精品解析：广东省实验中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

广东实验中学2024—2025学年（下）高一级期中考试 数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设（i为虚数单位），则的虚部是（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算结合共轭复数概念计算求解. 【详解】因为（i为虚数单位），则， 所以则的虚部是3. 故选：A. 2. 下列各组向量中，能作为基底的是（ ） A. ＝（0,0），＝（1,1） B. ＝（1,2），＝（－2,1） C. ＝（－3,4），＝（,－） D. ＝（2,6），＝（－1,－3） 【答案】B 【解析】 【分析】根据基底的定义判断选项. 【详解】A，零向量与任意向量共线，故不能作为基底； C中，，D中，，向量与共线，不能作为基底； B中与不共线，所以可作为一组基底. 故选：B 3. 已知，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数，对数函数，正弦函数的性质判断，，的范围，比较，，的大小即可. 【详解】由指数函数性质得，由对数函数性质得， 由正弦函数性质得，则，故B正确. 故选：B. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平方关系以及二倍角的正弦公式即可求得结果. 【详解】将两边平方可得， 即，可得. 故选：C 5. 底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由勾股定理先求出圆锥的高，进而利用圆锥体积公式求解即可. 【详解】由题可知圆锥的底面半径，母线长，高， ∴圆锥的体积为. 故选：A. 6. 在中，分别是内角的对边，若（其中表示的面积），且，则的形状是（ ） A. 有一个角是30°的等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 有一个角是30°的直角三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由三角形面积公式和余弦定理化简可得，由正弦定理对化简可得，结合平面向量线性运算、数量积运算和平面几何知识可得，从而可得是等边三角形. 【详解】，又， 所以，解得，因为，所以. 又，由，可得，， 则， 如图所示，在边、上分别取点、，使，， 以，为邻边作平行四边形，则四边形为菱形， 连接，，，且， ，，，又， ，且，，即， 又，是等边三角形. 故选：D. 7. 如图，在长方体中，，若点在平面上运动，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据长方体的对称性有，即可确定最小值. 【详解】由长方体的结构特征知，关于面对称的点为， 所以， 当且仅当共线时，取等号. 故选：C 8. 声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.音有四要素：音调，响度，音长和音色，它们都与函数中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利.像我们平时听到声音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音函数是，结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中不正确的是（ ）. A. 函数具有奇偶性 B. 函数在区间上单调递增 C. 若声音甲对应函数近似为，则声音甲的响度不一定比纯音的响度大 D. 若某声音乙对应函数近似为，则声音乙一定比纯音更低沉 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义法证明即可判断A；根据验证法计算即可判断B；根据即可判断C；判断的最小正周期为，即可判断D. 【详解】A选项，易知的定义域为， 又 ，故是奇函数，A正确； B选项，时，， 故，在上都是增函数， 在上单调递增，B正确； C选项，由， 得的最大值，故的振幅必然大于的振幅， 即声音甲的响度一定大于纯音的响度，C错误； D选项，对于， 因为的最小正周期为，的最小正周期为， 所以的最小正周期为，其频率， 纯音的最小正周期为，其频率， 声音乙的频率更低，比低沉，D正确. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 一个棱柱至少有六个面 B. 棱台的各侧棱延长后交于一点 C. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 D. 圆锥过轴的截面是一个等腰三角形 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据棱柱、正棱锥，棱台、圆锥的定义或性质即可对选项一一判断. 【详解】对于A项，三棱柱只有5个面，故A项错误； 对于B项，因棱台即是用平行于棱锥底面的平面截得的，故各侧棱延长后交于一点，故B项正确； 对于C项，因正棱锥的底面时正多边形，顶点在底面的射影是正多边形的中心，故侧棱都相等，从而每个侧面都是全等的等腰三角形，故C项正确； 对于D项，圆锥过轴的截面是由两条母线以及底面圆的直径构成的三角形，故为等腰三角形，故D项正确. 故选：BCD. 10. 设，，均为复数，则下列命题中正确的是（ ） A. 若复数，则 B. 若，则的最大值为2 C. 若，则 D. 若，则为纯虚数 【答案】AB 【解析】 【分析】利用待定系数法，设，，则，根据复数的乘法运算化简，即可根据复数模长公式求解A，根据复数的几何意义将问题转化为单位圆上的点与两点间的距离，即可判断B；举反例即可求解CD. 【详解】对于A，设（，），（）， 由，则， 所以， ， 所以，A正确； 对于B, 由，得复数在复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，而的几何意义为复数对应的点与两点间的距离， 所以当点运动到时，最大，取最大值，最大值为2，B正确； 对于C,若，，，但，，C错误； 对于D，若，满足，当不是纯虚数，故D错误. 故选：AB． 11. 定义：两个向量的叉乘，则以下说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若四边形为平行四边形，则它的面积等于 D. 若，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，得到或或同向或反向，A正确；B选项，时满足要求，时，两者不等；C选项，利用平行四边形面积公式得到C正确；D选项，根据叉乘和向量数量积公式化简得到，再平方后，利用基本不等式进行求解，得到答案. 【详解】A选项，， 所以或或，所以或或同向或反向， 故，A正确； B选项，，， 若，则，故， 若，则，此时，B错误； C选项，若四边形为平行四边形，则它的面积等于， 而，C正确； D选项，由题意得，， 两式平方相加可得，即， 又， 由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据两个向量平行求得的值，然后再由向量模长公式即可得到结果. 【详解】，，且， ∴，解得， ∴，可得． 故答案为：. 13. 如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，则原图形面积是________. 【答案】 【解析】 【分析】由直观图还原为原图，分别求得边长从而得到面积. 【详解】 如图1，设与交点为， 因为，，所以，. 的平面图如图2所示： 则， . 故答案为：. 14. 已知等腰中，，点D满足，且，则BD的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】作出辅助线，得到三角形全等，设，则，要使最小，应在同侧，在中，由余弦定理得到，从而得到当时，取得最小值. 【详解】取中点，连接， 因为，所以， 因为，所以， 又，故， 且，所以≌， 设， 则，，， 如图，要使最小，应在同侧， 故， 在中，由余弦定理知 ， 其中 ， 于是 ， 当且仅当，即时，取得最小值. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的图象如图所示. （1）求这个函数的解析式； （2）求函数在上的单调递增区间和零点. 【答案】（1） （2）和；和 【解析】 【分析】（1）由图象可得，，从而，代入点可得，从而得到函数解析式； （2）由正弦函数的单调性和零点易得结果. 【小问1详解】 由函数的部分图象知，最大值为2，最小值为，所以. 又因为，所以，所以. 因为函数的图象经过点，所以， 又因为，所以. 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 令，则， 所以在上的单调递增区间为和. 令，则， 所以在上的零点为和. 16. 某景区为拓展旅游业务，拟建一个观景台P（如图所示），其中AB，AC为两条公路，，，为公路上的两个景点，测得，，为了获得最佳观景效果，要求对，的视角.现需要从观景台到，造两条观光路线PM，PN，使得观景台P到M和N两个景点的距离之和最大. （1）求，的距离； （2）设，记，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中利用余弦定理计算可得； （2）利用正弦定理表示出，，再利用辅助角公式及正弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 在中，， 由余弦定理得， ， 所以，即的距离为. 【小问2详解】 在中，，，则， 由正弦定理得，， 所以， ， 所以 ； 当时，，取得最大值. 17. 如图，在中，D是线段上的点，且，O是线段的中点延长交于E点，设． （1）求的值； （2）若为边长等于2的正三角形，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据图形，利用向量的线性运算，化简求值； （2）法一，根据平面向量基本定理的推论，确定，再以向量为基底，表示向量，利用数量积公式，即可求解；法二，首先设，以向量为基底，表示与，利用向量平行求，再利用数量积公式求的值. 【小问1详解】 因为O为的中点，， 又，故 【小问2详解】 法一，设，因为O为的中点，， ∴ ∵B，O，E三点共线，所以，得 故 因为为边长为2的正三角形 故 （法二）设 又由（1）知与为非零的共线向量. 与为非零的共线向量，所以，得 ∴ 因为为边长为2的正三角形 故 . 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求B； （2）已知D为边AB上的一点，且. （ⅰ）若，，求AC的长； （ⅱ）求的取值范围. 【答案】（1） （2）（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角化，结合正弦和角公式可得,根据，化简可得，即可求解， （2）（ⅰ）在中，由余弦定理求解，进而根据诱导公式以及正弦定理得，解得，进而根据同角关系以及锐角三角函数求解， （ⅱ）在中由正弦定理，得，在中，由锐角三角函数得，进而可得，利用二倍角公式化简得，即可根据余弦函数的性质求解. 【小问1详解】 由题意知， 又由正弦定理得，所以. 又，所以，所以， 所以， 因为，所以，所以， 又因为，所以. 【小问2详解】 （ⅰ）因为， 根据余弦定理得，所以， 因为，所以， 在中，由正弦定理知，，即，所以， 进而,所以故， （ⅱ）因为，所以， 在中，由正弦定理得，所以； 又在中，； 所以， 因为，所以，所以， 所以的取值范围是. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，点P为的费马点. （1）求A； （2）若，求的值； （3）若，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）法一：根据二倍角公式计算结合正弦定理计算求解；法二：根据二倍角公式计算结合两角和差正弦公式计算求解； （2）应用面积相等列式计算结合平面向量数量积公式计算求解； （3）应用费马点的定义结合平面向量基本定理有，应用余弦定理结合基本不等式计算得出最值. 【小问1详解】 法一：因为， 所以， 即， 整理得：， 所以由正弦定理可得，所以； 法二：因为，且， 所以， 所以，整理得， 因为，所以，所以. 【小问2详解】 由（1）可得，，所以三个内角都小于， 则由费马点的定义可知：， 设，由， 得，整理得：， 所以； 【小问3详解】 由费马点的定义可知：， 设，则， 又，所以由平面向量基本定理有. 由余弦定理可得：， ，， 因为，所以， 所以有，化简可得：， 将代入上式，化简得. 因为，当且仅当结合解得时等号成立， 设，所以，解得或， 因为，所以，所以，即的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东实验中学2024—2025学年（下）高一级期中考试 数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设（i为虚数单位），则的虚部是（ ） A. 3 B. C. 4 D. 2. 下列各组向量中，能作为基底的是（ ） A. ＝（0,0），＝（1,1） B. ＝（1,2），＝（－2,1） C. ＝（－3,4），＝（,－） D. ＝（2,6），＝（－1,－3） 3. 已知，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，分别是内角的对边，若（其中表示的面积），且，则的形状是（ ） A. 有一个角是30°的等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 有一个角是30°的直角三角形 D. 等边三角形 7. 如图，在长方体中，，若点在平面上运动，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.音有四要素：音调，响度，音长和音色，它们都与函数中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利.像我们平时听到声音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音函数是，结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中不正确的是（ ）. A. 函数具有奇偶性 B. 函数在区间上单调递增 C. 若声音甲对应函数近似为，则声音甲的响度不一定比纯音的响度大 D. 若某声音乙对应函数近似为，则声音乙一定比纯音更低沉 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 一个棱柱至少有六个面 B. 棱台的各侧棱延长后交于一点 C. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 D. 圆锥过轴的截面是一个等腰三角形 10. 设，，均为复数，则下列命题中正确的是（ ） A. 若复数，则 B. 若，则的最大值为2 C. 若，则 D. 若，则为纯虚数 11. 定义：两个向量的叉乘，则以下说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若四边形为平行四边形，则它的面积等于 D. 若，则的最小值为 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则__________． 13. 如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，则原图形面积是________. 14. 已知等腰中，，点D满足，且，则BD的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的图象如图所示. （1）求这个函数的解析式； （2）求函数在上的单调递增区间和零点. 16. 某景区为拓展旅游业务，拟建一个观景台P（如图所示），其中AB，AC为两条公路，，，为公路上的两个景点，测得，，为了获得最佳观景效果，要求对，的视角.现需要从观景台到，造两条观光路线PM，PN，使得观景台P到M和N两个景点的距离之和最大. （1）求，的距离； （2）设，记，求的最大值. 17. 如图，在中，D是线段上的点，且，O是线段的中点延长交于E点，设． （1）求的值； （2）若为边长等于2的正三角形，求的值． 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求B； （2）已知D为边AB上的一点，且. （ⅰ）若，，求AC的长； （ⅱ）求的取值范围. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，点P为的费马点. （1）求A； （2）若，求的值； （3）若，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $