专题18【学案】圆柱与圆锥

态学科网·阻子学 www.2X×k.C0m 让学习更离效 【学案·专题18】圆柱与圆锥 【思维导图】 【考点一】圆柱表面积 【考点二】圆柱体积 【考点三】圆柱倍比问爱 圆柱与圆锥 【考点四】圆锥体积 【考点五】等体积变化 【考点六】浸水问题 立体图形 表面积 体积 Sz:=侧面积+2个底面积=2wh+2知2 廷=和h 图柱 名：侧缅积+底面积一动+对 注：1是母线，即从顶点到底面圆上的线段长 核心知识点 【考点一】圆柱表面积 【例1】如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物 体。问这个物体的表面积是多少平方米？（π取3.14） 1 盛学科网·随子学 www.zX×k.C0m 让学习更离效 【思路分析】 从上面看到图形是右图 ①上、下底面积和：3.14×1.52×2=14.13（平方米） ②侧面积：2×3.14×(0.5+1+1.5)×1=18.84（平方米） ③该物体的表面积：14.13+1884-32.97（平方米） 技巧点拨 解题方法：S=侧面积+2个底面积=2mh+2m2 求表面积一定要注意是上、下底面+侧面积 注意：如果内部有空心的再加上内部空心圆柱的侧面积 【例2】一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米。将它的底面平均分成若干 个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？（π=3.14） 【思路分析】 1观察分析：拼成的长方体的底面积=原来圆柱体的底面积 长方体的前、后两个侧面面积=原来圆柱体的侧面面积相等 增加的表面积→长方体左、右两个侧面的面积 2这两个侧面都是长方形：长=原来圆柱体的高，宽=圆柱体底面半径 3.圆柱体的高：50.24÷(3.14×22)=4（厘米） 增加的表面积：2×4×2=16（平方厘米） 技巧点拨 圆柱表面积增减变化： 1高的增减变化 高增减→侧面积增加或减少（底面积不变） 底面周长=变化的表面积÷增减的高度 2 扇学科网·阻子学 www.2X×k.C0m 让学习更离效 2.横向切割 (平行于底面)每切一刀增加2个底面面积 总增加面积=2×切割次数×底面积 如果两段圆柱拼接在一起，则会减少两个底面 3纵向切割（沿直径劈开）增加2个长方形面积（长=高，宽=直径） 总增加面积=2×高×直径 4.圆柱与长方体的切拼 增加面积=2×hr 【考点二】圆柱体积 【例3】如右图是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶（接头处忽略 不计)，求这个油桶的容积。（π=3.14） 16.56m 【思路分析】 ①底面的直径：（观察图形，16.56米是底面直径与底面圆周长之和） 16.56÷(1+3.14)=4(米)→半径：4+2=2（米） ②圆柱的高：(2个圆的直径)4×2=8（米） ③Vx=πh=π×22×8=100.48（立方米） 技巧点拨 解题方法：V=πh 求容积就是求体积 铁皮做铁桶要注意分为3部分，上下2个底面和侧面。 备学科网·艇子学 www.zX×k.C0m 让学习更离效 【考点三】圆柱倍比问题 【例4个圆柱的体积是3.14cm3,若将它的半径扩大3倍，高不变，则它的体积将会( ）。 A.扩大3倍 B.扩大6倍 C.扩大9倍 【思路分析】 半径扩大3倍→底面积扩大3-9倍(S=π) 半径扩大3倍，高不变→圆柱体积(Vx=πh)扩大9倍 【解答】C 技巧点拨 解题方法： 1底面积变化（S=π2)：半径扩大k倍，底面积扩大k2倍 2.侧面积的变化(S=2πh):半径扩大k倍且高度扩大m倍，侧面积扩大km倍 3体积变化(V=πh): ①高不变：底面积扩大k倍，体积扩大k倍；半径扩大k倍，体积扩大k2倍 ②底面积不变时：高扩大k倍，体积扩大k倍 4.当圆柱的底面积相等时，高之比就是体积之比 5当圆柱的高相等时，底面积之比就是体积之比 【考点四】圆锥体积 【例5】如图，圆锥形容器中装有水50升，水面高度是圆锥高度的一半，这个容器最多能装 水 升。 【思路分析】 态学科网·艇子学 www.zX×k.C0m 让学习更离效 现在水面高度是大圆锥高度的一半，圆锥是相似的，高度变为一半，半径也会变为一半 1假设大圆锥半径是r,高度是h,那小圆锥（水面形城的）半径就是；，高度是h 2小圆锥体积：-（兮0 22 4 2 11 =5×5m2h 83 小圆锥体积是大圆锥体积的 3小圈锥水的体积是50升，则大圆锥体积：50÷400（升） 【解答】400 技巧点拨 解题方法：乃=写和h 圆锥装水形成的是一个相似三角形，高和底都是同一个比例关系。 【考点五】等体积变化 【例6】一个酒瓶里面深30cm,底面内直径是10cm,瓶里酒深15cm。把酒瓶塞紧后使其瓶 口向下倒立这时酒深25cm。酒瓶的容积是多少？（π取3） 30 5| 【思路分析】 1.观察前后，酒瓶中酒的总量没变，即瓶中液体体积不变，空气体积也不变。 5 态学科网·随子学 www.2X×k.C0m 让学习更高效 2.两个图中液体和空气接触的底面积是相同的，所以液体和空气的体积比就为高之比 液体体积：空气体积-15：(30-25)=3：1，酒瓶的容积就为3+1=4份 3酒的体积：15×元(9：.375元（位方厘米） 4酒瓶容积： 375m+4 =500π =500×3 =1500(立方厘米) 1500立方厘米=1500毫升 技巧点拨 解题方法：瓶子正放倒放问题利用比例来解会更简单 液体体积：空气体积=高度之比 已知瓶子容积可以求液体体积；已知液体体积可以求瓶子容积 【考点六】水中浸入物体 【例7】一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是15厘米，水深8厘米。现 将一个底面积是16平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后。现在水深多少厘米？ 【思路分析】 根据等积变化原理：水的体积始终保持不变 1.水的体积V=80×8=640(立方厘米) 2放入铁块后水的底面积变化：$：=80-16=64（立方厘米）（铁块占了一部分底面积） 3.水的高度变化：h=640÷64=10(厘米) 验证一下，铁块高12厘米，现在算出来水深10厘米，说明铁块没有完全被水淹没，计算合理 6 扇学科网·随子学 www.zX×k.C0m 让学习更离效 技巧点拨 解题方法： 1抓住不变量：不管容器里怎么变化，只要没有增加或减少水，水的体积始终保持不变 2底面积变化：当有物体放入容器中，要注意水的底面积的改变 3验证结果合理性：算出结果后，要看看这个结果符不符合实际情况 7