精品解析：广东省东莞市东莞实验中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

东莞实验中学2023—2024学年第二学年度期中考试 高一数学试卷 命题：王铁成 审题：李智恒 2024年4月 本试卷共4页，19题，满分150分．考试用时120分钟． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出复数，根据复数的代数表示即可求解. 【详解】由， 所以虚部为：， 故选：B. 2. 已知中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式求解. 【详解】在中，，，则，而， 由正弦定理得. 故选：A 3. 正四棱台形状的玻璃容器（玻璃厚度忽略不计），其上、下底面边长分别是6和3，高是6，则该容器的容积是（ ） A. 108 B. 114 C. 120 D. 126 【答案】D 【解析】 【分析】根据棱台的体积公式即可求解. 【详解】由题意有，所以， 故选：D. 4. 直线a∥平面α，P∈α，那么过P且平行于a的直线（　　） A. 只有一条，不在平面α内 B. 有无数条，不一定在平面α内 C. 只有一条，且在平面α内 D. 有无数条，一定在平面α内 【答案】C 【解析】 【分析】由推论1和基本事实3可以确定平面与平面有唯一的交线，由线面平行的性质定理可推导直线与交线平行，从而确定选项. 【详解】解：由推论1可知：，则，，过与确定一平面β， 由基本事实3可知：平面α与平面β有一交点，则有一条唯一的交线与a平行，设为b， 因为直线a∥平面α，，，所以a∥b. 故选：C． 5. 用斜二测画法画出一个边长为3的正方形的直观图，则该直观图的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用斜二测画法所得直观图与原图形面积关系即可求解. 【详解】在斜二测画法中，直观图面积是原图形面积的，而边长为3的正方形面积为9， 所以所求的直观图的面积为. 故选：D. 6. 已知，，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 求出向量在向量上的投影，再乘以向量方向的单位向量． 【详解】，，，，则向量在向量上的投影向量为， 故选：B 【点睛】本题考查向量的投影，共线向量，掌握向量投影的定义是解题关键． 7. 铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体是（ ） 　　 A. 一个球 B. 一个球挖去一个圆柱 C. 一个圆柱 D. 一个球挖去一个正方体 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转体的定义可得正确的选项. 【详解】圆及其内部旋转一周后所得几何体为球， 而矩形及其内部绕一边旋转后所得几何体为圆柱， 故题设中的平面图形绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体为一个球挖去一个圆柱， 故选：B. 8. 如图，O是△ABC的重心，D是边BC上一点，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，延长AO交BC于E，由向量的加法运算结合平面向量基本定理将用，表示，可求出的值，即可求出的值. 【详解】如图，延长AO交BC于E，由已知O为△ABC的重心， 则点E为BC的中点，且 由3，得：D是BC的四等分点， 则 ，所以，所以. 故选A． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知点，向量，，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由题意有或，根据向量的坐标运算即可求解. 【详解】由题意有或， 当时，得，所以，故A正确； 当时，得，所以，故B正确. 故选：AB. 10. 已知，是的共轭复数，则（ ） A. 若z为纯虚数，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则z为实数 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A设即可计算，对于B根据复数的乘法运算先计算，进而得，根据复数模的计算即可，对于C根据复数的几何意义即可判断，对于D设，由得即可判断. 【详解】对于A：设，则，故A正确； 对于B：由，所以，即，故B正确； 对于C：由于复数不能比较大小，故 C错误； 对于D：设，由得，即，故D正确； 故选：ABD. 11. “阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到如图，正八面体的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（ ） A. 共有18个顶点 B. 共有32条棱 C. 表面积为 D. 体积为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据正八面体的几何性质，结合题意，利用正方形与正六边形的面积公式以及正四棱锥的体积公式，可得答案. 【详解】由图知该多面体有24个顶点，36条棱，AB错误； 该多面体的棱长为1，且表面由6个正方形和8个正六边形组成， 则该多面体的表面积为，C正确； 正八面体可分为两个全等的正四面体，其棱长为， 过作平面于，连接，如下图： 由平面，且平面，得， 正方形中，由边长为，则对角线长为，则， 在中，，则， 正八面体的体积为， 切割掉6个棱长均为1的正四棱锥，减少的体积为， 所以该阿基米德多面体的体积为，D正确． 故选：CD 三、填空题：（本大题共3小题，每题5分，共计15分） 12. 已知一个球内切于正方体，且这个球的体积为，那么这个正方体的体积为______． 【答案】64 【解析】 【分析】利用球的体积公式求出球半径，进而求出正方体的棱长即可. 【详解】设正方体的内切球半径为，则该正方体的棱长为， ，可得，则正方体的棱长为4， 这个正方体的体积为. 故答案为：64 13. 已知是关于x的方程的一个根．则实数______． 【答案】12 【解析】 【分析】根据给定条件，利用实系数一元二次方程虚根的特征，结合韦达定理求出值. 【详解】由是关于x的方程的一个根， 得该方程的另一根为，则， 所以. 故答案为：12 14. 东莞市金鳌洲塔是广东省文物保护单位，塔处江心陆洲，三面环水．东莞实验中学某数学兴趣小组准备测量塔的高度．如图选取与塔底D在同一个水平面内的两个测量基点A与B，小组同学测得，，米，在点A处测得塔顶C的仰角为，则塔高CD为______米．（结果保留2位小数，参考数据：，） 【答案】50.76 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出，再利用直角三角形边角关系求得答案. 【详解】在中，由，，得，而， 由正弦定理得， 在中，，， 所以塔高CD为约为50.76米. 故答案为：50.76 四、解答题：共77分．解答时应写出文字说明、解答过程或演算步骤． 15. 已知，为虚数单位，复数． （1）若，求m的值； （2）若复数z对应的点A在第三象限，求m的取值范围； （3）若复数z对应的点A关于实轴对称的点B位于曲线上，求m值． 【答案】（1）； （2）； （3）或. 【解析】 【分析】（1）利用复数是实数的充要条件列式求解. （2）求出点的坐标，再结合已知建立不等式组求解. （3）求出点的坐标，再代入曲线方程求解. 【小问1详解】 由复数是实数，，得， 所以. 【小问2详解】 依题意，点在第三象限，则，解得， 所以m的取值范围是. 【小问3详解】 由（2）得在曲线上，则， 所以或. 16. 如图，在正方体中，是的中点． （1）求证：平面ACE． （2）求异面直线与CD所成角的大小． （3）设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积． 【答案】（1） 连接交于，连接， 因为是的中点，又是的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，即可得到，从而即可得证； （2）由，即为异面直线与CD所成角，又为等腰直角三角形即可求解. （3）利用等体积法，求三棱锥的体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在正方体中，， 所以为异面直线与CD所成角， 因为为等腰直角三角形， 所以， 所以异面直线与CD所成角为. 【小问3详解】 因为正方体的棱长为1，所以， 所以， 所以. 17. 已知向量，，，且向量与共线． （1）证明：； （2）求与夹角的大小； （3）求最小值． 【答案】（1）证明如下： 向量，， 由向量与共线，得， 解得， ， 因此， 所以. （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用向量共线的坐标表示求出，再利用向量垂直的坐标表示推理得证. （2）由（1）中信息，利用向量夹角公式求出夹角. （3）利用坐标计算模建立函数关系，进而求出最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，则，，而， ，因此， 而，则，所以与的夹角为. 【小问3详解】 由（2）知，，则， 因此， 当且仅当时取等号，所以最小值为. 18. 设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （1）求角C的大小； （2）若，的面积为，求的周长． （3）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再逆用和角的正弦求解. （2）利用三角形面积公式、余弦定理求解. （3）利用三角形面积公式及和角的正弦变形，借助正切函数求出范围. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理得， 则，而， 因此，而，所以. 【小问2详解】 由（1）知，，由的面积为，得， 解得，由余弦定理得， 解得，所以的周长为. 【小问3详解】 在锐角中，，则，， 由正弦定理得， 的面积， 所以的面积的取值范围. 19. 如图，平面平面，四边形为矩形，且M为线段的中点，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）求点D到平面的距离． 【答案】（1）证明如下： 取中点为，连接， 因为，，，， 所以，, 所以四边形为正方形， 所以,所以， 所以,即，所以， 因为平面平面，平面平面， 平面，故平面，即平面； （2） （3） 【解析】 【分析】(1) 取中点为，连接，即可证四边形为正方形，进而得证，又平面平面，四边形ADEF为矩形，即可证，进而证平面，即即证； (2)建立空间直角坐标系，求平面的法向量为，利用向量法即可求解； (3)求平面的法向量为，利用向量法求点D到平面的距离即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）有， 以点为原点，分别以方向为轴，建立空间直角坐标系， 由，则， ， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以， 所以直线与平面所成角为； 【小问3详解】 由（2）有， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 所以点D到平面的距离为， 所以点D到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东莞实验中学2023—2024学年第二学年度期中考试 高一数学试卷 命题：王铁成 审题：李智恒 2024年4月 本试卷共4页，19题，满分150分．考试用时120分钟． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 已知中，，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 正四棱台形状的玻璃容器（玻璃厚度忽略不计），其上、下底面边长分别是6和3，高是6，则该容器的容积是（ ） A. 108 B. 114 C. 120 D. 126 4. 直线a∥平面α，P∈α，那么过P且平行于a的直线（　　） A. 只有一条，不在平面α内 B. 有无数条，不一定在平面α内 C. 只有一条，且在平面α内 D. 有无数条，一定在平面α内 5. 用斜二测画法画出一个边长为3的正方形的直观图，则该直观图的面积是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体是（ ） 　　 A. 一个球 B. 一个球挖去一个圆柱 C. 一个圆柱 D. 一个球挖去一个正方体 8. 如图，O是△ABC的重心，D是边BC上一点，且，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知点，向量，，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，是的共轭复数，则（ ） A. 若z为纯虚数，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则z为实数 11. “阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到如图，正八面体的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（ ） A. 共有18个顶点 B. 共有32条棱 C. 表面积为 D. 体积为 三、填空题：（本大题共3小题，每题5分，共计15分） 12. 已知一个球内切于正方体，且这个球的体积为，那么这个正方体的体积为______． 13. 已知是关于x的方程的一个根．则实数______． 14. 东莞市金鳌洲塔是广东省文物保护单位，塔处江心陆洲，三面环水．东莞实验中学某数学兴趣小组准备测量塔的高度．如图选取与塔底D在同一个水平面内的两个测量基点A与B，小组同学测得，，米，在点A处测得塔顶C的仰角为，则塔高CD为______米．（结果保留2位小数，参考数据：，） 四、解答题：共77分．解答时应写出文字说明、解答过程或演算步骤． 15. 已知，为虚数单位，复数． （1）若，求m的值； （2）若复数z对应的点A在第三象限，求m的取值范围； （3）若复数z对应的点A关于实轴对称的点B位于曲线上，求m值． 16. 如图，在正方体中，是的中点． （1）求证：平面ACE． （2）求异面直线与CD所成角的大小． （3）设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积． 17. 已知向量，，，且向量与共线． （1）证明：； （2）求与夹角的大小； （3）求最小值． 18. 设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （1）求角C的大小； （2）若，的面积为，求的周长． （3）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围． 19. 如图，平面平面，四边形为矩形，且M为线段的中点，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）求点D到平面的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $