精品解析：北京市第一六一中学2024-2025学年高二下学期期中阶段练习数学试题

北京市第一六一中学2024—2025学年第二学期期中阶段练习 高二数学 2025.4 班级_____ 姓名_____ 学号_____ 本试卷共3页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效. 一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置. 1. 若数列1，a，b，c，9是等比数列，则实数b的值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的性质求解即可. 【详解】由题意，，即， 又，则. 故选：D. 2. 已知事件A，B相互独立，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用事件独立性的概率乘法公式及条件概率公式进行求解. 【详解】因为事件A，B相互独立，所以， 所以， 故选：B. 3. 函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的几何意义即可判断. 【详解】的几何意义为：函数的图象在点的切线斜率， 的几何意义为：函数的图象在点的切线斜率， 由图象可知，故C正确，ABD错误. 故选：C 4. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导后，将代入导函数中计算即可. 【详解】由，得， 所以. 故选：B 5. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. 12 D. 21 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件得出数列为等差数列，即可求出其通项公式，进而求出即可代入求值. 【详解】由得，， 因，则数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，则， 故. 故选：A 6. 某校篮球运动员进行投篮练习.如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为，若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别计算出第1球投进和第1球没投进后，第二球投进的概率，相加得到答案. 【详解】他第1球投进，第二球投进的概率为， 他第1球没投进，第二球投进的概率为， 故他第2球投进的概率为. 故选：B 7. 已知数列的前n项和，则是为等比数列的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分必要条件定义判断． 【详解】时，，，时，，也适合此式，，是等比数列，充分的， 若是等比数列， 时，，， 是等比数列，则，，也是必要的．因此是充分必要条件． 故选：C． 8. 小明投篮3次，每次投中的概率为0.8，且每次投篮互不影响，若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项分布的方差公式以及方差性质计算可得结果. 【详解】设投篮3次投中的次数为随机变量， 易知服从二项分布，即， 因此可得， 又，所以可得. 故选：D 9. 设随机变量X的分布列如下表所示， 1 2 3 4 5 6 ① ②随机变量的数学期望可以等于3.5 ③若，则 ④数列的通项公式可以为 则上述说法中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据分布列性质可判断①对，当概率全部相等为时，②说法正确，有等比数列前项和公式计算可得③正确，利用裂项求和可得④错误. 【详解】对于①，易知， 由分布列性质可得，所以，即①正确； 对于②，易知当时，随机变量的数学期望可以等于3.5，即②正确； 对于③，若，结合可知， ，即③正确， 对于④，若数列的通项公式为， 可知， 此时， 不满足分布列性质，即④错误. 综上可知，①②③正确. 故选：C 10. 已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由数列通项可证明数列为等差数列，再由恒成立即可得，解不等式即可求得结果. 【详解】根据题意令， 显然为常数； 所以为等差数列，首项为， 由对任意的恒成立,可知数列为递减数列，且从第11项起开始小于等于0， 所以，即，解得， 故选：A 二、填空题：本大题共5道小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上. 11. 已知函数，若曲线在点处的切线的斜率为2，则数的值是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义进行解题即可. 【详解】因为，所以， 又因为曲线在点处的切线的斜率为2， 根据导数的几何意义知： 所以. 故答案为： 【点睛】导数的几何意义为切线的斜率是解决本题的关键. 12. 已知函数，则的定义域为______，不等式的解集为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据具体函数的定义域求解即可；结合导数的运算法则求解不等式即可. 【详解】由，解得且， 所以函数的定义域为； 由，，得， 由，即，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：；. 13. 已知，，是公比不为1的等比数列，将，，调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组，，的值依次为______. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，利用等比数列的通项公式表示各项，调整顺序后借助等差中项的概念建立等量关系求得的值，令可得结果. 【详解】设等比数列，，的公比为，则等比数列为， 不妨设调整顺序后的等差数列为，则， ∵，∴，解得或（舍）， 令，则，， ∴满足条件的一组，，的值依次为. 故答案为：（答案不唯一）. 14. 按国际标准，复印纸幅面规格分为A系列和B系列，其中A系列以A0，A1，...来标记纸张的幅面规格，具体规格标准为：①A0规格纸张的幅宽和幅长的比例关系为；②将纸张平行幅宽方向裁开成两等份，便成为规格纸张（如图）.某班级进行社会实践活动汇报，要用A0规格纸张裁剪其他规格纸张.共需A4规格纸张40张，A2规格纸张10张，A1规格纸张5张.为满足上述要求，至少提供A0规格纸张的张数为________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据题意可将问题转化为所需纸张的总面积问题，确定大概张数再进行裁剪分配即可得出结果. 【详解】依题意1张A0规格的纸张可以裁剪出2张A1规格的纸张，或4张A2规格的纸张，或16张A4规格的纸张, 设一张A0规格的纸张的面积为， 则一张A1规格的纸张的面积为，一张A2规格的纸张面积为，一张A4规格的纸张面积为； 依题意共需要的纸张面积为， 所以至少提供8张A0规格的纸张， 其中将3张A0规格的纸张裁成5张A1和2张A2，将2张A0规格的纸张裁成8张A2， 将剩下的3张A0规格的纸张裁成48张A4规格， 共可以裁出A4规格纸张48张，A2规格纸张10张，A1规格纸张5张. 故答案为：8 15. 数列满足：，给出下述命题： ①若数列满足：，则成立； ②存在常数，使得成立； ③若，则； ④存在常数，使得都成立． 上述命题正确的是____．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①④． 【解析】 【详解】试题分析：对①；因为，所以，由已知， 所以，即，正确 对②； 假设存在在常数，使得，则有，所以应有最大值，错， 对③，因为，，所以假设，则应有，即原数列应为递增数列，错，对④，不妨设，，则，若存在常数，使得，应有，显然成立，正确，所以正确命题的序号为①④． 考点：数列综合应用． 三、解答题：本大题共6道小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知等比数列为递增数列，其前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列是首项为1，公差为3的等差数列，求数列的通项公式及前项和. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）设等比数列的首项为，公比为，依题意得到关于、的方程组，解得、，即可求出通项公式； （2）依题意可得，利用分组求和法计算可得. 【小问1详解】 设等比数列的首项为，公比为， 根据题意可得，解得或， 因为等比数列为递增数列，所以， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 因为数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 所以， 所以 . 17. 某大型连锁超市的市场部为了比较线下、线上这两种模式的销售情况，从某地区众多门店中随机抽取8家门店，对其线下和线上这两种销售模式下的日营业额（单位：万元）进行调查．调查结果如下： 门店1 门店2 门店3 门店4 门店5 门店6 门店7 门店8 线下 日营业额 9 6.5 19 9.5 14.5 16.5 20.5 12.5 线上 日营业额 11.5 9 12 17 19 23 21.5 15 若某门店一种销售模式下的日营业额不低于15万元，则称该门店在这种销售模式下的日营业额达标；否则就称该门店在此种销售模式下的日营业额不达标．若某门店的日营业总额（线上和线下两种销售模式下的日营业额之和）不低于30万元，则称该门店的日营业总额达标；否则就称该门店的日营业总额不达标．（各门店的营业额之间互不影响） （1）从8个样本门店中随机抽取3个，求抽取的3个门店的线下日营业额均达标的概率； （2）若从该地区众多门店中随机抽取3个门店，记随机变量X表示抽到的日营业总额达标的门店个数．以样本门店的日营业总额达标的频率作为一个门店的日营业总额达标的概率，求X的分布列和数学期望； （3）线下日营业额和线上日营业额的样本平均数分别记为和，线下日营业额和线上日营业额的样本方差分别记为和．试判断和的大小，以及和的大小．（结论不要求证明） 【答案】（1）； （2）的分布列为 0 1 2 3 期望为；（3）. 【解析】 【分析】（1）依据题意线下销售达标的有3家，然后简单计算即可. （2）由二项分布的概率公式运算即可得解； （3）根据数据进行计算然后直接判断即可. 【详解】（1）由题可知：线下销售达标的有3家，分别是：门店3，门店6，门店7 所以所求的概率为 （2）由题意，日营业总额达标的概率为， 的所有可能取值为：0，1，2，3， 所以，，，， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以； （3） 所以 所以 所以 18. 设函数，且，，其中. （1）计算，的值； （2）设，求证：数列为等比数列； （3）求证：. 【答案】（1）， （2）证明如下： 因为， 所以. 所以数列是首项，公比为的等比数列. （3）证明如下： 由（2），得， 所以. 因为， 且当时，，， 所以，即. 因为， 所以. 综上，对于任意，都有. 【解析】 【分析】（1）根据递推关系直接代入计算可得结果； （2）利用等比数列定义证明即可得出结论； （3）根据（2）中的分析可得，再由作差法可分别证明且，可得结论. 【小问1详解】 由题意，得， 因为，所以，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 某甜品店打算推出三款新品，在前期市场调研时，将顾客按照年龄分为青少年组中年组和老年组，随机调查了200名顾客对这三款新品的购买意愿，统计数据如下（单位：人）： 青少年组 中年组 老年组 愿意 不愿意 愿意 愿意 不愿意 第一款 40 20 80 20 20 20 第二款 30 30 60 40 30 10 第三款 50 10 80 20 10 30 假设顾客的购买意愿相互独立.用频率估计概率 （1）从三个不同年龄组的顾客中各随机抽取1人，记为这3人中愿意购买第二款新品的人数，求的分布列和数学期望； （2）用“”表示顾客愿意购买第款新品，“”表示顾客不愿意购买第款新品.直接写出方差，，的大小关系. 【答案】（1）的分布列为 0 1 2 3 （2） 【解析】 【分析】（1）的可能取值为，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望； （2）根据离散型随机变量的概率公式求解即可. 【小问1详解】 用频率估计概率，由表可知从青少年组中抽取1人，愿意购买第二款新品的概率为， 从中年组中抽取1人，愿意购买第二款新品的概率为， 从老年组中抽取1人，愿意购买第二款新品的概率为， 由题意的可能取值为， 所以， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以. 【小问2详解】 用频率估计概率，由表可知顾客愿意购买第款新品的概率为， 顾客愿意购买第款新品的概率为， 顾客愿意购买第款新品的概率为， 所以，， 所以， ， 所以. 20. 已知椭圆的下顶点和右顶点都在直线上. （1）求椭圆方程及其离心率； （2）不经过点的直线交椭圆于两点，过点作轴的垂线交于点，点关于点的对称点为.若三点共线，求证：直线经过定点. 【答案】（1），离心率为. （2） 设，则. 则，故， 因为三点共线，故，整理得到： ， 即. 由可得， 故且， 故， 整理得到：， 若，则，故过，与题设矛盾； 若，则，故过定点. 【解析】 【分析】（1）求出顶点坐标后可求椭圆的方程和离心率； （2）设，则可用此两点坐标表示，根据三点共线可得，利用点在直线可得，再联立直线方程和椭圆方程，消元后利用韦达定理可得定点. 【小问1详解】 因为下顶点和右顶点都在直线上， 故，故椭圆方程为：. 其离心率为 【小问2详解】 略 21. 对于数列，定义．设的前项和为． （1）设，写出； （2）证明：“对任意，有”的充要条件是“对任意，有”； （3）已知首项为0，项数为的数列满足：①对任意且，有；②．求所有满足条件的数列的个数． 【答案】（1） （2） 证明：必要性：对，有，因此， 对任意，且，有，两式作差，得， 即，因此， 综上，对任意，有． 充分性：若对任意，有，则， 所以， 综上，“对任意”，有”的充要条件是“对任意”，有”． （3）． 【解析】 【分析】（1）根据定义即可求解， （2）根据前项和为的定义可得，即可求证必要性，根据，利用求和即可求解充分性， （3）构造数列，则由，结合（2）的结论可得，对进行讨论，即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 构造数列， 则对任意且，有，结合（2）知， ，又，因此， 设中有项为0， 则 ，即， 若，则与中有0项为0，即矛盾，不符题意， 若，则，所以当中有1项为0， 其余项为时，数列满足条件． 中有一项为0，共种取法，其余项每项有1或两种取法，所以满足条件的数列的个数为． 【点睛】方法点睛：给出与的递推关系，要求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求．同时特别要注意验证的值是否满足“”的一般性通项公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第一六一中学2024—2025学年第二学期期中阶段练习 高二数学 2025.4 班级_____ 姓名_____ 学号_____ 本试卷共3页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效. 一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置. 1. 若数列1，a，b，c，9是等比数列，则实数b的值为（ ） A. B. C. D. 3 2. 已知事件A，B相互独立，，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. 12 D. 21 6. 某校篮球运动员进行投篮练习.如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为，若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列的前n项和，则是为等比数列的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 小明投篮3次，每次投中的概率为0.8，且每次投篮互不影响，若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为，则（ ） A. B. C. D. 9. 设随机变量X的分布列如下表所示， 1 2 3 4 5 6 ① ②随机变量的数学期望可以等于3.5 ③若，则 ④数列的通项公式可以为 则上述说法中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5道小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上. 11. 已知函数，若曲线在点处的切线的斜率为2，则数的值是___________. 12. 已知函数，则的定义域为______，不等式的解集为______. 13. 已知，，是公比不为1的等比数列，将，，调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组，，的值依次为______. 14. 按国际标准，复印纸幅面规格分为A系列和B系列，其中A系列以A0，A1，...来标记纸张的幅面规格，具体规格标准为：①A0规格纸张的幅宽和幅长的比例关系为；②将纸张平行幅宽方向裁开成两等份，便成为规格纸张（如图）.某班级进行社会实践活动汇报，要用A0规格纸张裁剪其他规格纸张.共需A4规格纸张40张，A2规格纸张10张，A1规格纸张5张.为满足上述要求，至少提供A0规格纸张的张数为________. 15. 数列满足：，给出下述命题： ①若数列满足：，则成立； ②存在常数，使得成立； ③若，则； ④存在常数，使得都成立． 上述命题正确的是____．（写出所有正确结论的序号） 三、解答题：本大题共6道小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知等比数列为递增数列，其前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列是首项为1，公差为3的等差数列，求数列的通项公式及前项和. 17. 某大型连锁超市的市场部为了比较线下、线上这两种模式的销售情况，从某地区众多门店中随机抽取8家门店，对其线下和线上这两种销售模式下的日营业额（单位：万元）进行调查．调查结果如下： 门店1 门店2 门店3 门店4 门店5 门店6 门店7 门店8 线下 日营业额 9 6.5 19 9.5 14.5 16.5 20.5 12.5 线上 日营业额 11.5 9 12 17 19 23 21.5 15 若某门店一种销售模式下的日营业额不低于15万元，则称该门店在这种销售模式下的日营业额达标；否则就称该门店在此种销售模式下的日营业额不达标．若某门店的日营业总额（线上和线下两种销售模式下的日营业额之和）不低于30万元，则称该门店的日营业总额达标；否则就称该门店的日营业总额不达标．（各门店的营业额之间互不影响） （1）从8个样本门店中随机抽取3个，求抽取的3个门店的线下日营业额均达标的概率； （2）若从该地区众多门店中随机抽取3个门店，记随机变量X表示抽到的日营业总额达标的门店个数．以样本门店的日营业总额达标的频率作为一个门店的日营业总额达标的概率，求X的分布列和数学期望； （3）线下日营业额和线上日营业额的样本平均数分别记为和，线下日营业额和线上日营业额的样本方差分别记为和．试判断和的大小，以及和的大小．（结论不要求证明） 18. 设函数，且，，其中. （1）计算，的值； （2）设，求证：数列为等比数列； （3）求证：. 19. 某甜品店打算推出三款新品，在前期市场调研时，将顾客按照年龄分为青少年组中年组和老年组，随机调查了200名顾客对这三款新品的购买意愿，统计数据如下（单位：人）： 青少年组 中年组 老年组 愿意 不愿意 愿意 愿意 不愿意 第一款 40 20 80 20 20 20 第二款 30 30 60 40 30 10 第三款 50 10 80 20 10 30 假设顾客的购买意愿相互独立.用频率估计概率 （1）从三个不同年龄组的顾客中各随机抽取1人，记为这3人中愿意购买第二款新品的人数，求的分布列和数学期望； （2）用“”表示顾客愿意购买第款新品，“”表示顾客不愿意购买第款新品.直接写出方差，，的大小关系. 20. 已知椭圆的下顶点和右顶点都在直线上. （1）求椭圆方程及其离心率； （2）不经过点的直线交椭圆于两点，过点作轴的垂线交于点，点关于点的对称点为.若三点共线，求证：直线经过定点. 21. 对于数列，定义．设的前项和为． （1）设，写出； （2）证明：“对任意，有”的充要条件是“对任意，有”； （3）已知首项为0，项数为的数列满足：①对任意且，有；②．求所有满足条件的数列的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $