专题1.5 集合中含参数重难点问题拓展+新定义题(8大核心题型）-【练透核心考点】备战2026年高考数学一轮重难点题型狂飙特训（新教材新高考）

专题1.5 集合中含参数重难点问题拓展 (8大核心题型） 目录 题型一：根据元素与集合的关系求参数 1 题型二：根据集合中元素的个数求参数 2 题型三：利用元素集合互异性求参数 3 题型四：根据集合包含关系求参数 4 题型五：根据两个集合相等求参数 5 题型六：根据并交补运算结果求参数 6 题型七：新定义题（选填） 7 题型八：新定义题（解答） 8 温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头 题型一：根据元素与集合的关系求参数 典型例题 例题1．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是 ． 例题2．（24-25高一上·重庆·期中）已知集合，集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，，求实数的取值范围. 精练高频考点 1．（24-25高一上·山东·期中）设集合，，已知且，则a的取值集合为 . 2．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）已知数集满足条件：当时，，若，则中所有元素组成的集合是 ． 3．（24-25高一上·贵州毕节·阶段练习）设全集，集合，． (1)若集合A恰有一个元素，求实数a的值； (2)若，，求． 题型二：根据集合中元素的个数求参数 典型例题 例题1．（24-25高一上·四川达州·期中）如果集合 中只有一个元素，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．0或2 D．1或2 例题2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合A是由关于x的方程的实数根组成的集合. (1)当A中有两个元素时，求实数a的取值范围； (2)当A中没有元素时，求实数a的取值范围； (3)当A中有且仅有一个元素时，求实数a的值，并求出此元素. 精练高频考点 1．（24-25高一上·江苏镇江·期中）函数，若，请写出满足条件的一个值 ，若有且只有3个元素，则实数的取值范围是 . 2．（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 3．（24-25高一上·湖南·期中）已知函数. (1)求集合； (2)设，若中恰好有2个元素，求实数的取值范围. 题型三：利用元素集合互异性求参数 典型例题 例题1．（24-25高三上·上海·阶段练习）设，若集合中的最大元素为3，则 ． 例题2．（24-25高一上·上海·课后作业）若，，，则实数的值所组成的集合为 ． 精练高频考点 1．（24-25高一上·浙江·期中）已知集合，，若，则实数的值为 . 2．（24-25高一上·浙江·开学考试）若由，，1组成的集合A与由，，组成的集合B相等，则的值为 ． 3．（24-25高一·上海·课堂例题）含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值． 题型四：根据集合包含关系求参数 典型例题 例题1.（多选）（23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习）已知集合，若，则的可能取值为（   ） A． B． C．0 D． 例题2．（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知集合． (1)当时，求和； (2)若，求的取值范围． 精练高频考点 1．（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·重庆江北·期末）已知集合. (1)当时，求； (2)当时，若“”的一个充分不必要条件是“”，求实数m的取值范围. 3．（24-25高一上·浙江杭州·期末）若关于的不等式的解集是. (1)求的值; (2)设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 题型五：根据两个集合相等求参数 典型例题 例题1．（19-20高一上·河北唐山·期中）已知集合，且，则 . 例题2．（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知函数，记，，若，则实数的取值范围是 . 精练高频考点 1．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数，若，则 ，的取值范围为 . 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，，若，则 . 3．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）（1）已知，求实数的值； （2）已知，求实数，的值. 题型六：根据并交补运算结果求参数 典型例题 例题1．（24-25高三下·河北石家庄·开学考试）已知集合，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）设集合； (1)若，求实数的值； (2)若集合中有两个元素，求；（用含有的式子表示） (3)若，求实数的取值范围； 精练高频考点 1．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，若是的充分不必要条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知集合，，若，，则的值等于 ． 3．（24-25高一上·山东济宁·期末）已知集合，. (1)当时，求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 题型七：新定义题（选填） 典型例题 例题1．（24-25高三下·江苏盐城·阶段练习）设为两个实数集，定义集合，若，则的子集个数为（   ） A．15 B．16 C．31 D．32 例题2．（24-25高一上·北京·期末）正交数组的概念在现代广泛应用.设集合.任取，若，则称与正交.若，且中任意两个元素均正交，则中元素个数最多是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 精练高频考点 1．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）集合，，且M、N都是集合的子集，若把叫做集合的长度，那么集合的长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·湖北·阶段练习）记，表示个元素的有限集，表示非空数集中所有元素的和，若集合，则 ，若，则的最小值为 . 3．（2025高三下·全国·专题练习）已知集合，设，令表示集合所含元素的个数，则 . 题型八：新定义题（解答） 典型例题 例题1．（24-25高三上·江西南昌·期中）已知有穷数列的各项均为正整数，记集合的元素个数为. (1)若数列为，试写出集合，并求的值； (2)若是递增数列且，求证：是等比数列； 例题2．（24-25高三下·浙江·开学考试）定义：为在集合中去掉一个元素后得到的集合；为集合中的所有元素之和.已知由个正整数组成的集合，若对于，都存在两个集合，使得，且，就称集合为“完美集”. (1)若，判断是否为“完美集”，并说明理由； (2)若集合是“完美集”，证明：是奇数； (3)若集合是“完美集”，且中所有元素从小到大排序后能构成一个等差数列，则称为“等差完美集”.已知集合是“等差完美集”，求的最小值. 精练高频考点 1．（24-25高三下·浙江·开学考试）设为给定的正整数，称有序数组是二进数组．是由个互不相同的二进数组构成的集合，对于中的任意两个元素和，称是特征值．记的所有特征值中出现次数最多的数值为． (1)设，求和的值； (2)若对任意，均有，求的最大值； (3)若，证明：，其中表示不超过的最大整数． 2．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知集合，，记，. (1)求集合S，T； (2)对于只含有四个正整数，，，的集合P，若的最小值是k，则称集合P是“k阶积差四元集”. （ⅰ）若，求“1阶积差四元集”C，且满足； （ⅱ）若，是否存在“2阶积差四元集”M，N，使得？若存在，求出所有集合M，N；若不存在，说明理由. 3．（24-25高一上·浙江杭州·期中）笛卡尔是法国伟大的数学家之一，他对现代数学的发展作出过重要的贡献，由于他的几何坐标系的公式化而被后人认为是“解析几何之父”.高一某同学在网上查阅资料时，无意间发现“笛卡尔积”是一个很有趣的问题.对于非空数集A，B，定义且，将称为“A与B的笛卡尔积” (1)若，求和； (2)若集合H是有限集，将集合H的元素个数记为.记，，满足，对x，y恒成立，求的取值范围； (3)证明：“”的充要条件是“”. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5 集合中含参数重难点问题拓展 (8大核心题型） 目录 题型一：根据元素与集合的关系求参数 1 题型二：根据集合中元素的个数求参数 4 题型三：利用元素集合互异性求参数 7 题型四：根据集合包含关系求参数 9 题型五：根据两个集合相等求参数 12 题型六：根据并交补运算结果求参数 16 题型七：新定义题（选填） 19 题型八：新定义题（解答） 21 温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头 题型一：根据元素与集合的关系求参数 典型例题 例题1．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、分式不等式 【分析】若，则将代入不等式求解即可得到的范围，根据题意求其补集即可. 【详解】关于的不等式的解集为， 若，则有，即，所以， 解得或． 因此若，则 故答案为： 例题2．（24-25高一上·重庆·期中）已知集合，集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据交集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】（1）求出集合、，利用可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （2）根据元素与集合的关系可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为或， ， 且，则，解得， 因此，实数的取值范围是. （2）因为，则，解得， 因为，则或，可得或. 综上所述，实数的取值范围是. 精练高频考点 1．（24-25高一上·山东·期中）设集合，，已知且，则a的取值集合为 . 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】利用元素与集合的关系，分类讨论与两种情况，结合集合的相关性质进行检验即可得解. 【详解】因为，，且， 若，解得或， 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 若，，解得或， 前面已经分析不满足要求， 当时，此时， 此时集合，，满足集合元素的性质， 综上，，所以的取值集合为. 故答案为：. 2．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）已知数集满足条件：当时，，若，则中所有元素组成的集合是 ． 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据，当时，求解；当时，求解即可. 【详解】由题意，, 当时，则， 则， 又， 所以集合. 故答案为：. 3．（24-25高一上·贵州毕节·阶段练习）设全集，集合，． (1)若集合A恰有一个元素，求实数a的值； (2)若，，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据集合中元素的个数求参数、交集的概念及运算 【分析】（1）由求解即可； （2）由元素与集合的关系，求得，进而可求解； 【详解】（1）集合A恰有一个元素，，解得：； （2）， ； 又， ； 即， 题型二：根据集合中元素的个数求参数 典型例题 例题1．（24-25高一上·四川达州·期中）如果集合 中只有一个元素，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．0或2 D．1或2 【答案】C 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】分两种情况讨论集合中方程根的情况，从而确定实数m的值. 【详解】当时,方程变为，解得，满足集合有且只有一个元素. 当时，方程是一元二次方程. 因为集合有且只有一个元素， 所以.解得. 综上，实数的值为或. 故选：C. 例题2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合A是由关于x的方程的实数根组成的集合. (1)当A中有两个元素时，求实数a的取值范围； (2)当A中没有元素时，求实数a的取值范围； (3)当A中有且仅有一个元素时，求实数a的值，并求出此元素. 【答案】(1)，且 (2) (3)答案见解析 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）由一元二次方程根的情况令，且判别式大于零求解即可； （2）由一元二次方程根的情况令，且判别式小于零求解即可； （3）分与不等于零的情况，当时，令判别式大于零. 【详解】（1）当A中有两个元素时，关于x的方程有两个不相等的实数根，所以，且，解得，且. （2）当A中没有元素时，关于x的方程没有实数根，所以，且，解得. （3）当A中有且仅有一个元素时，关于x的方程有一个实数根或有两个相等的实数根. 当时，方程的根为；当时，令，解得，此时. 综上所述，当时，集合A中有且仅有一个元素；当时，集合A中有且仅有一个元素. 精练高频考点 1．（24-25高一上·江苏镇江·期中）函数，若，请写出满足条件的一个值 ，若有且只有3个元素，则实数的取值范围是 . 【答案】 (答案不唯一） 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】利用三个二次关系可求得符合条件的实数的取值范围. 【详解】因为，所以， 解得，故符合条件的一个值为（答案不唯一）； 因为二次函数的对称轴为，开口向上， 若有且只有3个元素，则集合中的元素只能是， 则应满足，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：(答案不唯一）；. 2．（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或时， (3)或 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）将代入方程中即可求解， （2）（3）将问题转化为：关于的方程解的问题，分类讨论二次项系数的值，结合二次方程根与判别式的关系，即可得到答案． 【详解】（1）由于，所以是的实数根，故，故 （2）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，，即时，原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素． （3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素， 由（1）知当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素． 中最多有一个元素，或 3．（24-25高一上·湖南·期中）已知函数. (1)求集合； (2)设，若中恰好有2个元素，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2)或. 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、根据集合中元素的个数求参数、补集的概念及运算 【分析】（1）分、、解出不等式即可得解； （2）结合（1）中所得分类讨论，结合中恰有2个整数元素即可得解. 【详解】（1）， 令，解或. 当时，有恒成立，故； 当时，有，故或； 当时，有，故或. 综上所述，当时，； 当时，或； 当时，或. （2）当时，，则，不符合要求； 当时，或，则， 由中恰好有2个元素，故，则，解得； 当时，或，则， 由中恰好有2个元素，故，则，解得； 综上所述，或. 题型三：利用元素集合互异性求参数 典型例题 例题1．（24-25高三上·上海·阶段练习）设，若集合中的最大元素为3，则 ． 【答案】1 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、判断元素与集合的关系 【分析】先根据元素在集合内，再分分别检验是否符合题意. 【详解】因为集合中的最大元素为3， 所以,所以或. 当时，不合题意舍； 当时，不符合集合的互异性舍； 当时，集合中的最大元素为3； 所以. 故答案为：1. 例题2．（24-25高一上·上海·课后作业）若，，，则实数的值所组成的集合为 ． 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】依题意有，即，且，分类讨论求的值. 【详解】因为，，， 所以， 所以， 所以或， 当时，解得，合题意， 当时，解得或， 若，，，合题意， 若，，，不满足集合中元素的互异性，舍去， 综上所述，. 故答案为：. 精练高频考点 1．（24-25高一上·浙江·期中）已知集合，，若，则实数的值为 . 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据集合间的基本关系得出，再代入验证. 【详解】由，知是的子集，所以或或. 由集合中元素的互异性，知，所以，故，. 从而，而，故. 经验证满足条件. 故答案为：. 2．（24-25高一上·浙江·开学考试）若由，，1组成的集合A与由，，组成的集合B相等，则的值为 ． 【答案】 【知识点】利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据集合相等，对应元素相同，即可求解 【详解】由于集合等于集合，所以， 此时可得，则，可得， 当，不满足集合元素互异性,故舍， 所以， 所以， 故答案为： 3．（24-25高一·上海·课堂例题）含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值． 【答案】 【知识点】根据两个集合相等求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】本题根据集合相等以及集合元素的互异性列出等式得出的值，再计算 即可. 【详解】由可得0且（否则不满足集合中元素的互异性）． 所以，或 解得，或． 经检验，满足题意． 所以． 题型四：根据集合包含关系求参数 典型例题 例题1.（多选）（23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习）已知集合，若，则的可能取值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】AC 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】由，分类讨论即可求解； 【详解】， 因为， 当时，此时； 当时，此时； 当时，此时； 故选：AC 例题2．（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知集合． (1)当时，求和； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)或， (2) 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、交并补混合运算、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）解不等式求得集合，进而求得和. （2）根据包含关系列不等式组，由此求得的取值范围. 【详解】（1）, 或, 当时，, . （2）若，则， 解得． 所以的取值范围是. 精练高频考点 1．（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据集合的基本关系分类讨论计算求参即可. 【详解】因为，所以当，即时，，满足，即； 当，即时，，满足，即； 当，即时，由，得，，即； 综上，． 故选：C． 2．（24-25高一上·重庆江北·期末）已知集合. (1)当时，求； (2)当时，若“”的一个充分不必要条件是“”，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交并补混合运算、根据充分不必要条件求参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）求出集合后求出，从而可求. （2）根据集合的包含关系得到关于参数的不等式组，从而可求参数的取值范围. 【详解】（1）当时, ，故， 而，故. （2）“”的一个充分不必要条件是“”，故为的真子集， 而，故，故. 3．（24-25高一上·浙江杭州·期末）若关于的不等式的解集是. (1)求的值; (2)设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据充分不必要条件求参数、由一元二次不等式的解确定参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）根据不等式的解集可得对应方程的根即可求解； （2）由充分条件建立不等式求解即可. 【详解】（1）因为关于的不等式的解集是， 故的两根为，且， 故； （2）由题意集合，，由于， 则. 题型五：根据两个集合相等求参数 典型例题 例题1．（19-20高一上·河北唐山·期中）已知集合，且，则 . 【答案】0或 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】根据集合相等可得出关于实数a、b的方程组，利用集合元素满足互异性可求得实数a的值. 【详解】因为集合，且，分以下两种情况讨论： 当时，解得或， 若，集合A、B中的元素均不满足互异性； 若，则，符合题意； 当时，解得或， 若，集合A、B中的元素均不满足互异性； 若，则，符合题意； 综上所述，或， 故答案为：0或 例题2．（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知函数，记，，若，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【知识点】根据两个集合相等求参数、空集的概念以及判断、解含有参数的一元二次不等式 【分析】由时，的两个根为，（设，得到参数间的关系，由两个集合相等得出，进而得，即可验证，当时，根据判别式即可求解. 【详解】当时，所以，解得或， 设的两个根为，（设， ，，， 由，得， 由于，则， 故，此时，,符合题意， 当时，，解得，此时 ， 此时对，故对任意的恒成立， 故,满足， 综上可知或 故答案为：或 精练高频考点 1．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数，若，则 ，的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】判断集合的元素的特征，根据，先求得，然后对进行分类讨论，结合判别式求得的取值范围. 【详解】由已知是由函数的所有实数零点构成的集合， ，令， 是由所有满足且的所有实数构成的集合. 若，当满足且因为，则有， 即，解得； 当时，，此时，符合题意； 当时，有 ， 于是，若要使得，只需方程无实数根，故有， 解得. 综上，的取值范围为. 故答案为：； 【点睛】思路点睛：先求集合元素的特征：通过函数的定义及条件，先求集合的元素特征，明确条件对元素的限制．利用判别式判断方程是否有实数根：结合不同情况下的判别式，通过判别方程的根的存在性来确定参数的取值范围．在解题过程中，分类讨论和判别式的使用是关键步骤． 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，，若，则 . 【答案】/ 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】由集合相等，列出等式，再结合集合元素的互异性即可. 【详解】因为， 当解得：或，都不符合集合元素的互异性， 当解得：或（结合集合元素的互异性舍去） 所以. 故答案为： 3．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）（1）已知，求实数的值； （2）已知，求实数，的值. 【答案】（1）；（2）或 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据两个集合相等求参数、利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】（1）利用，再分，，三种情况讨论，利用集合的性质，即可求解； （2）利用集合相等的条件，建立方程组，即可求解. 【详解】（1）若时，解得，此时，，不满足集合的互异性，所以， 若时，解得或，当时，，，所以满足题意， 当时，，，不满足集合的互异性，所以， 若，解得（舍）或（舍）， 综上，实数的值为. （2）因为，则或， 由，解得，由，解得， 经检验，和均符合题意， 综上，或. 题型六：根据并交补运算结果求参数 典型例题 例题1．（24-25高三下·河北石家庄·开学考试）已知集合，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、交并补混合运算、根据并集结果求集合或参数 【分析】由对数函数的单调性以及一元二次不等式的求解，可得集合，根据补集与并集的运算，可得答案. 【详解】由题得或， 所以，所以， 又因为，所以. 故选：C. 例题2．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）设集合； (1)若，求实数的值； (2)若集合中有两个元素，求；（用含有的式子表示） (3)若，求实数的取值范围； 【答案】(1)或 (2) (3) 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据集合中元素的个数求参数、补集的概念及运算 【分析】（1）根据集合的交集可知，解一元二次方程可得a的值，验证是否符合题意； （2）利用根与系数的关系即可求得答案. （3）由题意判断出，分类讨论B的情况，即可求得答案. 【详解】（1）由题意得，因为，所以， 所以，即， 化简得，即，解得或， 检验：当时，，满足， 当时，，满足，所以或. （2）因为集合中有两个元素，所以方程有两个根， 所以且， 所以. （3）因为，且，故, 当时，，解得，符合题意； 当时，则，无解； 当时，则，解得； 当时，则，无解； 综上，. 精练高频考点 1．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，若是的充分不必要条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、交并补混合运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】由一元二次不等式解得集合，根据充分不必要条件可得集合的包含关系，建立不等式，可得答案. 【详解】由或，则， 由是的充分不必要条件，则，且 可得，解得. 故选：C. 2．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知集合，，若，，则的值等于 ． 【答案】 【知识点】根据并集结果求集合或参数、由一元二次不等式的解确定参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】由两集合的并集和交集确定，进而可求解； 【详解】：因为， 而,, 所以，即是方程的根， 因此， 即 所以， 故答案为： 3．（24-25高一上·山东济宁·期末）已知集合，. (1)当时，求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】补集的概念及运算、交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）当时，解不等式求出集合，再根据交集定义求； （2）根据充分条件的定义可得集合是集合的子集，由此可构造不等式组求得结果. 【详解】（1）由题意得，或 当时，，所以， （2）因为或，所以， 若是的充分条件，则 所以，，解得，所以，实数的取值范围是. 题型七：新定义题（选填） 典型例题 例题1．（24-25高三下·江苏盐城·阶段练习）设为两个实数集，定义集合，若，则的子集个数为（   ） A．15 B．16 C．31 D．32 【答案】B 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、集合新定义 【分析】由集合新定义确定，即可求解. 【详解】由题意， 所以的子集个数为， 故选：B 例题2．（24-25高一上·北京·期末）正交数组的概念在现代广泛应用.设集合.任取，若，则称与正交.若，且中任意两个元素均正交，则中元素个数最多是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【知识点】子集的概念、集合新定义 【分析】不妨设，则中其他元素包含2个1和2个，最多共有6个元素，又，，三组元素不正交，所以6个元素中最多只有3个元素在中，即可得到答案. 【详解】不妨设， 由，则中最多包含6个元素， 又，，三组元素不正交， 所以6个元素中最多只有3个元素在集合中，如， 若，且中任意两个元素均正交，则中元素个数最多是. 故选：C. 精练高频考点 1．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）集合，，且M、N都是集合的子集，若把叫做集合的长度，那么集合的长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】集合新定义、交集的概念及运算 【分析】先求出集合M和集合N的长度，由此能求出集合的“长度”的最小值． 【详解】根据新定义可知集合M的长度为，集合N的长度为， 当集合的长度最小时，M与N应分别在区间上的左右两端， 故的长度的最小值是 故选：B. 2．（24-25高二下·湖北·阶段练习）记，表示个元素的有限集，表示非空数集中所有元素的和，若集合，则 ，若，则的最小值为 . 【答案】 14 【知识点】集合新定义、求等差数列前n项和 【分析】根据定义确定，从而可归纳出中的元素，求和后解不等式可得． 【详解】当，时，，表示2个元素的有限集， 由可知，或或，故； 由题意知， 故由可得，即， 结合，可以估算得的最小值为14 故答案为：；14. 3．（2025高三下·全国·专题练习）已知集合，设，令表示集合所含元素的个数，则 . 【答案】3712 【知识点】集合新定义 【分析】分别计算整除，和整除的情况，进而可求解； 【详解】表示集合所含元素的个数， 其中整除的有，共5个. 整除的： ①1整除的有2024个；②2整除的有个；③3整除的有个.重复的有，共3个. 所以. 故答案为：3712 题型八：新定义题（解答） 典型例题 例题1．（24-25高三上·江西南昌·期中）已知有穷数列的各项均为正整数，记集合的元素个数为. (1)若数列为，试写出集合，并求的值； (2)若是递增数列且，求证：是等比数列； 【答案】(1)，. (2)证明见解析 【知识点】由定义判定等比数列、集合新定义 【分析】（1）根据题意，由的定义，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由的定义以及等比数列的定义，代入计算，即可证明. 【详解】（1）因为， 所以集合，所以. （2）证明：因为是递增数列，且， 因为是递增数列，所以， 所以且互不相等，所以， 又因为， 所以且互不相等，所以 所以， 所以， 所以，所以为等比数列. 例题2．（24-25高三下·浙江·开学考试）定义：为在集合中去掉一个元素后得到的集合；为集合中的所有元素之和.已知由个正整数组成的集合，若对于，都存在两个集合，使得，且，就称集合为“完美集”. (1)若，判断是否为“完美集”，并说明理由； (2)若集合是“完美集”，证明：是奇数； (3)若集合是“完美集”，且中所有元素从小到大排序后能构成一个等差数列，则称为“等差完美集”.已知集合是“等差完美集”，求的最小值. 【答案】(1)不是；理由见解析 (2)证明见解析 (3)7 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数、集合新定义、集合的应用 【分析】（1）根据“完美集”的定义即可判断； （2）由是偶数，所以与必定同奇同偶.再分奇数偶数讨论； （3）先假设最小值为，推出矛盾，再求当时成立即可. 【详解】（1）不是“完美集”， 因为去掉2时，所有元素和为15，无法拆分为两个和相等的集合； （2）记为集合中的所有元索之和，是偶数， 所以与必定同奇同偶. 当为奇数时，也是奇数，是奇数个奇数相加，故是奇数： 当为偶数时，也是偶数，设，则也是“完美集”， 重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“完美集”，此时集合元索个数是奇数； 所以得证： （3）最小值是7. 设是等差数列，. 当时，去掉时，，不成立： 当时，，不妨设， 去掉，假设可以拆分成两个交为空且和相等的集合， 则有两种情况： ①，因为，这与矛盾； ②，因为，这与均为正整数矛盾，故假设不成立： 故，下证的最小值为7. 当时，构造（写出一个即可），. 去掉； 去掉； 去掉； 去掉； 同理去掉； 去掉； 去掉； 所以，是“等差完美集”. 综上所述，的最小值为7. 【点睛】思路点睛：对于第二小问：由是偶数， 所以与必定同奇同偶.再分奇数偶数讨论； 第三小问：先假设最小值为，推出矛盾，再求当时成立即可. 精练高频考点 1．（24-25高三下·浙江·开学考试）设为给定的正整数，称有序数组是二进数组．是由个互不相同的二进数组构成的集合，对于中的任意两个元素和，称是特征值．记的所有特征值中出现次数最多的数值为． (1)设，求和的值； (2)若对任意，均有，求的最大值； (3)若，证明：，其中表示不超过的最大整数． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【知识点】集合新定义 【分析】（1）直接根据和的定义得到结果； （2）先证明，再给出使得的的例子，即可说明的最大值是； （3）利用的定义即可证明相应结论. 【详解】（1）此时，故. 的所有特征值为 . 以上共个，其中有个，个，个，所以. （2）由于对任意，不能出现两个第位为的数组（否则）. 所以中每个数组包含的数目之和不超过. 由于不包含的数组至多有一个，故中至少有个包含至少一个的数组. 所以中每个数组包含的数目之和不小于. 以上二者结合，即可得到，故. 当时，对任意中的两个不同元素，均有. 所以的最大值是. （3）由于所有的二进数组恰有个，故必定是包含全部二进数组的集合. 对，设为使得的有序对的数量，其中. 那么在这种情况下，的同为的那个分量位置有种选择. 确定这些位置后，其它的分量不能同为，那么每个位置有三种可能，所以剩余分量有种选择. 这就得到，从而. 故当时，有；当时，有. 从而当取到大于的最小整数，也就是时，取得最大值. 所以. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对集合的定义的理解。只有理解了定义，方可解决相应问题. 2．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知集合，，记，. (1)求集合S，T； (2)对于只含有四个正整数，，，的集合P，若的最小值是k，则称集合P是“k阶积差四元集”. （ⅰ）若，求“1阶积差四元集”C，且满足； （ⅱ）若，是否存在“2阶积差四元集”M，N，使得？若存在，求出所有集合M，N；若不存在，说明理由. 【答案】(1)，. (2)存在，，或，，，，或，. 【知识点】并集的概念及运算、集合新定义、交集的概念及运算 【分析】（1）根据交集及并集得出集合； （2）（ⅰ）先由得出，再分类讨论求解；（ⅱ）先由，得出和一定是同奇数或同偶数，最后分类讨论得出集合. 【详解】（1）因为，解得，又，所以， 所以，. （2）（ⅰ）因为， 若，则，不满足题意； 若，则，满足题意； 若，则，不满足题意； 若，则，不满足题意； 若，则，不满足题意； 综上，. （ⅱ）假设存在“2阶积差四元集”M，N， 因为，其必要条件是存在，所以和一定是同奇数或同偶数，则 ①若，，则M，N均不合题意； ②若，，其中m，n，p，q是奇数， 则，即. 当时，得（舍），或（舍）； 当时，得，或（舍），此时，， 且M，N均符合； 当时，得，或（舍），此时，，N不合题意； 当时，得，或（舍），此时，，N不合题意； ③若，，其中m，n，p，q是奇数，则，即，此时m，n无解； ④若，，其中m，n，p，q是奇数，则，即 当时，得（舍），或（舍）； 当时，得，或（舍），此时，，且M，N均符合； 当时，得，或（舍），此时，，N不合题意； 当时，得（舍），或（舍）； 所以此时，或，， 同理，或，，也满足题意. 综上，存在，，或， ，，或，. 3．（24-25高一上·浙江杭州·期中）笛卡尔是法国伟大的数学家之一，他对现代数学的发展作出过重要的贡献，由于他的几何坐标系的公式化而被后人认为是“解析几何之父”.高一某同学在网上查阅资料时，无意间发现“笛卡尔积”是一个很有趣的问题.对于非空数集A，B，定义且，将称为“A与B的笛卡尔积” (1)若，求和； (2)若集合H是有限集，将集合H的元素个数记为.记，，满足，对x，y恒成立，求的取值范围； (3)证明：“”的充要条件是“”. 【答案】(1)，； (2) (3)证明见解析 【知识点】充要条件的证明、集合新定义、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据的定义直接运算求解； （2）首先表示出，，，结合基本不等式求出，即可得到的取值范围即可. （3）根据的定义结合充分必要条件分析证明； 【详解】（1）因为，且， 所以，； （2），，，， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 又对，恒成立， 所以，即的取值范围为. （3）若，设， 由定义可知：且， 所以“”是“”的充分条件； 若，对任意，均有， 即对任意，均有， 由任意性可知，则， 所以“”是“”的必要条件； 综上所述：“”是“”的充要条件. 【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力. 学科网（北京）股份有限公司 $$