专题2.2 函数的单调性+奇偶性+对称性+周期性联袂 (高考高频考点）(8大题型+1大方法）-【练透核心考点】备战2026年高考数学一轮重难点题型狂飙特训（新教材新高考）

第02讲 函数的单调性+奇偶性+对称性+周期性联袂 目录 第一部分：题型篇 1 题型一：重点考查复合函数的单调性 1 题型二：重点考查根据函数的单调性求参数 2 题型三：重点考查根据函数的奇偶性求解析式 3 题型四：重点考查根据函数的奇偶性求参数 3 题型五：重点考查函数奇偶性与周期性综合应用 4 题型六：重点考查函数奇偶性与单调性综合应用 5 题型七：重点考查函数对称性与奇偶性综合应用 6 题型八：重点考查函数对称性+奇偶性+周期性+单调性的综合应用 6 第二部分：方法篇 8 方法一：构造奇偶函数求函数值 8 第一部分：题型篇 题型一：重点考查复合函数的单调性 典型例题 例题1．（2025·江西·一模）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 例题2．（2025·广东茂名·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 精练高频考点 1．（2025高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为 ． 2．（24-25高三下·四川雅安·开学考试）函数的单调递增区间是 ． 3．（24-25高一上·重庆长寿·期末）函数的单调递增区间为 . 题型二：重点考查根据函数的单调性求参数 典型例题 例题1．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知函数是上的严格减函数，且在上的函数值不恒为负，则实数的取值范围为 ． 精练高频考点 1．（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）已知命题：函数在上单调递减，若命题是真命题，则的取值范围是 . 2．（2025高三·全国·专题练习）若函数在上不单调，则实数a的取值范围为 . 3．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知函数在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是 ． 题型三：重点考查根据函数的奇偶性求解析式 典型例题 例题1．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为（    ） A． B． C． D． 例题2．（2025·云南昆明·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且当且仅当时，，则当时，的解析式为 . 精练高频考点 1．（24-25高一上·北京·期中）偶函数在上满足，则当时， ． 2．（24-25高一下·北京·开学考试）已知函数为偶函数，且当时，，则时， . 3．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）设函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则函数在时的解析式为 ． 题型四：重点考查根据函数的奇偶性求参数 典型例题 例题1．（24-25高三下·浙江宁波·阶段练习）已知函数为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高二上·云南玉溪·期中）若函数为偶函数，则实数 . 精练高频考点 1．（2025·四川自贡·二模）若是偶函数，则（   ） A．0 B． C． D． 2．（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）已知函数是偶函数，则（   ） A． B． C．0 D．1 3．（2025·新疆·三模）函数（，且）是奇函数，则（   ） A． B．-1 C． D．1 题型五：重点考查函数奇偶性与周期性综合应用 典型例题 例题1．（多选）（2026高三·全国·专题练习）是定义在上的偶函数，对，均有，当时，，则下列结论正确的是（    ） A．函数的一个周期为4 B． C．当时， D．函数在内有1011个零点 例题2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数满足对任意，都有，且函数为奇函数，，则 ． 精练高频考点 1．（2025·重庆·二模）已知是定义在的奇函数，且．若，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 2．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知定义域为的偶函数满足，则（    ） A．3 B．2 C．6 D．10 3．（多选）（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数，满足，，且为奇函数，，则（    ） A． B．为奇函数 C．为偶函数 D． 题型六：重点考查函数奇偶性与单调性综合应用 典型例题 例题1．（2025·河南·三模）已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）已知函数．若对于，均有成立，则实数的取值范围为 ． 精练高频考点 1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（上海市松江区2025届高三下学期二模数学试卷）下列函数中，在区间上为严格增函数的奇函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）设函数是定义在R上的偶函数，当时，，则不等式的解集为 ． 题型七：重点考查函数对称性与奇偶性综合应用 典型例题 例题1．（2025·辽宁沈阳·二模）已知函数是定义在上的偶函数，函数的图象关于点中心对称，若，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（多选）（2025·河南驻马店·模拟预测）已知函数是R上奇函数，是R上偶函数，且，则（   ） A．的图象关于点对称 B．是周期函数 C． D． 精练高频考点 1．（2025·辽宁大连·一模）已知函数是定义在上的偶函数，函数的图象关于点中心对称，若，则（   ） A． B． C．0 D．1 2．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，函数的图象关于点中心对称，若，则（    ） A． B． C．0 D．1 3．（多选）（2025·重庆·模拟预测）已知函数、 定义域为，其中为偶函数，，且 ，，则（     ） A． B．为奇函数 C． D． 题型八：重点考查函数对称性+奇偶性+周期性+单调性的综合应用 典型例题 例题1．（多选）（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）已知函数的定义域均为，关于直线对称，且，若，则（    ） A． B．的图象关于点中心对称 C．是奇函数 D． 例题2．（多选）（24-25高一上·福建泉州·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A．为偶函数． B．的图象关于直线对称． C．当且时，在内恰有2025个零点． D．，，则的最大值为． 精练高频考点 1．（多选）（2025·河南·二模）已知函数定义在上，且为偶函数，为奇函数，当时，，则（   ） A． B． C．的解集为 D． 2．（多选）（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数为定义在上的连续函数，为的导函数，，且在上单调递减，则（    ） A．在上单调递增 B． C．若，则 D． 3．（多选）（2025·全国·模拟预测）已知是定义域为的奇函数，且满足，，则（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C． D．若，则 第二部分：方法篇 方法一：构造奇偶函数求函数值 典型例题 例题1．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，若，则（    ） A．0 B． C．1 D． 例题2．（24-25高一下·四川南充·阶段练习）已知函数，且，则 ． 精练高频考点 1．（2026高三·全国·专题练习）已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为 ． 2．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知，其中为常数，若，则 . 3．（2025高三下·全国·专题练习）已知，.求 . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 函数的单调性+奇偶性+对称性+周期性联袂 目录 第一部分：题型篇 1 题型一：重点考查复合函数的单调性 1 题型二：重点考查根据函数的单调性求参数 4 题型三：重点考查根据函数的奇偶性求解析式 6 题型四：重点考查根据函数的奇偶性求参数 7 题型五：重点考查函数奇偶性与周期性综合应用 10 题型六：重点考查函数奇偶性与单调性综合应用 14 题型七：重点考查函数对称性与奇偶性综合应用 17 题型八：重点考查函数对称性+奇偶性+周期性+单调性的综合应用 21 第二部分：方法篇 27 方法一：构造奇偶函数求函数值 27 第一部分：题型篇 题型一：重点考查复合函数的单调性 典型例题 例题1．（2025·江西·一模）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】具体函数的定义域、复合函数的单调性 【分析】先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】由且，得，即或， 所以函数的定义域为， 因为在上单调递减，在上单调递增， 又函数为增函数， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又函数为增函数， 所以函数的单调递增区间为. 故选：B. 例题2．（2025·广东茂名·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数的单调性求参数值、复合函数的单调性、具体函数的定义域 【分析】求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可. 【详解】由，可得或， 即函数的定义域为， 又因为在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递增， . 故选：D. 精练高频考点 1．（2025高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为 ． 【答案】， 【知识点】求函数的单调区间、复合函数的单调性 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性计算可得. 【详解】令，解得且， 所以的定义域为， 又是一个复合函数，它由与复合而成． 由下表可知，的单调递增区间为，． 单调递减 单调递减 单调递增 单调递减 单调递减 单调递增 单调递增 单调递减 单调递减 单调递增 单调递减 单调递减 故答案为：， 2．（24-25高三下·四川雅安·开学考试）函数的单调递增区间是 ． 【答案】(或) 【知识点】研究对数函数的单调性、对数型复合函数的单调性、复合函数的单调性 【分析】根据对数函数，二次函数的单调性结合复合函数的单调性同增异减原则即得. 【详解】函数的定义域为， 令在定义域上为增函数，则在上单调递增， 由复合函数单调性的同增异减原则可得，当1，即时，函数单调递增， 即函数单调递增区间为． 故答案为：(或) 3．（24-25高一上·重庆长寿·期末）函数的单调递增区间为 . 【答案】 【知识点】复合函数的单调性 【详解】由解得或， 则函数的定义域为， 令，其图像的对称轴方程为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则由复合函数的单调性可得，函数的单调递增区间为. 故答案为： 题型二：重点考查根据函数的单调性求参数 典型例题 例题1．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】由变形得，构造函数,进而根据二次函数的单调性求参数. 【详解】由，得，则， 设函数，则对都有成立， 所以函数在区间上单调递增， 所以，解得，则. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将变形为，从而构造函数. 例题2．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知函数是上的严格减函数，且在上的函数值不恒为负，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】将变形得到，根据条件，结合反比例函数的性质，即可求解. 【详解】， 所以的图象可由向左平移个单位，再向上或向下平移个单位得到， 又是上的严格减函数，且在上的函数值不恒为负， 所以，解得， 故答案为：. 精练高频考点 1．（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）已知命题：函数在上单调递减，若命题是真命题，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据函数的单调性求参数值、已知命题的真假求参数 【分析】根据二次函数和一次函数的单调性分类讨论求解即可. 【详解】当时，在上单调递减，符合题意； 当时，函数在上单调递减， 则，解得， 综上，的取值范围是. 故答案为： 2．（2025高三·全国·专题练习）若函数在上不单调，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据函数的单调性求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】根据给定条件，利用二次函数的性质求解即可. 【详解】函数图象的对称轴为直线，由在上不单调，得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 3．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知函数在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】利用二次函数性质确定单调减区间即可. 【详解】根据二次函数性质，在上递增，在上递减. 所以命题等价于. 故答案为：. 题型三：重点考查根据函数的奇偶性求解析式 典型例题 例题1．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用、判断两个函数是否相等 【分析】利用函数奇偶性求对称区域解析式，再利用绝对值的意义，把分段函数又写成含绝对值的函数即可. 【详解】当时，，即有， 再由是定义在上的奇函数，所以， 即有， 所以当时，， 当时，， 综上可得：， 故选：C. 例题2．（2025·云南昆明·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且当且仅当时，，则当时，的解析式为 . 【答案】. 【知识点】由奇偶性求函数解析式、求对数函数的解析式 【分析】利用奇函数的定义，将求时的解析式转化为时的情况，直接代入已知解析式即可. 【详解】解析：因为是奇函数，当时，， 所以当时，. 故答案为：. 精练高频考点 1．（24-25高一上·北京·期中）偶函数在上满足，则当时， ． 【答案】 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】利用偶函数的定义求出函数解析式. 【详解】偶函数在上满足， 当时，，所以. 故答案为： 2．（24-25高一下·北京·开学考试）已知函数为偶函数，且当时，，则时， . 【答案】 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】根据偶函数的性质，当自变量互为相反数时，函数值相等. 【详解】当时，. 因为当时，，所以此时. 又因为是偶函数，即，所以当时，. 故答案为：. 3．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）设函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则函数在时的解析式为 ． 【答案】 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】根据奇函数的性质即可求解. 【详解】设，则，故， 由于是定义在R上的奇函数，故， 故答案为： 题型四：重点考查根据函数的奇偶性求参数 典型例题 例题1．（24-25高三下·浙江宁波·阶段练习）已知函数为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对数的运算、由奇偶性求参数、函数奇偶性的定义与判断 【分析】应用偶函数的定义列式结合对数运算计算求参. 【详解】因为函数为偶函数， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以，所以且， 则. 故选：A. 例题2．（24-25高二上·云南玉溪·期中）若函数为偶函数，则实数 . 【答案】 【知识点】对数的运算性质的应用、由奇偶性求参数 【分析】根据偶函数的定义，对于定义域内的任意，都有，通过这个等式来求解的值. 【详解】已知为偶函数，则，即. 对进行化简： 将其代入可得： 得到：,可得： 因为上式对于定义域内的任意都成立，所以，解得. 故答案为：. 精练高频考点 1．（2025·四川自贡·二模）若是偶函数，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【知识点】对数的运算、由奇偶性求参数、指数幂的运算 【分析】根据偶函数定义，列式运算得解. 【详解】由题，可得，即， ， ，即 因不恒为0，故. 故选：B. 2．（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）已知函数是偶函数，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【知识点】对数的运算性质的应用、由奇偶性求参数 【分析】由偶函数的定义构造等式求解即可. 【详解】由题意可得， 即， 整理得，恒成立， 即， 易得：， 故选：D. 3．（2025·新疆·三模）函数（，且）是奇函数，则（   ） A． B．-1 C． D．1 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、由奇偶性求参数、指数幂的运算、对数的运算 【分析】根据奇函数定义，列式，化简求解即可. 【详解】易知函数的定义域为， 又函数是奇函数， 所以对于任意的，都有 ， 整理得， 所以， 所以， 所以， 故选：A. 题型五：重点考查函数奇偶性与周期性综合应用 典型例题 例题1．（多选）（2026高三·全国·专题练习）是定义在上的偶函数，对，均有，当时，，则下列结论正确的是（    ） A．函数的一个周期为4 B． C．当时， D．函数在内有1011个零点 【答案】ABC 【知识点】函数周期性的应用、求函数零点或方程根的个数、由函数的周期性求函数值 【分析】根据可求的周期，从而判断A；根据周期性和在时的解析式可求，从而判断B；当时，，再根据在时的解析式和即可求得在时的解析式，从而判断C；求出，再根据可求，从而可判断D. 【详解】因为是定义在上的偶函数，对，均有， 所以，所以函数的一个周期为4，故A正确；，故B正确； 当时，， 则，故C正确； 易知，于是函数在内至少有1012个零点，故D错误． 故选：ABC． 例题2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数满足对任意，都有，且函数为奇函数，，则 ． 【答案】 【知识点】抽象函数的奇偶性、函数周期性的应用 【分析】由得，函数为奇函数，图象关于原点对称的图象关于点对称，由周期性、奇偶性即可求. 【详解】任意，都有， ， ，即， 是以2为周期的周期函数， ， ， ， 又函数为奇函数， 的图象关于原点对称， 的图象是由的图象向左平移1个单位长度得到的， 的图象关于点对称， ， ， ， ， ． 故答案为：-1. 精练高频考点 1．（2025·重庆·二模）已知是定义在的奇函数，且．若，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、判断或证明函数的对称性、由函数的周期性求函数值 【分析】分析可知函数的一个周期为4，结合奇函数可得，，进而可得，，再根据周期性即可得结果. 【详解】因为，可得， 可知函数的一个周期为4， 又因为是定义在的奇函数，则， 则，即， 令，可得； 令，可得，即， 则， 所以. 故选：C. 2．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知定义域为的偶函数满足，则（    ） A．3 B．2 C．6 D．10 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用 【分析】先利用偶函数性质和已知等式得到函数的周期，再根据周期和已知等式计算. 【详解】因为是定义域为的偶函数，所以. 已知，将换为，可得，又因为，所以. 由和可得. 令，则，那么，又因为，所以， 即，所以函数的周期是，所以. 在中，令，可得，即，解得，所以. 故选：A. 3．（多选）（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数，满足，，且为奇函数，，则（    ） A． B．为奇函数 C．为偶函数 D． 【答案】AC 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数奇偶性的定义与判断、函数对称性的应用 【分析】结合题意，利用赋值法和函数奇偶性质可得A正确，B错误；由为偶函数，再结合函数的对称性和周期性可得C正确；由函数的周期性可得D错误. 【详解】对于AB，因为为奇函数，所以的图象关于点对称，则． 在中，令，得． 由，得． 令，得． 因为，， 所以，所以为偶函数，，故A正确，B错误； 对于C，由为偶函数，知， 即， 所以的图象关于直线对称，故是周期为4的周期函数， 所以． 又的图象关于直线对称，所以是偶函数，所以也是偶函数，故C正确； 对于D，因为，，，， 所以． 又，所以，故D错误． 故选：AC． 题型六：重点考查函数奇偶性与单调性综合应用 典型例题 例题1．（2025·河南·三模）已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、函数奇偶性的应用 【分析】根据奇函数的性质得在上单调递减，再根据奇函数性质将化为，结合定义域利用单调性得，解不等式组即可解答. 【详解】因为是奇函数，则可化为． 又在上单调递减且是定义在上的奇函数，所以在上单调递减． 则，解得或， 即实数a的取值范围是． 故选：C 例题2．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）已知函数．若对于，均有成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】由函数的奇偶性、单调性得到，再通过换元，参变分离即可求解. 【详解】解：易知，当时，，易知此时单调递增； 所以为奇函数且在上单增， 对任意成立 对任意成立 对任意成立 对任意成立 对任意成立 对任意成立 令， 对任意成立， 对任意成立，又时，显然恒成立， 对成立且对成立 由对勾函数在，单调递减， 所以的取值范围为 ， 故答案为： 精练高频考点 1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、由指数函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】构造函数，由是奇函数且是增函数，将原不等式通过转化为不等式计算求解． 【详解】令，则， 可得，，所以，． 因为 ，所以为奇函数． 当时，为增函数，且为连续函数， 则在上单调递增，所以原不等式等价于， 即，即，解得． 故选：D． 2．（上海市松江区2025届高三下学期二模数学试卷）下列函数中，在区间上为严格增函数的奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据函数的奇偶性和单调性逐项验证. 【详解】对于A，是偶函数，不符合奇函数要求，故A错误； 对于B，既不是奇函数也不是偶函数，故B错误； 对于C，是非奇非偶函数，故C错误； 对于D，，其定义域为关于原点对称，且，是奇函数， 同时在上是严格增函数，故D正确. 故选：D. 3．（2026高三·全国·专题练习）设函数是定义在R上的偶函数，当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】当时解不等式求出，再根据函数为偶函数可得答案. 【详解】当时，由，得， 解得．又因为函数为偶函数，所以函数的图象关于轴对称， 所以当时，不等式的解集为， 所以不等式的解集为． 故答案为：． 题型七：重点考查函数对称性与奇偶性综合应用 典型例题 例题1．（2025·辽宁沈阳·二模）已知函数是定义在上的偶函数，函数的图象关于点中心对称，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用 【分析】由条件结合图象变换可得函数为奇函数，结合奇函数定义可得，取可得，再利用函数为偶函数，结合偶函数性质求结论. 【详解】由函数的图像关于点中心对称可知， 所以函数为奇函数， 所以，即， 可得，由已知函数的定义域为， 令可得，， 由，可得， 因为为上的偶函数，所以， 可得. 故选：B. 例题2．（多选）（2025·河南驻马店·模拟预测）已知函数是R上奇函数，是R上偶函数，且，则（   ） A．的图象关于点对称 B．是周期函数 C． D． 【答案】ABD 【知识点】抽象函数的奇偶性、函数周期性的应用、判断证明抽象函数的周期性、判断或证明函数的对称性 【分析】对于A，根据函数和的奇偶性及，结合赋值法得，得图象的对称点，即可判断A；对于B，由A选项知，结合已知条件利用赋值法，得到函数是周期为4的周期函数，即可判断B；由题意可求得，由函数是周期为4的周期函数得，即可判断选项C；由A选项知，由C选项知，进而计算求解即可判断选项D. 【详解】对于A，因为函数是R上奇函数，所以， 因为函数是R上偶函数，所以， 对于，取为得：，即， 联立，可得， 所以函数关于点对称，故A正确； 对于B，对于，取为，得， 因为，所以， 由A选项知，取为，得， 联立，得， 取为，得， 取为，得， 所以，所以函数是周期为4的周期函数，故B正确； 对于C，由函数是R上奇函数可知，， 因为是R上偶函数，所以， 所以， 又因为是周期为4的周期函数，所以，故C错误； 对于D，由A选项知，所以，， ，， 由C选项知, 所以，故D正确. 故选：ABD. 精练高频考点 1．（2025·辽宁大连·一模）已知函数是定义在上的偶函数，函数的图象关于点中心对称，若，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用 【分析】由函数的图象关于点中心对称可知具有对称轴，再由得，再根据为上的偶函数且具有对称轴可得答案. 【详解】由函数的图象关于点中心对称可知， ，即， 可得，因此函数具有对称轴， 由，可得， 由为上的偶函数且具有对称轴，可得． 故选：B． 2．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，函数的图象关于点中心对称，若，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用、求函数值 【分析】根据对称性可得，即可根据的对称性以及奇偶性求解. 【详解】由函数的图象关于点中心对称可知， ，即， 可得，因此函数有对称轴， 由，可得， 由为上的偶函数且具有对称轴，可得. 故选:B. 3．（多选）（2025·重庆·模拟预测）已知函数、 定义域为，其中为偶函数，，且 ，，则（     ） A． B．为奇函数 C． D． 【答案】AC 【知识点】函数周期性的应用、函数奇偶性的定义与判断、判断或证明函数的对称性 【分析】计算出的值，推导出，可得出的值，可得知函数是以为周期的周期函数，可判断A选项；利用反证法可判断B选项；由已知条件可推导C选项；由可得出，结合函数周期性可判断D选项. 【详解】因为为偶函数，则，即函数的图象关于直线对称， 因为，则函数的图象关于点对称， 因为，则，所以，， 则，即， 所以，， 所以，函数的图象关于点对称，C对； 因为函数的图象关于直线对称，则， 由可得，则， 故，所以，函数是以为周期的周期函数， 因为，则， 且，所以，，A对； 因为，故函数是周期为的周期函数， 若函数为奇函数，且，则， 从而有，则， 又因为的图象关于直线对称，则，这与矛盾， 故函数不是奇函数，B错； 因为，且，则， 则，且， 所以，，D错. 故选：AC. 题型八：重点考查函数对称性+奇偶性+周期性+单调性的综合应用 典型例题 例题1．（多选）（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）已知函数的定义域均为，关于直线对称，且，若，则（    ） A． B．的图象关于点中心对称 C．是奇函数 D． 【答案】AB 【知识点】函数对称性的应用、函数周期性的应用、函数奇偶性的应用、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据题意，，得，判断C； 令，，求得判断A；根据，结合，判断B；，是以6为周期的周期函数，结合，判断D. 【详解】因为于直线对称， 所以，所以.故C不正确； 当时，，又，所以，故A正确； ，又，所以，即， 所以的图象关于点中心对称，故B正确； ，所以是以6为周期的周期函数， 由以上分析可知， ，D不正确. 故选：AB. 例题2．（多选）（24-25高一上·福建泉州·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A．为偶函数． B．的图象关于直线对称． C．当且时，在内恰有2025个零点． D．，，则的最大值为． 【答案】BCD 【知识点】正弦函数图象的应用、函数奇偶性的定义与判断、求函数零点或方程根的个数、判断或证明函数的对称性 【分析】A选项，当时，，A错误；B选项，，B正确；C选项，令得，又，解得或，的解个数为1013个，的解个数为1012个，故C正确；D选项，令，则在上恒成立，分，和三种情况，得到的最大值为，D正确. 【详解】A选项，，定义域为R， 若，则，满足， 此时为偶函数， 若，则， 此时不为偶函数，A错误； B选项，， 故的图象关于直线对称，B正确； C选项，当且时，， 令得，又，解得或， ，解得，又， 故，有1013个解， ，在上，有两个解，设为， 又，故或，， 故此时有个解， 综上，或，共有个解， 在内恰有2025个零点，C正确； D选项，，， 令，则在上恒成立， 令，对称轴为， 若，即时，在上单调递增， 故只需，，，， 故，当时，等号成立， 若，即时，在上最小值为， 故只需，即， 故， 当且仅当时，等号成立， 若，即时，在上单调递减， 故只需，，，故， ，当且仅当时，等号成立， 综上，的最大值为，D正确. 故选：BCD 【点睛】知识点点睛：函数的对称性： 若，则函数关于中心对称， 若，则函数关于对称 精练高频考点 1．（多选）（2025·河南·二模）已知函数定义在上，且为偶函数，为奇函数，当时，，则（   ） A． B． C．的解集为 D． 【答案】BCD 【知识点】函数周期性的应用、函数奇偶性的应用、由函数的周期性求函数值、函数对称性的应用 【分析】根据条件得到的图象关于直线对称，关于点对称，对于A，利用，结合条件，即可求解；对于B，利用的周期为，即可求解；对于C，数形结合，即可求解；对于D，利用及的周期，即可求解. 【详解】因为为偶函数，所以，则的图象关于直线对称， 又因为为奇函数，所以， 等价于，所以的图象关于点对称， 由，得到，又， 所以，则，所以的周期为， 又当时，，则时，，时，， 时，，的部分图象如图所示. 对于选项A，因为，故选项A错误， 对于选项B，由，得到，又， 所以，则， 所以的周期为，，又，所以， 则，故选项B正确， 对于选项C，由图象知，当时，由得到， 又的周期为，则时，，，故选项C正确， 对于选项D，因为，所以，故选项D正确， 故选：BCD. 2．（多选）（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数为定义在上的连续函数，为的导函数，，且在上单调递减，则（    ） A．在上单调递增 B． C．若，则 D． 【答案】ACD 【知识点】函数对称性的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】由，即，可知函数图象关于直线对称，在上单调递减，根据对称性可得在上单调递增.对于A选项：根据单调性分析，该选项正确.对于B选项：对求导后令，判断该选项错误.对于C选项：分、、三种情况讨论，得出，该选项正确.对于D选项：根据单调性判断导数正负，得出，该选项正确. 【详解】因为，所以的图象关于直线对称， 因为在上单调递减，所以在上单调递增，故A正确； 对两边求导得，令，得，故B错误； 对于，当时，因为在上单调递减，所以，不符合题意； 当2时，因为在上单调递增，所以，且； 当时，因为，所以，所以，所以，由，可得， 因为，所以，又在上单调递增，所以，所以，故C正确； 因为在上单调递减，在上单调递增，所以当时，， 当时，，且，所以，，所以对，故D正确. 故选：ACD. 3．（多选）（2025·全国·模拟预测）已知是定义域为的奇函数，且满足，，则（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C． D．若，则 【答案】ACD 【知识点】由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用、函数对称性的应用、函数周期性的应用 【分析】法一：对于A，由赋值法即可求解，对于B，由对称性的概念即可判断，对于C，将替换为，即可判断，对于D，确定函数周期性，即可判断；法二：确定函数的周期性，通过具体函数，，求得，逐项判断即可. 【详解】对于A，因为，令，得，故A正确；对于B，由，得的图象关于直线对称，故B错误； 对于C，把中的替换为（关键：对任意实数成立，则对任意也成立），得，故C正确； 对于D，因为是上的奇函数，所以，，所以， 所以，所以是以4为周期的函数， 所以，，， 所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 法二：由，得函数的图象关于直线对称， 由为上的奇函数，得，，，，所以是以4为周期的函数， 不妨设，，由对称性得，又， 所以，且，解得，，所以，； 当时，，由得. 对于A，，故A正确； 对于B，，从而的图象不关于点对称，故B错误； 对于C，等价于的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，， 则结合解析式得， 从而，故D正确. 故选：ACD. 第二部分：方法篇 方法一：构造奇偶函数求函数值 典型例题 例题1．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，若，则（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】求函数值、求含cosx的函数的奇偶性、函数奇偶性的应用 【分析】根据函数奇偶性的性质，结合正弦余弦函数奇偶性进行求解即可. 【详解】的定义域为． 令， 则，所以为奇函数， 又，所以， 则，所以． 故选：D 例题2．（24-25高一下·四川南充·阶段练习）已知函数，且，则 ． 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用 【分析】设，由得，所以. 【详解】设，则， 由，得，所以. 故答案为：. 精练高频考点 1．（2026高三·全国·专题练习）已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为 ． 【答案】2 【知识点】函数奇偶性的应用 【分析】由，令得函数为奇函数，进而得，即可求解. 【详解】由  ， 令，则， 所以函数在上为奇函数，则， 即，所以． 故答案为：2. 2．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知，其中为常数，若，则 . 【答案】2 【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用 【分析】利用函数的解析式特征，推出，再代值计算即得. 【详解】， . 故答案为：2. 3．（2025高三下·全国·专题练习）已知，.求 . 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用、函数奇偶性的定义与判断、求正弦（型）函数的奇偶性 【分析】构造函数，根据函数的奇偶性求出即可得解. 【详解】令，则的定义域为， 因为， 所以为奇函数， 从而，即， 因为，所以. 答案：. 学科网（北京）股份有限公司 $$