专题2.1 函数的概念及其表示(高考高频考点）(8大题型+4大方法+1大易错）-【练透核心考点】备战2026年高考数学一轮重难点题型狂飙特训（新教材新高考）

第01讲 函数的概念及其表示 目录 第一部分：题型篇 2 题型一：重点考查函数的定义域（具体函数，抽象函数） 2 题型二：重点考查函数定义域中的参数问题 2 题型三：重点考查求函数的解析式 3 题型四：重点考查分段函数求值及参数问题 4 题型五：重点考查分段函数单调性问题 5 题型六：重点考查分段函数不等式问题 6 题型七：重点考查分段函数值域问题 7 题型八：重点考查分段函数零点问题 8 第二部分：方法篇 8 函数值域问题方法一：判别式法 8 函数值域问题方法二：分离常数法 9 函数值域问题方法三：基本不等式法 10 函数值域问题方法四：分类讨论法 11 第三部分：易错篇 13 易错一：换元必换范围 13 第一部分：题型篇 题型一：重点考查函数的定义域（具体函数，抽象函数） 典型例题 例题1．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一上·贵州毕节·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 精练高频考点 1．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·北京·阶段练习）函数的定义域为 ． 3．（24-25高一下·安徽滁州·阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是 . 题型二：重点考查函数定义域中的参数问题 典型例题 例题1．（24-25高一下·安徽亳州·开学考试）若函数的定义域是R，实数a的取值范围是 ． 例题2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是，则实数的取值范围是 ． 精练高频考点 1．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 2．（24-25高一上·河南许昌·阶段练习）函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 3．（24-25高一上·广东汕头·期中）若函数的定义域为，则的取值范围为 . 题型三：重点考查求函数的解析式 典型例题 例题1．（2026高三·全国·专题练习）若函数满足，则 ． 例题2．（24-25高三上·安徽安庆·阶段练习）（1）已知，求的表达式； （2）已知奇函数的定义域为，当时，．求函数的解析式． 精练高频考点 1．（2026高三·全国·专题练习）若函数，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数满足，求函数的解析式． 题型四：重点考查分段函数求值及参数问题 典型例题 例题1．（2025·北京丰台·一模）已知函数，当时， ；若在上单调递增，则实数a的取值范围是 . 例题2．（24-25高一上·北京·期中）已知函数.若，则 ；若的值域是，则实数的取值范围是 . 精练高频考点 1．（24-25高一上·海南海口·阶段练习）已知函数，则的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 2．（2025·广东·一模）若函数是奇函数，则 ． 3．（24-25高一上·四川遂宁·阶段练习）已知函数 (1)求的值； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围． 题型五：重点考查分段函数单调性问题 典型例题 例题1．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数，若对上的任意实数，（），恒有成立，那么实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）若函数是上的单调函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 精练高频考点 1．（2025·黑龙江·二模）已知函数（其中且），若对，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·云南红河·开学考试）已知函数是上的函数，且满足对于任意的，都有成立，则可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型六：重点考查分段函数不等式问题 典型例题 例题1．（24-25高一上·山东威海·期末）已知为上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 ． 例题2．（24-25高一上·内蒙古包头·期末）已知函数，若，则的取值范围是 . 精练高频考点 1．（2025·山东济南·一模）已知函数则的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·湖南长沙·期中）已知函数，则满足的的取值范围是 . 题型七：重点考查分段函数值域问题 典型例题 例题1．（2025·山东潍坊·一模）已知函数则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 例题2．（2025高一·江苏·专题练习）已知函数. (1)用分段函数的形式表示函数； (2)画出函数的图象，并写出函数的值域. 精练高频考点 1．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）已知，则等于（    ） A． B．4 C． D．3 2．（24-25高一上·湖北宜昌·阶段练习）已知函数的值域为R，则m的取值范围是 ． 3．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知函数的解析式为. (1)求，的值； (2)画出这个函数的图象，并写出的最大值. 题型八：重点考查分段函数零点问题 典型例题 例题1．（2025·全国·模拟预测）已知函数有三个零点，则实数的取值范围是 . 例题2．（2025·河南·一模）已知函数，若函数至少有2个零点，则实数的取值范围为 . 精练高频考点 1．（24-25高一上·湖南郴州·期末）已知函数，方程恰有三个不同的实数解，则可能的值是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·四川泸州·一模）已知函数，对任意实数，方程都有解，则实数的取值范围是 . 3．（2026高三·全国·专题练习）已知，若函数有两个不同的零点，则a的取值范围为 ． 第二部分：方法篇 函数值域问题方法一：判别式法 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）若实数x，y满足，则x的最大值是 . 例题2．（24-25高一上·四川成都·期中）函数的值域为 ． 精练高频考点 1．（2024·辽宁·模拟预测）函数的值域是，则实数的取值范围是 . 2．（24-25高一上·贵州毕节·阶段练习）设函数在区间上的最大值和最小值分别为，则 . 3．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知函数，，以的值为边长可构成一个三角形，则整数k的所有可能取值的和为 . 函数值域问题方法二：分离常数法 典型例题 例题1．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的值域（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一上·安徽合肥·阶段练习）函数的值域为 ． 精练高频考点 1．（2024高三·全国·专题练习）求函数的最大值、最小值. 2．（24-25高一上·安徽阜阳·期中）已知函数，若函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)证明：函数的最大值是. 3．（24-25高一上·河南郑州·期中）设函数，求函数的定义域和值域． 函数值域问题方法三：基本不等式法 典型例题 例题1．（24-25高一上·福建福州·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）求下列函数的值域： (1) (2) (3) 精练高频考点 1．（24-25高一上·天津·期中）已知实数，则函数的最小值为 . 2．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）若，且 (1)求ab的取值范围； (2)求的最小值，以及此时对应的a的值． 3．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）（1）已知，求函数的最大值； （2）已知，且，求的最小值. 函数值域问题方法四：分类讨论法 典型例题 例题1．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，求当时，的最大值． 例题2．（23-24高一上·湖北武汉·开学考试）已知二次函数. (1)求二次函数的顶点坐标和对称轴； (2)当时，函数的最大值和最小值分别是多少？ (3)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值. 精练高频考点 1．（23-24高一上·湖北武汉·开学考试）已知二次函数在时有最小值，则 . 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，求函数在闭区间上的最大值． 3．（2025高一上·河北保定·专题练习）二次函数，其两实数根分别为0，4，且当时，最大值为10 (1)求函数的解析式； (2)设，当时，求函数的最小值. 第三部分：易错篇 易错一：换元必换范围 典型例题 例题1．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，则函数的表达式为 ． 例题2．（24-25高一上·上海奉贤·阶段练习）已知函数，则 . 精练高频考点 1．（24-25高一上·江西抚州·阶段练习）已知，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高二下·全国·专题练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·山东潍坊·开学考试）已知，则 . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 函数的概念及其表示 目录 第一部分：题型篇 1 题型一：重点考查函数的定义域（具体函数，抽象函数） 1 题型二：重点考查函数定义域中的参数问题 3 题型三：重点考查求函数的解析式 6 题型四：重点考查分段函数求值及参数问题 8 题型五：重点考查分段函数单调性问题 11 题型六：重点考查分段函数不等式问题 13 题型七：重点考查分段函数值域问题 17 题型八：重点考查分段函数零点问题 20 第二部分：方法篇 23 函数值域问题方法一：判别式法 23 函数值域问题方法二：分离常数法 26 函数值域问题方法三：基本不等式法 29 函数值域问题方法四：分类讨论法 32 第三部分：易错篇 37 易错一：换元必换范围 37 第一部分：题型篇 题型一：重点考查函数的定义域（具体函数，抽象函数） 典型例题 例题1．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域、由指数函数的单调性解不等式 【分析】利用抽象函数定义域法则求出，再结合具体函数定义域法则求解即可. 【详解】因为函数的定义域为，所以， 则，即函数的定义域为， 令，解得，因为，所以解得， 因为，解得，则的定义域为，故C正确. 故选：C 例题2．（24-25高一上·贵州毕节·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】由即可求函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，解得， 故函数的定义域为. 故选：B 精练高频考点 1．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域、求对数函数的定义域 【分析】求出函数的定义域，根据函数解析式有意义，对于函数，可得出关于的不等式，即可解得函数的定义域. 【详解】对于函数，，则， 所以，函数的定义域， 对于函数，有，即，解得. 因此，函数的定义域为. 故选：D. 2．（24-25高一下·北京·阶段练习）函数的定义域为 ． 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的定义域、具体函数的定义域 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于的不等式，即可解得原函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得且， 因此，函数的定义域为. 故答案为：. 3．（24-25高一下·安徽滁州·阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是 . 【答案】 【知识点】复合函数的定义域、具体函数的定义域、抽象函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 【分析】根据的定义域、对数函数的真数、偶次根式被开方式，以及分式函数分母不为零，列出不等式组求解集可得定义域. 【详解】要使函数有意义，则， ，取交集得. 故答案为：. 题型二：重点考查函数定义域中的参数问题 典型例题 例题1．（24-25高一下·安徽亳州·开学考试）若函数的定义域是R，实数a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、已知函数的定义域求参数 【分析】要使函数解析式有意义，则，分类讨论即可得出结论. 【详解】因为的定义域为，所以不等式恒成立. 当时，不等式为，显然恒成立； 当时，有 ， 即，解得， 所以的取值范围为， 故答案为：. 例题2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知函数的定义域求参数 【分析】分析可知对任意实数都成立，分和两种情况，结合判别式列式求解. 【详解】由题意得对任意实数都成立， 当时，，符合题意； 当时，满足，解得； 综上所述，实数的取值范围为． 故答案为：． 精练高频考点 1．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】已知函数的定义域求参数 【分析】根据函数的定义域以及二次函数的性质列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】因为的定义域为， 所以不等式恒成立， 所以由二次函数性质可知， 解得，即. 故答案为： 2．（24-25高一上·河南许昌·阶段练习）函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的定义域、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、已知函数的定义域求参数 【分析】把问题转化为不等式恒成立的问题求解即可． 【详解】∵函数)的定义域为， ∴对任意，恒成立， 当时，有，符合题意； 当时，需满足，解得， 综上所述，的取值范围是． 故答案为：． 3．（24-25高一上·广东汕头·期中）若函数的定义域为，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、已知函数的定义域求参数 【分析】由题意，可得不等式在上恒成立，根据参数的取值分类讨论即得. 【详解】依题意，在上恒成立， 当时，不等式显然不成立； 当时，要使不等式恒成立，需使，解得. 综上，的取值范围为. 故答案为： 题型三：重点考查求函数的解析式 典型例题 例题1．（2026高三·全国·专题练习）若函数满足，则 ． 【答案】 【知识点】函数方程组法求解析式 【分析】根据给定条件，利用方程组的方法求出函数解析式即得. 【详解】由，可得， 联立两式消去，可得． 故答案为：. 例题2．（24-25高三上·安徽安庆·阶段练习）（1）已知，求的表达式； （2）已知奇函数的定义域为，当时，．求函数的解析式． 【答案】（1）（2） 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数方程组法求解析式 【分析】（1）在原式中用替换，得，与原式联立方程组，求解即可． （2）设，可得出，求出的表达式，利用奇函数的性质可得出函数在时的解析式． 【详解】在中用替换，得， 于是有， 消去，得． 所求函数的表达式为． （2）奇函数的定义域为． 当时，，又当时，， ， ． 故． 精练高频考点 1．（2026高三·全国·专题练习）若函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】根据题意利用配凑法分析求解，注意函数的定义域. 【详解】因为， 且，所以． 故选：D. 2．（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知函数类型求解析式、求二次函数的解析式 【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【详解】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数满足，求函数的解析式． 【答案】 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】利用配凑法可求得函数的解析式. 【详解】因为． 故． 题型四：重点考查分段函数求值及参数问题 典型例题 例题1．（2025·北京丰台·一模）已知函数，当时， ；若在上单调递增，则实数a的取值范围是 . 【答案】 0 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、由函数在区间上的单调性求参数、根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据分段函数的解析式可直接计算得到空①答案；利用分段函数单调性的条件可以得到不等式求解，得到②的答案. 【详解】时,; 由于当时是单调递增函数； 当时是单调递增函数， 所以为了使得在上单调递增， 必须且只需,即, 故答案为：；. 例题2．（24-25高一上·北京·期中）已知函数.若，则 ；若的值域是，则实数的取值范围是 . 【答案】 1 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、根据分段函数的值域（最值）求参数、根据集合的包含关系求参数、利用函数单调性求最值或值域 【分析】把代入，判断并求出函数值；根据给定的值域，分段讨论求出实数的取值范围. 【详解】当时，，所以； 函数的定义域为，值域为， 显然，且，否则在上的值域包含，矛盾，因此， 函数在上单调递减，在上的值域为，于是， 则，从而，当时，，当且仅当时取等号， 又，因此，解得，于是， 所以实数的取值范围是. 故答案为：1； 【点睛】思路点睛：已知分段函数值域，求解参数的取值范围问题，要充分考虑分段函数的特征，结合每段函数的定义域，单调性和最值，数形结合对参数的取值范围一步步进行缩小， 精练高频考点 1．（24-25高一上·海南海口·阶段练习）已知函数，则的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】D 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、指数函数的判定与求值 【分析】结合分段函数的解析式，分段判断代入计算得到答案. 【详解】函数，则. 故选：D 2．（2025·广东·一模）若函数是奇函数，则 ． 【答案】3 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、由奇偶性求参数 【分析】根据函数的奇偶性求出的值，再求分段函数值即可. 【详解】因为函数为奇函数，所以， 设，则，所以， 所以，则， 所以. 故答案为：3 直至求解出答案. 3．（24-25高一上·四川遂宁·阶段练习）已知函数 (1)求的值； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2)或； (3). 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、解分段函数不等式、求分段函数解析式或求函数的值 【分析】（1）根据的范围，分别将代入对应解析式即可求解. （2）对参数进行分类讨论，解方程求解即可. （3）对参数进行分类讨论，解不等式求解即可. 【详解】（1）依题意，，而, 所以. （2）当时，，解得，不合题意； 当时，，即，而，则； 当时，，解得，符合题意， 所以当时，或. （3）由，得或或， 解得或或或, 所以实数的取值范围是. 题型五：重点考查分段函数单调性问题 典型例题 例题1．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数，若对上的任意实数，（），恒有成立，那么实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据是上的减函数，列出不等式组，解该不等式组即可得答案. 【详解】因为函数满足对上的任意实数，（）， 恒有成立，所以函数在上递减， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 例题2．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）若函数是上的单调函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围、根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据给定条件，将函数化成分段函数并分类讨论单调性，再结合在时单调性及分段函数的单调性列出不等式求解即得. 【详解】函数， 由函数是上的单调函数，得函数在上单调， 当时，在上递增，而时，为常数函数，不递增，因此； 当时，，函数在上递增，在上递减， ，函数在上不单调，因此不成立； 当时，，函数在上递增，在上递减， 因此函数在上单调递增，且，即，解得， 此时函数在上单调递增，要函数在上单调递增， 则，而，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B 精练高频考点 1．（2025·黑龙江·二模）已知函数（其中且），若对，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据分段函数的单调性求参数 【分析】先化简不等式，得到函数单调性，再根据分段函数单调性性质求结果. 【详解】不妨设，则由得， 令，则在上单调递增， 因为 所以， 故选：A 2．（多选）（24-25高一下·云南红河·开学考试）已知函数是上的函数，且满足对于任意的，都有成立，则可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BC 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据题目条件得到函数在上单调递减，由分段函数的单调性得到不等式组，进而求得结论. 【详解】因为，所以在上单调递减， 则要满足，解得，故． 故选：BC． 题型六：重点考查分段函数不等式问题 典型例题 例题1．（24-25高一上·山东威海·期末）已知为上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】解分段函数不等式、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用 【分析】利用函数是奇函数求出时，函数的解析式，并求出函数的单调性；利用单调递增及奇函数化简可得，分类讨论解不等式即可得解． 【详解】由为奇函数，得， 当时，，故， 故当时，，所以； 又当时，的开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递增，根据奇函数的性质可知函数在上单调递增， 故， 所以或， 解得或， 故不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查了函数奇偶性的应用及分段函数不等式，解题的关键是利用奇偶性求出函数解析式，结合奇偶性利用单调性求解. 例题2．（24-25高一上·内蒙古包头·期末）已知函数，若，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】解分段函数不等式 【分析】设，根据分段函数的解析式，求出时，的取值范围，进而再分类讨论求出的范围即可. 【详解】令，则，原不等式化为， 当时，，解得，即； 当时，，解得，即， ①， 当时，，解得；当时，，无解， 因此， ②， 当时，，解得；当时，，解得， 因此或， 所以a的取值范围是：. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：设，分类讨论求出t的范围是求解的关键. 精练高频考点 1．（2025·山东济南·一模）已知函数则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解分段函数不等式、根据函数的单调性解不等式、判断指数函数的单调性、由函数奇偶性解不等式 【分析】先判断函数为奇函数，再根据函数单调性解抽象不等式即可. 【详解】当时，，，； 当时，，，； 且当时，， 所以为奇函数， 易知为上的递减函数， 则， 所以原不等式的解集为. 故选：A 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、解分段函数不等式 【分析】根据分段函数表示和，再求解不等式. 【详解】由题可知，， 因为，则当时，，解得，故； 当时，，解得，故， 综上可知，的取值范围为． 故选：B 3．（23-24高二下·湖南长沙·期中）已知函数，则满足的的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、解分段函数不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】由题意可得函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，由已知条件可得，解此不等式即可得解. 【详解】当时，， 当时，， 所以对任意的，， 则， 所以函数的图象关于直线对称， 因为函数在上单调递增， 所以，即， 即，平方得，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 题型七：重点考查分段函数值域问题 典型例题 例题1．（2025·山东潍坊·一模）已知函数则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】求分段函数值、指数幂的运算、对数的运算 【分析】分析函数的定义域和其在不同定义域区间上的表达式，首先计算的值，将代入即可求解. 【详解】将代入，得到， 所以， 将代入，得到. 因此，. 故选：B. 例题2．（2025高一·江苏·专题练习）已知函数. (1)用分段函数的形式表示函数； (2)画出函数的图象，并写出函数的值域. 【答案】(1) (2)作图见解析， 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、分段函数的值域或最值、画出具体函数图象 【分析】（1）利用绝对值的性质进行分类讨论求解即可； （2）根据一次函数图象性质进行画图，根据图象求最值即可. 【详解】（1）当时，； 当时，； 所以 （2）由（1）得 由此画出的图象如下图所示： 由图象知，的值域为. 精练高频考点 1．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）已知，则等于（    ） A． B．4 C． D．3 【答案】C 【知识点】求分段函数值、对数的运算性质的应用 【分析】根据分段函数解析式即可求解. 【详解】，故选项C正确. 故选：C. 2．（24-25高一上·湖北宜昌·阶段练习）已知函数的值域为R，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】分段函数的值域或最值 【分析】要使得函数的值域为R，结合一次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由于的值域为R，当时，， 所以，解得． 故m的范围是. 故答案为：. 3．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知函数的解析式为. (1)求，的值； (2)画出这个函数的图象，并写出的最大值. 【答案】(1)， (2)图象见解析，最大值为4 【知识点】分段函数的值域或最值、求分段函数值、画出具体函数图象 【分析】（1）根据自变量的取值，代入分段函数解析式即可； （2）根据图象最高点即可写出最大值. 【详解】（1）因为， 所以，，则. （2） 如图，由图象可知，最大值为4. 题型八：重点考查分段函数零点问题 典型例题 例题1．（2025·全国·模拟预测）已知函数有三个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】分段函数的性质及应用、利用导数研究函数的零点、根据零点所在的区间求参数范围 【分析】分析函数的零点个数，利用导数法讨论函数的单调性与最值,再判断函数在每段上的零点个数,根据零点分布情况建立不等式组，求得实数的取值范围. 【详解】由题可得，函数最多只有一个零点. 若零点存在，则，解得， 又由，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 且当时，， 所以最多有两个零点. 因为有三个零点，所以有两个零点， 则， 解得，所以实数的取值范围为. 综上可得：实数的取值范围为. 故答案为： 例题2．（2025·河南·一模）已知函数，若函数至少有2个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】画出的图象，依题意直线与的图象至少有2个交点，结合图象即可得解. 【详解】因为，作出的大致图象如图所示， 则至少有2个零点等价于直线与的图象至少有2个交点， 由图可知，即实数的取值范围为.故答案为： 精练高频考点 1．（24-25高一上·湖南郴州·期末）已知函数，方程恰有三个不同的实数解，则可能的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分段函数的性质及应用、对数函数图象的应用、函数图象的应用 【分析】画出函数图象，数形结合得到，得到答案. 【详解】画出的图象， 显然当时，方程恰有三个不同的实数解，C正确，ABD错误. 故选：C 2．（2024·四川泸州·一模）已知函数，对任意实数，方程都有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】函数与方程的综合应用、分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】由题意可得值域为，再结合分段函数性质，分别计算在时及时的值域即可得. 【详解】由题意可得值域为，当时，， 则当时，对，有，解得， 故实数的取值范围为. 故答案为：. 3．（2026高三·全国·专题练习）已知，若函数有两个不同的零点，则a的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】利用函数的单调性可得分段在每段上个存在一个零点，再分别求其零点，使其满足定义域即可. 【详解】因函数在和在均为增函数， 则这两个函数在对应区间上的零点均至多有个， 因有两个不同的零点， 则函数在和在上分别有1个零点， 令，得，则，即； 令，得，则， 又，则． 故答案为： 第二部分：方法篇 函数值域问题方法一：判别式法 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）若实数x，y满足，则x的最大值是 . 【答案】/ 【知识点】判别式法求最值 【分析】把已知条件整理为的形式，利用，求得的取值范围，从而得出最大值. 【详解】将条件变形为，，解得， 故. 故答案为： 例题2．（24-25高一上·四川成都·期中）函数的值域为 ． 【答案】 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、解不含参数的一元二次不等式 【分析】将函数式转化为方程，即该方程在上有解，讨论和，结合判别式法即可求值域. 【详解】由解析式知：函数的定义域为R，且， 整理可得，即该方程在上有解， 当时，，显然成立； 当时，有，整理得，即， 综上，有函数值域为. 故答案为：. 精练高频考点 1．（2024·辽宁·模拟预测）函数的值域是，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】该函数的值域为,，从而函数和轴存在公共点，从而判别式，解该不等式即可得出实数的取值范围． 【详解】根据题意知，函数可以取到0； 函数和轴有交点； ； 解得，或； 实数的取值范围为：． 故答案为：． 2．（24-25高一上·贵州毕节·阶段练习）设函数在区间上的最大值和最小值分别为，则 . 【答案】 【知识点】利用函数单调性求最值或值域 【分析】采用分离参数法分析函数的单调性，确定函数的最大、最小值即可求解. 【详解】因为， 因为时，，随着的增大，函数的值越来越小，即函数在上单调递减. 所以，. 所以. 故答案为： 3．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知函数，，以的值为边长可构成一个三角形，则整数k的所有可能取值的和为 . 【答案】15 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数不等式恒成立问题、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】，恒成立，变形得到，分，和，结合函数单调性得到函数值域，根据得到不等式，得到，求出答案. 【详解】根据题意可知，，恒成立， ，， 当时，，此时，满足， 当时，因为在上单调递减，在上单调递增， 当时，，故， 故， ，恒成立，故，解得， 故， 当时，同上，可得， ，恒成立，故，解得， 故， 综上，，满足要求的整数为， 和为. 故答案为：15 函数值域问题方法二：分离常数法 典型例题 例题1．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的值域（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】利用分离常数法求解. 【详解】因为函数的定义域为， ， 所以函数的值域为. 故选：D. 例题2．（24-25高一上·安徽合肥·阶段练习）函数的值域为 ． 【答案】 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、利用函数单调性求最值或值域 【分析】化简函数为，根据其单调性求解即可． 【详解】由， 函数在上单调递减， 所以当时，， 当时，， 所以函数的值域为． 故答案为：． 精练高频考点 1．（2024高三·全国·专题练习）求函数的最大值、最小值. 【答案】最大值为，最小值为 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】求出函数定义域，再利用判别式法求出函数值域即可. 【详解】因为恒成立，所以原函数定义域为， 由，得， 当时，，符合题意； 当时，由，得恒有实数根， 因此，解得且， ∴函数的最大值为，最小值为. 2．（24-25高一上·安徽阜阳·期中）已知函数，若函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)证明：函数的最大值是. 【答案】(1)0 (2)证明见解析 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、由奇偶性求参数 【分析】（1）根据奇函数的定义分析求解即可； （2）令可得，结合判别式分析求解. 【详解】（1）由题意可知：函数的定义域是，且， 即，可得，所以. （2）由（1）可知：函数， 令可得， 当，可得，符合题意； 当，可知关于x的方程有实数根， 则，解得：，且， 综上所述：， 即的值域为，所以函数的最大值是，此时. 3．（24-25高一上·河南郑州·期中）设函数，求函数的定义域和值域． 【答案】定义域为，值域为． 【知识点】具体函数的定义域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】由分母不为零可得定义域，利用分离常数可求值域. 【详解】由题意可得，定义域为： 可得 因此，值域为． 因此，定义域为，值域为． 函数值域问题方法三：基本不等式法 典型例题 例题1．（24-25高一上·福建福州·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】对函数分离常数，借助基本不等式，分三种情况讨论即可. 【详解】结合题意：， 当时，； 当时，， 当且仅当，即，原式取得最小值； 另一方面，因为，，所以，即； 当时，， 当且仅当，即，原式取得最大值； 另一方面因为，令，则，所以， 所以，所以，即； 综上所述：函数的值域是. 故选：A. 例题2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）求下列函数的值域： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、基本不等式求和的最小值、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】（1）（3）根据题意结合基本不等式求值域； （2）换元令，结合二次函数求值域. 【详解】（1）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的值域为. （2）令，则， 可得， 当时，等号成立， 所以函数的值域为. （3）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 即，所以函数的值域为. 精练高频考点 1．（24-25高一上·天津·期中）已知实数，则函数的最小值为 . 【答案】6 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以 当且仅当，即时等号成立， 所以函数的最小值为6. 故答案为：6. 2．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）若，且 (1)求ab的取值范围； (2)求的最小值，以及此时对应的a的值． 【答案】(1) (2)的最小值为13，此时. 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】（1）由已知结合基本不等式求解；（2）由已知可利用表示，代入所求式子后进行分离，然后结合基本不等式可求． 【详解】（1），当且仅当时取等号， ，解得或（舍），故. 则ab的取值范围为. （2）若，且， ，则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为13，此时. 3．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）（1）已知，求函数的最大值； （2）已知，且，求的最小值. 【答案】（1）；（2） 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）易知，由基本不等式计算可得的最小值为6，即可得解； （2）依题意，利用基本不等式中“1”的妙用计算可得答案. 【详解】（1）由可得， 所以， 当且仅当即时取等号； 所以函数的最大值为. （2）根据题意，且， 则 ， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为． 函数值域问题方法四：分类讨论法 典型例题 例题1．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，求当时，的最大值． 【答案】 【知识点】求二次函数的值域或最值 【分析】对的取值范围进行分类讨论，由此求得的最大值的表达式. 【详解】二次函数开口向上， ， 当时，， ； 当时，， ， 综上有 例题2．（23-24高一上·湖北武汉·开学考试）已知二次函数. (1)求二次函数的顶点坐标和对称轴； (2)当时，函数的最大值和最小值分别是多少？ (3)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值. 【答案】(1)， (2)最大值为，最小值为 (3)或 【知识点】求二次函数的值域或最值、二次函数的图象分析与判断 【分析】（1）解析式化成顶点式即可求得； （2）根据二次函数图象上点的坐标特征即可求得最大值和最小值； （3）分三种情况讨论，根据二次函数的性质得到最大值和最小值，进而根据得到关于的方程，解方程即可. 【详解】（1） ∵， ∴对称轴为，顶点坐标为. （2）∵顶点坐标为， ∴当时，； ∵当时，随着的增大而减小， ∴当时，， ∵当时，随着的增大而增大， ∴当时，； 综上所述，当时，函数的最大值为，最小值为. （3）当时，对进行分类讨论： ①当时，即，随着的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴，∴， 解得：（不合题意，舍去）； ②当时，顶点的横坐标在取值范围内，∴， 当时，在时，， ，即， 解得：，（不合题意，舍去）； 当时，在时，， ∴，即， 解得：，（不合题意，舍去）； ③当时，随着的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴，即， 解得：（不合题意，舍去）； 综上所述：或. 【点睛】方法点睛：“定轴动区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论； （2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析； （3）将分类讨论的结果整合得到最终结果. 精练高频考点 1．（23-24高一上·湖北武汉·开学考试）已知二次函数在时有最小值，则 . 【答案】3或 【知识点】求二次函数的值域或最值 【分析】将一般式化为顶点式，求出对称轴，分和，两种情况讨论求解即可. 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴为直线， ①，抛物线开口向上，时有最小值， ∴时，有最小值， 解得：； ②，抛物线开口向下， ∵对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 又时有最小值， ∴时，有最小值， 解得：； 故答案为：3或. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，求函数在闭区间上的最大值． 【答案】 【知识点】求二次函数的值域或最值 【分析】先化简函数，且对称轴为，接下来分类讨论对称轴的位置，从而求得最大值. 【详解】题意得， 函数与的对称轴均为，均过点， ①当时，，在上，单调递增，． 当时，，由对称性 在上单调递减，在上单调递增． ⅰ）当时，，因此，在上，． ⅱ）当时，，因此，在上，． ②当时，在上，单调递增． 在[0，2]上，单调递增，且均有， 因此在上单调递增，故． ③当，即时，在上单调递减，在[0，2]上单调递增， 的最大值是与中的较大者．． 当时，，因此． ④当，即时， 在上单调递增，在上单调递减，在[0，2]上单调递增， 的最大值是与中的较大者． ． 令，即， 解得或． ∵，∴不存在． 即当时，恒成立， ∴．故此时． 综上， 【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论； （2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析； （3）将分类讨论的结果整合得到最终结果. 3．（2025高一上·河北保定·专题练习）二次函数，其两实数根分别为0，4，且当时，最大值为10 (1)求函数的解析式； (2)设，当时，求函数的最小值. 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【知识点】求二次函数的值域或最值、求二次函数的解析式、判断二次函数的单调性和求解单调区间 【分析】（1）根据根计算求参，再结合最大值是10，即可求出解析式； （2）分类讨论结合单调性计算得出最小值. 【详解】（1）二次函数有两实数根分别为0，4，所以， 所以，所以二次函数为，对称轴为， 当时，当时，最大值为，所以，所以当时函数解析式为， 当时，当时，最大值为，所以，所以当时函数解析式为. （2）当时函数解析式为，开口向上，对称轴为， 当时，时，函数单调递减，当时，， 当时，时，函数单调递减，时，函数单调递增，当时，， 当时，时，函数单调递增，当时，； 第三部分：易错篇 易错一：换元必换范围 典型例题 例题1．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，则函数的表达式为 ． 【答案】 【知识点】已知f（g（x））求解析式、指数式与对数式的互化 【分析】利用换元法即可求解. 【详解】令，则，所以， 所以函数的表达式为. 故答案为： 例题2．（24-25高一上·上海奉贤·阶段练习）已知函数，则 . 【答案】 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】采用换元法令，先求得的表达式，则可得. 【详解】令，则， 所以， 所以. 故答案为：. 精练高频考点 1．（24-25高一上·江西抚州·阶段练习）已知，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知f（g（x））求解析式、求二次函数的值域或最值 【分析】利用换元法求得函数解析式，进而求出函数的值域. 【详解】设，则，则， 因此，， 所以函数的值域为. 故选：C 2．（2024高二下·全国·专题练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】利用换元法求解即可. 【详解】令，则， 所以， 所以. 故选：A. 3．（24-25高一下·山东潍坊·开学考试）已知，则 . 【答案】 【知识点】已知f（g（x））求解析式、求对数函数的解析式 【分析】利用换元法即可得到函数解析式. 【详解】令，因为，则， ，，， 则. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $$