 【详解】令，则， 则， 所以函数的图象一定过点. 故选：A. 2．（24-25高一上·山东济宁·期末）函数（且）的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】直接由指数式的指数为0求得与的值，则答案可求． 【详解】由，得，则， 所以函数（且）的图象过定点， 故选：B 3．（2025·山东枣庄·二模）已知函数恒过定点，则点的坐标为 . 【答案】 【知识点】指数型函数图象过定点问题、指数幂的运算、指数式与对数式的互化 【分析】利用指数运算法则、指数式与对数式互化关系化简函数，再利用指数函数过定点问题求解. 【详解】函数，由，得恒成立， 所以点的坐标为. 故答案为： 题型四：重点考查指数函数的定义域 典型例题 例题1．（23-24高三下·北京·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】具体函数的定义域、求指数型复合函数的定义域、由指数函数的单调性解不等式 【分析】令，运算求解即可得函数的定义域. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：C. 例题2．（24-25高一上·新疆伊犁·期末）函数的定义域为 ． 【答案】 【知识点】具体函数的定义域、求指数型复合函数的定义域、由指数函数的单调性解不等式 【分析】利用函数有意义列出不等式组，求解即得定义域. 【详解】函数的意义，则，解得且， 所以原函数的定义域为. 故答案为： 精练高频考点 1．（24-25高一上·河南·阶段练习）函数的定义域为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求指数（型)函数的定义域、由指数函数的单调性解不等式 【分析】根据被开方式大于等于0求解定义域，并结合指数函数单调性解不等式. 【详解】根据题意，函数， 则函数，即， 所以. 故选：C 2．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】抽象函数的定义域、求指数型复合函数的定义域、由指数函数的单调性解不等式 【分析】根据抽象函数定义域法以及指数函数单调性运算求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以对于函数有，解得， 所以函数的定义域是. 故选：D. 3．（24-25高一上·广东东莞·期中）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】具体函数的定义域、求指数型复合函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 【分析】列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可. 【详解】由，解得， 所以函数的定义域是. 故选：C. 题型五：重点考查指数函数的值域（含指数型函数） 典型例题 例题1．（24-25高三下·山东·阶段练习）已知函数的值域为，且，则 . 【答案】 【知识点】根据指数函数的值域或最值求参数（定义域） 【分析】根据条件，利用指数函数的性质，即可求解. 【详解】由指数函数的性质可知， 若，则，为常数，不合题意； 若，则，不合题意； 若，则， 因为函数的值域为，则， 又，则，解得， 所以. 故答案为：. 例题2．（24-25高一上·重庆黔江·期末）一般地，函数（，且）叫做指数函数.已知函数是指数函数，且. (1)求函数的解析式； (2)已知函数，求在上的值域. 【答案】(1) (2) 【知识点】求指数函数解析式、求指数型复合函数的值域、求二次函数的值域或最值、根据函数是指数函数求参数 【分析】（1）根据指数函数定义得到方程，解出值并检验即可； （2），设，再利用二次函数性质即可求出其值域. 【详解】（1）由题意有，解得或， 当时，，此时，舍去； 当时，，满足． （2）由题得，令，因为，则， ，， ，所以的值域为． 精练高频考点 1．（24-25高一下·上海杨浦·开学考试）函数的值域为 【答案】 【知识点】求指数型复合函数的值域 【分析】根据二次函数性质以及指数函数的单调性，即可求得答案. 【详解】由于， 且函数在R上单调递减，故， 故函数的值域为， 故答案为： 2．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）已知函数，，则的值域为 . 【答案】 【知识点】求二次函数的值域或最值、求指数型复合函数的值域 【分析】由题意，利用换元法（令）可将原函数变形为关于的二次函数，结合二次函数的图象与性质即可求解. 【详解】令，则， 原函数可变形为， 其图象为开口向上的抛物线，对称轴为， 所以该二次函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取到最小值，为； 当时，得， 所以在的值域为. 故答案为： 3．（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域． 【答案】且 【知识点】求指数型复合函数的值域 【分析】根据题意结合指数函数值域分析求解即可. 【详解】因为的值域为，则，且， 所以函数的值域为且． 题型六：重点考查指数函数的单调性及其应用 典型例题 例题1．（24-25高一上·广东深圳·期末）函数的单调递增区间为 ． 【答案】（说明写成也给分） 【知识点】判断指数型复合函数的单调性 【分析】应用复合函数单调性结合指数函数单调性求解. 【详解】因为单调递减，单调递减，单调递增， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为：. 例题2．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数，若，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式、判断指数型复合函数的单调性 【分析】易得是奇函数，且在R上单调递增，将原不等式求解. 【详解】因为， 所以是奇函数，且在R上单调递增， 所以不等式化为， 则，即，解得， 所以实数a的取值范围是， 故答案为： 精练高频考点 1．（24-25高一下·浙江·阶段练习）已知函数在定义域上为增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、由指数（型）的单调性求参数 【分析】根据分段函数单调性的判定方法，结合指数函数与二次函数的图象与性质，列出满足条件的不等式组，即可求解. 【详解】由函数在定义域上为增函数， 则满足，解得，即实数的取值范围为. 故选：C. 2．（24-25高一上·山东日照·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由指数（型）的单调性求参数、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】根据复合函数的单调性求解判断. 【详解】令，对称轴为，又是R上增函数， 因为是上的增函数， 所以，即， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 3．（24-25高一上·广东潮州·期末）已知函数，且满足，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、函数奇偶性的定义与判断、判断指数型复合函数的单调性 【分析】根据奇偶函数的定义证明的奇偶性，根据指数型复合函数的单调性判断的单调性，结合函数的奇偶性和单调性解不等式即可求解. 【详解】因为，所以为奇函数， ， 又在R上单调递增，所以在R上单调递增， 所以为R上的增函数. 因为，为奇函数， 所以， 又为R上的增函数，所以，即， 解得或，即实数m的取值范围为. 故答案为： 题型七：重点考查指数函数的综合性问题 典型例题 例题1．（2025·上海黄浦·二模）已知． (1)若，求的值； (2)是否存在实数，使函数是奇函数？请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在实数，使函数是奇函数. 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、由奇偶性求参数、指数函数y=2x和y=(1/2)x的图像和性质 【分析】（1）利用换元法将含有指数的方程转化为一元二次方程，再根据指数函数的性质求解. （2）利用奇函数在处的特殊性质求出的可能值，再将的值代回函数，根据奇函数的定义证明即可. 【详解】（1）由题意，， 令，则有，即，得，解得或（舍去）， 所以，则. （2）假设存在实数，使函数是奇函数， 则时，，解得. 时，函数，定义域为. 设函数. 对任意，，故函数为奇函数. 综上，存在实数，使函数是奇函数. 例题2．（24-25高一下·山西·阶段练习）已知二次函数满足，函数满足，且不等式的解集为． (1)求的解析式； (2)若关于x的不等式对任意的恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【知识点】求二次函数的解析式、函数不等式恒成立问题、求指数函数在区间内的值域、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】（1）求出函数，设出的解析式，利用给定的解集求出参数得解析式. （2）由（1）的结论，等价变形不等式，分离参数，利用指数函数值域及基本不等式求出最小值即可求解. 【详解】（1）由，得，则， 由二次函数满足，设， 不等式，即， 依题意，是方程的二实根，且， 于是，解得， 所以的解析式为. （2）由（1）知，， 不等式， 依题意，不等式对任意的恒成立， 而，，当且仅当，即时取等号， 因此，解得， 所以实数m的取值范围是. 精练高频考点 1．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)在上是递减函数，证明见解析 (3). 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数不等式恒成立问题、判断指数函数的单调性、由奇偶性求参数 【分析】（1）利用奇函数的定义列式求出值. （2）利用函数单调性定义，结合指数函数单调性推理得证. （3）利用奇函数及单调性脱去法则“f”，再分离参数并利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）由是定义在上的奇函数，得， 则， 所以. （2）由（1）知，函数在上是递减函数， 任取，且，， 由，得，则，，即， 所以是定义在上的递减函数. （3）由，得， 由（2）知，是上的递减函数，则，即， 依题意，对任意的恒成立， 而，则，当且仅当，即时取等号， 因此，所以实数的取值范围是. 2．（24-25高一上·江西·期末）已知二次函数满足，且，函数． (1)求函数的解析式； (2)记函数． （ⅰ）若，求实数的值； （ⅱ）求在区间上的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【知识点】已知函数类型求解析式、求二次函数的值域或最值、已知函数值求自变量或参数、判断指数型复合函数的单调性 【分析】（1）设出二次函数的解析式，利用待定系数法求出解析式. （2）（ⅰ）由（1）求出函数，代入求解方程即得；（ⅱ）求出函数，换元并结合指数型复合函数单调性求出新元的范围，再利用二次函数求出最大值. 【详解】（1）设二次函数，，由， 得，整理得， 则，解得，，则，由，得， 所以函数的解析式为. （2）（ⅰ）由，得， 函数，． 则，由，得，令， 则，整理得，而，解得，即，解得， 所以. （ⅱ）由（ⅰ）得 ， 令，函数在R上都单调递增，则函数在R上单调递增， 当时，，， 当且仅当时取等号，所以的最大值为. 3．（24-25高一下·上海·阶段练习）设函数（且）是定义域为R的奇函数． (1)求k的值； (2)若，试判断并说明函数的单调性； (3)在（2）的条件下求使不等式恒成立的t的取值范围． 【答案】(1)； (2)在R上单调递减； (3) 【知识点】判断指数函数的单调性、由奇偶性求参数、根据函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据奇函数的性质可得，由此求得的值； （2）由，可求出的范围，利用函数的奇偶性； （3）将不等式化为，再利用函数的单调性转化为，利用即可求解. 【详解】（1）∵是定义域为R的奇函数， ∴， ∴，此时，满足， 综上，. （2）由（1）知，且， ∵，∴， 又，且，∴， 在R上单调递减，在R上单调递增， 故在R上单调递减， （3）不等式化为， ∵是定义域为R的奇函数， ∴，即， ∴，∴恒成立， ∴，解得． ∴. 题型八：重点考查指数函数模型的应用 典型例题 例题1．（24-25高一上·湖北·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中、是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】指数函数模型的应用（1） 【分析】将代入关系式可得出，将代入关系式可得出，再将代入关系式，结合指数运算可求得结果. 【详解】当时，，当时，，即. 所以当时，， 即后，还剩的污染物，所以前消除的污染物的占比为. 故选：A. 例题2．（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）著名数学家，物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时分钟，则再经过分钟后，该物体的温度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】指数函数模型的应用（1） 【分析】由已知可得出，，，将代入关系可得出，再将代入关系式，结合指数运算可求得结果. 【详解】由题知，，，所以，可得， 再经过分钟后，该物体的温度为， 即该物体的温度为． 故选：C． 精练高频考点 1．（24-25高三上·河北石家庄·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为：，其中、是正的常数．如果在前消除了的污染物，那么污染物减少大约需要花费（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指数函数模型的应用（1）、指数式与对数式的互化 【分析】将代入函数解析式可得，将代入函数解析式可求出的值，根据污染物减少，可得出，解出即可得解. 【详解】由可知，当时，； 当时，，解得，那么. 因为污染物减少，所以，所以， 所以． 所以污染物减少大约需要花费． 故选：B． 2．（24-25高一上·天津·阶段练习）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述: 设物体的初始温度是 ， 后的温度是 ，则 ，其中 表示环境温度， 称为半衰期. 现有一杯88°C的咖啡放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃大约需要20 min，那么降温到35℃大约需要 （参考数据: ） （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指数函数模型的应用（1）、利用对数函数的性质综合解题 【分析】由已知求得半衰期，然后再计算可得． 【详解】由题意，即，，， 设降温到35℃大约需要，则， 即，， ， 所以， 故选：B． 3．（24-25高三上·北京·阶段练习）德国科学家Wilhelm Peukert于19世纪末提出蓄电池的容量（单位：Ah），放电时间（单位：h）与放电电流（单位：A）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数，不同材料的Peukert常数不一样.有两块不同材料的蓄电池，第一块蓄电池的容量为，Peukert常数为；第二块蓄电池的容量为，Peukert常数为.第一块电池测试：当放电电流时，放电时间，当放电电流时，放电时间；第二块电池测试：当放电电流时，放电时间，当放电电流时，放电时间，则（   ） A．，B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】指数函数模型的应用（1） 【分析】根据条件，列出关于，，，的关系式，根据指数函数的单调性，判断它们的大小关系. 【详解】由题意：，所以； ，所以. 因为指数函数在上单调递减，且，所以. 又指数函数在上单调递增，且，所以，所以，即. 故选：D 第二部分：方法篇 方法一：可化为一元二次函数型 典型例题 例题1．（24-25高一上·黑龙江鸡西·期中）函数，的值域为 . 【答案】 【知识点】求指数型复合函数的值域、求二次函数的值域或最值 【分析】换元后根据二次函数的性质求值域即可. 【详解】令， 则， 当时，，当时，， 所以函数，的值域为. 故答案为： 例题2．（24-25高一下·青海西宁·开学考试）若函数的值域为，则a的取值范围是 . 【答案】 【知识点】求指数型复合函数的值域、根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】对分类讨论可知，只有当且函数的值域包含时满足题意，由此即可列出不等式组求解. 【详解】若，则，不满足题意； 若，则， 当，即时，的值域为，满足题意. 故答案为：. 精练高频考点 1．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）函数的值域是 . 【答案】 【知识点】求指数型复合函数的值域 【分析】函数可化为，根据题意，结合二次函数的单调性，求出函数y的最小值与最大值，即可得出函数的值域. 【详解】由题意可得：， 因为时，则， 根据二次函数的单调性知， 时，y取得最小值为；时，y取得最大值为； 所以函数y的值域是 故答案为： 2．（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）函数在的最小值是 . 【答案】 【知识点】求指数型复合函数的值域 【分析】令，利用换元法结合二次函数的性质可得函数的最小值. 【详解】令，则， 函数变形为， ∴当时，函数最小值为. 故答案为：. 方法二：分类讨论 典型例题 例题1．（24-25高一下·吉林长春·开学考试）已知且，命题甲：已知是上的增函数，命题乙：函数在区间上为增函数，若甲、乙两个命题有且仅有一个为真，求a的取值范围. 【答案】或 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、由对数（型）的单调性求参数、由指数（型）的单调性求参数 【分析】根据分段函数为增函数及复合函数的单调性分别确定的取值范围，再根据有且仅有一个为真，分情况讨论即可. 【详解】若甲说的正确，则由函数为增函数可得，解得， 若乙说的正确，则需要，解得， 所以当甲正确乙错误时，则，解得， 当甲错误乙正确时，则，解得， 综上，的取值范围是或. 例题2．（24-25高一上·广西百色·期末）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断并证明的单调性； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)函数在上单调递减，证明见详解. (3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、指数幂的运算、由奇偶性求参数 【分析】（1）由奇函数的性质建立等式，求得实数的值. （2）由（1）写出函数解析式，由解析式得到函数单调性，然后由定义法证明函数的单调性； （3）由函数奇偶性整理不等式，（2）中的单调性得到自变量的不等式，然后讨论的系数等于零和不等于零得到相应不等式，从而得到的取值范围. 【详解】（1）因为的定义域为， 所以，解得， 此时， 则，满足题意， 所以. （2）由（1）可得，函数在上单调递减，证明如下： 在上任取且， 则， 因为且，所以，所以， 所以函数在上单调递减. （3）因为， 所以， 由（2）可知，即在上恒成立， 则或， 所以或， 即. 精练高频考点 1．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数（，且）． (1)若的图象过点和，求在上的值域； (2)若在区间上的最大值比最小值大，求的值． 【答案】(1) (2)或 【知识点】求指数函数解析式、根据指数函数的最值求参数、求指数函数在区间内的值域 【分析】（1）将点和分别代入解析式，即可求得和的值，再根据指数函数的性质，即可求解； （2）分和讨论，结合指数型函数的单调性即可求解. 【详解】（1） 由题可知，， 解得，，所以． 因为，所以，所以在上的值域为． （2）当时，在区间上单调递减， 所以，， 因此，解得或（舍去）． 当时，在区间上单调递增， 所以，， 因此，解得或（舍去）． 所以或． 2．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）已知函数． (1)若对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)若关于x的方程有实根，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【知识点】二次函数的图象分析与判断、函数不等式恒成立问题、指数函数最值与不等式的综合问题、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）参变分离得到，由基本不等式得到，从而得到不等式，求出； （2）换元，得到有正根，分有两个正根，有一个正根一个负根和有一个正根一个零根三种情况，结合根的判别式和韦达定理得到不等式，求出答案. 【详解】（1）， 又，当且仅当，即时，等号成立， 则，解得； （2）由题，有实根， 令，则有正根， ①有两个正根，； ②有一个正根一个负根，； ③有一个正根一个零根，； 综上，. 学科网（北京）股份有限公司 $$