青海省西宁市海湖中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

西宁市海湖中学2024—2025学年第二学期 高一数学第一阶段学情考试 时间：120分钟 满分：150分 第I卷（选择题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D D A C C B C A BC ACD ABD 一、单选题 1．已知复数，则（    ） A．13 B． C．5 D． 【答案】D 【知识点】求复数的模、共轭复数的概念及计算 【分析】利用共轭复数概念以及复数的模公式求解判断. 【详解】，. 故选：D. 2．若水平放置的四边形AOBC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，四边形为等腰梯形，，则原四边形AOBC的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】斜二测法画平面图形的直观图、斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据图像，由“斜二测画法”可得，四边形水平放置的直观图为直角梯形，进而利用相关的面积公式求解即可. 【详解】在直观图中，四边形为等腰梯形，，而，则， 由斜二测画法得原四边形AOBC是直角梯形，，，如图.    所以四边形AOBC的面积为. 故选：D. 3．已知向量，满足，，且，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【知识点】已知数量积求模 【分析】将向量的模的运算转化为数量积运算即可求解. 【详解】由，，， 两边平方可得， 即， 解得，则. 故选：A. 4．设与的夹角为，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求投影向量 【分析】根据投影向量的求法求得正确答案. 【详解】依题意，在上的投影向量为. 故选：C 5．如图，已知，用，表示，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则、向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量 【分析】利用平面向加、减法法则结合已知条件，可得出关于、的表达式. 【详解】因为 所以. 故选：C. 6．在中，内角的对边分别为，已知，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】在中利用余弦定理化简题干信息即可. 【详解】在中利用余弦定理，则， 得，则为直角三角形. 故选：B 7．半径为cm的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别为cm2，cm2，则这两个平行平面的距离为（    ）cm. A．2 B．14 C．2或14 D．6或8 【答案】C 【知识点】球的截面的性质及计算 【分析】由截面圆的面积得到截面圆的半径，然后根据求得截面到圆心的距离，再按两截面在圆心的同侧和异侧求解即可. 【详解】设两个截面圆的半径分别为、，球心到截面的距离分别为、，球的半径为. 由，得cm，cm， 由，得cm，cm， 如图所示， 当球的球心在两个平行平面的外侧时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差， 即cm. 如图所示， 当球的球心在两个平行平面之间时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和，即cm. 故选：C. 8．在中，，，其面积为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】由三角形面积公式可得，由余弦定理得，结合正弦定理即可求解. 【详解】由题意知，，即，解得， 由余弦定理得，即， 由正弦定理（为三角形外接圆半径），可得： ， 故选：A. 二、多选题 9．下列命题中，正确的有（    ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 D．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 【答案】BC 【知识点】判断几何体是否为棱柱、棱锥的结构特征和分类、棱台的结构特征和分类 【分析】根据简单几何体的结构特征，逐项判断，即可得出结果. 【详解】 如图所示，上下底面平行，各个面都是平行四边形，此几何体不是棱柱，故A错误； 棱锥侧面全为三角形，有一个面是平行四边形，则此面为底面，所以该棱锥为四棱锥， 故B正确；由平行六面体的概念和性质可知： 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故C正确； 根据棱台的特征可知：棱台是棱锥截得的，侧棱的延长线要交于同一点。 有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体， 不能保证侧棱的延长线交于同一点，因此该多面体不一定是棱台，故D错误. 故选：BC. 10．已知点，，，若A，B，C，D四个点能构成平行四边形，则点D的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】相等向量、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据题意分平行四边形为，和三种情况讨论，结合向量相等的坐标表示求解即可. 【详解】设点坐标为， 当平行四边形为时，，则，解得， 当平行四边形为时，，则，解得， 当平行四边形为时，，则，解得， 综上点D的坐标可以是，，， 故选：ACD 11．（多选）下列叙述正确的是（   ） A．若，且，则 B．若直线，则直线与能确定一个平面 C．三点确定一个平面 D．若且，则 【答案】ABD 【分析】由空间线面位置关系，结合公理及推论，逐个验证即可. 【详解】点是两平面的公共点，当然在交线上，故A正确； 两条相交直线确定一个平面，故B正确； 只有不共线的三点才能确定一个平面，故C错误； 直线上有两点在一个平面内，则这条直线在平面内，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题 12．已知是平面内所有向量的一组基，且，若，则 ． 【答案】/2.4 【知识点】用基底表示向量、平面向量基本定理的应用 【分析】由题意可得，于是有，求出的值即可. 【详解】解：因为， 又因为， 所以，解得， 所以 故答案为： 13．复数是方程的一个根，则 . 【答案】 【知识点】复数范围内方程的根、共轭复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算 【分析】复数的虚数根是以共轭复数的形式成对出现，结合韦达定理即可得解. 【详解】因为复数是方程的一个根， 所以复数也是方程的一个根， 所以. 故答案为：1. 14.已知正方体的内切球的体积为，则该正方体的外接球的表面积为（    ） 【答案】 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】利用正方体的内切球、外接球的半径与正方体边长关系可求解. 【详解】设正方体的边长为， 则正方体内切球的半径为，内切球的体积等于，解得， 所以正方体的体对角线等于， 所以正方体外接球的半径等于，则外接球的表面积等于 四、解答题 15．已知. (1)求向量的坐标； (2)设向量的夹角为，求的值； (3)若向量与互相垂直，求的值. 【答案】(1) (2) (3)1 【知识点】向量夹角的计算、垂直关系的向量表示、平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示 【分析】（1）利用向量的坐标线性运算计算即得； （2）利用向量的数量积的定义式和坐标式列出方程求解即得； （3）利用向量垂直的充要条件列出方程，求解即得. 【详解】（1）由可得，， 即向量的坐标为：； （2）因， 则； （3）依题意，，即，解得. 16．如图，已知圆锥的顶点为P，O是底面圆心，AB是底面圆的直径，，． （1）求圆锥的表面积； （2）经过圆锥的高PO的中点作平行于圆锥底面的截面，求截得的圆台的体积． 【答案】（1）；（2）． 【知识点】圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算、台体体积的有关计算 【分析】（1）由题意可知，该圆锥的底面半径，母线，从而可求出锥的表面积， （2）先求出大圆锥的高，从而可求出小圆锥的高，进而可得圆台的体积等于大圆锥的体积减去小圆锥的体积 【详解】解：（1）由题意可知，该圆锥的底面半径，母线． ∴该圆锥的表面积． （2）在中，， ∵是PO的中点，∴． ∴小圆锥的高，小圆锥的底面半径， ∴截得的圆台的体积． 17．如图，已知分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点.    (1)求证：点在直线上； (2)求证：与是异面直线. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】空间中的线共点问题、异面直线的判定 【分析】（1）通过证明在平面与平面的交线上，来证得在直线上. （2）利用反证法可证明与是异面直线. 【详解】（1）平面平面， 由于平面，平面， 所以，也即点在直线上. （2）假设与不是异面直线. 则与是共面直线，又在直线外， 则过与直线有唯一平面，所以可得平面， 这与在平面外矛盾，故与是异面直线. 18．在中，内角对应的边分别是，且． (1)求角A的大小； (2)若的面积是，求的周长； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、求含sinx(型)函数的值域和最值、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由正弦定理的边角互化，代入计算，即可得到结果； （2）由三角形的面积公式可得的值，再由余弦定理可得的值，从从而可得，即可得到结果； （3）由三角形的内角和将转化为关于的式子，再由三角函数的性质即可求得结果. 【详解】（1）由正弦定理可得， 即，因为，所以， 则，即. （2）因为，所以， 由余弦定理可得， 即，所以， 则，所以， 则的周长为. （3）由可得， 则 ， 且为锐角三角形，则，解得， 所以，则， 所以， 即的取值范围是. 19．如图，A、C两岛相距海里，上午9点整有一客轮在位于C岛的北偏西40°且距C岛10海里的D处，沿直线方向匀速开往A岛，在A岛停留10分钟后前往B市，上午9：30测得客轮位于C岛的北偏西70°且距C岛海里的E处，此时小张从C岛乘坐速度为v海里/小时的小艇沿直线方向前往A岛换乘客轮去B市. (1)求客轮的速度； (2)若小张能乘上这班客轮，问小艇的速度至少为多少海里/小时？（由小艇换乘客轮的时间忽略不计） (3)现测得，，已知速度为海里/时的小艇每小时的总费用为元，若小张由岛C直接乘小艇去B市，则至少需要多少费用？ 【答案】(1)20海里/小时 (2)海里/小时 (3)至少需385元 【知识点】余弦定理解三角形、距离测量问题、正弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）由题意可得，，，，由余弦定理可求得，进而可求客轮的航行速度； （2）由余弦定理可得，可求得，利用，可求小艇的速度的最小值； （3）由已知可得，进而可求得，利用正弦定理可得，小张由岛C直接乘小艇去城市B的总费用为，可求费用的最小值. 【详解】（1）根据题意得：，，，. 在中，由余弦定理得， 所以客轮的航行速度（海里/小时） （2）因为，所以， 所以. 在中，由余弦定理得，， 整理得：，解得或（舍去）. 所以客轮从E处到岛A所用的时间小时， 小张若能赶上这班客轮，则满足，解得. 所以，小艇的速度至少为海里/小时. （3）在中，，， 所以. 由正弦定理，解得， 所以小张由岛C直接乘小艇去城市B的总费用为 ， 当且仅当，即时，（元） 所以若小张由岛直接乘小艇去市，其费用至少需385元. 第11页 共16页 ◎ 第12页 共16页 第9页 共16页 ◎ 第10页 共16页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 西宁市海湖中学2024—2025学年第二学期 高一数学第一阶段学情考试 时间：120分钟 满分：150分 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知复数，则（    ） A．13 B． C．5 D． 2．若水平放置的四边形AOBC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，四边形为等腰梯形，，则原四边形AOBC的面积为（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，满足，，且，则（   ） A．1 B． C． D．2 4．设与的夹角为，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知，用，表示，则等于（   ） A． B． C． D． 6．在中，内角对边分别为，已知，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 7．半径为cm的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别为cm2，cm2，则这两个平行平面的距离为（    ）cm. A．2 B．14 C．2或14 D．6或8 8．在中，，，其面积为，则等于（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分，多选错选不得分） 9．下列命题中，正确的有（    ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 D．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 10．已知点，，，若A，B，C，D四个点能构成平行四边形，则点D的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 11．下列叙述正确的是（   ） A．若，且，则 B．直线，则与能确定一个平面 C．三点确定一个平面 D．若且，则 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知是平面内所有向量的一组基，且，若，则 ． 13．复数是方程的一个根，则 . 14．已知正方体的内切球的体积为，则该正方体的外接球的表面积 ． 四、解答题（本题共5小题，共77分) 15．（13分）已知. (1)求向量的坐标； (2)设向量的夹角为，求的值； (3)若向量与互相垂直，求的值. 16．（15分）如图，已知圆锥的顶点为P，O是底面圆心，AB是底面圆的直径，，. （1）求圆锥的表面积； （2）经过圆锥的高PO的中点作平行于圆锥底面的截 面，求截得的圆台的体积． 17．（15分）如图，已知分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. (1)求证：点在直线上； (2)求证：与是异面直线. 18．（17分）在中，内角对应的边分别是，且． (1)求角A的大小； (2)若的面积是，求的周长； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 19．（17分）如图，A、C两岛相距海里，上午9点整有一客轮在位于C岛的北偏西40°且距C岛10海里的D处，沿直线方向匀速开往A岛，在A岛停留10分钟后前往B市，上午9：30测得客轮位于C岛的北偏西70°且距C岛海里的E处，此时小张从C岛乘坐速度为v海里/小时的小艇沿直线方向前往A岛换乘客轮去B市. (1)求客轮的速度； (2)若小张能乘上这班客轮，问小艇的速度至少为多少海里/小时？（由小艇换乘客轮的时间忽略不计） (3)现测得，，已知速度为海里/时的小艇每小时的总费用为元，若小张由岛C直接乘小艇去B市，则至少需要多少费用？ 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$