青海省西宁市海湖中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

西宁市海湖中学 2024—2025学年度第二学期期中考试高二数学试题 考试时间：120 分钟 分值150分 一、单选题（每题5分，共40分） 1．已知4个红球，2个白球，每次随机取1个球，不放回地取两次.在第一次取到红球的条件下，第二次取到白球的概率为（    ） A． B． C． D． 2.若函数在上是单调递增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 4．若函数在点处的切线与直线互相垂直，则实数等于（    ） A． B． C． D． 5．若用5种不同颜色去涂五边形的五点顶点，若相邻两点的颜色不同，则不同的涂色方法种数为（    ） A．1440 B．1020 C．1260 D．1480 6．若函数在定义域内有两个极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知的展开式中，第3项的系数与倒数第3项的系数之比为，则展开式中二项式系数最大的项为第（    ）项. A．3 B．4 C．5 D．6 8．已知函数，.对于任意，且，都有.则实数的最大值是（    ） A． B． C． D．1 二、多选题（每题3分，共18分） 9．过点的直线与函数的图象相切于点，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 10．某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到，，三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（    ） A．所有不同分派方案共种 B．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种 C．若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到企业，则所有不同分派方案共12种 D．若企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种 11．已知17．设，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．，则（   ） 三、填空题（每题5分，共15分） 12．设函数f(x)的导函数为，若则= . 13.已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，P(A|B)＝0.6，则P(B|A)为 . 14.函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（1）=0，当x＜0时，xf′（x）+f（x）＞0，则使得f（x）＜0成立的x的取值范围是 . 四、解答题 (解答题要求写出必要的解题过程及文字说明) 15．（15分）已知函数f（x）＝ax3＋cx＋d（a≠0）是R上的奇函数，当x＝1时，f（x）取得极值 －2． （1）求函数f（x）的解析式； （2）求函数f（x）的单调区间和极大值； 16．（16分）三个女生和五个男生排成一排． (1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ (2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ (3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？ (4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？ 17．（15分）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若不等式恒成立，求的取值范围． 18．（16分）在二项式的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，且展开式中的前三项的系数成等差数列． （1）求出展开式中的项； （2）求出展开式中系数最大的项． 19.（15分）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%. （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率 答案第2页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 选择题答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A A A B D B C AD BCD ACD 1．B 【分析】直接分析可得. 【详解】第一次取到红球后还剩3个红球，2个白球，故第二次取到白球的概率为. 故选：B 2.A 【分析】由题意可知，对任意的恒成立，得出，进而可求得实数的取值范围. 【详解】由于函数在上是单调递增函数， 所以，在上恒成立，所以．解得． 故选：A． 【点睛】本题考查利用函数的单调性求参数，一般转化为导数不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于基础题. 3．A 【解析】先展开，再分别找和中含 的项，求和即得到的系数. 【详解】 ， 对于中，含 的项为， 对于中，含 的项为 ， 所以，的展开式中含的项为， 故 的系数为． 故选：A． 4．A 【分析】求出函数的导数，切线斜率为，根据切线与直线互相垂直即可求出. 【详解】因为， 所以， ， 因为切线与直线互相垂直， 所以，解得， 故选A 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，直线垂直斜率之间的关系，属于中档题. 5．B 【分析】考虑三点的涂色情况，就三点涂三种颜色、涂两种颜色分类计数后可得所有的涂色方法种数. 【详解】 如图，考虑三点的涂色情况， 若三点涂三种颜色，则该三点共有种涂色方法，此时有3种涂色方法，有3种涂色方法，故三点涂三种颜色时共有种涂色方法， 若三点涂两种颜色，则与同色或与同色， 当与同色时，该三点共有种，此时有4种涂色方法，有3种涂色方法，故三点涂两种颜色时共有种涂色方法， 同理当与同色时，共有种涂色方法， 综上，所求的不同的涂色总数为， 故选：B. 【点睛】本题考查多边形的顶点涂色问题，此题的关键是找到核心图形的涂色方法，这样可以避免繁琐的讨论，本题属于中档题. 6．D 【分析】求导，根据极值分析可得与有2个变号交点，对求导，利用导数判断其单调性和最值，结合的图象分析求解. 【详解】因为的定义域为，且， 令，可得， 由题意可知与有2个变号交点， 则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 可得，且当x趋近于0，趋近于，当x趋近于，趋近于0， 可得的图象，如图所示： 由图象可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是： （1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； （2）求导数，得单调区间和极值点； （3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象进而求解． 7．B 【分析】由已知，根据给的式子写出其通项，分别写出第3项的系数与倒数第3项的系数得到关于的方程，先求解出，即可确定其展开式二项式系数最大在第几项. 【详解】的展开式通项为， 第3项为，其系数为， 倒数第3项为，其系数为， 由题意，，所以， 所以展开式中二项式系数最大的项为，即为展开式的第4项. 故选：B. 8．C 【分析】根据已知不等式的特征，判断两个函数的单调性，结合导数，通过构造函数进行求解即可． 【详解】因为，所以同号，因此 与的单调性相同， 因为，所以函数单调递增，因此也单调递增， ， 因为是增函数，故恒成立． 即恒成立． ，则，因为 故单调递增， 故最小值为．故，则的最大值是 故选：C 【点睛】方法点睛：已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法： （1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解． 9．AD 【分析】根据过函数图象上一点处的切线与导数之间的关系求解. 【详解】因为，所以， 由题意得直线的斜率， 即，解得或 故选:AD. 10．BCD 【分析】求得所有不同分派方案数判断选项A；求得每家企业至少分派1名医生的所有不同分派方案数判断选项B；求得每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到企业的所有不同分派方案数判断选项C；求得企业最多派1名医生的所有不同分派方案数判断选项D 【详解】选项A：所有不同分派方案共种.判断错误； 选项B：若每家企业至少分派1名医生， 先把4名医生分成3组（2人，1人，1人）再分配. 则所有不同分派方案共（种）.判断正确； 选项C：若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到企业， 则企业可以只有医生甲，也可以有医生甲和另一名医生， 则所有不同分派方案共（种）.判断正确； 选项D：若企业最多派1名医生，则企业可以有1名医生和没有医生两种情况, 则不同分派方案共（种）.判断正确. 故选：BCD 11．ACD 【分析】根据二项展开式的通项公式，先求出和；再分别令，，代入题中式子，逐项判断，即可得出结果. 【详解】因为展开式的第项为， 又， 所以，，则，故A正确； 令，则， 令，则； 令，则， 故，即B错； ，即C正确； ，即D正确； 故选：ACD. 【点睛】方法点睛： 求解二项展开式各项系数和或部分项的系数和时，一般利用赋值法，结合所给二项展开式进行求解即可. 二．填空题 12． 【分析】可以求出导函数，进而可得． 【详解】∵， ∴ ∴， 解得． 故答案为：. 13．0.75 【分析】由条件概率公式计算． 【详解】因为P(A|B)＝，所以P(AB)＝0.3，所以P(B|A)＝＝＝0.75． 故答案为：． 14.（﹣1，0）∪（1，+∞） 15．（1）f（x）＝x3－3x; （2）函数f（x）的递增区间是（－∞，－1）和（1，＋∞）；递减区间为（－1，1）． f（x）在x＝－1处取得极大值，且极大值为f（－1）＝2． 【详解】试题分析：（1）由函数为奇函数易得d=0，由x＝1时，f（x）取得极值－2得=0，f（1）=-2，然后得到关于a，c的方程组，从而得解；（2）由导函数大于零求单调递增区间，由导函数小于零求单调递减区间，并由极值定义求出极值． 试题解析：（1）∵f（x）是R上的奇函数， ∴f（－x）＝－f（x），即－ax3－cx＋d＝－ax3－cx－d，∴d＝－d， ∴d＝0（或由f（0）＝0得d＝0）． ∴f（x）＝ax3＋cx，f ′（x）＝3ax2＋c， 又当x＝1时，f（x）取得极值－2， ∴即解得∴f（x）＝x3－3x． （2）f ′（x）＝3x2－3＝3（x＋1）（x－1），令f ′（x）＝0，得x＝±1， 当－1<x<1时，f ′（x）<0，函数f（x）单调递减； 当x<－1或x>1时，f ′（x）>0，函数f（x）单调递增； ∴函数f（x）的递增区间是（－∞，－1）和（1，＋∞）；递减区间为（－1，1）． 因此，f（x）在x＝－1处取得极大值，且极大值为f（－1）＝2． 16．(1)4320 (2)14400 (3)14400 (4)36000 【分析】（1）捆绑法求解；（2）插空法解决；（3）可用位置分析法、间接法或者元素分析法解决； （4）可用位置分析法或者间接法解决. 【详解】（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有种不同的排法，对于其中的每一种排法，三个女生之间又有种不同的排法． 因此共有＝4320（种）不同的排法． （2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位，加上两边男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻，由于五个男生排成一排有种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个让三个女生插入都有种排法. 因此共有＝14 400（种）不同的排法． （3）方法一：（位置分析法）因为两端都不能排女生，所以两端只能挑选五个男生中的两个，有种不同的排法，对于其中的任意一种不同的排法，其余六个位置都有种不同的排法.所以共有＝14400（种）不同的排法． 方法二：（间接法）三个女生和五个男生排成一排共有种不同的排法，从中扣除女生排在首位的种排法和女生排在末位的种排法，但两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次，所以还需加回来一次，由于两端都是女生有种不同的排法. 所以共有＝14400（种）不同的排法． 方法三：（元素分析法）从中间六个位置挑选三个让三个女生排入，有种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余五个位置又都有种不同的排法. 所以共有＝14400（种）不同的排法． （4）方法一：（位置分析法）因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，那么末位就不再受条件限制了，这样可有种不同的排法；如果首位排女生，有种排法，那么末位就只能排男生，这样可有种不同的排法. 因此共有＝36000（种）不同的排法． 方法二：（间接法）三个女生和五个男生排成一排共有种不同的排法，从中扣除两端都是女生的排法种，就得到两端不都是女生的排法种数． 因此共有＝36000（种）不同的排法． 17．(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义，根据导数求切线的斜率，再代入点斜式方程，即可求解； （2）首先根据指对公式，变形不等式为，再构造函数，结合函数的单调性，转化为不等式恒成立，再利用参变分离，转化为函数最值问题，即可求解. 【详解】（1）当时，，，， 所求切线方程为：，即； （2）转化为， 可得， 构造函数，易得在单调递增， 所以有，由在单调递增， 故可得，即有在恒成立， 令，，得到， 可得时，；时，，所以在时取最大值， 所以，得到. 18．（1）；（2） 【分析】（1）根据仅有第5项的二项式系数最大求出，根据前三项的系数成等差数列求出； （2）设第项系数最大，则，解不等式组即可得解. 【详解】（1）二项式的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，且展开式中的前三项的系数成等差数列， 仅有第5项的二项式系数最大，所以， 二项式的展开式中，通项， 前三项系数成等差数列，所以， 解得：或（舍去） 通项：，， 所以展开式中的项； （2）设第项系数最大，则解得：， 所以展开式中系数最大的项. 19．（1）0.05；（2）；；. 【解析】首先用数学语言表示已知条件，设B＝“任取一个零件为次品”，Ai＝“零件为第i台车床加工”(i＝1，2，3)，则Ω＝A1∪A2∪A3，A1，A2，A3两两互斥．P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45，P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)＝P(B|A3)＝0.05. （1）由条件概率公式计算； （2）由条件概率公式计算． 【详解】设B＝“任取一个零件为次品”，Ai＝“零件为第i台车床加工”(i＝1，2，3)，则Ω＝A1∪A2∪A3，A1，A2，A3两两互斥．根据题意得 P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45， P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)＝P(B|A3)＝0.05. （1）由全概率公式，得 P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3) ＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05 ＝0.0525. （2）“如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件Ai发生的概率． P(A1|B)＝＝ ＝＝. 类似地，可得 P(A2|B)＝，P(A3|B)＝. 【点睛】关键点点睛：本题考查条件概率，解题关键是引入字母表示事件，B＝“任取一个零件为次品”，Ai＝“零件为第i台车床加工”(i＝1，2，3)，把所求概率事件用表示后根据条件概率公式计算． 答案第6页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $$ I I 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 I 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 I I 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 I 理数 第 1 页 共 2 页 I 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 I 西安博冠网络科技有限公司 设计 一、单项选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 三、填空题 （每小题 5分，共 15分） 12. 13. 14. 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤） 15 ．（15 分） 16 ．（16 分） 2024—2025 学年度第二学期期中考试 高二数学答题卡 答 题 卡 注 意 事 项 1. 选择题请用 2B 铅笔填涂方框，如需改动，必须用橡 皮擦干净，不留痕迹，然后再选择其它答案标号。 2. 非选择题必须使用黑色签字笔书写，笔迹清楚。 3. 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题 区域，以及在草稿纸和试题上的答案均无效。 4. 请保持卷面清洁，不要折叠和弄破答题卡。 填 涂 样 例 正确填涂 i 姓 名 准考证号 试卷类型 A B 缺考标记（禁止考生填涂） H H H 条形码粘贴区域 (正面朝上，切勿贴出虚线方框) 二、多项选择题 （每小题 6分，共 18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] I 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 I 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 I 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 I I 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 I 理数 第 2 页 共 2 页 I 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 I 西安博冠网络科技有限公司 设计 17 ．（15 分） 18 ．（16分） 19 ．（15 分）